Les nilradicaux différentiels d'anneaux associés aux groupes triangulaires de Riemann-Schwarz

Les nilradicaux diffeÂrentiels d'anneaux

associeÂs aux groupes triangulaires de Riemann-Schwarz.

FEDERICOPELLARIN(*)

ABSTRACT- In this article we study the differential nilradicals of differential rings associated to non-holomorphic quasi-modular forms for certain co-compact Riemann-Schwarz triangular subgroups ofSL2(C). As a corollary of our inves- tigations, we obtain an extension of a multiplicity estimate for differential rings connected with quasi-modular forms forSL2(Z), due to Nesterenko.

1. Introduction.

SoientE₂(z);E₄(z);E₆(z) les deÂveloppements de Fourier complexes des seÂries d'Eisenstein classiques de poids 2;4;6, convergents pourjzj<1.

Nesterenko a demontre que pour tout nombre complexe v tel que 0<jvj<1, le corpsQ(v;E2(v);E4(v);E6(v)) a un degre de transcendance au moins 3 (voir [9], [10] et[11]). L'ingredientcleÂf de sa preuve estle

«lemme de multiplicite» ci-dessous (cf. theÂoreÁme 2.3 p. 33 de [10]).

THEÂOREÁM1 (Nesterenko). Il existe une constante c₁>0avec la pro- prieÂte suivante. Soit P un polynoÃme non nul deC[X1;X2;X3;X4];de degre total au plus N. Alors, la fonction F(z)ˆP(z;E2(z);E4(z);E6(z))s'annule en zˆ0avec une multiplicite au plus c1N⁴.

SoitAun anneau muni d'une deÂrivationd:A ! A; nous dirons que le couple (A;d) estunanneau diffeÂrentiel. La deÂmonstration du theÂoreÁme 1 utilise en profondeur le fait que l'anneau

Y₁ˆC[z;E2(z);E4(z);E6(z)];

(*) Indirizzo dell'A.: L.M.N.O. Universite de Caen, Campus II - Boulevard MareÂchal Juin, BP5186, F14032 Caen Cedex - France.

muni de la deÂrivationz(d=dz), estun anneau diffeÂrentiel (cf. theÂoreÁme 5.3 de [8]).

Rappelons ici qu'un ideÂal P d'un anneau diffeÂrentiel (A;d) estditd- stablesi pour toutx2 Pon adx2 P. Nesterenko deÂmontre le reÂsultat qui suit(cf. proposition 5.1 p. 161 de [10]), indispensable dans la preuve du theÂoreÁme 1.

PROPOSITION1. SoitP un ideÂal premier non nul et z(d=dz)-stable de Y₁, tel que pour tout F2 P on ait F(0)ˆ0. Alors zD2 P, ouÁ Dˆ1728 ¹(E³₄ E²₆).

(la fonctionD(e^2pit) estla forme modulaire de poids 12 dite de Jacobi;

on veÂrifie que z(d=dz)DˆE2D: utiliser les formules du theÂoreÁme 5.3 de [8]).

Ce reÂsultat est au coeur de la deÂmonstration du theÂoreÁme 1 et constitue aussi la principale motivation de cet article. En effet, cette proposition est une premieÁre eÂtude de la structure du «spectre diffeÂrentiel» (ensemble des ideÂaux premiers z(d=dz)-stables) deY1 qui semble avoir un intereÃtindeÂ- pendant.

Nesterenko ne deÂtermine pas compleÁtement le spectre diffeÂrentiel de Y₁. D'une part, ceci n'est pas neÂcessaire en vue du theÂoreÁme 1, d'autre part, les techniques de deÂmonstration qu'il emploie ne le lui permettent pas (cf. discussion plus bas).

Dans [15] nous avons accompli cette tache. Nous y avons deÂtermineÂ, entre autres, le spectre diffeÂrentiel deY ˆC[E₂;E₄;E₆] (t heÂoreÁme 1.2 de loc. cit.); ceci permet de deÂterminer assez facilement aussi le spectre dif- feÂrentiel deY1. Ces reÂsultats s'appliquent pour deÂmontrer des estimations de multiplicite plus geÂneÂrales que celle du theÂoreÁme 1.

Dans ce but, on utilise seulement la proprieÂte suivante, qui deÂcoule directement des resultats de [15]: lenilradical diffeÂrentieldeY₁ (inter- section de tous les ideÂaux premiers non nuls etz(d=dz)-stables) est non nul (car il contientzD).

Dans cetarticle, nous voulons eÂtendre cette eÂtude aÁ des autres anneaux diffeÂrentiels, cette fois-ci associeÂs aÁ des formes quasi-modulaires pour des groupes triangulaires de Riemann-Schwarz co-compacts.

Nous sommes persuadeÂs qu'il s'agitd'un premier pas neÂcessaire vers l'eÂtude des proprieÂteÂs diophantiennes de ces formes, qui ont des proprieÂteÂs analytiques et algeÂbriques sensiblementdiffeÂrentes des formes quasi- modulaires classiques pourSL2(Z).

Voici le contexte auquel nous nous interessons.

1.1. ±Le contexte.

Soienta;b;gdes nombres rationnels tels que g>a‡b; 1>g>b>a>0;

…1†

ettels que:

wˆ1 g; mˆg a b; yˆb a soient des inverses d'entiers naturels non nuls.

On consideÁre l'eÂquation diffeÂrentielle hypergeÂomeÂtrique complexe:

z(1 z)d²V

dz² ‡(g (a‡b‡1)z)dV

dz abVˆ0:

…2†

Le groupe de monodromie projective de l'eÂquation (2) s'identifie aÁ un sous-groupe V infini de SL₂(C) (un sous-groupe Fuchsien de premieÁre espeÁce, cf. [4], chapitre 3 et chapitre 11), qui agit discontinuement sur le disque

Bˆ fz2Ctel quejzj<1g par transformations homographiques:

fˆ a c

b d

2V; f(j):ˆaj‡b cj‡d:

Il existe un domaine fondamentalT pour l'action deVsurB, dontl'adheÂ- rence topologique est un triangle hyperbolique compact, de sommetss0;s1, s₁, etdontles angles aux sommets sonteÂgaux aÁpw;pm;py(cf. [17] chapitre 3 ou [16] chapitre 5).

Un calcul directpermetde veÂrifier que les fonctions u0(z)ˆz^g=2(1 z)(a‡b g‡1)=2

2F1(a;b;g;z);

u₁(z)ˆz^{1 g=2}(1 z)(a‡b g‡1)=2

2F₁(a g‡1;b g‡1;2 g;z);

analytiques dansC (R₀[R₁), sontC-lineÂairementindeÂpendantes et satisfont aÁ l'eÂquation diffeÂrentielle (cf. [4], eÂquation (21) p. 290)

d²U

dz² ‡p(z)Uˆ0;

…3†

ouÁ

p(z)ˆ1 4

1 w²

z² ‡ 1 m²

(1 z)²‡1‡y² w² m² z(1 z)

ˆ1 4

a‡c

z² ‡ b‡c

(z 1)²‡ c 2z(1 z)

avec

aˆg(1 a b)‡2ab

bˆ(a‡b)(g a b)‡2ab g‡1 cˆg(a‡b g‡1) 2ab:

…4†

Pourz2Cn(R₀[R₁), posons:

t(z)ˆu₁(z) u0(z):

La fonctiont(z) estlocalementinversible sur son domaine d'holomorphie, car le wronskienW(u₀;u₁):ˆdet u₀

u⁰₀ u₁ u⁰₁

deu₀;u₁y est constant, eÂgal aÁw, donc non nul.

