Exercices : 09 - Interf´ erom` etre de Michelson
A. Formes de la figure d’interf´ erences
1. Anneaux de Haidinger
On consid`ere un interf´erom`etre de Michelson r´egl´e en lame d’air (on appellera M1 le miroir mobile et M2). Il est ´eclair´e par la raie verte de la lampe `a vapeur de mercure de longueur d’onde λ= 546,1 nm. L’´epaisseur de la lame d’air constitu´ee este, elle est tr`es voisine de 1 cm.
1. D´ecrire un tel interf´erom`etre.
2. En admettant qu’il y ait au centre un maximum d’intensit´e lumineuse, calculer les rayons des 4 premiers anneaux brillants dans le plan focal d’un objectif de focal 1 m.
3. Calculer la longueur d’ondeλ′qui provoquerait un d´eplacement des anneaux d’une frange vers l’ext´erieur de la figure. Que pensez-vous de la valeur trouv´ee ?
On ´eclaire maintenant avec uniquement la raie verte du mercure l’interf´erom`etre r´egl´e au contact optique.
4. D´ecrire la figure d’interf´erences.
En fait, `a la suite d’une mauvaise manipulation, le miroirM2 pr´esente une l´eg`ere d´eformation au niveau de son centre. Cette d´eformation est mod´elis´ee par une callote sph´erique de rayonR= 10 m.
5. Expliquer pourquoi la figure d’interf´erences est `a nouveau constitu´ee d’anneaux. Calculer les rayons des 4 premiers anneaux brillants.
Correcteurs : GC05
2. Etude d’un coin d’air´
Un interf´erom`etre de Michelson est mont´e en coin d’air. L’angle entre les deux miroirs estα= 5×10−4rad. Il est ´eclair´e sous une incidence quasi-normale par une source ´etendue spatialement. Celle-ci ´emet deux radiations de longueurs d’ondeλ1 etλ2 d’´egale intensit´e.
1. Donner l’expression de l’´eclairement obtenu sur le coin d’air ´equivalent en fonction de x, coordonn´ee d´efinie le long d’un des deux miroirs.
2. Les valeurs des longueurs d’onde sontλ1= 486 nm etλ2= 434 nm. Compte tenu de ces valeurs, donner une id´ee de l’allure de la courbeE(x). Calculer la p´eriode de la visibilit´e (contraste).
Correcteurs : GC11
3. Doublet du sodium - Influence sur le contraste
Un interf´erom`etre de Michelson est r´egl´e de telle sorte que ses miroirs soient exactement perpendiculaires et qu’on se trouve au contact optique. Il est ´eclair´e en lumi`ere parall`ele au moyen d’une lampe `a vapeur de Sodium ne fournissant que les seules raies du doublet de la raieD:λ1= 589,0 nm etλ2= 589,6 nm. Un moteur d´eplace lentement un des miroirs perpendiculairement `a son plan `a vitesse constanteV. On notexl’´epaisseur de la lame d’air ainsi constitu´ee. On mesure en permanence l’´eclairement au centre de la figure d’interf´erence en disposant un capteur CCD au foyer principal image d’une lentille mince convergente dispos´ee en sortie de l’interf´erom`etre.
1. ´Etablir l’expression de l’´eclairementE en fonction du tempst.
2. Donner l’allure de la courbe correspondante et le nombre de franges claires enregistr´ees entre deux annulations du contraste.
3. Quelle est la valeur de la fr´equence du signal ´electrique produit par le capteur si la vitesse est de d´epla- cement du miroir estV = 1 cm· h−1? Que faudrait-il faire pour obtenir sur un oscilloscope directement la fonction de contraste ? Quelle application pourrait-on faire de cette exp´erience ?
