MECANIQUE ANALYTIQUE MECANIQUE ANALYTIQUE
SMP5 SMP5
Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 département de physique Faculté des sciences
Agadir
email: r.mesrar@uiz.ac.ma
Rachid MESRAR
Rachid MESRAR
Objectifs p
Objectifs p é é dagogiques dagogiques
Introduire la notion d’éIntroduire la notion d’équilibrequilibre
Introduire la notion de stabilitéIntroduire la notion de stabilité
Etudier le cas des systèEtudier le cas des systèmes conservatifsmes conservatifs
Etudier le cas des systèEtudier le cas des systèmes dissipatifsmes dissipatifs
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE ET STABILITE
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE ET STABILITE
Notions abord
Notions abord é é es es
Notion d’éNotion d’équilibre paraméquilibre paramétriquetrique
Notion d’éNotion d’équilibre strict quilibre strict
SystèSystème conservatifme conservatif
ThéThéororème de Lejeuneème de Lejeune--DirichletDirichlet
SystèSystème dissipatifme dissipatif
ThéThéororème de ème de LiapunovLiapunov
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE ET STABILITE
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE ET STABILITE
PLAN DU CHAPITRE 4 PLAN DU CHAPITRE 4 1 1 - - Notion d Notion d ’é ’é quilibre quilibre
2- 2 - Notion de stabilité Notion de stabilit é
3 3 - - Syst Syst è è mes conservatifs mes conservatifs
-- ThéThéororèème de Lejeuneme de Lejeune--DirichletDirichlet
4 4 - - Lin Lin é é arisation des arisation des é é quations de quations de Lagrange
Lagrange
5- 5 - Systè Syst è mes dissipatifs mes dissipatifs
-- ThéThéororèème de me de LiapunovLiapunov
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE ET STABILITE
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE ET STABILITE
Equilibre et stabilité
Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Approche énergétique
Mikhailovich lyapunov (1857-1918)
Approche dynamique
L’objectif de ce chapitre est de présenter les différentes
méthodes permettant de définir et d’étudier la stabilité d’une position d’équilibre. Deux méthodes peuvent être envisagées:
Méthode directe: théorème de Lejeune-Dirichlet
Ce théorème permet de définir les positions d’équilibre indépendamment des équations de mouvement.
Ce théorème est particulièrement bien adapté aux systèmes dont les forces données dérivent d’un potentiel indépendant du temps.
Méthode générale: écriture des équations du mouvement linéarisées au voisinage des positions d’équilibre pour conclure sur la stabilité (théorème de Liapunov).
Notion d’équilibre
§- 1 -
Un système est en équilibre lorsqu’ il est immobile par rapport à un repère galiléen. Dans ce cas nous pouvons écrire :
0 q
Q q q
U dt
F dU
P
i i ii
ext
= =
∂
= ∂
=
* **
( ) & &
q 0 Q U
i
i
=
∂
= ∂
Les positions d’équilibre sont donc obtenues pour les valeurs des paramètres
:
Cte q
q i = i e =
Théorème
Les positions d’équilibre sont obtenues pour les valeurs des paramètres qui rendent la fonction de force stationnaire.
Exemple classique : pendule double voir TD1
Cte 3
mgl
U ( α , β ) = ( cos α + cos β ) +
π β
β β β
π α
α α α
=
=
= ⇒
−
∂ =
∂
=
=
= ⇒
−
∂ =
∂
ou 0
0 mgl
U 3
ou 0
0 mgl
U 3
sin sin
Les positions d’équilibre sont données par :
D’où les positions d’équilibre :
) , ( )
, (
) , ( )
, (
) , ( )
, (
) , ( )
, (
π π β
α
π β
α
π β
α β α
=
=
=
=
0 0
0
0
Notion de stabilité
§- 2 -
Une position d’équilibre d’un système matériel est dite stable Si le mouvement induit par une perturbation n’a aucun effet et le système reste au voisinage de cette position.
équilibre stable équilibre instable
Equilibre paramétrique
Soit un système de solides en mouvement dans un repère galiléen.
Sa position est repérée par n paramètres qi et le temps.
