Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides.

Divers r´ egimes d’´ ecoulement des fluides.

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 2 / 70

Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Figure–Ecoulement mod`ele d’un fluide visqueux, le miel.

Mod´elisation de l’´ecoulement.−→v =az−→ux. Etude au CL :−→v =^U_ez−→ux.

Imaginons diverses couches de fluides.

L’op´erateur entraˆıne la couche sup´erieure du fluide alors que la couche inf´erieure est coll´ee `a la table. Les couches interm´ediaires sont donc plus ou moins entraˆın´ee, selon leur altitude.

Les forces qui g´en`erent ce mouvement du fluide sont donc desforces tangentielles, elles n’existent que du fait del’inhomog´en´eit´e de vitesse, i.e. que toutes les couches de fluides n’ont pas la mˆeme vitesse. Elles tendent `ahomog´en´eiser le champ de vitesse.

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Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Mod´elisation de l’´ecoulement :−→v = ^U_ez−→ux.

Figure–Ecoulement mod`ele des couches de fluide visqueux, le miel.

Forces entre les particules de fluides en ´ ecoulement.

Consid´erons une interfaced−→

S =dxdy−→uz entre deux couches de fluide.

La force exerc´ee par la particule du dessus (top) sur celle du dessous (bottom) est :

d−→

F_t→b=−p(M,t).dxdy−→uz+η∂vx

∂zdxdy−→ux

La composante tangentielle, due `a l’inhomog´en´eit´e de la vitesse, tend `a r´ehomog´en´eiser le syst`eme.

ηviscosit´e dynamique en Poiseuillekg.m⁻¹.s⁻¹. ηeau'10⁻³Pl.

ηair'10⁻⁵Pl. ηglycerine'1Pl

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Mod´elisation de l’´ecoulement :−→v = ^U_ez−→ux.

Figure–Ecoulement mod`ele des couches de fluide visqueux, le miel.

Forces entre les particules de fluides en ´ ecoulement.

Consid´erons une interfaced−→

S =dxdy−→uz entre deux couches de fluide.

La force exerc´ee par la particule du dessus (top) sur celle du dessous (bottom) est :

d−→

F_t→b=−p(M,t).dxdy−→uz+η∂vx

∂zdxdy−→ux

La composante tangentielle, due `a l’inhomog´en´eit´e de la vitesse, tend `a r´ehomog´en´eiser le syst`eme.

ηviscosit´e dynamique en Poiseuillekg.m⁻¹.s⁻¹. ηeau'10⁻³Pl.

ηair'10⁻⁵Pl.

ηglycerine'1Pl

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Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equivalent volumique des forces de viscosit´ e pour un ´ ecoulement

d−→

Fvisc=η−→ 4−→v dτ

d´emonstration :

d−→

Fvisc=d−→

Fvisc(z+dz) +d−→

Fvisc(z)d−→

Fvisc=η^∂v_∂z^x(z+dz)dxdy−→ux−η^∂v_∂z^x(z)dxdy−→ux

d−→

Fvisc=η^∂_∂z^2v₂^xdxdydz−→ux

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Equivalent volumique des forces de viscosit´ e pour un ´ ecoulement

d−→

Fvisc=η−→ 4−→v dτ

d´emonstration : d−→

Fvisc=d−→

Fvisc(z+dz) +d−→

Fvisc(z)d−→

Fvisc=η^∂v_∂z^x(z+dz)dxdy−→ux−η^∂v_∂z^x(z)dxdy−→ux

d−→

Fvisc=η^∂_∂z^2v₂^xdxdydz−→ux

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 8 / 70

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Equation de Navier Stockes

µ−→a =µD−→v

Dt =−−−→

grad(p) +µ−→g +d−→ F dτ +η−→

4−→v

µ(∂−→v

∂t + (−→v.−−→

grad)(−→v)) =−−−→

grad(p) +µ−→g +d−→ F dτ +η−→

4−→v

D´emonstration :

Bilan des forces :

Forces de pression (´equivalents volumiques) :d−→

Fp=−−−→ grad(p)dτ Poids :d−→

P =µdτ−→g

Forces de viscosit´e (´equivalents volumiques) pour ´ecoulements incompressiblesη−→ 4−→v dτ

