ENS option PC

ENS option MP

Planche 1Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

Soitα ∈ R\Q, et (εi)_i∈N? une suite de variables al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees suivant la loi de Bernoulli de param`etre1

2· On poseSn =

n

X

i=1

εi; montrer que pour tout (a, b) ∈]0,1[², tels quea < b,

n→+∞lim P(αSn−[αSn]) =b−a, o`u [x] est la partie enti`ere inf´erieure dex(on pourra admettre queV ect(e^2ikπx)_k∈Zest dense dans l’ensemble des fonctions continues 1-p´eriodiques surR; on commencera par calculer la limite quandn tend vers +∞deE f(αSn)

o`ufest une fonction 1-p´eriodique continue surR; puis on cherchera `a ´etendre le r´esultat pour conclure).

Comment utiliser ce r´esultat pour montrer que la suiteαn−[αn] est ´equir´epartie ? Comment d´eduire du th´eor`eme de Weierstrass le r´esultat admis ?

Planche 2Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Toutes les fonctions sont de classeC²(R^d,R).

Soitf une fonction atteignant un minimum local enx0; on d´efinit la matrice hessienne defparHf= ( ∂²f

∂xi∂xj

)_16i,j6d.

Montrer que toutes les valeurs propres deHf(x0) sont positives ou nulles.

Soitude classeC²(R^∗₊×R^d,R), v´erifiant ∂u

∂t−∆xu= 0 et pourx∈R^d, u(t, x) a une limite finie ent= 0, qu’on noteu0(x) ; montrer que inf

R^∗+×R^d u= inf

R^d u0. Planche 3Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur f ∈ C^∞(R,R) pour que g(x) =f(√

x), d´efinie surR⁺, y soitC^∞. Planche 4Ulm Lyon - Cachan - Rennes

I)Pourf ∈ L(V), o`uV est unC-espace vectoriel, on appelle adjoint de f l’applicationAdfqui `a tout endomorphismegassocief◦g−g◦f.

Montrer que sifest diagonalisable, alorsAdfl’est aussi puis calculer tr(Adf).

Montrer que sifest nilpotente, alorsAdfl’est aussi (on pourra introduireγet δ, les fonctions composition `a gauche et `a droite parf).

Exprimer exp(Adf) en fonction de exp(f).

II)Cours : que dire d’une variable al´eatoire ind´ependante d’elle-mˆeme ? Que dire d’une suite de r´eels dont toute sous-suite admet une sous-sous-suite tendant vers 0 ?

Pour cette derni`ere question, l’examinateur a interdit l’utilisation du tableau.

Planche 5Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee On dit quef, deZ^ddansR, est harmonique si∀~n, f(~n) = 1

2d

d

X

i=1

f(~n+ei)+f(~n−ei) o`u (ei) la base canonique deR^d. Le but est de montrer que sifest harmonique et born´ee, alors elle est constante.

Traiter le casd= 1.

Traiter le casd >1 (on pourra consid´erer∀~h,∆~h= sup

~n∈Z^d

f(~n+~h)−f(~n) et montrer que ∆~h= 0).

Planche 6Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

On admet que s’il existe une injection d’un ensembleXdans un ensembleY, et une surjection deXsurY, il existe une bijection entre les deux.

Peut-on mettre l’ensemble des ouverts deRnot´eO(R) en bijection avecN,R, P(R) ou autre ?

On noteFl’ensemble des familles d’intervalles ouverts `a bornes dansQ; construire une surjection deFdansO(R) qui, `a une famille d’intervalles ouverts `a bornes dansQ, associe l’union de ces intervalles.

SiIest un intervalle ouvert de bornes dansQ, quel lien peut-on faire entreP(I) etF?

Comment peut-on voir une famille d’´el´ements deI si on tient pas compte de l’ordre ?

On veut d´emontrer la propri´et´e admise : montrer quefcroissante deP(X) dans P(X) admet un point fixe (On montrera d’abord queP(N) est ´equipotent `aR).

Planche 7Ulm - Lyon - Cachan - Rennes SoitP ∈R[X] non constant tel que cosP(n)

n∈N admet un nombre fini de valeurs d’adh´erence. Montrer queP−P(0)∈πQ[X].

Planche 8Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable d`es la 1<sup>re</sup>ann´ee Montrer quef, deR<sup>2</sup>dansR<sup>2</sup>, qui conserve les distances enti`eres (mais n’est pas suppos´ee continue), est une isom´etrie.

Planche 9Ulm Lyon - Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee

I)On donne une suite de variables al´eatoires de Rademacher (Xi), ind´ependantes et sym´etriques :∀i>1, P(Xi=−1) =P(Xi= 1) =1

2· On poseS0= 0,Sn=

n

X

i=1

Xietmn= max

16k6nS_k.

Pourrentier, montrer queP(mn >r∩Sn > r) =P(mn> r∩Sn< r) et en d´eduire queP(mn = r) = P(Sn = r) siretnont mˆeme parit´e et que P(mn=r) =P(Sn=r+ 1) sinon.

II)Montrer quefetginvolutives dansSO(3) sont conjugu´ees et trouver une CNS pour quefetgcommutent (on pourra raisonner g´eom´etriquement).

Planche 10Ulm Lyon - Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee PourGun groupe etXune partie quelconque deG, on appelle centralisateur de XdansGl’ensemble des ´el´ementsgdeGqui commutent avec les ´el´ements deX.

Montrer que, siG=GLn(K), il existe un sous-ensemble finiX0⊂X, tel que les centralisateurs deXetX0soient ´egaux.

SoitG, un groupe fini d’au moins deux ´el´ements.

Montrer que si∀(x, y)∈G\{e}²,∃g∈G, gx=yg,Gest isomorphe `aZ/2Z.

Planche 11Ulm Lyon - Cachan - Rennes SoientA∈ Mn(C) etB∈GLn(C).

Montrer que det(A+B) det(A−B) = det(B) det(AB⁻¹A−B).

Calculer la diff´erentielle du d´eterminant enIn.

SoientAetBdansMn(C),B, A+B, A−B, AB⁻¹A−B´etant inversibles ; montrer que (A−B)⁻¹−(A+B)⁻¹= 2(AB⁻¹A−B)⁻¹.

Planche 12Ulm

I)On donne un corpsKet on noteK^∗2={x², x∈k^∗}; on dit qu’un morphisme de groupesRest une racine carr´ee si et seulement si∀x∈K^∗2, R(x)²=x.

Existe-t-il une racine carr´ee dansR,C,Q,Z/pZ? Dans chaque cas, dire si elle est unique.

II)Cours : ´enoncer le th´eor`eme de Rolle.

Planche 13Ulm

Sik kest une norme surRⁿ, on noteIsole sous-ensemble deGL(Rⁿ) constitu´e des isom´etries vectorielles pourk k, c’est `a dire v´erifiant∀x∈Rⁿ,kf(x)k=kxk.

Trouver les normes pour lesquellesIsoest fini, celles pour lesquelles il est infini mais distinct deO(n).

Montrer que siIsoest d´enombrable, alors il est fini.