Le mouvement de est régi par n équations de Lagrange de la forme :
) ( Σ
) ( Σ
i i
i
q Q T q
T dt
d =
∂
− ∂
∂
∂
&
) ,...,
( )
( q
e= q
1eq
ne définit une position d’équilibre paramétrique si :0 ,
,
=
∀
=
∀
i
ie i
q i
q q
i
&
Si la position de (S) ne dépend pas du temps t, l’équilibre paramétrique est un équilibre strict et une position d’équilibre strict se traduit par:
0 )
( Q
i qe=
i
i
q
Q U
∂
= ∂
Si toutes les forces dérivent d’une fonction de force U (indépendante du temps), alors la position d’équilibre est donnée par:
soit :
= 0
∂
∂
qe
q
iU
Equilibre strict ou absolu
Systèmes conservatifs (cas particulier)
Théorème de Lejeune-Dirichlet
§- 3 -
Théorème de Lejeune Dirichlet Stabilité des positions d’équilibre
Ce théorème est une condition suffisante de stabilité et est considéré comme un cas particulier du théorème de Liapunov.
Hypothèses : - ne dépend pas du temps - les liaisons sont parfaites
- les efforts dérivent d’une fonction de force U schléronome
Théorème
) /
( R
gT Σ
Théorème de Lejeune Dirichlet
Etant donné un système conservatif, tout maximum local strict de la fonction de force U (minimum local strict du potentiel V) définit une position d’équilibre stable.
1- Système à un paramètre q :
a- Positions d’équilibre
Elles sont obtenues en résolvant :
dq 0 dU =
La résolution de cette équation donne les positions d’équilibre q*.
Il y a en général plusieurs solutions b- Stabilité
La stabilité s’étudie en calculant la dérivée seconde
qe
q 2
2
dq U d
=
- Si
dq 0 U d
qe
q 2
2
p
=
dq 0 U d
qe
q 2
2
f
=
- Si
l’équilibre est stable
l’équilibre est instable
Exemple : équilibre et stabilité d’un pendule à deux masses
φ
x r
0m
1m
2l
1l
2O
z r
0Un pendule menu de 2 balanciers est articulé en O sans
frottement. Trouver la condition de stabilité pour la position verticale
φ = 0 .
C gl
m gl
m
U =
2 2cos φ −
1 1cos φ + C
l m l
m g
U = (
2 2−
1 1) cos φ + 0
l m l
m
2 2−
1 1≠
a- Positions d’équilibre -Cas où :
0 l
m l
m d g
dU
1 1 2
2
− =
−
= φ
φ ( ) sin
=
⇔ =
= φ π
φ φ
0 0 d
dU
(position verticale)
Stabilité autour de la position φ = 0
) (
cos )
(
1 1 2
2 0
2 2
1 1 2
2 2 2
l m l
m d g
U d
l m l
m d g
U d
−
−
=
−
−
=
φ
=φ φ φ
−
−
−
−
instable équilibre
0 l
m l
m Si
stable équilibre
0 l
m l
m Si
1 1 2
2
1 1 2
2
p f )
(
)
(
- Cas particulier où m 2 l 2 − m 1 l 1 = 0
d 0
dU =
φ
On a alors :
Dans ce cas il y a équilibre dans toutes les positions.
On dit que l’équilibre est astatique.
Cte
U =
2- Système à deux paramètres q
1et q
2: a- Positions d’équilibre
Elles sont obtenues en résolvant :
q 0 U
1
∂ =
∂ 0
q U
2
∂ =
∂
La résolution de ces 2 équations donne une série de valeurs.
)
;
( q 1 = q 1 * q 2 = q 2 *
b- Stabilité
Les conditions de stabilité sont données par :
∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
q 0 U
q 0 q
U q
U q
U
2 i 2
2 1
2 2
2 2 2
1 2
p . f
Conditions de Schwartz
Exemple 1: double pendule (voir TD1)
Cte 3
mgl
U ( α , β ) = ( cos α + cos β ) +
Etudions la stabilité autour des positions:
) ,
( )
, (
) , ( )
, (
π β
α
β α
0 0 0
=
=
(voir TD1)
U 0 U mgl
mgl
U 3
22 2 2
2
=
∂
∂
− ∂
∂ =
− ∂
∂ =
∂
β β α
α β
α cos , cos ,
−
=
−
= −
mgl 0
0 mgl
0 3 en
mgl 0
0 mgl
0 3 0 en
: ) ,
( )
, (
: ) , ( )
, (
π β
α
β α
D’où la matrice de la dérivée seconde:
Le théorème de Lejeune-Dirichlet permet d’affirmer que la position d’équilibre (0, 0) est stable; mais ne permet pas d’affirmer que la position d’équilibre est stable. Il ne permet pas non plus d’affirmer qu’elle est instable, car il ne donne qu’une condition suffisante de stabilité.