µdτ−→a =µdτD−→v

Dt =−−−→

grad pdτ+µdτ−→g +d−→ F +η−→

4−→v dτ

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Equation de Navier Stockes

µ−→a =µD−→v

Dt =−−−→

grad(p) +µ−→g +d−→ F dτ +η−→

4−→v

µ(∂−→v

∂t + (−→v.−−→

grad)(−→v)) =−−−→

grad(p) +µ−→g +d−→ F dτ +η−→

4−→v

D´emonstration : Bilan des forces :

Forces de pression (´equivalents volumiques) :d−→

Fp=−−−→

grad(p)dτ Poids :d−→

P =µdτ−→g

Forces de viscosit´e (´equivalents volumiques) pour ´ecoulements incompressiblesη−→ 4−→v dτ

µdτ−→a =µdτD−→v

Dt =−−−→

grad pdτ+µdτ−→g +d−→ F +η−→

4−→v dτ

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Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Reprenons l’´ecoulement mod`ele du d´epart.

Mod´elisation de l’´ecoulement :−→v = ^U_ez−→ux.

Equation de diffusion de la vitesse :

Dans ce cas, l’´equation de la vitesse devient une ´equation de diffusion : µ∂vx

∂t =η4vx

∂vx

∂t =ν4vx=ν∂²vx

∂y²

ν=_µ^η est le coefficient de diffusion ou le coefficient de viscosit´e cin´ematiquem².s⁻¹ νair'10⁻⁵m².s⁻¹

νeau= ^η_µ'10⁻⁶m².s⁻¹

Interpr´etation : le termeη−→

4−→v correspond `a untransport diffusif de la quantit´e de mouvement. Il n’y a pas de mouvement du fluide selonOy, qui coule en couche selonOx.

Il s’agit d’un transfert par ´echange de mol´ecules mais sans ´echange de quantit´e de mati`ere.

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Reprenons l’´ecoulement mod`ele du d´epart.

Mod´elisation de l’´ecoulement :−→v = ^U_ez−→ux.

Equation de diffusion de la vitesse :

Dans ce cas, l’´equation de la vitesse devient une ´equation de diffusion : µ∂vx

∂t =η4vx

∂vx

∂t =ν4vx=ν∂²vx

∂y²

ν=_µ^η est le coefficient de diffusion ou le coefficient de viscosit´e cin´ematiquem².s⁻¹ νair'10⁻⁵m².s⁻¹

νeau= ^η_µ'10⁻⁶m².s⁻¹ Interpr´etation : le termeη−→

4−→v correspond `a untransport diffusif de la quantit´e de mouvement.

Il n’y a pas de mouvement du fluide selonOy, qui coule en couche selonOx.

Il s’agit d’un transfert par ´echange de mol´ecules mais sans ´echange de quantit´e de mati`ere.

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Le termeη−→

4−→v correspond `a untransport diffusif de la quantit´e de mouvement.

Le terme−→v.−−→

grad)(−→v) correspond `a untransport convectif de la quantit´e de mouvement.

Le d´eplacement du fluide entraˆıne naturellement un transfert de la quantit´e de mouvement.

Comparaison de deux termes :

Re=terme convectif

terme diffusif = ||µ(−→v.−−→

grad)(−→v))||

||η−→

4−→v|| =µvL η =vL

ν

Nombre de Reynolds.

Re= terme convectif terme diffusif =µvL

η =vL ν

Si l’´ecoulement est `a bas nombre de Reynolds,Re<<1, le transport diffusif domine le transport convectif.

Si l’´ecoulement est `a grand (ou fort) nombre de Reynolds,Re>>1, le transport convectif domine le transport diffusif.

Application :

Calcul du nombre de Reynolds de l’´ecoulement derri`ere une voiture, un v´elo, un ballon de foot. Ecoulement `a fort nombre de Reynolds.

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Le termeη−→

4−→v correspond `a untransport diffusif de la quantit´e de mouvement.

Le terme−→v.−−→

grad)(−→v) correspond `a untransport convectif de la quantit´e de mouvement.

Le d´eplacement du fluide entraˆıne naturellement un transfert de la quantit´e de mouvement.

Comparaison de deux termes :

Re=terme convectif

terme diffusif = ||µ(−→v.−−→

grad)(−→v))||

||η−→

4−→v|| =µvL η =vL

ν

Nombre de Reynolds.