Soit H le demi-plan supeÂrieur complexe. On peutmontrer que la fonctiontdeÂfinitun isomorphisme analytique

t:H ! T;

ouÁTdeÂsigne le triangleT prive de son bord topologique; on veÂrifie aussi t(i)ˆs_iaveciˆ0;1;1.

Posons

Bˆ [

f2V

f(T n fs₀;s₁;s₁g):

Ainsi,Bestle disqueBprive de l'ensembleEdontles eÂleÂments sont tous les pointsjtels qu'il existeg2Vavec

g(j)2 fs₀;s₁;s₁g:

Soitz:T! Hla fonction analytique reÂciproque det: elle admetun pro- longementanalytique aÁB etdeÂfinitsurBune fonction modulaire Fuch- sienne associeÂe aÁV, c'est-aÁ-dire une fonctionf :B!P1(C) satisfaisant:

f(f(t))ˆf(t); pour toutf2V

(cf. [4], chapitre 10). Posons

y₀ˆu₀u⁰₀; y1ˆu0u⁰₀ u²₀

z ; y₂ˆu₀u⁰₀ u²₀ z 1 …5†

et

Yi(t)ˆyi(z(t)); iˆ0;1;2:

…6†

Les trois fonctionsY0(t),Y1(t),Y2(t) sontholomorphes dansB, meÂromor- phes dansB(cf. proposition 2 p. 439 de [18]), et satisfont aÁ des relations d'automorphie de poids 2 par rapport aÁ l'action deV surB(cf. [18], pro- position 3 p. 439): sifˆ a

c b d

2V, alors on a:

Y_i(f(t))ˆ(ct‡d)²Y_i(t)‡1

pic(ct‡d); iˆ0;1;2:

…7†

Les cinq fonctions e^t;t;Y₀(t);Y₁(t);Y₂(t) sontalgeÂbriquementindeÂ- pendantes (cf. lemme 1).

Toute fonction F qui estun polynoÃme en t;e^t etles fonctions Yi(t) (iˆ0;1;2) aÁ coefficients complexes admet un deÂveloppementen seÂrie de Laurentau voisinage de touteÂleÂmentj2 T:

F(t)ˆX¹

kˆs

v_k(t j)^k;

avecs2Zetv_s6ˆ0. On deÂfinit alors la multiplicite deFenjpar:

ordj(F)ˆs:

Sij6ˆs₀;s₁;s₁, alors ord_j(F)2N, autrement, ord_j(F)2ZpeuteÃtre neÂ- gatif. L'anneau

A ˆC[t;e^t;Y0(t);Y1(t);Y2(t)];

muni de la deÂrivationd=dt, posseÁde une structure d'anneau diffeÂrentiel (cf.

lemme 2). Dans ce texte nous deÂmontrons:

THEÂOREÁM 2. Le nilradical diffeÂrentiel de (A;d=dt) est non nul, et contient l'eÂleÂment:

k:ˆe^t(Y₀ Y₁)(Y₀ Y₂)(Y₁ Y₂):

Nous n'avons pas deÂtermine compleÁtement le spectre diffeÂrentiel de (A;d=dt) (¹), mais ce theÂoreÁme suffitpour deÂmontrer le reÂsultat suivant.

THEÂOREÁM3. Il existe une constante c₂>0, deÂpendant seulement de a;b;g, avec les proprieÂteÂs suivantes. Soitj2B, soit P un polynoÃme non nul deC[X₁;X₂;X₃;X₄;X₅];posons:

M₁ˆminfdeg_X1(P);deg_X2(P)g ‡1

M₂ˆmaxfdeg_X1(P);deg_X2(P)g ‡maxfdeg_X3(P);deg_X4(P);deg_X5(P)g:

Alors la fonction F(z)ˆP(t;e^t;Y₀(t);Y₁(t);Y₂(t))satisfait ord_j(F)c2M1M⁴₂:

…8†

En particulier, si P est de degre total au plus N, alors la fonction F(z) satisfait

ordj(F)c2(2N)⁵: …9†

Si de plus P ne deÂpend pas de la variable X₁(ou si P ne deÂpend pas de la variable X2), alors

ord_j(F)c₂(2N)⁴: …10†

Ce theÂoreÁme geÂneÂralise le theÂoreÁme 1 de Nesterenko (²).

Nous espeÂrons que le theÂoreÁme 3 aura des applications diophantiennes;

remarquons qu'il s'agit toutefois deÂjaÁ d'un reÂsultat non trivial de «bonne approximation» sur un corps de fonctions rationnelles.

Faisons maintenant un commentaire sur la nature des preuves. La partie difficile de la deÂmonstration de la proposition 1 donneÂe par Neste- renko consiste aÁ deÂterminer les ideÂaux P premiers z(d=dz)-stables de Y ˆC[E2(z),E4(z);E6(z)] qui sontde codimension 2 etqui sonttels que pour toutF2 P on aitF(0)ˆ0; soitPl'ensemble de ces ideÂaux.

Il fauteÂtablir d'abord une correÂspondence bijective entre l'ensembleP etl'ensemble des solutions algeÂbriques (f;g) du systeÁme diffeÂrentiel:

f⁰ˆ4xf g x² f ; g⁰ˆ6xg f² x² f …11†

telles quef(1)ˆ1;g(1)ˆ1.

(¹) Voir la remarque aÁ la fin du paragraphe 1.2.

(²) Il contient aussi un lemme de multiplicite de Bertrand: lemme 3 p. 348 de [1].

Nesterenko deÂmontre ensuite que (f;g)ˆ(x²;x³) estla seule solution algeÂbrique de (11), d'ouÁ l'on deÂduitque l'ideÂal premier deYcorreÂspondant estl'ideÂal premier de codimension 2 engendre par les deux fonctions E²₂ E₄etE³₂ E₆. Pour obtenir cette proprieÂte il geÂneÂralise une ideÂe qu'il attribue aÁ Siegel dans une eÂtude des solutions algeÂbriques des eÂquations de Riccati (³).

1.2. ±Nature des preuves et plan de l'article.

Pour deÂmontrer le theÂoreÁme 2 (paragraphe 2) nous suivons de preÁs nombreuses techniques deÂjaÁ utiliseÂes par Nesterenko dans [10], [11].

Cependant, nous ne sommes pas arriveÂs aÁ modifier ou geÂneÂraliser l'ideÂe de Siegel mentionneÂe ci-dessus de manieÁre compatible aÁ ce nouveau con- texte (⁴).

Pour reÂsoudre ce probleÁme (situe au niveau des ideÂaux non principaux) dans la preuve du theÂoreÁme 2, nous avons introduit une technique com- pleÁtement algeÂbrique inspireÂe par la formule (⁵):

(2pi)1728Dˆ3zE6dE₄

dz 2zE4dE₆ …12† dz

qui ditqueD, geÂneÂrateur du nilradical diffeÂrentiel deY, estaussi une sorte de Wronskien des geÂneÂrateurs de l'anneau des formes modulaires (c'est plus preÂcisementun crochet de Rankin). La formule (12) posseÁde des analogues pour les anneaux diffeÂrentiels (A;d=dt) (cf. paragraphe 2.2).

C'estsur la base de ces formules que nous avons reÂsolu le probleÁme ci- dessus, etceci sans passer par la meÂthode de Nesterenko-Siegel.

(³) Voir le lemme 5.2 p. 161 de [11] etle comparer avec, par exemple, [19] p. 209.

Noter que des arguments similaires apparaissent dans les travaux sur l'irreÂducti- bilite de certaines eÂquations diffeÂrentielles non lineÂaires, comme les eÂquations de Painleve ; voir par exemple [20] p. 161.

