G 245. La quatrième puissance
On considère une suite de 2011 nombres entiers positifs tels qu’aucun d’eux n’a un facteur premier supérieur à 28.
Montrer que cette suite contient quatre termes dont le produit est une puissance quatrième d’un entier.
Solution de Michel Lafond
Par hypothèse, les 2011 nombres notés (Un) n = 1,2 --- 2011 de la suite sont tous de la forme : 2a 3b 5c 7d 11e 13f 17g 19h 23i.
Considérons uniquement les 9-uplets (a, b, c, d, e, f, g, h, i) des exposants.
Modulo 2 il y a 29 = 512 9-uplets distincts. Si on en choisit 513, d’après le lemme des tiroirs, il y en aura deux identiques disons U et U’.
Leur somme U + U’ sera un 9-uplet composé uniquement de nombres pairs.
Il reste 2011 – 2 9-uplets. On recommence l’opération précédente (choix de deux 9-uplets égaux modulo 2 parmi les 9-uplets restants) jusqu’à l’obtention d’un ensemble P contenant 513 9-uplets tous composés de nombres pairs.
Il reste 2011 - 2 513 = 985 9-uplets qui ne seront pas utilisés.
Les composants des 9-uplets de P sont tous égaux à 0 ou 2 modulo 4.
Modulo 4 il y a 29 = 512 9-uplets distincts composés de 0 ou de 2.
Parmi les 513 9-uplets de P, il y en a donc nécessairement deux qui sont égaux modulo 4, et leur somme sera un 9-uplet composé uniquement de multiples de 4 puisque 0 + 0 = 2 + 2 = 0 modulo 4.
Finalement on a obtenu une somme de quatre 9-uplets (a, b, c, d, e, f, g, h, i) dont la somme est un 9- uplet contenant 9 multiples de 4.
Le produit des quatre nombres 2a 3b 5c 7d 11e 13f 17g 19h 23i associés est de la forme : 24a’ 34b’ 54c’ 74d’ 114e’ 134f’ 174g’ 194h’ 234i’ qui est comme souhaité une puissance de 4.