Re= terme convectif terme diffusif =µvL

η =vL ν

Si l’´ecoulement est `a bas nombre de Reynolds,Re<<1, le transport diffusif domine le transport convectif.

Si l’´ecoulement est `a grand (ou fort) nombre de Reynolds,Re>>1, le transport convectif domine le transport diffusif.

Application :

Calcul du nombre de Reynolds de l’´ecoulement derri`ere une voiture, un v´elo, un ballon de foot.

Ecoulement `a fort nombre de Reynolds.

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

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Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

Nous avons ”naturellement” traduit ces CL. dans l’exemple de l’´ecoulement mod`ele du d´epart.

Conditions aux limites dans un fluide r´ eel (visqueux).

Dans un ´ecoulement r´eel (donc visqueux), les ?frottements ? du fluide sur la paroiσimpose que la vitesse du fluide au niveau de l’obstacle~v(M∈Σ) est ´egale `a la vitesse de d´eplacement de la paroi de l’obstacle~vΣ.

~

v(M∈Σ) =~v_Σ

Application :

Mod´elisation de l’´ecoulement :−→v =^U_ez−→ux.

Figure–Ecoulement mod`ele du fluide visqueux, le miel.

CL en (z= 0), sur le sol immobile :−→v(z= 0) =~0

CL en (z=e), sur le paroi mobile (tartine) :−→v(z=e) =U~ux

Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique. Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

Nous avons ”naturellement” traduit ces CL. dans l’exemple de l’´ecoulement mod`ele du d´epart.

Conditions aux limites dans un fluide r´ eel (visqueux).

Dans un ´ecoulement r´eel (donc visqueux), les ?frottements ? du fluide sur la paroiσimpose que la vitesse du fluide au niveau de l’obstacle~v(M∈Σ) est ´egale `a la vitesse de d´eplacement de la paroi de l’obstacle~vΣ.

~

v(M∈Σ) =~v_Σ Application :

Mod´elisation de l’´ecoulement :−→v = ^U_ez−→ux.

Figure–Ecoulement mod`ele du fluide visqueux, le miel.

CL en (z= 0), sur le sol immobile :−→v(z= 0) =~0

CL en (z=e), sur le paroi mobile (tartine) :−→v(z=e) =U~ux

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Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Etude g´en´erale des pertes de charges.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

L’´ecoulement de Poiseuille est un ´ecoulement `a sym´etrie cylindrique dans tube fin (appel´e aussi capillaire).

Exp´erimentalement, on constate que le fluide ne coule pas si aucune surpression n’est exerc´ee `a l’entr´ee du tube.

Le d´ebit est directement reli´e (proportionnel) `a la surpression entre l’entr´ee et la sortie et inversement proportionnel `a la longueur du tube.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 16 / 70

L’´ecoulement de Poiseuille est un ´ecoulement `a sym´etrie cylindrique dans tube fin (appel´e aussi capillaire).

L’´ecoulement est suppos´e stationnaire et incompressible, de masse volumiqueµ, de viscosit´e dynamiqueη, dans une canalisation cylindrique de rayon R faible et d’axe Oz horizontal, de longueur L. Un point dans la canalisation est rep´er´e par ses coordonn´ees cylindriques.

L’influence de la pesanteur sur l’´ecoulement est n´eglig´e.

Le champ de vitesse est suppos´e de la forme~v=vz(r,z)~uz et le champ de pressionP=P(r,z).

Il est rappeler que dans ce casdiv(~v) = ^∂v_∂z^z et4~v=¹_r∂r^∂(r.^∂v_∂r^z)~uz.

1 Montrons que la vitesse ne d´epend pas de la composante z.

2 (Montrons que l’acc´el´eration de la particule de fluide est nulle.)

3 Montrons alors que la pression ne d´epend pas de r et calculons la en fonction des deux valeurs aux extr´emit´es du tuyauP(z= 0) etP(z=L)<P(0).

4 Montrons que la vitesse du fluide est

vz(r) = (P(0)−P(L)).(R²−r²) 4ηL

5 Calculons le d´ebit volumique.

6 Faisons une analogie avec la loi d’Ohm (globale) en ´electrocin´etique.

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

L’´ecoulement de Poiseuille est un ´ecoulement `a sym´etrie cylindrique dans tube fin (appel´e aussi capillaire).

