I149 Le parachutage en pleine forêt [** à la main]
Solution Question n°1
A partir du point A, le choix du parachuté est simple :
1) s’enfoncer dans la forêt selon une direction fixe quelconque et au bout de T heures, se trouver sur la circonférence d’un cercle de rayon 3T kilomètres,
2) rejoindre le point B de jonction des deux sentiers Bu et Bv, ce qui est réalisé au bout d’une heure. A partir de B, il est possible de progresser sur les sentiers seuls et de parcourir sur chacun d’eux les distances 12(T-1) kilomètres et 8(T-1) kilomètres. Il est également possible de quitter les chemins en point quelconque d’abscisse X par
rapport à B et de s’enfoncer à nouveau dans la forêt en prenant une direction fixe quelconque. ON aboutit sur la circonférence d’un cercle de rayon 3(T-1-X/v) avec v vitesse de progression sur le chemin.
Tous les cercles dont les centres se trouvent sur Bu et Bv ont pour enveloppes deux droites tangentes à ces cercles et qui ont pour origine le point le plus éloigné sur chacun des chemins.
D’où le contour à l’intérieur duquel le parachuté est susceptible de se trouver et qui est défini par la réunion d’un arc de cercle correspondant au premier choix de l’alternative et d’une ligne brisée correspondant au deuxième choix.
Le contour vert défini par arcFG ligne brise FCEDG, délimite la zone à l’intérieur de laquelle le parachuté peut se trouver au bout de 2 heures de marche. Les points les plus éloignés sur Bu et Bv sont respectivement C et D avec BC = 8 kilomètres et BD = 12
kilomètres. Les droites CE,CF,DF et DG, qui sont les enveloppes de tous les cercles centrés
sur BC ou sur BD et de rayon 3(1-X/v), sont tangentes au cercle de centre B et de rayon 3 kilomètres. Les points F et G sont les points d’intersection de ces tangentes avec le cercle de centre A et de rayon 6 kilomètres.
Le contour rouge qui correspond à 3 heures de marche comporte comme le précédent deux parties arcJK ligne brisée JGIHK. Chacune d’elles est l’homothétique de son homologue verte, l’arc de cercle à travers une homothétie de centre A et de rapport 3/2 et la ligne brisée à travers une homothétie de centre B et de rapport 2. Le contour rouge se déduit donc aisément à partir du contour vert et l’on pourrait étendre sans difficulté le contour rouge en fonction d’une durée quelconque de marche T supérieure à 3 heures.
Question n°2 (solution de Michel Goudard)
Pour atteindre la source, il y a trois voies d’accès possibles.
1) Prendre la ligne droite AS qui va dans la direction plein Est. La distance de 12 kilomètres se parcourt en 4 heures. Manifestement, ce n’est pas la voie la plus rapide même si c’est la plus courte par la distance.
2) Parcourir la distance AB et emprunter le chemin Bu jusqu’à un point M puis parcourir en ligne droite la distance MS de telle sorte que le temps de parcours
3 MS 8
BM soit
minimal.
On est ramené au problème classique du rayon lumineux qui traverse une paroi
séparée par deux milieux différents dont les densités sont proportionnelles aux vitesses sur le chemin et dans la forêt. Soit BMS le parcours de ce rayon avec les vitesses respectives de 8km/h et 3km/h sur BM et MS. Soient Mw la perpendiculaire en M à la droite BU et angle SMw = a.
La loi de Descartes permet d’écrire 8*sin(90°) = 3*sin(a). D’où sin(a) = 8
3, BM =
55 2
27 2
3
9 et MS =
55
36 et le temps de parcours minimal de ABMS est alors égal
16 ) 55 3 3 (
1 3 =3,3648..heures.
On note que le point M est à l’intersection de Bu et de la perpendiculaire issue de S à CE (voir1ère figure où l’on vérifie que BCE = SMw = a)
3) Parcourir la distance AB et emprunter le chemin Bv jusqu’à un point N puis parcourir en ligne droite la distance NS de telle sorte que le temps de parcours
3 NS 12
BN soit
minimal. Le même raisonnement que précédemment fondé sur le rayon lumineux BNS donne sin(b) =
12
3 avec angle SNx = b. Le temps de parcours minimal de ABNS est
égal à
8 ) 30 2 (
1 3 = 3,584.. heures.
En conclusion, le chemin le plus rapide consiste à passer par B et M sur Bu.