Planche 14Ulm, abordable d`es la 1^reann´ee

Une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees (Xn)_n∈N∗, d´efinies sur (Ω,A, P), v´erifie∀n∈N^∗,∀k∈N^∗,P(Xn=k) = 1

k(k+ 1); on pose, pourn∈N^∗,Sn=X1+. . .+Xn.

Montrer que Sn

nln(n)converge en probabilit´e vers 1.

Planche 15Ulm, abordable d`es la 1^reann´ee

I)SoientL1,L2,L3etL4quatre droites deR³en position quelconque ; combien y a-t-il de droites ∆ passant parL1,L2,L3etL4? Dans tout les calculs, si on doit diviser par une certaine quantit´e, on pourra la supposer non nulle ; ou, plus g´en´eralement, si une situation a une probabilit´e nulle d’arriver, elle n’arrive pas.

II)fcontinue de [0,1]∩QdansR, est-elle born´ee ? Planche 16Ulm

Montrer que lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ²= 1 2·

II)Cours : que peut on dire des sous-espaces propres d’un endomorphisme ? Sont-ils toujours en somme directe que la dimension soit ou non finie ? Planche 17Lyon

SoientV unC-espace vectoriel de dimension finie,HetAdeux sous-espaces de L(V) tels queH⊂Aet∀(n, m)∈H×A, nm−mn∈H. Soitvun vecteur propre de tous les ´el´ements deH; montrer quev ∈ Ker(xn−nx) pour tout couple (x, n)∈H×A.

Planche 18Lyon

Si (an) et (bn) sont deux suites denses dansRet injectives, montrer qu’il existe une fonction continue et bijective deRdansR, qui envoie (an) sur (bn) et dont la r´eciproque est aussi continue.

Planche 19Lyon

PourA∈ Mn(R) on posekAk= X

16i,j6n

a²_ij1/2

. Montrer qu’il existeC(n)>0 telle que∀A∈ Mn(R),kCom(A)k6C(n)kAkⁿ⁻¹. CalculerC(n).

Planche 20Lyon, abordable d`es la 1^reann´ee

D´eterminer le cardinal du centralisateur d’une involution σ de Sn, groupe sym´etrique d’ordren, c’est `a dire l’ensemble des permutations deSnqui commu- tent avecσ.

Planche 21Lyon, abordable d`es la 1^reann´ee

On noteHun sous-groupes d’un groupeGet (gn) une suite d’´el´ements deGtels que sim6=n,,gnH6=gmH; siG=H

p

[

k=1

Lk, o`u lesLksontpsous-groupes de

G, montrer queG=

p

[

k=1

Lk

Planche 22Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee

Si on lance une pi`ece truqu´ee qui donne pile avec une probabilit´ep, quel est le temps moyen d’attente d’un face ?

On suppose dans toute la suite que la pi`ece est ´equilibr´ee ; on note An

l’´ev´enement :^hhau bout du n-i`eme lancer, on a atteint, pour la premi`ere fois, la s´equence PPFⁱⁱ, etBnl’´ev´enement :^hhau bout dun-i`eme lancer, on a atteint la s´equence PPFⁱⁱ.

Donner une relation de r´ecurrence v´erifi´ee parun=P(An).

Montrer queP

unest convergente et donner sa somme.

Planche 23Cachan - Rennes

Que peut-on dire des matrices sym´etriques ?

SoitS∈Sn(R), que dire deIS=< SX, X >pourX∈RⁿetkXk₂= 1 ? SoitEun espace euclidien, et (u, v)∈S(E)²tels quevne soit pas d´efini n´egatif.

On consid`ere les propri´et´es suivantes :

(1)∀x∈E\ {0}, < v(x), x >>0⇒< u(x), x >>0 ; (2)∃µ>0, u−µv∈Sn⁺⁺(R).

L’une implique-t-elle toujours l’autre ? Montrer que si dimE= 1, alors (1)⇒(2).

Montrer queC={(< u(x), x >, < v(x), x >), x∈E,kxk₂= 1}est compact.

On suppose queCest s´epar´e deR−×R+; montrer qu’alors (1)⇒(2).

Deux partiesAetBdeR²sont s´epar´ees lorsqu’il existe une droite ∆ passant par 0 telle que, si on noteC1etC2les deux composantes connexes deR²\∆, alors Aest incluse dans l’adh´erence deC1etBdans celle deC2.

Montrer queCest convexe.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVIII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Planche 24Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee

SoitLune forme lin´eaire surMn(C) ; montrer qu’il existeA∈ Mn(C) telle que pour toutM∈ Mn(C),L(M) = tr(AM).

SiX∈ Mn,p(C), on noteX^∗=^tX.

SoitM∈ Mn(C) telle que∀X∈ Mn,1(C), X^∗M X∈R; montrer queM=M^∗. On supposeM = M^∗; soitL une forme lin´eaire surMn(C) etA∈ Mn(C) associ´ee par la premi`ere question. On dit queLest positive lorsque la propri´et´e

∀X∈ Mn,1(C), X^∗M X>0 impliqueL(M)∈R+. A quelle condition sur` Ala forme lin´eaireLest-elle positive ? Planche 25Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee

f, de classeC²et convexe deRdansR, admet un unique z´ero atteint enα.

Etudier la convergence de la suite de terme g´´ en´eral donn´e parxn+1= f(xn) f⁰(xn); que dire de son ´eventuelle limite ?

On supposef(α)>0 ; montrer quefest croissante.

On choisitf(x) =x³−2x+ 2 ; calculer les premiers termes de (xn) six0= 0.

Montrer qu’il existe un voisinage de 0 et un voisinage de 1 tel que six0est dans l’un d’eux, la suite oscille entre ces deux voisinages.

Montrer qu’il existe une infinit´e de valeurs dex0pour lesquelles la suite diverge.

Planche 26Cachan - Rennes, abordable d`es la 1<sup>re</sup>ann´ee On donne le syst`eme :n_{X0(t) =AX(t) +BU(t)}

X(0) = 0 et on chercheU(t) tel que l’on aitX(T) =XT.

Justifier l’existence et l’unicit´e de la solution d’un tel syst`eme.

On chercheU=^tBY(t) o`u Y v´erifie

n_{Y0(t) =−AY(t)} Y(T) =YT .

RelierYT`aXT; on obtient une expression de la formeXT=GYT, montrer que G est d´efini positif.

F=V ect{A^kBX,06k6n−1, X∈Rⁿ}; conclure dans le cas o`uF=R<sup>n</sup>. Planche 27Cachan - Rennes, abordable d`es la 1^reann´ee

f∈ C²(R,R) s’annule au moins une fois surR; on d´efinit (Xn) parX0∈Ret

∀n∈N, Xn+1=Xn− f(Xn) f⁰(Xn)·

Sifest convexe, admet un unique z´ero et telle quef⁰ne s’annule jamais, ´etudier la suite (Xn)_n∈N.

Sif(x) =x²−a²o`ua∈R, ´etudier (Xn)_n∈NselonX0.