Figure–Visualisation exp´erimentale de l’´ecoulement de Poiseuille.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 18 / 70

L’´ecoulement de Poiseuille est un ´ecoulement `a sym´etrie cylindrique dans tube fin (appel´e aussi capillaire).

Figure–Visualisation de l’´ecoulement dans un tube.

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

Remarque : l’´ecoulement de Couette est un ´ecoulement de cisaillement (donc o`u la force de viscosit´e tangentielle joue un rˆole essentiel).

Figure–Viscosim`etre de Couette : cisaillement d’un fluide.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 70

Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Etude g´en´erale des pertes de charges.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Dans quel cadre le mod`ele d´evelopp´e ci dessus, appel´e mod`ele de Poiseuille, est il valable ? Dans quelle mesureRe”faible” intervient elle ?

Figure–Divers r´egimes dans une canalisation selon le nombre de Reynolds.

Le mod`ele utilise implicitementRe”faible” dans la forme suppos´ee de l’´ecoulement, i.e. en ne mettant la vitesse que sur~uz. Il reste toujours `a expliciter ce qui signifieRe”faible” ?

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 22 / 70

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Dans quel cadre le mod`ele d´evelopp´e ci dessus, appel´e mod`ele de Poiseuille, est il valable ? Dans quelle mesureRe”faible” intervient elle ?

Figure–Divers r´egimes dans une canalisation selon le nombre de Reynolds.

Le mod`ele utilise implicitementRe”faible” dans la forme suppos´ee de l’´ecoulement, i.e. en ne mettant la vitesse que sur~uz. Il reste toujours `a expliciter ce qui signifieRe”faible” ?

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Dans quel cadre le mod`ele d´evelopp´e ci dessus, appel´e mod`ele de Poiseuille, est il valable ? Dans quelle mesureRe”faible” intervient elle ?

Figure–Divers r´egimes dans une canalisation selon le nombre de Reynolds.

Le mod`ele utilise implicitementRe”faible” dans la forme suppos´ee de l’´ecoulement, i.e. en ne mettant la vitesse que sur~uz. Il reste toujours `a expliciter ce qui signifieRe”faible” ?

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 22 / 70

Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Etude g´en´erale des pertes de charges.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude g´en´erale des pertes de charges.

Les pertes de charges sont li´ee `a la chute de pression dans un tube de longueur L.

Ces pertes de charge se visualisent ais´ement dans les ´ecoulements de liquide par des tubes qui servent de ”prise de pression” et permettent (via l’´equation de la statique des fluides) une illustration imm´ediate de la lin´earit´e du ph´enom`ene.

Figure–Pertes de charges dans un ´ecoulement.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 24 / 70

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude g´en´erale des pertes de charges.

Dans le cas de l’´ecoulement de Poiseuille, la d´ecroissance de pression ou chute de la pression est proportionnelle `a la longueurLdu tuyau :

P(0)−P(L) =Dv.Rhyd=Dv.8Lη πR⁴

On constate exp´erimentalement que la chute de pression reste une fonction lin´eaire de la longueur L du tuyau pour les r´egimes turbulents.

Perte de charge r´ eguli` ere.

La diminution de pression totale ∆Ptot=P(0)−P(L) entre deux abscisses distante deLd’un mˆeme tuyau de diam`etreDconstant, aussi appel´ee perte de charge r´eguli`ere^∆P_µg^tot, est donn´ee par le facteur de frottement ou de friction sans dimensionf (ou Λ) d´efini dans la relation suivante :

P(0)−P(L) =f L DµU²

2

Le coefficient de frictionf (ou Λ) d´epend d’autres facteurs sans dimension :

1 du ReynoldsRe=^D.U_ν

2 de la rugosit´e relative du tuyau _D

Pour l’´ecoulement de Poiseuille,f =_Re⁶²

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude g´en´erale des pertes de charges.

Dans le cas de l’´ecoulement de Poiseuille, la d´ecroissance de pression ou chute de la pression est proportionnelle `a la longueurLdu tuyau :

P(0)−P(L) =Dv.Rhyd=Dv.8Lη πR⁴

On constate exp´erimentalement que la chute de pression reste une fonction lin´eaire de la longueur L du tuyau pour les r´egimes turbulents.

Perte de charge r´ eguli` ere.