(⁴) Une raison heÂuristique nous semble eÃtre la suivante. Le pointzˆ0 joue un roÃle particulier dans la preuve de Nesterenko: c'est un point privileÂgie car il correÂspond aÁ l'unique classe d'eÂquivalence de points d'adheÂrence paraboliques («pointe») pour l'action deSL2(Z) sur le demi-plan supeÂrieur complexe.

Or, sous nos hypotheÁses (1), le quotient VnBn'a pas de pointes, et nous ne savions pas commentchoisir un analogue raisonnable du pointzˆ0 pour pouvoir faire fonctionner la meÂthode de deÂmonstration de Nesterenko.

(⁵) Cette technique nous permet aussi de raffiner et geÂneÂraliser les reÂsultats du paragraphe 5 pp. 162-165 de [11], en supprimantl'hypotheÁse F(0)ˆ0 dans la proposition 1.

Dans le paragraphe 3 nous donnons des eÂleÂments de deÂmonstration du theÂoreÁme 3 aÁ partir du theÂoreÁme 2. Nous faisons quelques rappels de theÂorie de l'eÂlimination, bien que cette partie soit standard. Nous y supposerons que (A;d) soitplus geÂneÂralementun anneau diffeÂrentiel de fonctions F meÂromorphes dans un certain domaine de C. Cetanneau diffeÂrentiel (A;d) satisfait aussi aÁ une «proprieÂteÂD» (cet t e proprieÂte est treÁs proche d'une proprieÂte homonyme dans [11]: deÂfinition 1.2 p. 150).

Sous toutes ces hypotheÁses, on a un lemme de multipliciteÂ: la proposi- tion 5.

Si la proprieÂteÂDestveÂrifieÂe pour l'anneau diffeÂrentiel (A;d) du t heÂo- reÁme 2, alors on obtient le theÂoreÁme 3 comme corollaire de la proposition 5.

Or, nous veÂrifierons que la proprieÂte deÂcrite par le theÂoreÁme 2 (la non nullite du nilradical diffeÂrentiel) implique la proprieÂteÂDpour (A;d).

Les techniques de deÂmonstration de la proposition 5 sont essen- tiellement les meÃmes que celles du theÂoreÁme 1.1 p. 149 de [11] (voir aussi [3]). On la deÂmontre comme corollaire d'un reÂsultat plus geÂneÂral, la pro- position 6 (analogue du theÂoreÁme 2.2 p. 154 de [11]). Il y a seulementdeux diffeÂrences mineures.

PremieÁrement, les fonctionsY₀;Y₁;Y₂ne sontpas holomorphes dansT, aÁ cause des singulariteÂs ens₀;s₁;s₁, mais on voitque les deÂmonstrations des theÂoreÁmes 1.1, 2.2 de loc. cit. s'eÂtendent facilement aÁ notre cas.

DeuxieÁmement, la constantec3de la proposition 5 deÂpend uniquement d'un invariantlocal, l'exposantr(j), qui estuniformeÂmentborne en fonc- tion du pointjdu domaine de deÂfinition, lorsque la proprieÂteÂD uniforme (cf. deÂfinition du paragraphe 3) est veÂrifieÂe. On peutcependantremarquer que cette information sur la deÂpendance en r(j) estdeÂjaÁ contenue im- plicitement dans le theÂoreÁme 1.1 de [11].

C'est pour cette raison que nous ne donnerons pas de deÂmonstration de la proposition 6, mais seulement une esquisse de deÂmonstration de la proposition 5 comme une conseÂquence de la proposition 6.

REMARQUE. Dans [15], nous avons compleÂtement deÂtermine tous les ideÂaux premiers z(d=dz)-stables de l'anneau diffeÂrentiel (Y;z(d=dz)) (la

«structure diffeÂrentielle»). Ceci est possible aussi pour l'anneau diffeÂrentiel (R;d=dt) quanda;b;gsont des nombres rationnels, mais cette structure est en geÂneÂral plus compliqueÂe (elle sera deÂcrite dans un autre travail).

En revanche, nous ne savons pas calculer la structure diffeÂrentielle de (R;d=dt) quanda;b;gne sont pas tous rationnels. Ce serait inteÂressantde le faire, mais les techniques introduites ici et dans [15] ne semblent pas suffir.

2. ProprieÂteÂs diffeÂrentielles et algeÂbriques de l'anneauA.

LEMME1. Les cinq fonctions e^t;t;Y₀(t);Y₁(t);Y₂(t)sont algeÂbriquement indeÂpendantes surC.

DEÂMONSTRATION. D'apreÁs [18], corollaire 2 p. 442, les quatre fonctions t,Y0(t),Y1(t);Y2(t) sontalgeÂbriquementindeÂpendantes; on suit maintenant une ideÂe de [2].

Comme V estFuchsien de premieÁre espeÁce, l'ensembleE des points limites est eÂgal au bord deB(voir le theÂoreÁme 14 p. 73 de [4]). En parti- culier,E contient au moins trois points etV estdense au sens de Zariski dansSL₂(C) (proposition 1 p. 47 de [12]). Ainsi, l'image de l'application

s : V ! P1(C) a

c b d

7! c d estde cardinalite infinie.

PosonsJˆC(t;Y0;Y1;Y2), soitf2V; on a JˆC(f(t);Y0f;Y1f;Y2f);

…13†

ouÁ Y_ifˆY_i(f(t)) (iˆ0;1;2), d'apreÁs l'eÂgaliteÂC(f(t))ˆC(t) etles rela- tions (7).

Supposons par l'absurde que e^t;t;Y0(t);Y1(t);Y2(t) soientalgeÂ- briquementdeÂpendantes: e^t estalors algeÂbrique sur J. Soit(f_i)_i2N une famille d'eÂleÂments deV. D'apreÁs (13), pour touti,e^fi(t)estaussi algeÂbrique surJ, donc le corps

C(e^f0(t);e^f1(t);. . .;t;Y0(t);Y1(t);Y2(t))

a un degre de transcendance fini surC, ce qui implique en particulier que le corpsK:ˆC(e^f0(t);e^f1(t);. . .) a un degre de transcendance fini.

Or, d'apreÁs la proprieÂte de la fonction sciteÂe plus haut, il existe une famille infinie (f_i)_i2N d'eÂleÂments deV avec poÃles dans Cetavec la pro- prieÂte que sii6ˆjalors le poÃlep_idef_in'estpas eÂgal au poÃlep_jdef_j.

Donc pour tout i la fonctione^fi(t) a une singularite essentielle en p_i, etles fonctions e^fj(t) (jˆ0;2; :::;i 1) sontregulieÁres en p_i. De ce fait, pour tout i, la fonction e^fi(t) est transcendante sur le corps C(e^f0(t); e^f1(t);. . .;e^fi1(t)) etle corpsKa un degre de transcendance infini, d'ouÁ une contradiction.

Noter que pour deÂmontrer ce lemme, on peut aussi appliquer les ideÂes

de [12]. p

On en deÂduitl'indeÂpendance algeÂbrique surCdes fonctionst; %;y0;y1; y2 (utiliser l'isomorphisme analytiquez).

Le lemme suivantestessentiellementduà aÁ HalpheÂn etJacobi: [5], [6].

LEMME2. Posons Lˆ(1=4)(a(Y₀ Y₁)²‡b(Y₀ Y₂)²‡c(Y₁ Y₂)²)et dˆw(d=dt). Les relations suivantes sont satisfaites:

dY_iˆY_i² L; pouriˆ0;1;2:

Ainsi l'anneauA ˆC[t;e^t;Y₀;Y₁;Y₂];muni de la deÂrivationd, estun anneau diffeÂrentiel.