Sif(x) =x²−2x+ 2 etX0= 0, ´etudier (Xn)_n∈N; montrer l’existence de deux intervalles tels que, s’ils contiennentX0, alors (Xn)_n∈Nne converge pas.

Planche 28Informatique Ulm

SoitG= (V, E) un graphe non-orient´e ; on appelle s´equence toute suite non-vide deV.

Soitσune s´equence,uun chemin deG,|σ|=|u|=n; on dit queσrencontre us’il existe 06i < ntel queui=σietσest dite s´equence d’´elimination siσ rencontre tout chemin de taillen.

Trouver une s´equence d’´elimination `a 1− − −2− − −3.

Montrer que siGadmet un cycle, alors il n’admet pas de s´equence d’´elimination.

Trouver une s´equence d’´elimination `a Lk = ([[1, k]],{{i, i+ 1}, i ∈ [[1, k]]}) pourkentier positif (on pourra dis- tinguer les caskpair etkimpair).

Trouver une s´equence d’´elimination `a :

0

k k

2 1

1 2 . . .

Montrer que le graphe ci-contre n’admet pas de s´equence d’´elimination :

D´ecrire un algorithme d´eterminant si un graphe admet une s´equence d’´elimination.

0 2

1 1

2

3 3

2 3 1

Planche 29Informatique Ulm

On dispose d’un alphabet Σ et d’un syst`eme d’´equations de Σ^∗ dans Σ^∗, E= {x17→y1, . . . , xn7→yn}.On ´ecritmRm⁰ si il existeu etvdans Σ^∗ et i∈ [[1, n]] tels quem = uxiv etm⁰ = uyiv etmR^∗m⁰ s’il existe une suite (m1, . . . , m_k) telle que∀i∈[[1, k−1]], miRmi+1etm1=metm_k=m⁰; on dit quem⁰est un descendant dem.

On notex∼=yla plus petite relation d’´equivalence engendr´ee parR; on cherche

`

a ´elaborer un programme qui puisse d´eterminer six∼=y.

A-t-onabac∼=abca?abac∼=abcb? On choisitE={ba7→ab, ac7→b}.

En quoi est-il compliqu´e de r´epondre au probl`eme avec des algorithmes classiques sur les graphes ? Trouver une condition suffisante pour que le probl`eme soit plus simple et pour qu’il puisse ˆetre faisable.

On suppose que Σ est bien ordonn´e et on notem≺m⁰si et seulement si|m|<|m⁰| ou |m| = |m⁰| = net il existei6 ntel qu’en ´ecrivant m= m1. . . mn et m= m⁰₁. . . m⁰_n on aitmi ≺m⁰_i,et pourk < i,mk =m⁰_k;Eest alors bien ordonn´e lorsque pour touti, on ayi≺xi.

Existe-t-il et, si oui, trouver une fonctionf de (Σ^∗,≺) dans (N,6) strictement croissante ? Montrer alors que siEest bien ordonn´e, un mot admet un nombre fini de descendants.

On dit queEest confluent simR^∗m1etmR^∗m2implique qu’il existem3tel quem1R^∗m3etm2R^∗m3; un mot est une forme normale s’il est son unique descendant.

Montrer qu’un mot admet une unique forme normale dans ses descendants.

Trouver un algorithme pour r´esoudre le probl`eme et d´emontrer qu’il fonctionne.

On dit queEest simplement confluent simRm1etmRm2alors il existem3tel quem1R^∗m3etm2R^∗m3.

On choisit Σ = {a, b, c, d} et E = {a7→ b, b 7→b, a 7→ c, b 7→ d};E est-il simplement confluent ? Confluent ?

Montrer que siEest simplement confluent et bien ordonn´e alorsEest confluent.

Planche 30Informatique Lyon - Cachan - Rennes

On note Σ = {a, b, . . .} un alphabet fini ; un automate finiA est un tuple

< Q, q0,∆, F >o`uQest l’ensemble fini des ´etats,q0l’´etat initial, ∆ une partie deQ×Σ×Q(les transitions) etFl’ensemble des ´etats finals.

Un cheminrdans l’automateAest une suite (q0a1q1a2q2. . . anqn).

On notew(r) le mota1. . . an, sa longueur estn. Un mot est dit accept´e parAsi qn∈Fet on noteL(A) l’ensemble des mots accept´es parA.

Un automate est ditd´eterministesi pour tout (p, a)∈Q×Σ, il existe exactement un ´etatqtel que (p, a, q)∈∆.

Un automate est ditinambigusi pour tout motm∈L(A), sim=w(r) =w(r⁰), alorsr=r⁰.

Pour les automates suivants, dire s’ils sont ambigus ou pas.

S’ils sont ambigus, donner un automate fini qui reconnait le mˆeme langage.

SoientAetBdeux automates finis inambigus ; montrer qu’il existe un automate fini inambiguC, dont le nombre d’´etats est quadratique en le nombre d’´etats de AetB, et qui reconnaitL(A)∩L(B).

SoientAetBdeux automates finis d´eterministes ; donner un algorithme qui teste, en temps polynomial, siL(A)⊆L(B).

SoitAun automate fini ; donner un algorithme qui teste, en temps polynomial, siAest ambigu ou non.

SoitAun automate ; donner un algorithme qui, pour (p, q)∈Q²etn∈N, donne le nombre de mots de longueurnlu parAentre les ´etatspetq.

Planche 31Informatique Lyon - Cachan - Rennes

L’ensemble des sommets d’un graphe connexeGest [[1, n]], et repr´esent´e par la matrice d’adjacenceA.

Pour tout (u, v) ∈ [[1, n]]², on note δ(u, v) la longueur du plus court chemin reliant u `a v. Une matrice B = (bi,j)_{(i,j)∈[[1,n]]}2 est dite de m´etrique si

∀(i, j, k)∈[[1, n]]³, bi,k6bi,j+bk,j. On noteA^∗= δ(i, j)

(i,j)∈[[1,n]]²; montrer queA^∗est une matrice de m´etrique.

Soit, pour (S, S⁰)∈P([[1, n]])²,δ⁰(S, S⁰) = min{δ(u, v), u∈Setv∈S⁰}; montrer queδ⁰est d´ecroissante pour l’inclusion selon chacun des deux param`etres.

On consid`ere l’algorithme suivant : S1={{k}/k∈[[1, ,]]n}

δ1= 0

Pouriallant de 2 `an: (S, S⁰) = argmin

(S,S⁰)∈S_i−1² , S6=S⁰δ⁰(S, S⁰) δi=δ⁰(S, S⁰)

Si= (Si−1\{S, S⁰})∪ {S∪S⁰}

Montrer que cet algorithme fonctionne et queSn= [[1, n]].

On consid`ere cet autre algorithme : Sn= [[1, n]]

δn= max{δ(u, v),(u, v)∈[[1, ,]]n²} Pouriallant den−1 `a 1 : (S, S⁰) =argmin

(S,S⁰)∈P([[1,n]])², S∪S⁰∈Si+1

δ⁰(S, S⁰) δi=δ⁰(S, S⁰)

Si= (Si+1\{S∪S⁰})∪ {S, S⁰}

Les valeurs desSisont-elles forc´ement les mˆemes au cours de l’ex´ecution des deux algorithmes ?