La diminution de pression totale ∆Ptot=P(0)−P(L) entre deux abscisses distante deLd’un mˆeme tuyau de diam`etreDconstant, aussi appel´ee perte de charge r´eguli`ere^∆P_µg^tot, est donn´ee par le facteur de frottement ou de friction sans dimensionf (ou Λ) d´efini dans la relation suivante :

P(0)−P(L) =f L DµU²

2

Le coefficient de frictionf (ou Λ) d´epend d’autres facteurs sans dimension :

1 du ReynoldsRe=^D.U_ν

2 de la rugosit´e relative du tuyau _D

Pour l’´ecoulement de Poiseuille,f =_Re⁶²

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 25 / 70

Figure–Lecture des pertes de charges dans un tuyau cylindrique.

Diagramme de Moody pour une canalisation cylindrique. Ce diagramme, issu de relev´es exp´erimentaux, sert d’abaque pour lire le coefficient de perte de charge en fonction deReete=_D.

Un exemple d’utilisation est propos´e, pour un ´ecoulement de nombre de ReynoldsRe=2.10⁵dans un tuyau de rugosit´e relativee= 8.10⁻⁴: la lecture graphique conduit `a un coefficient de frottementf = 0,020.

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude g´en´erale des pertes de charges.

Figure–Etude du coefficient de perte de charge f Λ.

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Perte de charge singuli` ere.

La diminution de pression totale ∆Ptot=P(0)−P(L) lors du franchissement d’une singularit´e (coude, changement de section,...) dans une canalisation, aussi appel´ee perte de charge singuli`ere

∆P_tot

µg , est donn´ee par le facteur de pertes de charge singuli`ere sans dimensionf (ou Λ) d´efini dans la relation suivante :

P(apr`es)−P(avant) =fµU² 2

Le coefficient de pertes de charge singuli`eref (ou Λ) d´epend de nombreux facteurs :

1 la g´eom´etrie du changement.

2 de la rugosit´e relative du tuyau _D

Il existe d’innombrables formules adapt´ees `a chaque situation...

Etude des ´ecoulements dans un tuyau. Etude g´en´erale des pertes de charges.

Remarque :

Comme nous l’avons constat´e lors de diverses estimations num´eriques, l’´ecoulement de l’air ou l’eau dans une canalisation ”typique” est souvent `a fort Reynolds.

N´eanmoins pour des fluides tr`es visqueux (huile, miel, ...), ou bien dans des tubes tr`es fins (micro fluidique) ou encore pour des ´ecoulements `a tr`es faible vitesse, l’´ecoulement est laminaire.

Figure–Ecoulement laminaire, `a faible nombre de Reynolds, d’un glacier.

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Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Divers r´egimes d’´ecoulement.

Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Quelques notions sur l’aile d’avion.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Divers r´egimes d’´ecoulement.

Figure–Ecoulement laminaire, `a faible nombre de Reynolds.

Ecoulement laminaire.

Un ´ecoulement est dit laminaire si il est caract´eris´e par un faible nombre de Reynolds.

Dans ce cas, la force qu’exerce le fluide sur une sph`ere de rayon R, appel´ee force de traˆın´ee, est :

||−→

F_traˆın´ee||= 6πηRv

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Figure–Ecoulement laminaire, `a faible nombre de Reynolds, autour d’une aile d’avion.

Ecoulement laminaire.

Un ´ecoulement est dit laminaire si il est caract´eris´e par un faible nombre de Reynolds.

Dans ce cas, la force qu’exerce le fluide sur l’objet de taille caract´eristique R, appel´ee force de traˆın´ee, est :

||−→

Ftraˆın´ee|| ∝ηRv

Remarque : Ce cas o`uRefaible pr´esente peu d’int´erˆet.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Divers r´egimes d’´ecoulement.

Figure–Ecoulement `a sillage turbulent derri`ere une sph`ere.

Ecoulement turbulent.

Un ´ecoulement est dit `a sillage turbulent si il est caract´eris´e par un fort nombre de Reynolds.

Dans ce cas, la force qu’exerce le fluide sur une sph`ere de rayon R, appel´ee force de traˆın´ee, est :

||−→

Ftraˆın´ee||=1

2Cxµ(πR²)v² Cx d´epend fortement de la g´eom´etrie.

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Figure–Ecoulement `a sillage turbulent derri`ere une aile d’avion.

Ecoulement turbulent autour de l’aile d’avion.