DEÂMONSTRATION. SoitDla deÂrivation deÂfinie sur l'anneau des fonc- tions holomorphes surCn(R₀[R₁) par

DXˆu²₀dX dz: Comme

Dtˆu²₀t⁰ˆu²₀ u⁰₁u₀ u₁u⁰₀ u²₀

!

ˆW(u0;u1)ˆw;

on a, pour toute fonctionXsuffisammentdiffeÂrentiable:

d(X(z(t)))ˆ(D(X(z)))j_zˆz(t): …14†

CalculonsDy₀;Dy₁;Dy₂. On a, en utilisant (3):

Dy₀ˆu²₀y⁰₀

ˆu²₀(u0u⁰₀)⁰

ˆu²₀(u⁰₀²‡u₀u⁰⁰₀)

ˆ(u0u⁰₀)²‡u³₀u⁰⁰₀

ˆy²₀ u⁴₀p(z):

De meÃme,

Dy₁ˆu²₀y⁰₁

ˆu²₀(u0u⁰₀ u²₀z ¹)⁰

ˆu²₀(u⁰₀²‡u₀u⁰⁰₀ 2u₀u⁰₀z ¹‡u²₀z ²)

ˆ(u₀u⁰₀)² 2u³₀u⁰₀z ¹‡u⁴₀z ²‡u³₀u⁰⁰₀

ˆ(u0u⁰₀ u²₀z ¹)²‡u³₀u⁰⁰₀

ˆy²₁ u⁴₀p(z);

etpour terminer, Dy₂ˆu²₀y⁰₂

ˆu²₀(u0u⁰₀ u²₀(z 1) ¹)⁰

ˆu²₀(u⁰₀²‡u0u⁰⁰₀ 2u0u⁰₀(z 1) ¹‡u²₀(z 1) ²)

ˆ(u₀u⁰₀)² 2u³₀u⁰₀(z 1) ¹‡u⁴₀(z 1) ²‡u³₀u⁰⁰₀

ˆ(u0u⁰₀ u²₀(z 1) ¹)²‡u³₀u⁰⁰₀

ˆy²₂ u⁴₀p(z):

D'autre part, on a les relations (6), et on veÂrifie queu⁴₀(z(t))p(z(t))ˆL(t). En utilisant (14), on trouve les relations diffeÂrentielles chercheÂes; on en deÂduit

que (A;d) estun anneau diffeÂrentiel. p

Posons%ˆe^t. On associe aÁYile poidsp(Yi)ˆ1,iˆ0;1;2 et aÁt; % le poids 0. Un eÂleÂmentde A estditisobare de poids s s'il estsomme de monoÃmes

rt^a%^bY₀^t0Y₁^t1Y₂^t2;

avec t₀‡t₁‡t₂ˆs et r2C. SoitX2 Aetnotons p(X) le plus grand poids d'un monoÃme deX. Posons aussi

R ˆC[Y0;Y1;Y2]; L ˆC[t; %]:

On remarque que siX2 Restnon constantetisobare de poidss, alors DX estnon nul etisobare, etp(DX)ˆp(X)‡1. Si X2 A n R, on a seu- lement p(DX)p(X)‡1 (car les eÂleÂments de poids 0 de A ne sontpas forcËementtous annuleÂs pard).

Nous pouvons commencer la deÂmonstration du theÂoreÁme 2; pour ce faire, il suffitde deÂmontrer que tout ideÂal premier non nul etd-stable deA contient l'un des eÂleÂments e^t;Y₀ Y₁;Y₀ Y₂;Y₁ Y₂; nous devons pro- ceÂder en plusieurs eÂtapes. CommencËons par eÂtudier les ideÂaux principaux d-stables.

2.1. ±IdeÂaux principaux stables.

PROPOSITION2. SoitIun ideÂal premier principal non nul,d-stable deA.

AlorsIest eÂgal aÁ l'un des ideÂaux principaux(%);(Y0 Y1);(Y0 Y2);(Y1 Y2).

Cette proposition est l'analogue du lemme 5.2 p. 161 de [11].

En utilisant les formules explicites du lemme 2, on voit que d(Y₀ Y₁)ˆ(Y₀ Y₁)(Y₀‡Y₁);

…15†

d(Y0 Y2)ˆ(Y0 Y2)(Y0‡Y2);

…16†

d(Y1 Y2)ˆ(Y1 Y2)(Y1‡Y2):

…17†

Comme d'autre part d%ˆw%, les ideÂaux principaux (%);(Y0 Y1);

(Y0 Y2);(Y1 Y2) deA, qui sontpremiers, sontaussid-stables.

SoitP2 Aun polynoÃme non nul etirreÂductible tel que DPˆFP

…18†

avec F2 A. Nous devons deÂmontrer que P estproportionnel aÁ l'un des polynoÃmes %;Y0 Y1;Y0 Y2;Y1 Y2, avec une constante de pro- portionnalite dansC.

Nous deÂterminons une expression plus preÂcise deF. Commep(DP)ˆ

ˆp(F)‡p(P), on a que p(F)1. Comme de plus deg_%(DP)ˆdeg_%(F)‡

‡deg_%(P) etdeg_t(DP)ˆdeg_t(F)‡deg_t(P), on a que deg_%(F)ˆ

ˆdeg_t(F)ˆ0 etdonc

Fˆl0Y0‡l1Y1‡l2Y2‡l3; …19†

avecl₀;l₁;l₂;l₃2C. On a aussiF6ˆ0 carPeÂtant irreÂductible, il est non constant.

Notre premier objectif est de montrer que dans (19) on a li2Q, iˆ0;. . .;3. On utilise les formules suivantes:

a‡bˆ(1‡a b)(1‡b a);

…20†

b‡cˆ(1 a b‡g)(1‡a‡b g);

…21†

a‡cˆg(2 g);

…22†

qui se deÂduisentdes eÂcritures (4) dea;b;cen fonction dea;b;g.

LEMME3. Sous l'hypotheÁse(18),on al02Qdans(19).

DEÂMONSTRATION. Ecrivons:

PˆPh‡Ph‡1‡ ‡Pk; …23†

avecP_iisobare de poidsi(iˆh;. . .;k) etP_h,P_k non nuls. En substituant (23) et(19) dans (18) eten comparantles termes isobares de poidsk‡1, on

voitque:

@Pk

@Y0DY0‡@Pk

@Y1DY1‡@Pk

@Y2DY2ˆPk

X²

iˆ0

liYi:

Soit d⁰ la deÂrivation de A deÂfinie par d⁰(Yi)ˆd(Yi) pour iˆ0;1;2 et d⁰tˆd⁰%ˆ0. On a deÂmontre que:

d⁰P_k ˆP_kX²

iˆ0

l_iY_i: …24†

L'anneau

L[Y₀;Y₂] A=(Y₁ Y₂) estmuni de la deÂrivationddeÂfinie par:

d(Y0)ˆY₀² L;~ d(Y2)ˆY₂² L;~ d(%)ˆd(t)ˆ0;

…25†

ouÁ

L~ ˆ1

4(a‡b)(Y₀ Y₂)²ˆ1

4(1‡a b)(1‡b a)(Y₀ Y₂)² …26†

(la deuxieÁme eÂgalite estconsequence de (20)).

D'apreÁs (17), l'ideÂal (Y₁ Y₂) de A est d⁰-stable, donc si p:A !

