A. Impulsion et quantité de mouvement.

IV. GRANDEURS CONSERVEES

Les lois de Newton (  

F = ma, action et réaction) sont les lois les plus fondamentales de la mécanique. Elles permettent en principe de résoudre tous les problèmes qui se posent dans ce domaine.

Il est possible cependant d'obtenir d'autres lois, qui découlent des lois de Newton et qui rendent plus facile la résolution de certains problèmes (un peu dans le même esprit que ce qui nous avait conduit à l'équation de la rotation =I). Ces lois feront appel à des grandeurs nouvelles qui seront dites

"conservées" parce que dans certains types de mouvements leur valeur ne peut changer. Pour les introduire, il nous faudra considérer l'action d'une force au cours d'un intervalle de temps t ou le long d'un déplacement x.

A. Impulsion et quantité de mouvement.

1. Définitions.

Soit une force constante 

F agissant sur un corps de masse m pendant un temps t et lui communiquant donc une accélération constante 

a. Soit alors 

v_i la vitesse initiale du corps et  v_f sa vitesse finale.

On montrera alors que partant de l'équation de Newton on peut obtenir la relation suivante:

Dans (1.32) le membre de gauche évalue l'action de la force au cours du temps; par définition, 

F t est appelé l'impulsion. Le membre de droite introduit une quantité nouvelle qui peut être attachée à tout objet en mouvement: La grandeur 

p, produit de la masse et de la vitesse, sera dite

"quantité de mouvement" de l'objet. Il s'agit d'une grandeur vectorielle qui a bien sûr même direction et même sens que la vitesse.

2. Généralisation.

Les conditions de départ du paragraphe précédent étant un peu restrictives, voici comment elles peuvent être généralisées:

m

ti

t = t + t i f

F v v = v + v

i f i 

fig.1.7

Démontrer (1.32)

   

 

F t = p - p = p où p = mv

f i

déf

 

( 1.32 )

Que sont la dimension et l'unité SI de la quantité de mouvement p?

 Si la force n'est pas constante au cours du temps, l'impulsion doit être partagée selon de petits intervalles de temps où F peut être considérée comme constante. En pratique, pour une variation quelconque, on obtient une intégrale:

Impulsion ^{dé f} F(t )dt + F(t )dt + ... = _{1 1 2 2} F dt

ti

 ^{ }



 S'il y a non pas une seule force mais plusieurs, c'est la force résultante qui compte.

 Si le système mécanique est en réalité constitué de plusieurs parties de masses et de vitesses différentes, la quantité de mouvement est la somme des quantités de mouvements.

(1.32) devient alors:

3. Utilité: La conservation de la quantité de mouvement.

Le principe de conservation de la quantité de mouvement est le suivant: "Quand un système mécanique n'est soumis qu'à des forces internes, sa quantité de mouvement totale se conserve".

Le cours s'efforcera de bien cerner les conditions dans lesquelles ce principe peut s'appliquer, la logique qu'il contient, et surtout en quoi il peut être fort utile dans certains problèmes. Quand il est applicable, il peut s'écrire au départ de (1.33) comme:

Exemple: Un classique du genre est le problème de la balle et du fusil, difficilement abordable au départ de (1.19), mais assez immédiat au départ de (1.34): Pourquoi cette dernière relation est- elle applicable dans ce cas? Résoudre le problème du recul du fusil.

B. Le moment angulaire et sa conservation.

Le moment angulaire L est à la rotation ce que la quantité de mouvement est à la translation (il découle d'ailleurs de =I de la même façon que p découle de F=ma). On se contentera ici de définir L et d'énoncer le principe de sa conservation:

 Définition:

où I est le moment d'inertie du système et  sa vitesse angulaire de rotation.

F dt = p - p avec F = F et P = m v

R f i

ti tf

R j

j j

j

j

  

 

 







( 1.33 )

Discuter le principe ci-contre et sa conclusion (1.34)

 

P = P_{f i}

( 1.34 )

Savoir définir "quantité de mouvement" et

"moment angulaire"

Que sont la dimension et l'unité SI de L ?

L = I ^déf  _{( 1.35 )}

 Principe de conservation (équation):

Ici aussi, il s'agit de bien voir dans quelle mesure ce principe est applicable et en quoi il peut se révéler utile.

