Math 30421
Module 4 – Étude de la fonction Ex. 8.3 p.282 # 1, 2, 3, 4
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Ex 8.3 : p. 282
1. Compléter la définition suivante.
La droite d’équation y = ax + b, où a≠0, est une asymptote oblique de la courbe de f s’il est possible d’exprimer f(x) sous la forme f(x) =ax+b+r(x), telle que lim r(x) 0
x =
−∞
→ ou lim r(x) 0
x =
+∞
→
2. Donner l’équation des asymptotes obliques ci-dessous.
D1 passe par (-2, 0) et (0, -2) 2 1
0 0 2 x
x y m y
1 2
1
2 =−
+
−
= −
−
= − y=−x−2
D2 passe par (2, 0) et (0, -3) 2 3 2 0
0 3 x
x y m y
1 2
1
2 =
−
−
= −
−
= − x 3
2 y=3 −
3. Déterminer, si possible, les asymptotes obliques des fonctions suivantes.
a) 2
x 1 7 x 5 ) x (
f = − + b) 2
2 3
x
4 x x 6 x ) 4 x (
f = − + − 2
x 4 6 x
x
4 − + −
=
x 0 lim 7
x 0 lim 7
x 2 x 2
=
=
+∞
→
−∞
→
x 0 x 1 4 x x lim
4 lim x
x 0 x 1 4 x x lim
4 lim x
x 2 x 2
x 2 x 2
=
−
− =
=
−
− =
+∞
→ +∞
→
−∞
→
−∞
→
, donc 5x – 1 est une asymptote oblique. , donc 4x – 6 est une asymptote oblique.
c) 3
3
x 1
1 x ) x
x (
f +
−
= − 3
x 1 1 x
+ +
−
= d)
x x 3 x 1 ) x
x ( f
2 3 + +
= +
x 1 1 x 3 x2 + + +
=
x 1 x
1 1 x x 1 x
3 3 3
−
−
−
− +
− +
∞
= +
∞
= +
+∞
→
−∞
→
x x 1 lim
x x 1 lim
2 x
2 x
1 x
1 x x 3
1 x x 3 x
1 x 3 x
1 x x 3 x x
2 2 3
2 2 3
+ + +
+ ++ + +
Aucune asymptote oblique, a = 0 Aucune asymptote oblique, lim r(x) 0
x ≠
±∞
→
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Module 4 – Étude de la fonction Ex. 8.3 p.282 # 1, 2, 3, 4
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4. Déterminer les asymptotes obliques des fonctions suivantes et donner l’esquisse du graphique de la fonction près de ces asymptotes.
a) 2
2 3
x
5 x 4 x ) 3 x (
f = + + 2
x 4 5 x 3 + +
=
5 x 4
5 x 4 x 3
4 x 3
5 x 4 x 3 x
2 2 3
2 3 2
+ ++ +
x 0 lim 5
x 0 lim 5
x 2 x 2
=
=
+∞
→
−∞
→ , donc 3x + 4 est une asymptote oblique
b) x 1
2 x 3 x ) 2 x ( f
2
+ +
−
= −
1 x 1 3 x
2 − + +
−
=
3 1 x
2 x
x 2 x 2
1 x 2
2 x 3 x 2 1 x
2 2
−
− +
−
−
−
−
− +
−
− +
1 0 x lim 3
1 0 x lim 3
x x
+ = + =
+∞
→
−∞
→ , donc -2x - 1 est une asymptote oblique
c) f(x)= 4x2 +9 pour x →−∞
[ ] [ ] [ ]
[
44xx 99 22xx]
lim[ [44xx 99 42xx] ] lim 4x 99 2x 0
x 2 9 x 4 lim ax ) x ( f lim
b 2 x 2
2 2
2 x 2 2
x
x =
−
= +
− +
−
= +
− +
−
× + + +
=
−
= →−∞ →−∞ →−∞ →−∞
Donc, y = -2x est une asymptote oblique quand x →−∞
pour x→+∞
[ ] [ ] [ ]
[
44xx 99 22xx]
lim[ [44xx 99 42xx] ] lim 4x 99 2x 0
x 2 9 x 4 lim ax ) x ( f lim
b 2 x 2
2 2
2 x 2 2
x
x =
+
= + + +
−
= + + +
+
× +
− +
=
−
= →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
Donc, y = 2x est une asymptote oblique quand x→+∞
x 2 x 4 9 x x lim
x 4 9 x x lim
9 x lim 4 x
) x ( lim f
a 2
x 2 x
2 x
x − + =−
+ = + =
=
= →−∞ →−∞ →−∞ →−∞
x 2 x 4 9 x x lim
x 4 9 x x lim
9 x lim 4 x
) x ( lim f
a 2
x 2 x
2 x
x + =
= + + =
=
= →+∞ →+∞ →+∞ →−∞