! L[Y0;Y2] est le morphisme induit par le passage au quotient, alors:

dpˆpd⁰: Ecrivons:

P_kˆ(Y1 Y2)^lP⁰

avecP⁰2 L[Y₁;Y₂] etY₁ Y₂ ne divisantpasP⁰; on veÂrifie facilement, en utilisant (17), que

d⁰P⁰ˆ X²

iˆ0

liYi l(Y1‡Y2)

!

P⁰ˆ X²

iˆ0

m_iYi

! P⁰; …27†

ouÁ m₀ˆl0;m₁ˆl1 l;m₂ˆl2 l; nous devons encore deÂmontrer que m₀2Q. PosonsQˆp(P⁰)2 L[Y0;Y2]; commeP⁰estisobare de poidsk l non divisible par Y₁ Y₂,Q estisobare non nul de poids k l, etnous pouvons supposer sans perte de geÂneÂralite qu'il n'appartient pas aÁ L; il satisfait:

dQˆ(m₀Y0‡(m₁‡m₂)Y2)Q:

…28†

Si X2 L[Y0;Y2] estisobare de poids x, notons dY0(X)ˆxX(dY0) Y0(dX); l'applicationdY0 estune deÂrivation telle quedY0(Y0)ˆ0. On a:

d_Y0(Q)ˆ@Q

@Y₀d_Y0(Y₀)‡@Q

@Y₂d_Y0(Y₂)

ˆ@Q

@Y₂d_Y0(Y₂):

Observons aussi que:

d_Y0(Y₂)ˆY₂(Y₀² L)~ Y₀(Y₂² L)~

ˆ1

4(Y₀ Y₂)((1 a‡b)Y₀‡(1‡a b)Y₂) ((1‡a b)Y0‡(1 a‡b)Y2)

…29†

(utiliser (26) pour factoriserdY0(Y2)). Ainsi:

@Q

@Y₂Q ¹ˆ dY0(Q) d_Y0(Y₂)

ˆ(k l)dY0 Y0(m₀Y0‡(m₁‡m₂)Y2) d_Y0(Y2) ; d'apreÁs (28).

Posons YˆY2, RˆQ(1;Y), R_Y ˆdR=dYˆ(@Q=@Y2)j_Y0ˆ1;Y2ˆY et Wˆd_Y0(Y₂)j_Y0ˆ1;Y2ˆY, qui n'estpas nul. Nous avons:

RY

R ˆm₀‡(m₁‡m₂)Y‡(N 1)(k l)

W :

CommeWse factorise surQ(cara;b2Q, cf. (29)), les racines de l'eÂquation Rˆ0 sontdes nombres rationnels, etR_Y=R2Q(Y); en particulier

l₀2Q. p

LEMME4. Sous l'hypotheÁse(18),on al₁;l₂2Qdans(19).

IDEÂE DE LA DEÂMONSTRATION. On utilise cette fois les relations (15), (16) eton se sertdes eÂgaliteÂs (21) et(22). Nous laissons les deÂtails au lecteur, car la preuve esttreÁs similaire aÁ celle du lemme 3. p

LEMME5. Sous l'hypotheÁse(18),on al₃2Zdans(19).

DEÂMONSTRATION. En substituant (23) et (19) dans (18) et en compa- rantles termes isobares de poidsh, on voitque

HP_hˆl₃P_h; ouÁHestla deÂrivation deAdeÂfinie par:

HXˆw @X

@t ‡@X

@%%

:

Ecrivons Phˆ%^lV avec l2N, VˆV0‡V1%‡ ‡Vs%^s, Vi2 R[t] et V06ˆ0. On veÂrifie queHV ˆ(l3 l)V. Comme

HV ˆw@V0

@t ‡%Wˆ(l3 l)(V0‡%W⁰) pour quelquesW;W⁰2 A, on a que

w@V0

@t ˆ(l3 l)V0

ce qui impliqueV02 R n f0getl3ˆl2Z. p

FIN DE LA DEÂMONSTRATION DE LA PROPOSITION2. SoitPun polynoÃme irreÂductible deAsatisfaisant aÁ (18), avecFcomme dans (19), c'est-aÁ-dire, tel quedPˆ(l₀Y₀‡l₁Y₁‡l₂Y₂‡l₃)P. A preÂsent, nous avons deÂmontre queli2Qpouriˆ0;. . .;3. Donc

dP

P;d(Y0 Y1)

(Y0 Y1);d(Y0 Y2)

(Y0 Y2);d(Y1 Y2) (Y1 Y2);d%

%

sontQ-lineÂairementdeÂpendants, et il existe des entiers rationnels non tous nulsa1;. . .;a5tels que:

a1dP

P ‡a2d(Y₀ Y₁)

(Y0 Y1) ‡a3d(Y₀ Y₂)

(Y0 Y2) ‡a4d(Y₁ Y₂) (Y1 Y2) ‡a5d%

% ˆ0:

Ainsid(P^a1(Y₀ Y₁)^a2(Y₀ Y₂)^a3(Y₁ Y₂)^a4%^a5)ˆ0, d'ouÁ P^a1(Y0 Y1)^a2(Y0 Y2)^a3(Y1 Y2)^a4%^a52C:

CommePestirreÂductible, ceci implique quePestproportionnel aÁ l'un des

polynoÃmesY₀ Y₁;Y₀ Y₂;Y₁ Y₂; %. p

2.2. ±IdeÂaux non principaux stables.

Sous les conditions (1) nous deÂmontrons la proposition suivante.

PROPOSITION3. Tout ideÂal premier non nul et isobare deR,d-stable, contient au moins l'un des eÂleÂments Y0 Y1;Y0 Y2;Y1 Y2.

DEÂMONSTRATION. Soit I un ideÂal comme dans les hypotheÁses du lemme. SiIestprincipal alorsIAestpremier, principal, non divisible par

% et d-stable, et au moins l'un des polynoÃmes Y0 Y1;Y0 Y2;Y1 Y2

appartient aÁI, d'apreÁs la proposition 2. Supposons donc queI ne soitpas principal: nous avons deux cas.

(1). Supposons queI \(C[Y0][C[Y1][C[Y2])6ˆ f0g. Supposons par exemple queI \C[Y0]6ˆ(0). CommeIestpremier, il existev2Ctel que Y₀ v2 I: commeI estisobare, on avˆ0.

DoncY₀2 IetDY₀2 I. Ainsi le polynoÃmeHobtenu en substituantY₀ par 0 dans le polynoÃmeDY0appartient aussi aÁI. Explicitement:

Hˆ 1

4(aY₁²‡bY₂²‡c(Y₁ Y₂)²)2 I:

Aussi le polynoÃmeDH appartient aÁI, etle polynoÃmeK obtenu en sub- stituantY0par 0 dansDHappartient aÁI. On a:

Kˆ1

8(a²Y₁³‡b(b 4)Y₂³ c(Y₁ Y₂)²(4Y₁‡Y₂(4 b))‡

‡aY1((c 4)Y₁²‡(b 2c)Y1Y2‡(b‡c)Y₂²)) 2 I:

Les reÂsultants R1ˆReÂsY1(H;K) et R2ˆReÂsY2(H;K) appartiennent aÁ I. Explicitement, on trouveR₁ˆ 1

256hY₂⁶etR₂ˆ 1

256hY₁⁶, avec hˆ(a‡b)(a‡c)(b‡c)(ab‡bc‡ac):

…30†

On veÂrifie, sous les hypotheÁses (1), queh6ˆ0 (voir le lemme 8 en appendice), donc siY02 I, alors aussiY1;Y22 I. On parvientau meÃme reÂsultat si l'on suppose que Y12 I ou Y22 I. Ainsi, on a que si I \(C[Y0][ [C[Y1][C[Y2])6ˆ f0g, alors Y0;Y1;Y22 I, etdans ce cas on obtientla conclusion du lemme, car on trouve meÃme plus, aÁ savoir que I (Y₀ Y₁;Y₀ Y₂;Y₁ Y₂)ˆ(Y₀ Y₁;Y₀ Y₂).