Exemple: Le grand classique ici est le problème du patineur sur glace qui entame, bras étendus, un mouvement de rotation à faible vitesse, et qui en ramenant les bras le long du corps se met à tourner beaucoup plus vite. Le schéma ci-contre

propose un modèle simple de ce genre de problèmes: Deux masses m situées à une distance R de l'axe de rotation tournent à une vitesse i. Par un système de forces radiales (qui donc n'influencent pas la rotation), on ramène les deux masses à une distance R/2: Quelle sera la vitesse finale f?

C. L'énergie

1. Définitions

Dans le problème décrit au début du §A.1, l'action de la force peut être envisagée non seulement au cours du temps, ce qui nous avait

conduit à la notion de quantité de mouvement, mais également le long du déplacement x qu'effectue le mobile entre l'instant initial et l'instant final. Partant de l'équation de Newton, le résultat qu'on obtient s'écrit:

La grandeur nouvelle W est le travail de la force F le long du trajet x. La grandeur Ec est l'énergie cinétique du mobile de masse m et de vitesse v. Ces deux notions sont vraiment fondamentales en mécanique! Contrairement à la quantité de mouvement, qui est un vecteur, le travail W et l'énergie cinétique T sont des grandeurs SCALAIRES. Leur unité SI est le joule; elle correspond au travail d'une force de 1N sur un trajet de 1m.

Ce que nous dit l'équation (1.37) est que "le travail de la force F est responsable de la variation E_c de l'énergie cinétique".

Enoncer en une phrase le principe de conservation de L.

L = L_{f i} ( 1.36 )

m

m

m

m R R

R/2 R/2



 i

f

m

ti

t = t + tf i 

F vi v = v + vf i 

fig.1.7

x





Partant de F=ma, démontrer (1.37)

2 v

= m E et

x F

= W avec E

- E

= W : encore ou

2 v - m 2 v

= m x F

2 c

ci cf

i2 f

2

déf

déf





( 1.37 )

-) Quelle est la dimension de W et E_c? -) Quelle serait une autre expression pour le joule?

2. Généralisation.

 Si la force n'est pas alignée sur le déplacement, la forme exacte de W est le PRODUIT SCALAIRE de 

F par  x:

On discutera en particulier les cas  = 0°,  = 90° et  = 180°.

 Si la force n'est pas constante, la forme exacte de W est une intégrale:

 S'il y a non pas une force mais plusieurs, c'est la force résultante qui compte.

 Si le système mécanique est fait de plusieurs parties de masses et de vitesses différentes, l'énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques individuelles.

3. Conservation de l'énergie.

W et E_c ont la même dimension physique et peuvent être assimilés à deux formes différentes d'une même grandeur que nous appellerons "énergie". L'équation (1.37) apparaît alors comme une première forme de CONSERVATION de cette quantité "énergie", surtout si on la réécrit sous la forme suivante (où on a aussi utilisé (1.39)):

...ce qui peut se lire: "Si le système avait au départ une énergie cinétique E_ci, et qu'une force F fournit en plus un certain travail W, alors la somme de ces deux énergies forme l'énergie cinétique finale E_cf". On discutera cette équation dans le cas où F est dans le sens du déplacement, ce qui signifiera qu'elle travaille au profit du système et donc que Ecf > E^ci.... et dans le cas où F est opposé au déplacement, ce qui signifiera qu'elle travaille au détriment du système et donc que E_cf. < E^ci. On fera le parallèle avec le langage utilisé pour l'équation de Newton (force "accélératrice" ou "décélératrice"):

Parler en termes d'énergie n'apporte pas quelque chose de nouveau par rapport à cette équation, mais apporte un point de vue nouveau à la mécanique.

Exemple: Une masse de 2kg se déplace à la vitesse de 1m/s. Une force constante de 10N agit sur elle sur 5m de distance. Calculer la vitesse finale par (1.19) et (1.13) d'une part; par (1.37) d'autre part. Quelle est la voie la plus rapide?

F



x ( 1.38 ) W = F x = F x cos    

W = F dx

i

f   



 

 



 + ...