Planche 32Informatique Lyon - Cachan - Rennes

Soient un alphabet Σ, une partie A ⊆ Σⁿ×Σⁿ et (x, y) ∈ Σⁿ×Σⁿ. Deux normaliens, Alice et Bob, doivent d´eterminer si la paire (x, y) appartient ou non

`

a A, en sachant qu’Alice ne conna¨ıt quex, et que Bob ne connaˆıt quey (ils ne connaissent pas le mot de l’autre). Pour ce faire, ils ont au pr´ealable pris connaissance de l’ensemble Aet se sont mis d’accord sur un protocoleP, leur permettant de communiquer par l’interm´ediaire de bits suivant le sch´ema suivant : leur communication est une suite de tours ; ils doivent se mettre d’accord

`

a l’avance pour savoir qui ´emet lors du premier tour ; `a chaque tour, on a l’alternative : soit Alice ´emetγ∈ {0,1}et Bob re¸coit, soit Bob ´emetγ∈ {0,1}

et Alice re¸coit.

La communication prend fin quand Alice et Bob peuvent affirmer si la paire est ou non dansA.

On appelle alors historique de (x, y) la suiteH(x, y) `a valeurs dans{Alice, Bob}

dont l’´el´ement d’indicekindique qui a ´emis au tourk, et transcription, la liste T(x, y) `a valeurs dans{0,1}dont le terme d’indicekrepr´esente le bit transmit au tourk. On note enfin la complexit´e d’une partie AD(A) = min

P max

(x,y)∈A|T(x, y)|.

Montrer que∀A⊆Σⁿ×Σⁿ, D(A)6n+ 1

On note|x|ale nombre d’occurrences de la lettreadans le motx.

SoitA={(x, y)/|xy|a>n}; donner une borne inf´erieure pourD(A).

Montrer que siT(x1, y1) =T(x2, y2) alors on a aussiH(x1, y1) =H(x2, y2).

Montrer que siT(x1, y1) est un pr´efixe deT(x2, y2), alorsT(x1, y1) =T(x2, y2).

SoitA={(x, y), x=y}; montrer queD(A) =n+ 1.

On appelle suite trompeuse une partie {(x1, y1), . . . ,(x_k, y_k)} ⊆ A telle que

∀(i < j)∈[[1, k]]²,(xi, yj)∈/A.

Montrer que siAcontient une suite trompeuse, alorsD(A) = Ω(log₂k) (ie au moins de l’ordre de log₂k).

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVIII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

ENS option PC

Planche 33

PourfC¹par morceaux de [−π, π] dansR, on notef_|= 1 2π

Zπ

−π

f(t)dt.

Montrer que f−f_|

∞6 Zπ

−π

|f⁰(t)|dt.

Existe-t-ilα <1 tel que f−f_|

∞6α Zπ

−π

|f⁰(t)|dt? Planche 34

PourR∈R^∗₊, on noteD={z∈C,|z|6R}.

Montrer que le maximum deP∈C[X] surDest atteint sur la fronti`ere deD.

Planche 35Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Rayon de convergence def(z) =

+∞

X

k=1

(−1)^k−1z^k k ·

Soit Ω = {re^iθ,0 6 r 6 1,−π+ε 6 θ 6 π−ε}; montrer que les Sn(z) =

n

X

k=1

(−1)^k−1z^k

k convergent uniform´ement versfsur Ω (on pourra ma- jorerTn(z) =

n

X

k=1

(−1)^k−1z^ksur Ω, remarquer queSn(z) =

n

X

k=1

T_n−1(z)−Tn(z) k et conclure).

On notel(x) =f(xe^iθ) ; calculerf⁰pour 06x <1.

Montrer que (e^l(x))⁰⁰= 0 pour 06x <1 et en d´eduiref(e^iθ) pourθ∈]−π, π[

(on pourra utiliser l’angle moiti´e).

Planche 36Abordable d`es la 1^reann´ee

On donne deux s´eries `a termes strictement positifanetbntels quean+1

an 6bn+1

bn

· On suppose queP

bnconverge ; montrer queP

anconverge.

On suppose que lim

n→+∞nlnan+1

an =l∈R; montrer que : (i) sil >1 alorsP

anconverge ; (ii) sil <1 alorsP

andiverge ; (iii) sil= 1, tout est possible.

On choisitan=a

n

X

k=1

1

k aveca >0 ; ´etudier la convergence deP an.

Ecole polytechnique ´ − ENS option PSI

Planche 37

Une suite de variables al´eatoires (Xn) d’un espace probabilit´e (Ω, τ, P), prend ses valeurs dans{0,1

n , . . . , n−1

n }et v´erifie∀k∈[[0, n−1]],P Xn=k n

=αn(e^k/n−1) avecαn= 1

n−1

X

k=0

(e^k/n−1)

·Trouver un ´equivalent deαnquandntend vers +∞.

Pourn>2, on noteFnla fonction de r´epartition deXn: calculerFn(x) pour tout r´eelx. Montrer que (Fn) converge simplement versf, continue surR, dont on donnera l’expression. Montrer que (Fn) converge uniform´ement versfsurR.

Planche 38

Poura= (a1, . . . , an)∈Rⁿ, on posef(a) = Z +∞

0

e^−x(1 +a1x+. . .+anxⁿ)²dx.

Montrer quefest d´efinie, positive, de classeC¹et tend vers +∞quandkaktend vers +∞.

Montrer quefadmet un minimum au point not´ea^∗= (a^∗₁, . . . , a^∗_n) Montrer que∀k∈[[1, n]], k! +

n

X

j=1

(k+j)!a^∗_j= 0.

SoitP(X) = 1 +

n

X

k=1

a^∗_k

k

Y

j=1

(X+j) ; montrer queP(X) =a^∗_n Y

j=1ⁿ

(X−j).

CalculerP(−1) et en d´eduire quea^∗_n= (−1)ⁿ (n+ 1)!· Montrer que f(a^∗) = 1 +

Z _+∞

0

e^−x(1 +

n

X

k=1

a^∗_kx^k)dx et en d´eduire que f(a^∗) = 1

n+ 1· Planche 39

On noteEl’ensemble des fonctionsf continues deRdansRtelles que Z

R f²

existe. Montrer que [f, g] = Z+∞

−∞

f(t)g(t)dtmunitEd’un produit scalaire.

Soient (ϕn)_n∈N∗∈E^(N∗)et,∀n∈N^∗,Qn= ([ϕi, ϕj])(i,j)∈[[1,n]]²∈ Mn(R).

On suppose qu’il exister∈N^∗tel queQrsoit inversible.

Montrer que la plus petite valeur propre deQrest strictement positive.

Montrer queϕr+1∈V ect(ϕ1, . . . , ϕr) si et seulement siQr+1est non inversible.