(2). Supposons que l'ideÂal I, non principal, soittel que I\

\(C[Y0][C[Y1][C[Y2])ˆ f0g. AlorsI contient un polynoÃme isobare P tel que @P

@Y16ˆ0 et @P

@Y2ˆ0. En d'autres termes,I \C[Y0;Y1]6ˆ(0). Nous

pouvons aussi supposer quePaitun degre minimal enY₁: donc @P

@Y₁62 I. SiU;V sontdeux polynoÃmes isobares deR, nous notons

d_V(U)ˆp(U)Ud(V) p(V)Vd(U) (crochetde Rankin).

Nous calculonsdY0(P), qui estun polynoÃme non nul appartenant aÁI(car P n'estpas une puissance de Y0). Comme dY0() estune deÂrivation, on obtient:

dY0(P)ˆ @P

@Y₀dY0(Y0)‡@P

@Y₁dY0(Y1)‡ @P

@Y₂dY0(Y2)

ˆ @P

@Y1dY0(Y1)2 I; card_Y0(Y₀)ˆ0 et @P

@Y2ˆ0. Comme @P

@Y162 I, on ad_Y0(Y₁)2 I.

De meÃme,I \C[Y₀;Y₂]6ˆ(0). SoitQun polynoÃme isobare deI tel que

@Q

@Y26ˆ0 et @Q

@Y1ˆ0. Nous pouvons aussi supposer que Q soittel que

@Q

@Y₂62 I. En suivantles meÃmes arguments que ci-dessus, on trouve que dY0(Y2)2I. DoncdY0(Y1);dY0(Y2)2 I. D'apreÁs les relations du lemme 2, on a:

dY0(Y1)ˆ 1

4(Y1 Y0)((a‡b)Y₀²‡(a‡c)Y₁²‡(b‡c)Y₂² 2(a 2)Y₁Y₀ 2bY₂Y₀ 2cY₁Y₂);

dY0(Y2)ˆ1

4(Y0 Y2)((a‡b)Y₀²‡(a‡c)Y₁²‡(b‡c)Y₂² 2aY1Y0 2(b 2)Y2Y0 2cY1Y2):

Si au moins l'un des deux eÂleÂments Y₁ Y₀;Y₂ Y₀ appartient aÁI, nous avons termineÂ. Sinon, puisqueI estpremier, l'eÂleÂment:

d_Y0(Y₁) Y1 Y0

d_Y0(Y₂)

Y2 Y0ˆ Y0(Y1 Y2)

appartient aÁI. CommeY062 I, on obt ient Y1 Y22 I. p Afin de deÂmontrer le theÂoreÁme 2, nous devons encore eÂtablir un lemme

eÂleÂmentaire. SoitI un ideÂal deR; on noteI~ l'ideÂal engendre par les po- lynoÃmes isobares deI.

LEMME6. Nous avons les proprieÂteÂs suivantes.

1) SiIest premier, alorsI~est premier.

2) SiIestd-stable, alorsI~ estd-stable.

3) SiIn'est pas principal, alorsI 6ˆ~ (0).

DEÂMONSTRATION. Ceci estle lemme 5.2 de [15], dontnous re- produisons la preuve.

1. C'estbien connu.

2. Soit U2I~; alors UˆU0‡ ‡Uk pour certains polynoÃmes iso- baresU0;. . .;U_k2 I. Pour toutjon aDU_j2 I carI estd-stable. De plus DU_jestisobare, doncDU ˆDU₀‡ ‡DU_k2I~.

3. Introduisons une inconnueY₃ de poids 1, et notons, pour tout poly- noÃme non nulF2 R:

hFˆY₃^pF Y0

Y₃;Y1

Y₃;Y2

Y₃

; ouÁpestle plus grand poids d'un monoÃme non nul deF.

Il fautmontrer queI contient un polynoÃme isobare non nul. Par hy- potheÁse il existeU;V 2 Ipremiers entre eux; donc^hUet^hVsontpremiers entre eux.

Le reÂsultantRˆRes_Y3(^hU;^hV)2 Restnon nul eton veÂrifie qu'il est isobare. De plus R2 I, car il existe A;B2 R[Y3] tels que RˆA(^hU)‡

‡B(^hV) d'ouÁ, en substituant Y3ˆ1,RˆAU~ ‡BV~ pour A;~ B~ 2 R: donc

R2 I. p

2.3. ±Fin de la deÂmonstration du theÂoreÁme2.

Supposons par l'absurde qu'il existe un ideÂal premierJ deAnon nul,d- stable, ne contenant aucun des eÂleÂments%;Y₀ Y₁;Y₀ Y₂;Y₁ Y₂.

D'apreÁs la proposition 2,J ne peutpas eÃtre principal, donc G:ˆ J \

\ R[%]6ˆ(0).

L'ideÂalGestun ideÂal premier non nul etd-stable deR[%]; il ne peutpas eÃtre principal (au cas contraire, GA J seraitprincipal etd-stable, et d'apreÁs la proposition 2 il contiendrait l'un des eÂleÂments %;Y₀ Y₁; Y₀ Y₂;Y₁ Y₂).

Ainsi l'ideÂalI :ˆ G \ Restpremier, non nul, etd-stable. Toujours en

appliquantla proposition 2 (aÁ l'ideÂal IA J) on voitque I n'estpas principal.

Mais comme I n'estpas principal, le lemme 6 peuteÃtre applique et implique queI~ estun ideÂal premier non nul isobare etd-stable deR. On obtient alors une contradiction avec la proposition 3. p

3. DeÂduction du theÂoreÁme 3.

Soit Oun ouvertnon vide de C, soient F₁(t);. . .;F_m(t) des fonctions algeÂbriquementindeÂpendantes sur KˆC(t), admettant en tout point j2 Oun deÂveloppementen seÂrie de Laurent:

F_i(t)ˆX¹

kˆs

v_i;k(t j)^k; …31†

avecs2Z.

Soit P₀ un polynoÃme de C[t] non nul, etsupposons que l'anneau A ˆC[F1;. . .;Fm] soitstable pour la deÂrivationdˆP0(t)d

dt. Il existe alors des polynoÃmesP1;. . .;Pm2C[X1;. . .;Xm] tels que:

dF_iˆP_i(F1;. . .;Fm):

Soitdle plus grand degre total desPi. SoitX0une nouvelle inconnue, notons B ˆK[X0;. . .;Xm], posons:

B_i(X₀;. . .;X_m)ˆX₀^dP_i X₁

X0;. . .;X_m X0

2 B; iˆ1;. . .;m;

etB₀ˆX₀^dP₀(t)2K[X₀]. DeÂfinissons l'opeÂrateur de deÂrivation homogeÁne:

D ˆB0 @

@t‡X0

X^m

iˆ1

B_i @

@X_i: On a donc, pour toutQ2 B,

(DQ)(1;F₁;. . .;F_m)ˆd(Q(1;F₁;. . .;F_m)):

De plus, siQ2 Bestun eÂleÂmenthomogeÁne, alorsDQestaussi homogeÁne.

Nous appelons l'anneau diffeÂrentiel (B;D) l'anneau diffeÂrentiel homogeÁne associe aÁ(A;d).