2 v + m 2

v

= m E

2 2 2 2 1 1 c



2 f 2

i cf ci

2

= mv x d . F 2 +

mv : ou

E

= W + E

 

( 1.40 )

4. Forces conservatives et énergies potentielles.

a. Force de gravitation.

Soit une balle de masse m lancée vers le haut à une vitesse initiale vi, au départ d'une hauteur h_i.: Nous savons que lorsque la balle aura atteint une hauteur supérieure hf, sa vitesse aura diminué.

Ceci ne nous étonne pas puisque la seule force qui lui est appliquée est la force de gravitation mg , que cette force (vers le bas) est opposée au déplacement (vers le haut) et que donc W = F. x = mg. x < 0.    Le processus se poursuit d'ailleurs jusqu'à une hauteur hmax où la vitesse, et donc l'énergie cinétique, s'annulent complètement. Mais nous savons aussi que dans les instants qui suivent, la balle va amorcer un mouvement en sens inverse et que sa vitesse va se mettre à grandir à nouveau, un peu comme si l'énergie cinétique avait été stockée progressivement lors du mouvement ascendant et se voyait restituée intégralement lors du mouvement descendant. On dira que la force de gravitation "conserve" l'énergie sous une forme autre que cinétique: L'énergie potentielle!

En appliquant (1.37) à ce genre de problème simple, nous trouverons que pour des petites variations d'altitude h, l'énergie potentielle E_p peut s'écrire:

où l'altitude h peut être mesurée par rapport à N'IMPORTE QUEL NIVEAU DE REFERENCE! (liberté de choix pour h=0, et donc E_p=0! Ceci vient de ce que dans un problème concret il n'y a jamais que les variations d'altitude h qui comptent!)

Nous déduirons aussi l'importante équation de conservation (1.42), selon laquelle l'énergie cinétique peut toujours se transformer en énergie potentielle, ou inversement à condition que la somme (l'énergie totale Etot) reste constante!

Exemple: On lance vers le haut un objet avec une vitesse V0. A quelle hauteur sa vitesse sera-t-elle réduite au tiers de sa valeur de départ?

b. Force électrique

(La force électrique (1.27) est un autre grand exemple de force conservative associée à une énergie potentielle électrique. Ce point important sera abordé au cours d'électricité de deuxième année.

Voici, sans démonstration, l'expression de U électrique (voir conventions en (1.27)))

c. Force d'un ressort.

Le mouvement d'oscillation typique d'un ressort montre de l'énergie cinétique qui régulièrement s'annule, réapparaît, etc..., ce qui est caractéristique d'une force conservative.

Démontrer (1.41) et

(1.42)

E

= mgh

Dimension et unité de E_p?

Cste

= E + E

=

E

( 1.42 )

r Q' Q 4

= 1 E

0

p

 

Partant de (1.37) et (1.28) nous trouverons:

(Rappel: k est la constante caractéristique du ressort, et x son déplacement)

Exemple: Une masse m est attachée à un ressort de caractéristique k.

Alors que le ressort est dans sa position de repos, on lance la masse avec une vitesse V0. En supposant que le mouvement n'est soumis à aucun frottement, quelle est son amplitude?

5. Forces dissipatives et quantité de chaleur.

Par opposition aux forces conservatives, une force dissipative est telle que son travail

"consomme" (!?) véritablement l'énergie cinétique, sans espoir de pouvoir la restituer: Les forces de frottement en sont bien sûr l'exemple type. Si un objet glisse librement sur le sol, nous savons que plus ou moins rapidement il s'arrêtera à cause du frottement.

Nous possédons d'ailleurs tous les outils nécessaires

pour décrire ce type de mouvements: Ainsi, dans le cas très particulier d'un glissement horizontal et d'une force de frottement constante, la distance d'arrêt (partant d'une vitesse initiale V0) est donnée par (1.45)

On peut montrer expérimentalement qu'ici aussi l'énergie cinétique en fait se transforme intégralement en une autre forme d'énergie: la

chaleur Q, définie en (1.46) comme l'opposé du travail des frottements, et qui amène l'équation de conservation (1.47). Il est important de bien

comprendre la nature de cette forme d'énergie, qu'on dira "énergie dégradée", par opposition à E_c et E_p qu'on qualifiera d' "énergies nobles".