On suppose que pour tout (i, j, k)∈(N^∗)²×N, [ϕ_i+k, ϕ_j+k] = [ϕi, ϕj] etQr+1

non inversible. Montrer que pour toutn∈N^∗,ϕn∈V ect(ϕ1, . . . , ϕr).

Planche 40Abordable d`es la 1^reann´ee

Montrer que, pour toutn∈N, qu’il existe un unique polynˆomePntel que pour toutt∈]0,π

2[,Pn(tan²(t)) =cos((2n+ 1)t) cos²ⁿ⁺¹(t) ·

Trouver,∀n∈N, les racines dePnet montrer que leur somme vautn(2n−1)

3 ·

Montrer que pour toutt∈]0,π

2[, tan²(t)6 π 2−t−2

61 + tan²(t) et en d´eduire la valeur deζ(2) =

+∞

X

n=1

1 n²·

Planche 41

SoientXetX⁰deux variables al´eatoires dans un espace probabilis´e (Ω,A, P).

Montrer que∀B∈ A,|P(X∈B

− P(X⁰∈B)

|62P(X6=X⁰).

Soient n∈ N^∗, (p1, . . . , pn) ∈ [0,1]ⁿ, (Yi, Y_i⁰)i∈[[1,n]] des couples de variables al´eatoires enti`eres mutuellement ind´ependants tels que :

∀m∈[[1, n]], P (Ym, Y_m⁰) = (i, i⁰)

=















1−pm sii= 0 eti⁰= 0 0 sii= 0 eti⁰∈N^∗ e^−pm−(1−pm) sii= 1 eti⁰= 0

e^−pmpⁱ_m⁰

i⁰! sii= 1 eti⁰∈N^∗ a sii∈N^∗ D´eterminera, la loi deYmpour toutm∈[[1, n]] et celle deY_m⁰. YmetY_m⁰ sont-elles ind´ependantes ?

Montrer queP Xⁿ

m=1

Ym6=

n

X

m=1

Ym⁰

6

n

X

m=1

p²m.

Soient Z et Z⁰ deux variables al´eatoires enti`eres dans un espace probabilis´e (Ω,A, P) telles queZ ,→ P(np) etZ⁰,→ B(n, p). On poseλ=np.

Montrer que∀B∈ A,|P(Z∈B)−P(Z⁰∈B)|62λp.

Planche 42

I)Soitgcontinue deRdansRtelle que Z +∞

0

|g(t)|dtconverge. Montrer que si yest une solution born´ee de (E) :y⁰⁰+gy= 0, alors lim

x→+∞y⁰(x) = 0.

Montrer que siy1ety2sont des solutions born´ees de (E),y1y⁰₂−y2y⁰₁= 0.

Montrer que (E) n’admet pas de solutions born´ees.

II)On dit qu’une suite (Xn)_n∈Nde variables al´eatoires `a valeurs dansNconverge en loi versX`a valeurs dansN, si∀k∈N, lim

n→+∞P(Xn=k) =P(X=k).

On suppose que lesXnsont `a valeurs dans [[0, m]].

Montrer que la suite (Xn)_n∈N converge en loi si, et seulement si, la suite de fonctions g´en´eratrices associ´ee, not´ee (GXn)_n∈N, converge simplement sur [0,1]

versGX(on rappelle qu’un polynˆome de degr´emn’est d´efini que parm+1 points et on demande de ne pas utiliser les polynˆomes d’interpolation de Lagrange).

Une infinit´e de boˆıtes num´erot´eesB0, B1, . . . contiennent chacune des boules blanches et des boules noires.

On notepnla proportion de boules blanches dansBn. On r´ealisem>1 tirages avec remise et on noteXnla variable al´eatoire associ´ee au nombre de boules blanches tir´ees.

Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que (Xn)_n∈Nconverge en loi.

Planche 43

Soitu∈C¹(Rⁿ,R) telle que lim

||x||→+∞

|u(x)|

||x|| = +∞.

On noteBr={x∈Rⁿ,||x||< r}pourr >0.

Casn= 1 :∇uest-il surjectif ?

Pour la suite, on prendn= 2 et on suppose que∇un’est pas surjectif.

Montrer qu’il existe v ∈ R² tel que la fonction f, de R² dans R, d´efinie par f(x) = u(x)−(x|v), soit de classe C¹, que ∇f ne s’annule pas et que

||x||→+∞lim

|f(x)|

||x|| = +∞.

Soit (a, b)∈(R²\Br)²; montrer qu’il existeγde [0,1] dansR²\Br telle que γ(0) =a,γ(1) =bet en d´eduire quef(R²\Br) est un intervalle.

Planche 44

On dit queu∈E,R-espace vectoriel, est un point extr´emal deC, convexe deE, si et seulement siC\ {u}est encore convexe.

Quels sont les points extr´emaux de la boule unit´e deR²pour la norme|| ||2? Quels sont les points extr´emaux de la boule unit´e deR²pour la norme|| ||1? Montrer qu’un point deCest extr´emal si et seulement s’il n’est pas le milieu de deux points deC.

On supposeEde dimension finie, on noteBla boule unit´e deE; pouru∈ L(E), on note|||u|||= sup

x∈B

||u(x)||etC={u∈ L(E),|||u|||61}.

Montrer que les points extr´emaux deCsont les automorphismes orthogonaux de E(on pourra utiliser∀A∈ Mn(R),∃O∈On(R),∃S∈S⁺⁺n (R), A=OSsans le d´emontrer).

Planche 45

Pour A ∈ Mn(R) sym´etrique,B ∈ Mn,1(R) une matrice colonne on pose f(X) =^tXAX−^tBX.

Montrer quef est minor´ee si et seulement siAetBv´erifientSp(A)⊂R+ et B∈Im(A).

Si (A1, A2) ∈ Sn(R)², (B1, B2) ∈ Mn,1(R)²,f1(X) = ^tXA1X−^tB1X et f2(X) =^tXA2X−^tB2X, calculer le gradient def1etf2.

Montrer quef1=f2si on supposef1etf2minor´ees, et||∇f1||=||∇f2||.

SoitB1∈Im(A1) etB2∈Im(A2), montrer que Im(A1+A2) = Im(A1) + Im(A2) et en d´eduire que Ker(A1+A2) = Ker(A1)∩Ker(A2).

Planche 46Abordable d`es la 1<sup>re</sup>ann´ee On consid`ere les probl`emes suivants :

•(1) −u⁰⁰(x) +c(x)u(x) =f(x) pourx∈]0,1[avecu(0) =u(1) = 0.

•(2) −u⁰⁰_λ(x) +c(x)uλ(x) =f(x) pourx∈]0,1[avecuλ(0) =u⁰_λ(0) =λ.

Montrer qu’il existe une unique solution de (2) et une unique solution de (1) qui appartiennent `aC²([0,1],R) (on pourra montrer queφ(λ) =uλ(1) est affine).

Montrer quef>0⇒u>0.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVIII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Ecole polytechnique option MP ´

Planche 47Abordable d`es la 1^reann´ee

I)On noteD(G) le sous-groupe d’un groupeG, engendr´e par les ´el´ements de la formeaba⁻¹b⁻¹o`u (a, b)∈G<sup>2</sup>. On dit queGest r´esoluble lorsqu’il existen∈N tel queD<sup>n</sup>(G) ={e}(n-i`eme it´er´e deD).