Un ´ecoulement est dit `a sillage turbulent si il est caract´eris´e par un fort nombre de Reynolds.

Dans ce cas, la force qu’exerce le fluide sur une sph`ere de rayon R, appel´ee force de traˆın´ee, est :

||−→

Ftraˆın´ee||=1

2Cxµ(πR²)v² Cx d´epend fortement de la g´eom´etrie.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Divers r´egimes d’´ecoulement.

Figure–Turbulence dans un champ d’´eoliennes.

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De l’´ecoulement laminaire `a l’´ecoulement turbulent : r´egime transitoire ou ´ecoulement tourbillonnaire :

Figure–Ecoulement tourbillonnaire de Von Karman.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Divers r´egimes d’´ecoulement.

De l’´ecoulement laminaire `a l’´ecoulement turbulent : r´egime transitoire ou ´ecoulement tourbillonnaire :

Figure–Ecoulement tourbillonnaire dˆu `a une sph`ere.

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De l’´ecoulement laminaire `a l’´ecoulement turbulent : r´egime transitoire ou ´ecoulement tourbillonnaire :

Figure–Ecoulement de Von Karman naturel.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Divers r´egimes d’´ecoulement.

De l’´ecoulement laminaire `a l’´ecoulement turbulent : r´egime transitoire ou ´ecoulement tourbillonnaire :

Figure–Ecoulement de Von Karman naturel.

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De l’´ecoulement laminaire `a l’´ecoulement turbulent : r´egime transitoire ou ´ecoulement tourbillonnaire :

Figure–Ecoulement transitoire dans le ciel.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Divers r´egimes d’´ecoulement.

Etude exp´erimentales des forces de traˆın´ees.

Figure–Etude des divers r´egimes d’´ecoulement autour d’une sph`ere.

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Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Divers r´egimes d’´ecoulement.

Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Quelques notions sur l’aile d’avion.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Condition aux limites et couche limite.

Dans un ´ecoulement parfait, i.e. sans viscosit´e, le fluide coule le long de l’obstacle fixe : seule la composante de vitesse normale `a l’obstacle est nulle.

~v_(M∈Σ).~n_Σ=~v_Σ.~n_Σ(= 0 ici)

Dans un ´ecoulement r´eel (donc visqueux), les ”frottements” du fluide sur la paroi impose que la vitesse du fluide au niveau de l’obstacle soit la vitesse de l’obstacle, donc nulle ici :

~

v(M∈Σ)=~vΣ(=~0 ici) les composantes de vitesse normale et tangentielle sont nulles.

La couche limite est la couche de fluide dans laquelle la composante tangentielle de vitesse s’adapte.

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Figure–La couche limite permet une adaptation des conditions aux limites parfait/visqueux (composante tangentielle).

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Figure–La couche limite permet une adaptation des conditions aux limites parfait/visqueux (composante tangentielle).

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Figure–Visualisation exp´erimentale de la couche limite.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Figure–Visualisation exp´erimentale de la couche limite.

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Figure–Visualisation exp´erimentale de la couche limite sur une DS.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Figure–Visualisation exp´erimentale de l’´ecoulement de Poiseuille.

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Estimons maintenant la taille de la couche limite.

R´ einterpr´ etation de la couche limite.

Dans la couche limite, le transport de quantit´e de mouvement est essentiellement diffusif : la viscosit´e joue un rˆole essentiel.

En dehors de la couche limite et du sillage, l’´ecoulement peut ˆetre consid´er´e comme parfait : le transport de quantit´e de mouvement est essentiellement convectif, la viscosit´e peut ˆetre n´eglig´ee.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Estimons maintenant la taille de la couche limite.

Donc sur le bord de la couche limite, les deux ph´enom`enes ont des importances relatives comparables.

Figure–Sch´ema de la couche limite.

Premi`ere analyse : τ_diff = ^δ_ν² τconv =_U^x

τ_diff =τconv ⇒δ= rνL

U ⇒ δ L=

r ν L.U =

r1 Re

Seconde analyse :

(~v. ~grad)~v'(vx._∂x^∂)~v'^v_L^x2~ux

η−→

4−→v 'η^∂2vx

∂y²~ux'η^vx

δ²~ux

(~v. ~grad)~v=η−→ 4−→v ⇒δ

L= r ν

L.U = r 1

Re

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Estimons maintenant la taille de la couche limite.

