Recherche Opérationnelle
Exercice 1 : Partie 1 :
Une Usine fabrique deux produit 𝑃1 et 𝑃2 à l’aide de trois matières premières, 𝑀1, 𝑀2 et 𝑀3 on utilisant trois facteurs de productions 𝑀1, 𝑀2, 𝑀3 dont on dispose d’une quantité limité. La
disponibilité en matières premières est de 18 unité pour 𝑀1 et de 8 unité pour 𝑀2 et 14 unité de 𝑀3, les caractéristiques de fabrication sont donnée sur le tableau suivante :
𝑀1 𝑀2 𝑀3
𝑃1 1 1 2
𝑃2 3 1 1
Donner un programme linéaire qui permet de maximiser les bénéfices de cette usine ? Partie 2 :
Un fabricant produite de types de yaourt à la fraise qu’il appelle A et B. a partir de Lait, Fraise et de Sucre, chaque yaourt doit respecter les proportions de matières premières, comme montre le tableau suivante :
A B
Fraise 2 1
Lait 1 2
Sucre 0 1
Les matières premières sont en quantité limité :
800kg de Fraise
700kg de Lait
300kg de Sucre
La vente de yaourt A rapportent 4 dh par kg et le yaourt B rapportent 5 dh par kg.
Donner un programme linéaire qui permet de maximiser les bénéfices du fabricant.
Exercice 2 :
Une entreprise industrielle fabrique deux modèles A et B d’appareils électroménagers, Ces deux modèles passent par trois étapes de fabrication dans trois différents ateliers. Le tableau suivant résume le nombre d’heures requises pour fabriquer chaque modèle au niveau des ateliers, le temps disponible à chaque atelier et les bénéfices unitaires dans chaque atelier :
A B
Ateliers Nombre d’heures requises Temps disponible Assemblage 3 4 4200 h
Vérification 1 3 2400 h Empaquetage 2 2 2600 h Contribution aux 100/unité 120/unité
Bénéfices en DH
1. Donner un programme linéaire qui permet de déterminer la quantité optimale à produire de chaque modèle afin de maximiser le bénéfice.
2. Représenter sur un graphe le domaine des solutions réalisables.
3. Déterminer les points extrêmes du domaine des solutions réalisables.
4. Donner les coordonnées du point optimal.
Exercice 3 : Partie 1 :
On considère le programme linéaire suivant : 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 7𝑥1+ 5𝑥2
s.c :
𝑥1+ 𝑥3= 300 𝑥2+ 𝑥4= 400 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥5= 500 2𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥6= 700 𝑥𝑖 ≥ 0; 𝑖 = 1, … . ,6.
Calculer la solution optimale et la valeur optimale de ce programme linéaire par la méthode du simplexe ;
Partie 2 :
On considère le programme linéaire suivant : 𝑀𝑖𝑛 𝑊 = −2𝑥1− 4𝑥2
s.c :
3𝑥1+ 4𝑥2≤ 1700
2𝑥1+ 5𝑥2≤ 1600 𝑥1≥ 0 , 𝑥2≥ 0
Calculer la solution optimale et la valeur optimale de ce programme linéaire par la méthode du simplexe ;
Exercice 4 :
On considère le programme linéaire suivant : 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 50𝑥1+ 40𝑥2+ 70𝑥3
s.c :
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3≤ 30 𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3≤ 15 3𝑥1+ 5𝑥2+ 4𝑥3≤ 35 𝑥1≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3≥ 0
1. Calculer la solution optimale et la valeur optimale de ce programme linéaire par la méthode du simplexe ;
2. Formuler le programme linéaire dual.