On suppose qu’il existe deux groupesHetNet deux morphismes de groupes,i injectif deNdansGetssurjectif deGdansH, tels que Kers= Imi.

Montrer queGest r´esoluble si et seulement siHetNsont r´esolubles.

En d´eduire queS5n’est pas r´esoluble (on pourra montrer que pour toutn∈N, Dⁿ(S5) contient les 3-cycles).

II)Montrer que sifest d´erivable de [0,1] dansR, alorsf⁰v´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires.

Planche 48Abordable d`es la 1^reann´ee

I)Soientα∈R\QetQ∈ N^∗; trouver (p, q)∈ Z×N^∗ tel que 16 q < Q et 0 <

^α−

p q 6 1

qQ, puis trouver (rn)_n∈N ∈ Q^N injective telle que

∀n∈N, rn=pn

qn et 0<

^α−

pn

qn

⁶

1 q_n²·

II)Trouver toutes les fonctionsfd´erivables deRdansR, telles que∀(x, h)∈R², f(x+h)−f(x) =f⁰(x)h.

Planche 49

Soitt∈R^∗₊; pours>t, on posef(s) = 1−t s s

, montrer quefest croissante.

Pourz∈R^∗+, montrer que la suite de terme g´en´eralIn= Z n

0

1−t n

n

t^z−1dtest croissante et tend vers

Z+∞ 0

e^−tt^z−1dt= Γ(z) en +∞.

Montrer que Γ(z) = lim

n→+∞

n!n^z z(z+ 1). . .(z+n)· Montrer que Γ(2z) =

2^2z−1Γ(z)Γz+ 1 2

√π ·

Planche 50

Trouver un ´equivalent de Z

R 1 chx

n

dx.

Planche 51

Poury >0, on posex= e^−yetSn=

n

X

k=0

(−1)^ky^k k! · Montrer que∀n∈N,S2n+1< x < S2n.

Mˆeme question pourn∈Netx= e^y2/2 Z∞

y

e^−t2/2dtetSn=

n

X

k=0

(−1)^k(2k)!

2^kk!y^k · Planche 52Abordable d`es la 1^reann´ee

On donnef0deRdansR, paire, etgdeR²dansR, toutes deuxC¹; on veut r´esoudrey∂f

∂x+x∂f

∂y=g(x, y) avecf(x,0) =f0(x).

En supposant qu’on ait une solutionC¹, en donner une expression (on utilisera le changement de variable polaire, puis on ´etudieraϕ(t) =f(rcost, rsint) `arfix´e ; on en d´eduira une expression defcomme int´egrale d´ependant degetf0).

Y a-t-il une telle solution si g(x, y) = xy? On donnnera une condition de p´eriodicit´e de ϕ, on en d´eduira une condition sur g; est-elle respect´ee ? On

´etudiera alors l’expression defet sa continuit´e notamment.

Planche 53Abordable d`es la 1^reann´ee

Une suite (Xn) de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees suivent la loiP(X1= 1) =p;P(X1= 0) = 1−p; on noteNk=

n

X

k=1

1X_k=1. Donner la loi deTnd´efinie parT0= 0 etTn= inf{k∈N^∗, Nk=n}.

Pour (k1, . . . , kn)∈Nⁿ, calculerP(T1=k1∩. . .∩Tn=kn).

CalculerP(T1=k1∩. . .∩Tn=kn∩Nm=n) pour 16n6m.

Que repr´esententUn=n−TNnetVn=T1+Nn−n? Montrer qu’elles sont ind´ependantes et trouver leurs lois.

Planche 54I abordable d`es la 1^reann´ee

I)Limite et ´equivalent de la suite donn´ee paru0=a∈Retun+1= thun. II)On donne une partieω= (ω1, . . . , ωn) deRⁿ; on suppose que lesωisont li´es dansQ; montrer que le groupeGω=Rω+ 2πZⁿn’est pas dense dansRⁿ. III)SoitA=

_{a b} b c

une matrice sym´etrique r´eelle, de valeurs propresλetµ avecλ6µ; montrer queλ6a6µ.

Planche 55

Sic1, . . . , cpsont des r´eels non tous nuls eta1, . . . , apdes r´eels deux `a deux distincts, montrer quef(x) =

p

X

i=1

cie^aixadmet au plusp−1 z´eros.

Montrer que le d´eterminant deM= (e^aibj) o`ua1< . . . < ab,b1< . . . < bpsont des r´eels, est strictement positif.

Planche 56Abordable d`es la 1^reann´ee

Trouver tous les ploynˆomes trigonom´etriques r´eelsfetgtels quef²+g²= 1.

Planche 57Abordable d`es la 1^reann´ee

On donnenentiers relatifsa1, . . . , an; montrer queP(X) =

n

Y

k=1

(X−ak)−1 est

irr´eductible dansZ[X]. Qu’en est-il deP(X) =

n

Y

k=1

(X−ak) + 1 ?

Planche 58

I)SoitK un corps commutatif ; montrer queG, sous-groupe fini de K^∗, est cyclique.

II)Soit (an) r´eelle, positive, d´ecroissante et telle que lim

n→+∞nan= 0. Montrer que (Sn) d´efinie parSn(x) =

n

X

k=0

a_ksin(kx) converge uniform´ement surR.

Planche 59Abordable d`es la 1^reann´ee

Montrer que sif1, . . . , fnsont des formes lin´eaires surE, espace vectoriel de di- mension finie,fest combinaison lin´eaire desfisi et seulement si

n

\

i=1

Kerfi⊂Kerf. On noteLn= (X²−1)ⁿ(n)

; montrer que∀P∈Rn−1[X], Z 1

−1

P(t)Ln(t) = 0.

Montrer queLnest scind´e, `a racines simples dans [−1,1], not´eesx1, . . . , xn. Montrer que∃(α1, . . . , αn)∈Rⁿ,∀P∈R2n−1[X],

Z 1

−1

P(t)dt=

n

X

k=1

αkP(xk).

Montrer le r´esultat obtenu en d´ebut d’oral siEn’est plus de dimension finie.

Planche 60Abordable d`es la 1^reann´ee

Calculer

1 +x1y1 x1y2 . . . x1yn

x2y1 1 +x2y2 . .. ... ... . .. . .. xn−1yn

xny1 . . . xny_n−1 xnyn

et

α1 a . . . a b . .. ... ...

... . .. ... a b . . . b αn

.

Planche 61Abordable d`es la 1^reann´ee

Soitf, continue de [0,1] dansR, telle que∃n∈N^∗,∀k < n, Z1

0

f(t)t^kdt= 0.

Montrer quefs’annule au moinsnfois.

Soit f continue et 2π-p´eriodique de R dansR; montrer que, si elle v´erifie

∃n∈N^∗,∀k < n, Z 2π

0

f(t) cos(kt)dt= Z2π

0

f(t) sin(kt)dt, elle s’annule au moins 2nfois sur[0,2π[.

