D10576. Aire mystérieuse
Quatre segments EA, ED, F C, F D partagent en 8 l’aire de ce rectangle.
Trois de ces 8 parties ont des aires connues, de valeur 9, 35, 6 comme indiqué. Trouver l’aire de la partie grisée avec le point d’interrogation.
Solution
Ajoutons les aires des trianglesADF, ABE, BCF, CDE. Ce totalScouvre une fois les zones blanches et deux fois les zones d’aire 9, 35 et 6. Mais le triangle F CD a l’aire moitié de l’aire du rectangle, comme la somme des aires deADF etBCF; de même, le triangle ADE a l’aire moitié de l’aire du rectangle, comme la somme de ABE etCDE. Ainsi S est l’aire du rectangle, et l’absence de la zone grise contiguë àDest compensée par les aires 9, 35 et 6 comptées une fois de trop. L’aire recherchée est donc 9 + 35 + 6 = 50.
Remarque. Les données déterminent aussi l’aire S du rectangle, mais le calcul en est plus difficile.
Je prends comme paramètrese=BE/BC etf =BF/BA. Avec des axes BCx, BAy, le pointI =AE∩CF vérifie
xI/BE+yI/BA= 1 =xI/BC+yI/BF, soit xI =BCe−ef
1−ef, yI =BAf −ef
1−ef, et on a pour aire de BEIF xI.BF +yI.BE
2 =Sef2−e−f 2(1−ef) = 35.
Le pointJ =AE∩DF vérifie de même
xJ/BE+yJ/BA= 1 =xJ/AD+ (BA−yJ)/AF, soit xJ =BC e−ef
1 +e−ef, yJ =BAe+f−ef
1 +e−ef, et on a pour aire deAJ F xJ.F A
2 =Se (1−f)2
2(1 +e−ef) = 9.
EchangeantA et C d’une part, eet f d’autre part, on échange J avec le pointK =DE∩CF, et le triangle CEK a pour aire
yK.EC
2 =Sf (1−e)2
2(1 +f−ef) = 6.
On dispose donc de 3 relations entre les 3 inconnues e, f, S. Eliminant d’abordS par la valeur commune de 1260/S :
18ef(2−e−f)
1−ef = 70e(1−f)2
1 +e−ef = 105f(1−e)2 1 +f−ef .
Combinant ces fractions en faisant apparaître 1 +e−ef −(1−ef) et 1 +f−ef−(1−ef), on obtient comme valeur commune de ces rapports 70−176f + 18ef+ 88f2 = 105−246e+ 18ef+ 123e2.
Cela donne 88(1−f)2−123(1−e)2, et (1−f)√
88 = (1−e)√
123 =g.
La combinaison donnant 3f(1 +e−ef)−2e(1 +f−ef) au dénominateur donne pour numérateur 210ef(2−e−f)(e−f), et le rapprochement avec la première fraction donne la relation
(3f−2e)(1−ef) +ef = 35(1−ef)(e−f)/3, ou (1−ef)(41e−44f + 3) = 3, ou encore
(1−e+e(1−f))(44(1−f)−41(1−e)) = 3, et avec l’inconnue auxiliaire g
=g2(√
123 +√ 88−g)
√66−√ 41 6√
22·41 , d’où l’équation g3−g(
√ 123 +
√
88) +396√
123 + 369√ 88
25 = 0.
On en tire g = 4,4244875, e = 0,6010574, f = 0,52834805, puis S = 172,785.
Remarque. Je présume que l’auteur de cet énoncé n’a pas envisagé une telle analyse ; plus vraisemblablement, il est parti de valeurs “rondes” pour BA, BC, BE, BF, et a retenu des valeurs arrondies pour les 3 aires indi- quées, cela étant sans incidence sur la manière de traiter la question posée.