Correcteurs : GC14
4. Comptage de franges en coin d’air
Dans l’interf´erom`etre deMichelson sch´ematis´e `a la figure 1, la source S est plac´ee au foyer du collimateur (L). La s´eparatrice (Σ) est inclin´ee `a 45˚ sur le faisceau incident transmis par le collimateur, et la lentille d’observation (L′) est dispos´ee `a la sortie du Michelsonparall`element au miroirM2. Les d´ephasages dus `a la travers´ee de la s´eparatrice ne seront pas pris en compte car ils sont compens´es par une lame compensatrice non repr´esent´ee. Les miroirsM1 etM2sont initialement orthogonaux et tels queIO1=IO2, c’est-`a-direℓ= 0. On fait alors tournerM1 d’un petit angleθ autour d’un axe perpendiculaire au plan de la figure passant parO1 : on observe des franges sur l’´ecran plac´e dans le plan conjugu´e deM2 par rapport `a (L′).
(Σ)
b
bS
I x
y
ℓ M2
M1
a
a O1
O2
(L)
(L′)
´ ecran
Figure 1 – Interf´erom`etre deMichelson
1. La source est monochromatique de longueur d’ondeλ= 508,6 nm. On consid`ere un point P du miroir M2rep´er´e par la coordonn´eeO2P =y. D´eterminer la forme des franges et exprimer l’´eclairement enP. Calculer l’interfrangeien fonction deλetθ.
2. On observe sur l’´ecranN = 12 franges noires, les extr´emit´es de l’image du miroir correspondant `a des maxima d’intensit´e. Sachant que le diam`etre des miroirs est D= 20 mm, calculer l’angle θ en secondes d’arc.
On remplace la source bleue de longueur d’onde λ = 508,6 nm par une radiation rouge de longueur d’ondeλ= 643,8 nm.
3. Combien de franges sombres et brillantes observe-t-on ?
La sourceS est une lampe `a vapeur de sodium (bichromatique). En d´epla¸cantM2 d’un mouvement de translation selonIx, les franges nettes disparaissent puis r´eapparaissent p´eriodiquement.
4. Combien de franges d´efilent en un point de l’´ecran entre une disparition de franges et la disparition suivante sachant que les deux longueurs d’onde ´emises par la lampe `a vapeur de sodium valent λ1 = 589,0 nm etλ2= 589,6 nm ?
Correcteurs : GC12
5. Crit`ere qualitatif de brouillage
On consid`ere un interf´erom`etre deMichelsonr´egl´e en anneaux d’´egale inclinaison. On ´etudie l’intensit´e lumi- neuse sur le capteur plac´e au centreO de la figure d’interf´erence.
1. Donner l’expression de la diff´erence de marche δ et l’ordre p en O en fonction de z = y−x o`u x et y sont respectivement les distances de chacun des miroirs `a la s´eparatrice dans le cas d’une source monochromatique de longueur d’ondeλ0.
2. En d´eduire et tracer l’´eclairement ou l’intensit´e lumineuse E(z) lorsque les amplitudes des deux ondes sont ´egales.
3. L’amplitude des deux ondes n’est pas la mˆeme :A0 est l’amplitude de l’une des deux ondes alors que A0(1 +ε) est celle de la seconde avecε≪1. Calculer l’´eclairementE(z, ε) et exprimer le contraste de la figure d’interf´erences.
4. On revient `aε= 0. La source ´emet dans le domaine fr´equentiel [ν0−∆ν
2 , ν0+∆ν
2 ] une densit´e spectrale uniforme. Estimer la valeurzb>0 de ztelle qu’il y ait brouillage.
5. Applications num´eriques : ∆ν = 1012Hz etλ0= 634 nm. Peut-on observer le brouillage ? Mˆeme question si on utilise un laser de mˆeme longueur d’onde mais poss´edant une raie tr`es fine de largeur fr´equentielle
∆ν = 106Hz.
