Sidi Mohamed Maouloud ISCAE 2014-2015 SAE2 S4 1
TD Econométrie 1
Régression linéaire multiple
Exercice 1. Modèle linéaire sans constante
Calculer l’estimateur MCO pour 𝑎 et 𝑏 pour les modèles suivants - 𝑦 = 𝑏 + 𝜖,
- 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 + 𝜖 - 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝜖
- 𝑧 = 𝑏 + 𝑎𝑥 + 1 − 𝑎 𝑦 + 𝜖
Exercice 2. On considère le modèle 𝑧 = 𝑐 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝜖.
1. Montrer que les estimateurs MCO des paramètres du modèle vérifient 𝑐 = 𝑧 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑦 𝑒𝑡 𝑎
𝑏 = 𝑉 𝑥 𝐶𝑜𝑣 𝑥, 𝑦
𝐶𝑜𝑣 𝑥, 𝑦 𝑉 𝑦 −1 𝑐𝑜𝑣 𝑥, 𝑧 𝑐𝑜𝑣(𝑦, 𝑧)
2. En déduire 𝑎 et 𝑏 . Que deviennent ces valeurs si 𝑐𝑜𝑣 𝑥, 𝑦 = 0. Commenter.
3. Montrer que
𝑆𝐶𝐸 = ∑ 𝑧 𝑖− 𝑧 2
= 𝑛 𝑐𝑜𝑣2 𝑥, 𝑧 𝑉 𝑥 + 𝑐𝑜𝑣2 𝑦, 𝑧 𝑉 𝑦 + 2𝑐𝑜𝑣 𝑥, 𝑦 𝑐𝑜𝑣 𝑦, 𝑧 𝑐𝑜𝑣 𝑧, 𝑥
Exercice 3.
On souhaite estimer le modèle 𝑧 = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝜖. On dispose de 𝑛 observations de ces variables. On note 𝑋 la matrice des variables explicatives
1. Nous avons obtenu les résultats suivants : 𝑋𝑇𝑋 =
30 0 0
? 10 7
? ? 15
(a) Donner les valeurs manquantes.
(b) Que vaut 𝑛 ?
(c) Calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique entre 𝑥 et 𝑧.
2. Nous disposons de plus de 𝑧 = −2, ∑𝑥𝑖𝑧 = 24, ∑𝑦𝑖𝑧𝑖 = 37 et ∑𝑧𝑖2= 170. Donner les estimateurs des paramètres du modèle.
3. Calculer la SCT, SCE, SCR et 𝑅2
Exercice 4.
Nous disposons des données pour les dates 1961 à 1994, relatives aux variables suivantes : - tc est le taux de croissance la consommation à prix constants,
- tr est le taux de croissance du revenu disponible réel, - inf est taux d’inflation ;
- ti est le taux d’intérêt, - ch le taux de chômage
Nous avons la sortie de la fonction R lm
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Call:
lm(formula = tc ~ tr + inf + ti + ch, data = exo4)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.0115183 0.0101925 1.130 0.268 tr 0.7081329 0.1154450 6.134 1.28e-06 ***
inf -1.5614405 0.2164772 -7.213 7.51e-08 ***
ti -0.0009769 0.0010436 -0.936 0.357 ch 0.0020809 0.0015252 1.364 0.183 ---
Residual standard error: 0.009505 on 28 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7191, Adjusted R-squared: 0.679 F-statistic: 17.92 on 4 and 28 DF, p-value: 2.105e-07 1. Quel modèle est estimé ici ?
2. Calculer les valeurs barrées ici
3. Pour un seuil 𝛼 = 0.05 le modèle est il globalement significatif ? 4. Quels sont les paramètres qui ne sont pas significatifs ?
5. On estime un nouveau modèle et on obtient Call:
lm(formula = tc ~ tr + inf, data = exo4)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.019425 0.006525 2.977 0.00571 **
tr 0.671727 0.110019 6.106 1.04e-06 ***
inf -1.521623 0.194687 -7.816 1.01e-08 ***
---
Residual standard error: 0.009485 on 30 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7003, Adjusted R-squared: 0.6803 F-statistic: 35.05 on 2 and 30 DF, p-value: 1.413e-08
a. Le modèle est il globalement significatifs ? Quel est le pourcentage de la variabilité du taux de croissance de la consommation expliquée le modèle ?
b. Interpréter chacun des paramètres du dernier modèle
c. Déterminer des intervalles de confiance de niveau 95% pour chacun des paramètres
d. Pour l’année 1995, on s’attend à une inflation de l’ordre de 3.11% et au taux de croissance du revenu de l’ordre 6.55%. Déterminer un intervalle de prévision du taux de croissance de la consommation. On donne la matrice
𝑋𝑇𝑋 −1=
0.47 −6.48 7.83
−6.48 134.54 −220.49 7.83 −220.49 421.3