Planche 62Abordable d`es la 1^reann´ee

Montrer que sifest convexe et d´erivable deRdansR: 061

2f(0) +f(1) +. . .+f(n−1) +1 2f(n)−

Zn 0

f(t)dt61

8 f⁰(n)−f⁰(0) . Montrer que sifest continue sur [0,1] :

∀ε >0,∃Cε>0,∀(x, y)∈[0,1]²,|f(x)−f(y)|6ε+Cε(x−y)². Planche 63Abordable d`es la 1^reann´ee

Soient (x, y, z)∈N³, premiers dans leur ensemble, tels quex²+y²=z². Montrer quexy

2 n’est pas un carr´e (on montrera qu’il existenetmentiers naturels premiers entre eux tels quex= 2nm, y=n²−m², z=n²+m²).

Planche 64

I)On munitE=C⁰([0,1],R) de la norme de la convergence uniforme.

Soient (u, v)∈E²,r >0,r⁰>0 ; on noteU(resp.V) la boule centr´ee enu(resp.

v) et de rayonr(resp.r⁰). Montrer qu’il existef∈Ude classeC^∞sur [0,1] telle que pour un certainn>0,f⁽ⁿ⁾∈V.

Existe-t-il E, espace vectoriel complexe de dimension infinie, f ∈ L(E) et x0 ∈ E tels que {fⁿ(x0), n > 0} soit dense dans E (on pourra consid´erer ϕ∈E^∗, φ(f) =ϕ◦f) ?

Planche 65

On dit qu’une matrice sym´etrique positiveρest un ´etat si tr(ρ) = 1.

SoitA∈ Mn(R), etV ∈Rⁿde norme 1 ; on note ΠV la projection orthogonale surV ect(V), montrer que tr(ΠVA) = (V|AV).

Soitρun ´etat, montrer qu’il existe (λi)_16i6n∈(R+)ⁿet (Vi)_16i6nune base orthonorm´ee deRⁿtels queρ=

n

X

i=1

λiΠV_i.

On dit queρest un ´etat pur si et seulement siρest un ´etat et tous lesλisont nuls, sauf un ; montrer qu’un ´etatρest pur si, et seulement s’il existeP, un projecteur orthogonal de rang 1 deRⁿ, tel que tr(ρP) = 1.

Montrer qu’un ´etatρest pur si et seulement si tr(ρ²) = 1.

Sin= 2, montrer que les ´etats purs sont exactement les1 2

_{1 + cosϕ sinϕ} sinϕ 1−cosϕ

avecϕ∈R.

Planche 66Abordable d`es la 1^reann´ee ExprimerIn=

Zπ/2 0

cos²ⁿtdt.

Montrer que∀n∈N, an= X

p>n

1 p² = 2

In

Zπ/2 0

x²cos²ⁿxdx=bn(on pourra

´

etudieran+1−anetbn+1−bn).

Planche 67Abordable d`es la 1^reann´ee

Calculer le d´eterminant de la matrice de coefficientsmij= 1 bj−ai

o`u lesaietbj

sont des complexes tous distincts, puis calculerM⁻¹ on pourra utiliser les bases deCn−1[X]B1, constitu´ee des polynˆomesP1(X) =

n

Y

i=2

(X−ai),∀k∈[[2, n−1]],

Pk(X) =

k−1

Y

i=1

(X−bi)

n

Y

i=k+1

(X−ai) etPn=

n−1

Y

i=1

(X−bi),B2constitu´ee des

polynˆomesQk= A(X)

(X−ak)A⁰(ak) o`uA(X) =

n

Y

i=1

(X−ai) etB3, constitu´ee des polynˆomesRk= B(X)

(X−bk)B⁰(bk)o`uB(X) =

n

Y

i=1

(X−bi) .

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVIII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Ecole polytechnique ´ − ESPCI option PC

Planche 68

SoitFl’ensemble des fonctionsfdeC²(R,R) telles que f(0)=f(1)=0 D´eterminer les r´eelsλtels qu’il existef∈Fv´erifiantf⁰⁰+λf= 0.

On suppose qu’il existef∈F, non nulle, telle que Z1

0

f(t)²dt=C Z 1

0

f⁰(t)²dt et que pour toute fonctionφdeF,

Z 1 0

φ(t)²dt6C Z 1

0

φ⁰(t)²dt.

Montrer quefv´erifie une ´equation diff´erentielle que l’on explicitera (on pourra consid´ererg∈Fet une suite de fonctionsgn=f+1

n gqui tend versf).

Planche 69Abordable d`es la 1^reann´ee

I)SiAetBsont deux matrices complexes de taillen, v´erifiantAB= 0, montrer que rgA+ rgB6n.

II)Trouver toutes les fonctions continues deRdansRv´erifiant :

∀(x, y)∈R², f(x+y) =f(x) +f(y)−f(x)f(y).

III)Trouver un ´equivalent simple de

n

X

k=1

lnk.

Planche 70Abordable d`es la 1^reann´ee

I)Montrer que cos admet un unique point fixe surR.

Montrer qu’il n’existe pas de fonctionf, d´erivable deR dansR et telle que f◦f= cos.

II)Soit (xi)i∈[[1,n]]vecteurs deE, espace vectoriel de dimensionn; montrer que l’espace engendr´e par lesxi−xjest de dimension au plus ´egale `an−1.

Planche 71I abordable d`es la 1^reann´ee I)R´esoudre, dansC³,

(a+b+c= 1 abc= 1

|a|=|b|=|c|= 1

II)Sifest continue etT-p´eriodique, montrer qu’il existe un uniqueλ∈Rtel que

Z_∞

1

λ−f(t)

t dtconverge.

III)SoitA∈Sn(R) dont les coefficients diagonaux sont exactement ses valeurs propres aux mˆemes ordres de multiplicit´e ; montrer queAest diagonale.

IV) Soient X, Y deux variables al´eatoire ind´ependantes, r´eelles, strictement positives et de mˆeme loi ; montrer queE X

Y >1.

Planche 72Abordable d`es la 1^reann´ee

I)Montrer que, sip1etp2sont deux projecteurs deEde dimension finie,p1+p2

est un projecteur si et seulement sip1◦p2=p2◦p1= 0.

Montrer que sip1+p2est une sym´etrie, alorsp1+p2=Id.

II)On donne un r´eel strictement positifc; trouver toutes les fonctions continues deR+dansRtelles que∀x>0, c

Zx 0

f²(t)dt6 Z x

0

f(t)dt² . III)Montrer que∀(x1, . . . , xn)∈Rⁿ,Xⁿ

k=1

xk

² 6n

n

X

k=1

x²_k.

Planche 73Abordable d`es la 1^reann´ee

Montrer que la suite de terme g´en´eralxndonn´e parx0∈]0,1[etxn+1= r1 +xn

2 , converge et donner sa limite not´eel.

Donner un ´equivalent dexn−lau voisinage de +∞.