Correcteurs : GC02
B. Applications
6. Mesure de la largeur d’une raie
Une source ponctuelle monochromatique ´eclaire un interf´erom`etre de Michelson r´egl´e en lame d’air de telle sorte que l’un des miroirsM1soit fixe et que l’autre puisse se d´eplacer parall`element `a lui-mˆeme `a partir de sa position initiale correspondant `a une diff´erence de marche nulle. Un d´etecteur P situ´e sur l’axe du faisceau donne un signal ´electrique proportionnel `a l’intensit´eI du faisceau qu’il re¸coit.
1. ExprimerI en fonction de la fr´equenceν0 de la radiation ´emise et deτ = 2x/c,x´etant le d´eplacement deM2 etc la vitesse de la lumi`ere dans le vide.
2. La source n’´emet pas une onde monochromatique, comme cela est suppos´e pr´ec´edemment, mais une onde quasi-monochromatique centr´ee sur la fr´equence ν0. On note ∆ν1/2 la largeur totale `a mi-hauteur de l’intensit´e spectrale de la source. Trouver l’intensit´eI(τ) lorsque l’intensit´e spectrale de la raieIν est rectangulaire.
3. Un calculateur associ´e au d´etecteur fournit la fonction :V(τ) =Imax−Imin
Imax+Imin. TrouverV(τ). Tracer son graphe.
4. La raie rouge du cadmium (λ0 = 643,8 nm) pr´esente une intensit´e spectrale Iν approximativement rectangulaire. On observe, pour la premi`ere foisV(τ) = 0 pourx= 15 cm. En d´eduire ∆ν1/2 et ∆λ1/2. Correcteurs : GC09
7. Spectrom´etrie par transform´ee de Fourier
On ´eclaire un interf´erom`etre de Michelson mont´e en lame d’air d’´epaisseureavec une raie quasi-monochromatique, caract´eris´ee par son profil spectral :
dE0
dσ =f(σ) =Cexp−
(σ−σ0)2 a2
o`uσ= 1/λet o`uσ0, C et a≪σ0 sont des constantes positives. Pour simplifier, on ´etendra la fonction f aux valeurs n´egatives deσ, domaine o`u elle prend des valeurs n´egligeables.
1. Quelle est la signification deσ0? Calculer la largeur ∆σdu profil `a mi-hauteur et interpr´eter la constante a. Faire un graphique rapide du profil spectral.
2. On r´ealise un enregistrement de l’´eclairement au centre de la figure d’interf´erences en fonction de l’´epais- seur de la lame d’air qu’on fait varier en d´epla¸cant un des miroirs avec l’aide d’un moteur. ´Etablir l’expression de l’´eclairement E(e) en fonction de constantes et de la transform´ee de Fourier du profil spectral d´efinie par :
fb(x) = Z ∞
−∞
f(σ) exp(2jπσx)dσ
3. Sachant que Z ∞
−∞
exp−u2
a2exp(2jπux)du=a√
πexp−π2a2x2, ´etablir l’expression deE(e) et tracer l’al- lure de son graphe pour ∆σ≪σ0. Comment ´evolue la visibilit´e des franges ? Comment peut-on mesurer
∆σ? Quelle valeur deedoit-on pouvoir atteindre ? Correcteurs : GC13
8. Spectrom´etrie interf´erentielle
On consid`ere un interf´erom`etre deMichelsonr´egl´e en lame d’air. On utilise un d´etecteur, ponctuel, plac´e au centre du syst`eme d’anneaux dans le plan focal image d’une lentille convergente. Le miroirM1est mobile entre ℓ= 0 etℓ=L, ce qui entraˆıne une variation du chemin optique ∆ de ∆ = 0 `a ∆ = ∆max. Le d´etecteur mesure l’intensit´e lumineuseI(∆). Le mouvement du miroir est command´e par un syst`eme informatique qui enregistre la fonctionI(∆), appel´eeinterf´erogramme. Ce syst`eme calcule ensuite num´eriquement la transform´eeF(ω) de la fonctionI(∆), d´efinie par l’int´egrale :
F(ω) = Z ∆max
0
I(∆) cosω∆
c d∆
1. Donner l’expression de la diff´erence de marche ∆.
2. CalculerF(ω) dans le cas d’une raie monochromatique de pulsation ω0et repr´esenter l’allure de F(ω).
3. En d´eduire l’allure de la courbeF(ω) dans le cas de deux ondes de pulsationsω1et ω2> ω1, voisines de la pulsation centraleω0.
4. Montrer que ce dispositif peut ˆetre utilis´e comme un spectrom`etre. En d´efinissant par vous-mˆeme un crit`ere permettant de d´efinir le plus petit ´ecart spectral qui puisse ˆetre observ´e par ce dispositif, ´evaluer la r´esolution ∆ωR du spectrom`etre. En d´eduire son pouvoir de r´esolutionRd´efini par :
R= ω0
∆ωR
5. Montrer queRest fix´e par le nombreNmax de maxima d’intensit´e enregistr´es par le d´etecteur, lors de la course finie de l’interf´erom`etre.
6. On ´etudie une source lumineuse d’´emission centr´ee sur la pulsationω0et dont le spectre forme une courbe en cloche de largeur `a mi-hauteur ∆ω. `A quelle condition sur ∆ωR pourra-t-on dire que le spectrom`etre permet d’´etudier finement le profil de cette raie ?
Correcteurs : GC08
9. Mesure de d´eformation
Un interf´erom`etre de Michelson est r´egl´e au contact optique : les deux miroirs sont orthogonaux, sym´etriques relativement `a la lame s´eparatrice (cf. figure 2). L’un des miroirs est en fait l´eg`erement d´eform´e et forme une sph`ere, convexe, de grand rayon R. Les miroirs sont ´eclair´es par un faisceau de lumi`ere monochromatique de longueur d’onde λ issu d’un point lumineux situ´e sur l’axe de l’interf´erom`etre `a la distance d de la lame s´eparatrice. L’observation est r´ealis´ee au foyer d’une lentille convergente de focalef′.
Ensemble s´eparateur–compensateur
Figure 2 – D´eformation du miroir d’un interf´erom`etre 1. On n´eglige d’abord toute d´eformation du miroir.
Quel est, au contact optique, l’aspect de l’´ecran d’observation ? Le contact optique est r´ealis´e lorsqu’une mˆeme distancey s´epare les deux miroirs du syst`eme s´eparateur–compensateur.
2. On prend maintenant en compte la d´eformation sph´erique du miroir de l’interf´erom`etre.
(a) D´eterminer la position des deux images de la source donn´ees par les deux miroirs.
Quelle est la distancedimentre ces images ?
(b) Montrer que ces deux images sont d´ephas´es et calculer leur d´ephasage. On pr´ecisera la convention de signe choisie.
(c) Quel est l’aspect du champ d’interf´erence ?
(d) La distance entre le centre de la figure et la troisi`eme frange brillante estl= 5 cm ; on donned= 1 m, λ = 500 nm, f′ = 50 cm et y = 10 cm. On fera l’hypoth`ese que le centre de la figure est un point sombre. Cette hypoth`ese sera v´erifi´ee ensuite. CalculerR; commenter.
Correcteurs : GC03
10. Analyse d’un interf´erogramme
A l’aide d’un interf´erom`etre de` Michelson et un capteur d’intensit´e lumineuse, on a enregistr´e l’interf´ero- gramme de la figure 3. Pour y parvenir, on a d´eplac´e `a vitesse r´eguli`ere le miroir chariotable de l’interf´erom`etre.
Le graphique montre l’intensit´e lumineuse recueillie sur le capteur en fonction de la diff´erence de marche. La source lumineuse est suppos´ee pr´esenter deux raies assez fines d’intensit´es lumineuses diff´erentes.