6. Conservation de l'énergie totale d'un système.

On peut imaginer qu'un système mécanique soit soumis à la fois à des forces conservatives et à des forces dissipatives (songer par exemple à un objet qui glisse sur un plan incliné), auquel cas la conservation de l'énergie pourrait s'écrire Etot= E^c + E_p + Q = Cte. En réalité il faut aller plus loin encore dans la généralisation et s'apprêter à rencontrer la grandeur "énergie" sous bien des formes différentes: énergie chimique, énergie électrique, nucléaire,... Il peut y avoir transformation d'une forme vers une autre, mais la somme restera toujours inchangée.

2

= kx E avec Cste

= E + E

= E

2 p p

tot c ( 1.44 )

2fg

= v fmg

= E x

2 0



( 1.45 ) Démontrer (1.45)

Q = - F .dx = F dx_f

i f

i

  f

 

Dimension et unité de Q?

Quelle est la nature de Q? Qu'est-ce qu'une énergie noble et qu'est-ce qu'une énergie dégradée??

Q + E

= E

( 1.47 ) Comment énoncer

(1.47) en français?

Cste

= ...

+ E + E + Q + E + E

=

E

( 1.48 )

D.Energie cinétique de rotation.

Quand un objet tourne autour d'un axe, tous ses points n'ont pas la même vitesse v et il est donc difficile d'appliquer la définition de E_c donnée en (1.37). L'analogue de E_c=mv²/2 pour la rotation s'écrit:

Exemple: Un cylindre plein de masse m et de rayon R roule sans glisser sur un plan horizontal et progresse à la vitesse v. Que vaut son énergie cinétique?

E.Puissance

La puissance est le taux de production d'un travail mécanique par une force. Donc si une force F fournit un travail W pendant un temps t, on a pour la puissance moyenne pendant ce temps:

Exemple: Une pompe élève en une heure 4m³ d'eau sur une hauteur de 3m. Quelle est la puissance de la pompe?

2

= I E

2 c



( 1.49 )





 



 







 



 



On pourrait démontrer (1.49) de façon analogue à (1.37), mais il serait plus instructif à ce niveau de faire le bilan des formules de translation et de rotation que nous connaissons déjà et de constater que les unes s'obtiennent au départ des autres par la transposition suivante:

Translation Rotation

e 

v ...

a ...

m ...

F ...

Tableau 1.2

Dimension et unité de P?? (important!!)

P = W

t ( 1.50 )

F. Machines simples et énergie

1. Avantage mécanique idéal et avantage mécanique réel.

Nous avons défini dans la relation (1.4) l'avantage mécanique d'une machine simple comme étant le rapport F_R/F_A de la force résistante sur la force motrice (ou force appliquée). Un avantage mécanique important suppose donc une démultiplication de la force appliquée, et il est un fait qu'en physique aucune loi de conservation ne concerne les forces, sauf peut-être le principe d'action et de réaction. On vient de voir qu'il n'en est pas de même pour les énergies: Toute l'énergie développée par la force motrice doit se retrouver quelque part après action, et il est exclu par ailleurs de voir

"apparaître" de l'énergie nouvelle. Deux cas peuvent se présenter:

* Ou bien le fonctionnement de la machine simple se fait sans aucun frottement, et dans ce cas le travail moteur doit se retrouver intégralement dans le travail résistant, ce qui permet d'exprimer l'avantage mécanique en fonction des déplacements x_A et x_R du point d'application de la force motrice et de la charge:

* Ou bien, de façon plus réaliste, on admettra que dans la plupart des cas le frottement joue un rôle non négligeable: Il transforme en chaleur Q une partie du travail moteur W_A, de sorte que le travail résistant W_R est toujours plus petit que W_A:

WA = WR + Q > WR ( 1.52 )

Partant de là, nous serons amenés à considérer les notions d'avantage mécanique idéal AMI et d'avantage mécanique réel AMR:

2. Rendement d'une machine.

Par définition, le rendement d'une machine est le rapport entre le travail accompli par la machine et l'énergie fournie à la machine. Il est toujours plus petit que l'unité (on l'exprime souvent en pourcentage).

Exemple: En utilisant un treuil à roue on peut monter une charge de 200kg en appliquant une force de 245N tangentielle à la roue. Les rayons du treuil et de la roue mesurent respectivement 80cm et 8cm.

Trouver l'avantage mécanique réel, l'avantage mécanique idéal et le rendement du treuil.

Démontrez (1.51) au départ de (1.40)

Discutez les

déplacements x pour les leviers et les machines simples de la page I.4

AM = F

F = x x

R A

A R



 ( 1.51 )

Comment passe-t-on

de (1.52) à (1.53)? AMI = x

x

= F F

AMR < AMI

A R R A





AMR ( 1.53 )

Rdt = W

W = F x

F x = AMR AMI < 1

R A

R R

A A



 ( 1.54 )

Grandeurs conservées: Exercices complémentaires.

1) Une balle est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 15m/s. Quelle hauteur atteint-elle? (R.: 11,47m)

2) Un corps de 2kg se trouve à 100m de haut. Quelle est son énergie potentielle? Si on le laisse tomber, que valent, à 60m de haut, son énergie potentielle et son énergie cinétique? (R.: 1962J, 1177J, 785J)

3) Un poids est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale V₀. A quelle hauteur la moitié de son énergie cinétique s'est-elle convertie en énergie potentielle? Quel est le rapport de sa vitesse à ce moment à la vitesse V₀? (R.: V₀²/4g; 0,71)

4) Un marteau-pilon de 500kg est soulevé de 3m par rapport au sommet d'un pieu. En tombant, il enfonce le pieu de 50cm. Quelle est la force moyenne de résistance à l'enfoncement? (R.: 34335N)

5) Un skieur atteint au cours d'une descente à pic sur un trajet de 100m, d'une dénivellation de 40m, une vitesse finale de 72km/h.

Quelle grandeur le coefficient de frottement a-t-il? (R.:0,21) 6) Une balle de masse m et de vitesse V₀ heurte un pendule balistique

de masse M et y reste logée. Quelle est la hauteur atteinte par le pendule? (R.: voir cours)

7) Quelle est l'énergie potentielle contenue dans un ressort hélicoïdal étendu de x=5cm et dont la caractéristique est k=1,5kg'/cm. (R.:1,84J)

8) Une masse de 12kg tombe d'une hauteur de 70cm sur un support à ressort dont la caractéristique vaut 40N/cm. De combien le ressort est-il comprimé? (R.: 23,5cm)

9) Un fusil tire une balle de 10g avec une vitesse de 500m/s. Si le fusil a une masse de 1,3kg, quelle est sa vitesse de recul? (R.:

3,85m/s)

10) Un cylindre plein¹ a une masse de 10kg, un diamètre de 20cm et une hauteur de 15cm. Il tourne à la vitesse de 50 tours/s autour de son axe (rotation pure donc). Quelle est son énergie cinétique et quel est son moment angulaire? (R.: 2465J; 15,7kg.m²/s)

11) Un cylindre plein roule vers le bas d'un plan incliné de 15m de haut. Trouver sa vitesse linéaire quand il atteindra le bas du plan. (R.: 14m/s)

12) Un homme de 70kg est immobile sur un plateau circulaire de 200kg et de 2m de rayon. L'homme se trouve à 1,5m de l'axe du plateau.

S'il se met à marcher avec une vitesse tangentielle de 5km/h, dans quel sens et avec quelle vitesse angulaire le plateau tournera-t- il? (R.: 0,36rad/s en sens opposé)

13) Le ventricule gauche du cœur envoie à chaque battement une masse de 75g de sang dans l'aorte avec une force capable de l'élever à 1,5m. Quelle est la puissance développée par le cœur s'il effectue 72 battements par minute? (R.: 1,32W)

14) Calculer la masse m qu'un moteur de 4,5 kW tire sur une surface horizontale à une vitesse de 7m/s. Le coefficient de frottement vaut 0,2. (R.: 328kg)

15) Il faut fournir 90kW à un treuil pour monter 5000kg à une hauteur de 12m en 20s. Quel est le rendement de la machine? (R.: 33%)

1 N.B.: Moment d'inertie d'un cylindre plein de masse m et de rayon R par rapport à l'axe principal:

I=mR²/2