Planche 74Abordable d`es la 1^reann´ee On suppose que le d´eterminant deA=_{a b}

c d

,(a, b, c, d)∈Z⁴est impair.

Montrer queAε=_aε

1 bε2

cε3 dε4

,(ε1, ε2, ε3, ε4)∈ {−1,1}⁴est inversible.

Peut-on g´en´eraliser `a une matrice de taillen?

Planche 75

SiAetBsont sym´etriques, r´eelles, on dit queA > Bsi et seulement si toutes les valeurs propres deA−Bsont strictement positives.

Montrer queA >0⇔ ∀X∈Rⁿ,(AX|X)>0.

Montrer que>est une relation transitive.

SiA > B >0, montrer queB⁻¹> A⁻¹. Planche 76

On suppose queA= _{B C}

tC x

, B∈Sn(R), C∈Rⁿ, x∈Rposs`ede une valeur propre d’ordre de multiplicit´e au moins ´egal `a 2 ; montrer queCest orthogonal `a un vecteur propre deB.

Planche 77

Montrer que si (un) est d´ecroissante positive,P

unconverge si et seulement si un=o 1

n etP

n(un−un+1) converge.

Planche 78

Convergence et d´erivabilit´e def(x) = Z_+∞

0

cos t³ 3 +xt

dt.

Planche 79ESPCI, abordable d`es la 1^re

I)Montrer quen= 1010. . .0101, comportant 2016 z´eros, n’est pas premier.

II)Soitfde classeC¹deRdansR, telle que∃c∈R,∀t∈R,|f⁰(t)|6c|f(t)|; montrer que sif(0) = 0, alorsfest nulle.

Concours Commun Mines − Ponts option MP

Planche 80I abordable d`es la 1^reann´ee

I)Soientf une fonction deux fois d´erivable sur un intervalleI,a,betctrois points distincts deI; montrer qu’il existed∈Itel que :

f(a)

(a−b)(a−c)+ f(b)

(b−c)(b−a)+ f(c) (c−a)(c−b)=1

2f⁰⁰(d).

Soitf ∈ Cⁿ([a, b]), telle quef(a) =f⁰(a) =. . .=f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) = 0 etf(b) = 0 ; montrer qu’il existec∈]a, b[ tel quef⁽ⁿ⁾(c) = 0.

II)Montrer queA∈ Mn(R) telle queA³=A^tAest diagonalisable surC.

III)Cours : ´enoncer le lemme des noyaux.

Quel est le polynˆome caract´eristique de la matrice `a blocs_{A B}

0 C

? Planche 81II et III abordables d`es la 1^reann´ee

I)Domaine de d´efinition def(x) = Z+∞

0

ln(x²+t²) 1 +t² dt.

Montrer quefest d´erivable surR^∗+et donner une expression simple def⁰. D´eterminerf.

II)Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `an; on tire toutes les boules sans remise. D´eterminer la probabilit´e d’obtenir la boule n<sup>◦</sup>1 auk-i`eme tirage.

mde ces boules sont rouges etn−msont blanches ; calculer la probabilit´e de tirer une boule rouge auk-i`eme tirage.

III)Montrer qu’il existe une suite (a1, a2, . . . , an) de r´eels tels que :

∀P∈Rn−1[X], P(X+n) +

n−1

X

k=0

akP(X+k) = 0.

Planche 82

I)On noteφ l’application qui, `a la matrice carr´eeM = (C1, . . . , Cn) associe M⁰= (C⁰₁, . . . , C⁰_n) avecC_i⁰=X

k6=i

Ck.

Montrer que φ est diagonalisable, trouver son polynˆome minimal et et son polynˆome caract´eristique.

II)A` f∈E={f∈ C⁰(R,R),∀x∈R, f(x+ 2π) =f(x)}on associeG(f) d´efini parG(f)(x) =

Z +∞

0

e^−tf(x+t)dt; montrer que c’est un endomorphisme et trouver ses valeurs propres.

Planche 83I abordable d`es la 1^reann´ee I) Pour fn(x) = x

1 +nx², on d´efinit la suite (xn)_n>1 par x1 > 0 et xn+1=fn(xn).

Montrer que (xn)_n>1est monotone et converge vers 0.

Montrer que, pourn>2, 06xn6 1 n· Montrer que (nxn)_n>1converge.

Donner un ´equivalent en +∞dexn.

II)Soient (Xi)16i6n,nvariables al´eatoires discr`etes mutuellement ind´ependantes.

Pouri∈[[1, n]], on noteYi=

i

X

k=1

Xk. ExpliciterM= (Cov(Yi, Yj))(i,j)∈[[1,n]]² et

l’exprimer en fonction deA=



 1 . . . 1

. .. ...

0 1



. Proposer un encadrement des valeurs propres deM.

Planche 84I abordable d`es la 1^reann´ee

I) Soit A ∈ Mn(R) tel que A^tAA = A; que dire des endormorphismes canoniquement associ´es `a<sup>t</sup>AAet `aA^tA?

Soit (a1, . . . , an) et (b1, . . . , bn) deux vecteurs non nuls, on poseM= (aibj)_16i,j6n. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante pour queM^tM M=M. II)Montrer que sif solution non nulle de (E) :y⁰⁰−e^xy= 0 surR+, alorsf s’annule au plus une fois.

Soitϕsolution de (E) telle queϕ(0) = 1 =ϕ⁰(0).

Montrer que∀x∈R+, ϕ(x)>x+ 1.

On poseψ(x) =ϕ(x) Z+∞

x

dt

ϕ(t)²; montrer queψest d´efinie surR+, qu’elle y est de classeC², solution de (E) et born´ee.

Planche 85II abordable d`es la 1^reann´ee

I) Deux variables al´eatoires discr`etes ind´ependantes X et Y suivent une loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[.

D´eterminer les lois deU= max(X, Y),V = min(X, Y).

CalculerE(U) etE(V).

II)Montrer que sif, d´erivable d’un ouvertUdeRdansR, admet un extremum local enx0, alorsf⁰(x0) = 0.

Donner un th´eor`eme ´equivalent lorsqueUest un ouvert deR²et le d´emontrer.

Trouver les extrema def(x, y) =|sin(x+iy)|²sur Ω ={(x, y), x²+y²61}.

Planche 86II abordable d`es la 1^reann´ee I)On donne 0< α <π

2 et∀n∈N^∗, un= Zπ

0

sin(nt) 1−sin(α) costdt.

Trouver (an)n∈N^∗telle que 1 1−sin(α) cost=

+∞

X

n=0

ancos(nt) et calculerun.

II)Pourn∈N^∗etP∈Rn−1[X], montrer que le minimum de

n

X

i=0

(iⁿ−P(i))² existe et le calculer.

Planche 87I abordable d`es la 1^reann´ee I)´EtudierF(x) =

Zx 0

e^t x+tdt.

II)Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que la matrice carr´ee r´eelleM, de taille 2n, antidiagonale et d’´el´ements antidiagonauxa1, a2, . . . , a2n

soit diagonalisable.

L’officiel de la taupe num´ero Page c MMXVIII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope