Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚6
Recherche des racines cubiques d’une matrice
On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deC3. SoitA∈ M3(C) d´efinie par :
A=
−8 8 −8
−14 15 −14
2 −1 2
On introduitf l’endomorphisme deC3 canoniquement associ´e `aA.
Question 1 : Rappeler la d´efinition def en compl´etant le diagramme suivant.
f:C3→C3; X 7→. . . . Question 2 : Pr´eciser la matrice def dans la baseB.
MatB(f) =. . . . Question 3 : Calculer le rang def sans effectuer aucun calcul.
rang(f) =. . . . Question 4 : V´erifier le r´esultat pr´ec´edent `a l’aide de Maple.
Question 5 : De la question 3 d´eduire que 0 est valeur propre def et pr´eciser la dimension du sous-espace propreE0.
Question 6 : Calculer, `a l’aide de la commandecharpoly, le polynˆome caract´eristiqueχf def. χf =. . . .
Question 7 : Factoriser le polynˆomeχf `a l’aide de la commandefactor.
χf =. . . . Question 8 : D´eduire du r´esultat pr´ec´edent le spectre def.
Sp(f) =. . . .
Question 9 : A l’aide de la commande` kerneldonner une base de chacun des sous-espaces propres def. Une base de . . . est . . . .
Une base de . . . est . . . . Une base de . . . est . . . .
Question 10 : Retrouver les r´esultats des questions 8 et 9 au moyen de la commandeeigenvectors.
Question 11 : SoitD la matrice deM3(C) d´efinie par :
D=
8 0 0
0 0 0
0 0 1
. Construire une matriceP ∈GL3(C) tel que
(⋆) A=P DP−1.
On justifiera que la matriceP propos´ee est inversible et qu’elle satisfait l’identit´e (⋆).
P =
.
Justification de l’inversibilit´e deP :
Justification de l’identit´eA=P DP−1 :
Question 12 : Soientd1,d2,d3des nombres complexes deux `a deux distincts. On noteD(d1, d2, d3) la matrice deM3(C) d´efinie par :
D(d1, d2, d3) =
d1 0 0
0 d2 0
0 0 d3
.
SoitM une matrice deM3(C) qui commute avecD(d1, d2, d3), i.e. telle queM D(d1, d2, d3) =D(d1, d2, d3)M. D´emontrer queM est diagonale.
Question 13 : On appelle racine cubique de D toute matrice M de M3(C) qui v´erifie M3 = D. On note R3(D) l’ensemble des racines cubiques deD, i.e :
R3(D) ={M ∈ M3(C)|M3=D}.
On se propose de d´eterminer l’ensembleR3(D), `a l’aide d’un raisonnement par analyse synth`ese.
Analyse :SoitM une matrice deM3(C) telle queM3=D. Alors la matrice M commute avecD.
Justification : . . . . La matriceM est donc diagonale.
Justification : . . . . On peut donc ´ecrire la matriceM sous la forme
M =
a 0 0
0 b 0
0 0 c
o`ua,bet csont trois nombres complexes. CommeM3=D, on a : a3 = . . . . b3 = . . . . c3 = . . . .
Les valeurs possibles pourasont donc : . . . . La seule valeur possible pourb est donc : . . . . Les valeurs possibles pourcsont donc : . . . . Indication : On utilisera les r´esultats du cours de PTSI sur les racinesn-i`emes d’un nombre complexe (n∈N≥2).
De l’´etude pr´ec´edente, on d´eduit 9 candidats possibles pourM, `a savoir les matrices suivantes.
M1=
0 0
0 0
0 0
M2=
0 0
0 0
0 0
M3=
0 0
0 0
0 0
M4=
0 0
0 0
0 0
M5=
0 0
0 0
0 0
M6=
0 0
0 0
0 0
M7=
0 0
0 0
0 0
M8=
0 0
0 0
0 0
M9=
0 0
0 0
0 0
Synth`ese :V´erifier que les 9 matrices pr´ec´edentes sont bien racines cubiques deD.
Conclusion :L’ensemble des racines cubiques deD, not´eR3(D), est donn´e par : R3(D) ={M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9}
o`u les matricesMk (k∈J1,9K) sont les matrices d´efinies dans la phase d’analyse du raisonnement.
Question 14 : On appelle racine cubique deAtoute matriceM deM3(C) qui v´erifieM3=A. On noteR3(A) l’ensemble des racines cubiques deA, i.e :
R3(A) ={M ∈ M3(C)|M3=A}.
D´emontrer que l’application
Φ :R3(D)→ R3(A) ; M 7→P M P−1
est bien d´efinie et bijective.
Preuve du fait que Φ est bien d´efinie : SoitM ∈ R3(D). Montrons que P M P−1∈ R3(A).
Preuve de l’injectivit´e de Φ : SoientM etM′ deux ´elements deR3(D) tels que Φ(M) = Φ(M′). Montrons que M =M′.
Preuve de la surjectivit´e de Φ : SoientN un ´element deR3(A). D´emontrons que l’´equation Φ(M) =N
d’inconnueM dansR3(D) poss`ede une solution.
Question 15 : D´eduire de ce qui pr´ec`ede le cardinal deR3(A).
Card(R3(A)) =. . . .
Question 16 : D´eduire de la question 14 une description en extension de l’ensembleR3(A), `a l’aide de Maple.