Fixons un eÂleÂmentj2 OetsoitKle compleÂte d'une cloÃture algeÂbrique du compleÂte de K aÁ la place deÂtermineÂe par j, soit P un ideÂal premier

homogeÁne de B et V ˆZ(P) la sous-varieÂte de Pm(K) des zeÂros de P.

Notonsj jla valeur absolue deK: siF2 K, alors:

jFj ˆexpf ord_j(F)g:

…32†

Nous posons

vˆ(1:F₁: :Fm)2Pm(K):

Notons

Dist(v;V)ˆDist_(1;...;1)(v;V)

ladistance devaÁV de Philippon (voir p. 88 de [13]), associeÂe aÁ la valeur absolue de K. Cette distance s'eÂtend par multiplicativite aux cycles algeÂ- briques eÂquidimensionnels deP_m(K); elle deÂpend dej, eton utilise la no- tation Distj(v;V) lorsque la deÂpendance enjdoiteÃtre mise en relief.

Posons

kvk ˆmaxf1;jF₁j;. . .;jF_mjg;

etpour un polynoÃme homogeÁneU2K[X0;X1;. . .;Xm], UˆX

l

clX^l; …33†

posons aussi:

jUj ˆmax

l fjc_ljg:

On peutcalculer facilementla distance de v aÁV siV estune hyper- surface. SoitU comme dans (33), homogeÁne, aveccl2C[t], etsupposons queV ˆ Z(U). Les formules p. 64 de [7] impliquent:

log Dist(v;V)ˆlogjU(v)j logjUj deg_X(U) logkvk:

…34†

En d'autres termes,

log Dist(v;V)ˆ ordj(U(v))‡min

l fordj(cl)g‡

‡deg(U) min

iˆ1;...;mf0;ord_j(F_i)g:

On rappelle eÂgalementque l'image de l'application Dist(v;) estcon- tenue dans l'intervalle [0;1] ([14], proposition 4.1 p. 119).

De plus, commeF₁;. . .;F_msatisfont aÁ (31) dansO, on a que pour tout cycle algeÂbrique eÂquidimensionnel non nul Z de Pm(K) (diffeÂrentde Pm(K)), le nombre

log Dist(v;Z)

estun eÂleÂmentdeN; ceci se voitdirectementdans (34) siZ ˆZ(Q) avec Q2 B n f0g. Par convention, nous posons log Distj(v;Z(0)):ˆ ‡1pour toutj2 O.

Par convention, le cycle nul 0 est de dimension 1, et log Dist(v;0)ˆ0 pour toutj.

On noteh:K!R0lahauteur logarithmique de Weil, que l'on eÂtend de la manieÁre usuelle aÁPs(K), puis aux sous-varieÂteÂs etaux cycles dePs(K) via les formes de Chow (cf. paragraphe 3 de [13]). On note deg(Z) ledegre d'un cycle deÂfini surK(paragraphe 2 de loc. cit.).

Nous devons introduire une autre proprieÂte d'anneaux diffeÂrentiels, que nous appelons «proprieÂteÂD».

DEÂFINITION. On ditque l'anneau diffeÂrentiel (B;D) satisfait aÁ lapro- prieÂte D enjd'exposantr(j), si pour tout ideÂal premier homogeÁnePde Bcontenant un ideÂal premier non nulD-stable, on a:

log Dist(v;Z(P))r(j)deg(P):

S'il existe une constante r0 telle que pour tout j2 O l'anneau (B;D) satisfasse aÁ la proprieÂteÂDenjd'exposantr, alors nous dirons que (B;D) satisfait aÁ laproprieÂte D uniforme surOd'exposantr.

3.1. ±Nilradical diffeÂrentiel et proprieÂte D.

LEMME 7. Supposons que le nilradical diffeÂrentiel de l'anneau diffeÂ- rentiel(B;D)contienne un polynoÃme homogeÁne non nul l. Alors il satisfait aÁ la proprieÂte D en tout pointj2 O. Si:

r:ˆsup

j2Of log Distj(v;Z(l))g 2N;

alors(B;D)satisfait aÁ la proprieÂte D uniforme surO(d'exposantr).

DEÂMONSTRATION. C'estl'analogue du lemme 3.4 p. 155 de [11]. Fixons j2 O, posons:

r(j)ˆ log Dist_j(v;Z(l)):

Sous les hypotheÁses du lemme, (B;D) satisfait aÁ la proprieÂteÂDd'exposant r(j): voici la preuve.

SoitPun ideÂal premier homogeÁne non nul deB, supposons que:

log Dist(v;Z(P))>r(j)deg(P):

Soit p un eÂleÂmenthomogeÁne non nul de P. L'inegalite suivante se deÂ- montre en suivant les arguments du paragraphe 5 de [13], ou en combinant les propositions 3.24 et 3.25 de [3]:

log Dist(v;Z(p)) 1

deg(P)log Dist(v;Z(P)):

…35†

L'ineÂgalite (35) implique que log Dist(v;Z(p))>r(j), doncp6ˆl. Ainsi l62P, etPne contient pas d'ideÂal premier non nulD-stable.

Faisons varierj2 O. Si le supremumrestfini, il estclair que (B;D) satisfait aÁ la proprieÂteÂDuniforme d'exposantr. p

Nous deÂmontrons maintenant:

PROPOSITION4. SiA ˆC[t;e^t;Y0;Y1;Y2]est muni de la deÂrivationd, alors le nilradical diffeÂrentiel de l'anneau diffeÂrentiel homogeÁne associe (B;D)contient un polynoÃme homogeÁne non nul, et satisfait aÁ la proprieÂte D uniforme.

DEÂMONSTRATION. Nous avonsB ˆK[X0;X1;. . .;X4],KˆC(t) et D ˆwX₀² @

@t‡wX₀²X1 @

@X1‡X0

X⁴

iˆ2

(X_i² U) @

@X_i; avec

Uˆ1

4(a(X2 X3)²‡b(X2 X4)²‡c(X3 X4)²):

Posons:

A^]ˆK[e^t;Y₀;Y₁;Y₂]; vˆ(1:e^t:Y₀:Y₁:Y₂)2P₄(K):

on a un morphismec:B ! A^]qui associe aÁ tout polynoÃme homogeÁneP2 B l'eÂleÂmentc(P)ˆP(v)2 A^]. Clairement:

c(DP)ˆd(c(P));

pour tout polynoÃme homogeÁneP2 B, d'apreÁs le lemme 2.

DeÂmontrons que siPestun ideÂal premier homogeÁne non nul deBqui estD-stable, alorsl2Pavec:

lˆX0X1(X3 X2)(X4 X2)(X4 X3):

NotonsP^]l'ideÂal deA^]engendre par les eÂleÂments dec(P); c'estun ideÂal premierd-stable non nul. L'ideÂalP ˆ P^]\ AdeAestun ideÂal premier non nuld-stable deA.

SiP ˆ A, alorsX02Petl2P. SiP 6ˆ A, au moins l'un des eÂleÂments

%;Y2 Y0;Y1 Y0;Y2 Y1 appartient aÁP, d'apreÁs le t heÂoreÁme 2. On en deÂduitqu'au moins l'un des polynoÃmes homogeÁnesX₁;X₃ X₂;X₄ X₂; X₄ X₃appartient aÁP; finalement,l2P. Donc l'anneau diffeÂrentiel (B;D) satisfait aÁ la proprieÂteÂDd'apreÁs le lemme 7.

Le lemme 2 implique:

dkˆd(%(Y₀ Y₁)(Y₀ Y₂)(Y₁ Y₂))

ˆ(w‡2(Y₀‡Y₁‡Y₂))k:

De plus, la fonctionkˆl(v) ne s'annule pas dans B, car (k) estun ideÂal principald-stable de (A;d), etY₀;Y₁;Y₂sontholomorphes surB.