Figure3 – Interf´erogramme enregistr´e sur un interf´erom`etre deMichelson
1. D´eterminer les deux longueurs d’onde, le rapport des intensit´es, ainsi qu’une estimation de la largeur des raies et de la longueur de coh´erence.
Donn´ees :
Acos [(α+ ∆α)x] +Bcos [(α−∆α)x] =a(x) cos [αx+ϕ(x)]
avec
a2(x) =A2+B2+ 2ABcos(2∆α x) et tanϕ= tan(∆α x)A−B A+B Correcteurs : GC06
C. Le probl` eme de la localisation des franges
11. Utilisation d’une source `a distance finie
On utilise un interf´erom`etre mont´e en lame d’air d’´epaisseurℓ. Cet interf´erom`etre est ´eclair´e par une source monochromatique ´emettant `a la longueur d’ondeλ0. Cette source est ponctuelle, elle est plac´ee en un point de l’axe Ox (xS <0). On consid`ere un point M du champ d’interf´erences situ´e `a des coordonn´ees (xM, yM) par rapport `a l’origineO prise au centre du dispositif sur la lame semi-r´efl´echissante. Voir le sch´ema de la figure 4.
1. Comment r´ealise-t-on en pratique une source monochromatique et ponctuelle, situ´ee `a une distance finie de l’interf´erom`etre ?
2. D´eterminer les coordonn´ees des deux sources secondaires S1 et S2 cr´e´ees par l’interf´erom`etre. S2 est l’image deS par la lame semi-r´efl´echissante et le miroirM2. En d´eduire la distance qui s´epareS1 etS2. Exprimer alors la distanceDen fonction de xS.
Dans toute la suite, on travaillera avec comme rep´erage du pointM o`u l’on ´etudie les interf´erences, la distanceDet l’angleθqu’on supposera suffisamment pour autoriser les d´eveloppements limit´es classiques sinθ≃tanθ≃θ et cosθ≃1−θ2/2.
3. Montrer que la diff´erence de marche des ondes qui interf`erent enM est donn´ee par : δ= 2ℓ
1 + ℓ
D 1−θ2 2
b
b b M
xS
S
O x
y
ℓ M1
M2
a
a
b b
S2
M θ D
Figure4 – Source `a distance finie
4. En d´eduire que la figure d’interf´erences enMobserv´ees avec une lentille convergente et un ´ecran est form´ee d’anneaux concentriques. Comment doit-on disposer la lentille et l’´ecran ? On note γ le grandissement transversal apport´e par la lentille convergente.
5. On suppose que le centre des anneaux correspond `a un maximum d’intensit´e lumineuse. D´eterminer, en fonction deγ,λ0, ℓ,D etnle rayonRn dun`emeanneau lumineux compt´e `a partir du centre.
6. La figure d’interf´erences est-elle localis´ee ? D´ecrire son ´evolution si on d´eplace la sourceS perpendiculai- rement `a l’axeOx.
Le faisceau incident est maintenant issu d’une source ´etendue incoh´erente, monochromatique de longueur d’ondeλ0, et situ´ee dans un plan perpendiculaire `a l’axeOxplac´e `a une distance finie. Cette source est circulaire de rayonRet de centreS.
7. D´ecrire comment se trouve modifi´ee la figure d’interf´erences.
8. On suppose que le nombreNvd’anneaux visibles est grand. ´Evaluer l’ordre de grandeur deNven fonction des param`etresλ0, D,ℓ etR.
9. Comment rendre maximal le nombre d’anneaux th´eoriquement visibles ? Montrer que dans ces conditions la figure d’interf´erences est localis´ee, et indiquer comment on dispose alors la lentille convergente et l’´ecran.
Dans ce dernier cas, calculer le rayonRn′ dun`eme anneau lumineux compt´e `a partir du centre suppos´e correspondre comme pr´ec´edemment `a une interf´erence constructive.