Donc sur le bord de la couche limite, les deux ph´enom`enes ont des importances relatives comparables.

Figure–Sch´ema de la couche limite.

Premi`ere analyse : τ_diff = ^δ_ν² τconv =_U^x

τ_diff =τconv ⇒δ= rνL

U ⇒ δ L=

r ν L.U =

r1 Re Seconde analyse :

(~v. ~grad)~v'(vx._∂x^∂)~v'^v_L^x2~ux

η−→

4−→v 'η^∂_∂y^2v2^x~ux 'η^v_δ^x2~ux

(~v. ~grad)~v=η−→ 4−→v ⇒δ

L= r ν

L.U = r1

Re

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Estimons maintenant la taille de la couche limite.

Donc sur le bord de la couche limite, les deux ph´enom`enes ont des importances relatives comparables.

δ L=

r ν L.U =

r 1 Re Remarque :

Ecoulement du fluide dans la couche limite

Recouche limite=v.δ ν =

√ Re

SiRe'10⁸, la couche limite est turbulente, ce qui correspond `a la crise de traˆın´ee, le sillage turbulent voit sa taille diminuer.

Cette effet est mis `a profit pour les balles de Golf.

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Figure–Couche limite sur l’aile d’avion.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Figure–Couche limite sur l’aile d’un avion furtif.

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Plan

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Divers r´egimes d’´ecoulement.

Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Quelques notions sur l’aile d’avion.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

D´ efinitions sur l’aile d’avion.

L’extrados d´esigne la partie sup´erieure de l’aile.

L’intrados d´esigne la partie inf´erieure de l’aile.

La corde est la droite qui relie le bord d’attaque du bord de fuite.

L’angle d’incidence de l’aile est d´efini par rapport `a la corde.

La ligne de cambrure de l’aile d´efinit la ”forme de l’aile”.

Chaque aile est d´efinit par son profil NACA (comit´e national a´eronautique am´ericain).

Figure–Profil d’aile.

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Portance de l’aile d’avion.

Du fait de l’asym´etrie de l’aile d’avion et des turbulences, il apparaˆıt en plus de la force de traˆın´ee une force de portance

Fportance=1 2µSCzU²

Figure–Courbe polaire de l’aile : ´etude de la portance et de la traˆın´ee pour diverses incidences.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

Portance de l’aile d’avion.

Du fait de l’asym´etrie de l’aile d’avion et des turbulences, il apparaˆıt en plus de la force de traˆın´ee une force de portance

Fportance=1 2µSCzU²

Figure–Courbe polaire de l’aile : ´etude de la portance et de la traˆın´ee pour diverses incidences.

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Figure–Influence de l’angle d’incidence sur la portance et la traˆın´ee.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

Figure–De (belles) turbulences.

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Figure–De (belles) turbulences.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

Figure–De (belles) turbulences.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 62 / 70

Figure–De (belles) turbulences.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

Figure–De (belles) turbulences.

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Figure–De (belles) turbulences.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

Figure–De (belles) turbulences.

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L’aileron, aile ”invers´ee”.

Figure–Ailerons de formule 1.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

Foiler.

Figure–Les bateaux qui ”volent” au dessus de l’eau.

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La voile, ”aile verticale”.

Figure–La voile du navire.

Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle. Quelques notions sur l’aile d’avion.

1 Introduction de la viscosit´e `a l’´echelle m´esoscopique.

Forces sur une particule de fluide lors d’un ´ecoulement mod`ele.

Equivalent volumique des forces de viscosit´e pour un ´ecoulement incompressible.

Equation fondamentale de la dynamique des fluides.

Divers modes de transfert de quantit´e de mouvement, nombre de Reynolds.

Conditions aux limites dans un fluide r´eel (visqueux).

2 Etude des ´ecoulements dans un tuyau.

Etude de l’´ecoulement de Poiseuille.

Etude de divers r´egimes dans l’´ecoulement du tuyau.

Etude g´en´erale des pertes de charges.

3 Etude de l’´ecoulement autour d’un obstacle.

Divers r´egimes d’´ecoulement.

Etude locale de l’´ecoulement sur un obstacle : notion de couche limite.

Quelques notions sur l’aile d’avion.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Divers r´egimes d’´ecoulement des fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 70 / 70