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Les calculatrices sont autorisées.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Nombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de ζ ( 2 k ) et ∑
= n
k
k
p 1.
Notations
On pose pour tout réel x>1,
∑
+∞=
= ζ
1
) 1 (
n
nx
x .
!
[ ]
X est la !-algèbre des polynômes à coefficients réels.!n
[ ]
X est le !-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.Objectifs
Le but du problème est de calculer les valeurs de ζ(2k) où k est un entier non nul (paragraphe II) ainsi que les sommes
∑
= n
k
kp 1
où p et n sont des entiers naturels non nuls (paragraphe III).
Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I.
Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III.
Les paragraphes II et III sont indépendants.
SESSION 2003
CONCOURS NATIONAL DEUG _______________
Epreuve spécifique concours Physique
MATHEMATIQUES
PARTIE II
Durée : 2 heures2
I –
Polynômes et nombres de BernoulliOn dit qu’une suite (Bn) de !
[ ]
X est une suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les propriétés suivantes notées ( )P1 :{
B0=1, ∀n∈" : B'n+1=Bnet
∀n≥2 : Bn(1)=Bn(0)
}
( )P11.
Soit (Bn)une suite de polynômes de Bernoulli.a.
Montrer que nécessairement2 ) 1
1(X = X −
B et
12 1 2 ) 2
(
2
2 = X − X +
X
B .
b.
Déterminer B3et B4.2.
Le but de cette question est de montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes qui vérifie les propriétés ( )P1 .a.
Si P est un polynôme de ![ ]
X , montrer qu’il existe un et un seul polynôme Q de ![ ]
X tel que :Q'=P et
∫
01Q(t)dt=0.On note alors L l’application de !
[ ]
X vers ![ ]
X qui à P associe Q.b.
Montrer qu’une suite de polynômes (Bn) vérifie ( )P1 si et seulement si elle vérifie la propriété suivante notée (P2) :{B0 =1 et ∀n∈", Bn+1=L( )}Bn (P2)
c.
En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes vérifiant les propriétés ( )P1 . On notera cette suite (Bn) et on l’appellera la suite de polynômes de Bernoulli.3.
Déduire de la question2
., que pour tout entier naturel n, B Xn( )= −( 1)nBn(1−X).4.
On pose, pour tout n, )bn =Bn(0 ; bnest le (n+1)-ième nombre de Bernoulli.a.
Calculer b0,b1,b2,b3,b4.b.
Montrer que pour tout entier impair n≥3, 0bn = .II –
Application au calcul de ζ(2k)Soit k un entier naturel non nul. On définit l’application gk de ! vers ! par : 2 )
( )
( 2
= xπ B x
gk k pour x∈
[
0, 2π[
et gk est périodique de période 2π.5.
Si on pose α0(k)=∫
01B2k(t)dtet pour n≥1, αn(k)=2
∫
01B2k(t)cos(2πnt)dt et βn(k)=2∫
01B2k(t)sin(2πnt)dt3
montrer que pour tout réel x on a :
∑
+∞( )
=
β + α
+ α
=
1
0( ) ( )cos( ) ( )sin( )
) (
n
n n
k x k k nx k n x
g .
6.
Calculer )α0(k .7. a.
Montrer que pour tout n≥1,(
2 2)
2) 1
( n
n = π
α .
b.
Montrer que pour tout n≥1 et tout k ≥2,(
2)
( 1)) 1
( 2 α −
π
= −
α k
n
k n
n .
c.
En déduire pour tout n≥1 et tout k ≥2, la valeur de αn(k).8.
Montrer sans calcul que pour tout n≥1 et tout k ≥1, 0βn(k)= .9. a.
Déterminer, pour k ≥1, une relation entre ζ(2k)et b2k.b.
Calculer∑
+∞=1 2
1
n n et
∑
+∞=1 4
1
n n .
III –
Application au calcul de∑
= n
k
kp 1
10.
Soit p un entier naturel, on définit l’application ∆ de ! p+1[ ]
X vers ! p+1[ ]
X par : )( ) 1 ( )
(P =P X + −P X
∆ .
a.
Montrer que ∆ est un endomorphisme de ! p+1[ ]
X .b.
Déterminer Ker∆.c.
Montrer que Im∆=! p[ ]
X .11.
En déduire que pour tout entier naturel p, il existe un et un seul polynôme Q de ! p+1[ ]
X tel que : ∆(Q)! p Xp
= et
∫
01Q(t)dt=0.12.
Montrer que ce polynôme Q est en fait Bp+1.13.
En déduire que pour tout entier p≥1 et tout entier n≥1,(
1 1)
1
) 1 (
! + +
=
− +
∑
n = p pk
p p B n b
k .
14.
Calculer∑
= n
k
k
1
2 et
∑
= n
k
k
1 3 .
Fin de l’énoncé.