)
,
( 0 π
Exemple 2
Soit la fonction de force :
l C Mgl b
U +
−
= θ φ θ
φ
θ , ) cos cos sin
(
3 l
b =
U 0
∂ =
∂
θ
avec
a- Positions d’équilibre
Elles sont données par :
U 0
∂ =
∂
φ
∂ =
∂
−
−
∂ =
∂
θ φ φ
θ φ
θ θ
sin sin
cos cos
sin U Mgb
Mgb
U Mgl
D’où les équations:
=
=
−
−
0
0 b
l
θ φ
θ φ
θ
sin sin
cos cos
sin
=
⇒ =
= φ π
φ 0 φ 0
sin
1-
=
−
⇒ =
−
=
−
=
= ⇒
3 2 3 3
l 0 b
1 1
θ π θ π θ
φ
'
tan
=
⇒ =
=
=
= ⇒
3 4 3 3
l b
2 2
θ π θ π θ
π φ
'
tan
2-
=
⇒ =
= θ π
θ 0 θ 0
sin
−
=
⇒ =
=
2
0 φ 2 π
φ π φ
cos
b- Etude de la stabilité de la position :
−
=
=
3 0 π θ
φ
θ φ
θ Mgl cos θ Mgb cos sin
U
2
2
= − +
∂
∂
0 Mgl
2 2 3 3
2 Mgl Mgl 1
U
3 2 0
2
− p
=
−
−
=
∂
∂
−
=
= π θ
θ
φθ φ Mgb cos φ sin
U
2
2 =
∂
∂
0 2 Mgl
3 2
3 3 U Mgl
3 2 0
2
− p
=
−
=
∂
∂
−
=
=
.
θ π
φ
φθ φ φ
θ Mgb sin cos
2 U
∂ =
∂
∂
U 0
3 0
2 =
∂
∂
∂
−
=
= π θ
φ φ
θ
∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
U 0
U 0 U
U
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
p
f
θ
φ θ
φ θ .
On a immédiatement:
Les conditions de Schwartz sont satisfaites.
Donc l’équilibre est stable
3- Système à n paramètres : a- Positions d’équilibre
Elles sont obtenues en résolvant :
n 1
i q 0
U
i
,...,
; =
∂ =
∂
b- Stabilité
Une condition suffisante pour que la fonction de
force U admette un maximum local strict en (q)
eest que la dérivée seconde en q
isoit une forme bilinéaire symétrique définie négative :
q
ej i
2
q q
U
∂
∂
∂
càd soit une matrice à valeurs propres négatives.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
2 3 2
2 3
2
1 3
2
3 2
2 2
2 2
1 2
2
3 1
2
2 1
2 2
1 2
j i
2
q U q
q
U q
q
U
q q
U q
U q
q
U
q q
U q
q
U q
U
q q
U
Cas de 3 paramètres (q
1, q
2, q
3)
) cos
cos (cos
) ,
,
( α β γ = mgl α + β + γ
U
) ,
, (
) ,
,
( 0 0 0 et π π π
Soit la fonction de force suivante :
Déterminer les positions d’équilibre et étudier la stabilité des 2 positions :
Les positions d’équilibre sont données par :
3 1
i q 0
U
i
,...,
; =
∂ =
∂
Exercice d’application
=
⇒ =
=
−
∂ =
∂
=
⇒ =
=
−
∂ =
∂
=
⇒ =
=
−
∂ =
∂
π γ
γ γ γ
π β
β β β
π α
α α α
0 0 U mgl
0 0 U mgl
0 0 U mgl
sin sin
sin
) ,
, (
) ,
, (
) ,
, (
) ,
, (
0 0
0 0
0 0
0 0
0
π
π
π
) ,
, (
) ,
, (
) ,
, (
) ,
, (
π π
π
π π
π π
π π
0 0
0
Les 8 positions d’équilibre sont données par :
Dérivées secondes:
−
∂ =
∂
−
∂ =
∂
−
∂ =
∂
γ γ β β α α
cos cos
cos
U mgl U mgl U mgl
2 2
2 2
2 2
j j i
i 2
q q
U
≠
∂
∂
∂
Stabilité de la position d’équilibre (0, 0, 0)
−
−
−
=
∂
∂
∂
mgl 0
0
0 mgl
0
0 0
mgl q
q
U
0 0 j 0
i 2
) , , (
Donc la position d’équilibre (0, 0, 0) est stable
Stabilité de la position d’équilibre ( π , π , π )
=
∂
∂
∂
mgl 0
0
0 mgl
0
0 0
mgl q
q
U
j i
2
) , ,
( π π π
On ne peut pas dire que cette position est stable mais on ne peut pas dire non plus qu’elle est instable car le théorème de Lejeune-Dirichlet ne donne qu’une condition suffisante de
stabilité.