Le nombre r du lemme 7 estbien deÂfini (le calcul du supremum se reÂduitaÁ un calcul de maximum), etd'apreÁs ce meÃme lemme, (A;d) satisfait

aÁ la proprieÂteÂDuniforme (d'exposant1). p

3.2. ±Une estimation de multiplicite provenant de la proprieÂte D.

PROPOSITION 5. Supposons que l'anneau (B;D) satisfasse aÁ la pro- prieÂte D d'exposantr(j)enj. Il existe une constante c3>0, deÂpendant uniquement der(j), avec la proprieÂte suivante. Soit P un polynoÃme non nul deC[Z;X₁;. . .;X_m]et posons:

N₀ˆmaxf1;deg_ZPg; N₁ˆmaxf1;deg_X1;...;XmPg:

Alors la fonction F(z)ˆP(z;F1(z). . .;Fm(z))satisfait ordjF(z)c3N0N^m₁:

Le theÂoreÁme 3 estune conseÂquence de la proposition 5, graÃce aÁ la proposition 4.

La proposition 5 est corollaire du reÂsultat encore plus geÂneÂral suivant (cf. theÂoreÁme 2.2 p. 154 de [11]).

PROPOSITION6. Supposons que l'anneau diffeÂrentiel(B;D)satisfasse aÁ la proprieÂte D en j d'exposant r(j). Alors il existe une constante c₄>0, ne deÂpendant que de r(j), telle que pour tout cycle algeÂbrique eÂquidimensionnel Z P_m(K) de dimension g<m, l'ineÂgalite suivante soit satisfaite:

log Dist(v;Z) c₄(maxf1;h(Z)gdeg(Z)(g‡1)=(m g)‡deg(Z)^{m=(m g)}):

…36†

Voici commentla proposition 6 implique la proposition 5.

Soit P2C[Z;X1;. . .;Xm]: alors P2K[X1;. . .;Xm]. Soit U2 B l'ho- mogeÂneise dePetposonsZ ˆZ(U)Pm(K); nous pouvons supposer que deg_X(P)6ˆ0. On a:

h(Z)N0; deg(Z)N1; gˆm 1:

La proposition 6 implique:

log Dist(v;Z)c5(N0N^m₁ ‡N^m₁) 2c5N0N₁^m: …37†

Comme logjUj deg_Z(U), on a:

ordj(U(v))‡logjUj ‡deg_X(U) logkvk ordj(U(v)) N0:

En utilisant l'eÂgalite (34) et en combinant cette dernieÁre estimation avec l'ineÂgalite (37), on trouve:

ord_j(F)ˆord_j(U(v)) 2c₅N₀N^m₁ ‡N₀ c₆N₀N^m₁:

p

4. Appendice: non nullite deh.

LEMME8. Sous les conditions(1), le nombrehdeÂfini par(30)est non nul.

DEÂMONSTRATION. Analysons les facteurs deÂfinissantle produith.

D'apreÁs la formule (20), a‡b estnul si etseulementsi aˆb 1 ou aˆb‡1, mais ceci estclairementimpossible car 1>b>a>0.

D'apreÁs la formule (22), a‡c estclairementnon nul, car 0<g<1.

D'apreÁs la formule (21)b‡cestnul si etseulementsigˆ 1‡a‡bou gˆ1‡a‡b. Sigˆ1‡a‡b, alorsg>1, et cette eventualite estexclue.

Si gˆa‡b 1, alors g a bˆ 1, mais g a b>0 par hypotheÁse.

Donc le produit(a‡b)(a‡c)(b‡c) estnon nul.

Plus difficile estde deÂmontrer qu'aussi le quatrieÁme facteur est non nul:

ab‡ac‡bcˆ2(g²( 1‡a‡b 2ab)‡

‡g(1‡a‡b)(1 a b‡2ab) 2(ab)²):

Nous en profitons pour esquisser la deÂmonstration d'une proprieÂte plus forte. Nous veÂrifions que la fonction

f(a;b;g)ˆab‡ac‡bc satisfait

0f(a;b;g)3 4

si 0abg1; de plus, ces bornes sont atteintes seulement si au moins l'une des conditions suivantes est veÂrifieÂe:

aˆ0; aˆb; bˆg; gˆ1:

…38†

En particulier, f(a;b;g) estpositive non nulle si a;b;g sontsoumis aux contraintes 0<a<b<g<1, ce qui implique le lemme.

On calcule les points singuliers reÂels («points critiques») de la surface algeÂbrique SdeÂfinie par f(a;b;g)ˆ0 (⁶). Ce sontles points qui annulent toutes les deÂriveÂes partielles de f d'ordre 1, etils sontdonneÂs par les conditions simultaneÂes:

(2a g)(2b²‡g 2bg)ˆ0 (2b g)(2a²‡g 2ag)ˆ0 (1 a b‡2ab)(1‡a‡b 2g)ˆ0:

Voici le resultat du calcul (nous n'en donnons pas les deÂtails ici); nous avons 9 points critiques:

g₀ˆ(1=2;1=2;1) g₁ˆ( 1;0;0) g₂ˆ(0;1;2) g₃ˆ(1;0;0)

(⁶) C'est une surface elliptique. P. Corvaja a demontre qu'elle admetau moins un point d'ordre infini, ce qui implique que les points rationnels de cette surface sontdenses.

g₄ˆ(2;1;2) g₅ˆ(0; 1;0) g₆ˆ(1;0;2) g₇ˆ(0;1;0) g₈ˆ(1;2;2):

On faitune eÂtude locale des points critiques. La matrice hessienne defeng₀ est:

2 0 1

0 2 1

1 1 2

0 B@

1 CA;

de valeurs propres neÂgatives 2; 2 

p2

; 2‡ 

p2

, d'ouÁ l'on deÂduitque f(g₀)ˆ3=4 estun maximum reÂlatif pour f. On veÂrifie (en calculantles matrices hessiennes), qu'aucun autre point critique n'est extremal (i. e.

minimum ou maximum relatif).

On veÂrifie directement qu'aucun point critique ne se trouve dans le tetraheÁdre reÂel U ouvertdeÂfini par les ineÂgaliteÂs 0<a<b<g<1, et qu'aucun point critique autre queg₀ne se trouve dans le tetraheÁdre reÂelU ferme deÂfini par 0abg1; Le pointg₀se trouve, quant'aÁ lui, sur le bord topologique de ce tetraheÁdre.

On deÂduit de cette eÂtude que sim2Uestun minimum absolu (resp.

maximum absolu) def surU, alorsmse trouve sur le bord deU. L'eÂtude continue de la meÃme facËon en consideÂrant les restrictions def aux faces de

U, puis aux areÃtes. p

ReÂmerciements. L'auteur voudrait remercier l'Arbitre pour avoir suggeÂre la deÂmonstration du lemme 3 reporteÂe ici, qui remplace une deÂ- monstration preÂceÂdente plus compliqueÂe.

REFERENCES

[1] D. BERTRAND, Theta functions and transcendence.Ramanujan J., 1, No. 4 (1997), pp. 339±350.

[2] D. BERTRAND- W. ZUDILIN,Derivatives ofSiegel modular forms and exponen- tial functions.Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.,65, No. 4 (2001), pp. 21±34.

[3] V. BOSSER, IndeÂpendance algeÂbrique de valeurs de seÂries d'Eisenstein, A paraõÃtre dans SeÂminaires etCongreÂs, SMF (2005).