Système à un seul paramètre
Fonction de force
Condition d’équilibre
Condition de stabilité
dq 0 dU =
dq 0 U d
qe
q 2 2
p
=
U=U(q)
En résumé
Système à deux paramètres
Fonction de force
U=U(q1, q2)Conditions d’équilibre
Conditions de stabilité
q 0 U
1
∂ =
∂ 0
q U
2
∂ =
∂
∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
q 0 U
q 0 q
U q
U q
U
2 i 2
2 1
2 2
2 2 2
1 2
p
. f
Système à n paramètres
Fonction de force
U=U(q1,…, qn)Conditions d’équilibre
Conditions de stabilité
à valeurs propres négatives
n 1
i q 0
U
i
,...,
; =
∂ =
∂
q
ej i
2
q q
U
∂
∂
∂
§- 4 -
Linéarisation des équations de Lagrange
Systèmes dissipatifs (cas général)
Théorème de Liapunov
§- 5 -
Théorème de Liapunov
L’étude de stabilité est entreprise par la détermination des petits mouvements au voisinage des positions d’équilibre, car en
l’absence de potentiel, il est impossible d’utiliser la condition suffisante de stabilité.
Si nous supposons l’existence de petits mouvements autour de la position d’équilibre étudiée, nous pouvons écrire les
équations de Lagrange linéarisées en ne conservant que les termes de premier ordre en . Il vient:
i i
i
q et q
q , & & &
) (t f
q c
q b
q
a ij & & j + ij & j + ij j = i
fi(t) représente les forces données qui sont les seuls termes à dépendre explicitement du temps, les aij, bij et cij sont des
constantes et la matrice aij est symétrique.
1- Oscillateur linéaire
Le systèmes mécanique obéissant au système linéaire ainsi formé est appelé oscillateur linéaire associé (L).
Si fi(t) = 0 l’oscillateur est dit libre.
2- Théorème de Liapunov
Soit (L) l’oscillateur linéaire associé au système mécanique étudié et à la position d’équilibre (S0):
- Si toutes les racines de l’équation caractéristique de (L) ont leur partie réelle négative alors (S0) est stable.
- Si l’une au moins a une partie réelle positive, (S0) est instable.
- Si l’une au moins a une partie réelle nulle on ne peut pas
conclure. Il faut faire une étude directe sauf si on peut écrire l’intégrale première de l’énergie cinétique, mais dans ce cas on se retrouve dans le cas d’un système conservatif.
Voir application pédagogique
Mise en œuvre
43 42
1
négatives propres
valeurs à
matrice
j q
i e
q q
L
∂
∂
∂
2 043 42
1
équilibre d
position i q
e
q U
'
= 0
∂
∂
Et maintenant, c’est à vous de jouer,
à vos dossiers pédagogiques.
MERCI DE VOTRE MERCI DE VOTRE
ATTENTION ATTENTION
FIN DU CHAPITRE 4 FIN DU CHAPITRE 4
Rachid MESRAR Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur Bureau 37 Département de physique Faculté des sciences
Agadir
email: r.mesrar@uiz.ac.ma
