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Logique(s) Langages Algorithmes module

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(1)

Logique(s) Langages Algorithmes

module un –Logique(s)

Dr. hab. Narendra Jussien

Ecole des Mines de Nantes´

IMA3

(2)

Plan

Plan du cours

1 Introduction

2 Logique des propositions

3 Logique du premier ordre

4 Logiques non classiques

(3)

Introduction

Plan

1 Introduction

2 Logique des propositions

3 Logique du premier ordre

4 Logiques non classiques

(4)

Introduction

D´ efinition

D´efinition (Logique (n. f.))

Etude scientifique des conditions de v´´ erit´e des propositions Mani`ere de raisonner

Enchaˆınement coh´erent d’id´ees

(5)

Introduction

Un (bref) historique

De l’antiquit´e `a la logique moderne Aristote

Notion depr´edicat:«S estP»

Syllogisme :«AB etBC donneAC».

xivesi`ecle

Buridan: g´en´eralisation de la logique d’Aristote xixe si`ecle

Booleet Fregeetachent la logique de la philosophie et la rattachent aux math´ematiques

d´eclic

passage de l’implicite`a l’explicite

(6)

Introduction

Un (bref) historique

De l’antiquit´e `a la logique moderne Aristote

Notion depr´edicat:«S estP»

Syllogisme :«AB etBC donneAC».

xivesi`ecle

Buridan: g´en´eralisation de la logique d’Aristote xixe si`ecle

Booleet Fregeetachent la logique de la philosophie et la rattachent aux math´ematiques

d´eclic

passage de l’implicite`a l’explicite

(7)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique

– logique(s) modale(s) – logique temporelle

Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(8)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique

– logique(s) modale(s) – logique temporelle

Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(9)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .)

Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique

– logique(s) modale(s) – logique temporelle

Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(10)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique

– logique(s) modale(s) – logique temporelle

Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(11)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique

– logique(s) modale(s) – logique temporelle Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(12)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s)

– logique temporelle Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(13)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s)

– logique temporelle

Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(14)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s)

– logique temporelle Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(15)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s)

– logique temporelle Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e)

– logique floue

(16)

Introduction

D´ emarche du cours

Etude de la logique binaire dans la perspective de la´ d´emonstration automatique

Logique des propositions (¬,∧,∨, . . .)

Logique du premier ordre (∀,∃,R,S,T,f,g,x,y, . . .) Etude de logiques non classiques´

Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s)

– logique temporelle Quelques logiques rivales

– logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´etermin´e) – logique floue

(17)

Logique des propositions

Plan

1 Introduction

2 Logique des propositions Aspects syntaxiques Aspects s´emantiques Aspects alg´ebriques Aspects d´eductifs

La th´eorie des nombres typographiques

3 Logique du premier ordre

4 Logiques non classiques

(18)

Logique des propositions

Notion de proposition

D´efinition

Unepropositionest un ´enonc´e du langage ordinaire consid´er´e du point de vue formel. Cet ´enonc´e est soitvraisoit faux mais pas les deux.

Exemple

«Le chat du voisin est mort» est une proposition

(19)

Logique des propositions

Notion de proposition

D´efinition

Unepropositionest un ´enonc´e du langage ordinaire consid´er´e du point de vue formel. Cet ´enonc´e est soitvraisoit faux mais pas les deux.

Exemple

«Le chat du voisin est mort» est une proposition

(20)

Logique des propositions

Notion de valeur de v´ erit´ e

Valeur de v´erit´e

Propositionvraiesi ad´equation entre proposition et faits du monde r´eel, faussesinon

Exemples

Le chat du voisin est mort

Jean consulte ses sources, en fait une synth`ese et passe `a la phase d’´ecriture

(21)

Logique des propositions

Notion de valeur de v´ erit´ e

Valeur de v´erit´e

Propositionvraiesi ad´equation entre proposition et faits du monde r´eel, faussesinon

Exemples

Le chat du voisin est mort

Jean consulte ses sources, en fait une synth`ese et passe `a la phase d’´ecriture

(22)

Logique des propositions

Etude du calcul propositionnel ´

Quatre ´etapes

1 Comment ´ecrire les formules ? aspects syntaxiques

2 Comment d´eterminer la valeur de v´erit´e d’une formule ? aspects s´emantiques

3 Existe-t-il un lien entre logique et math´ematique ? aspects alg´ebriques

4 Comment d´emontrer (automatiquement) de nouveaux r´esultats ?

aspects d´eductifs

(23)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Plan

1 Introduction

2 Logique des propositions Aspects syntaxiques Aspects s´emantiques Aspects alg´ebriques Aspects d´eductifs

La th´eorie des nombres typographiques

3 Logique du premier ordre Aspects syntaxiques Aspects s´emantiques Aspects d´eductifs

4 Logiques non classiques Logiques modales Logiques multivalentes

(24)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Les donn´ ees

Variables propositionnelles

P ={p,q,r, . . .}

Il s’agit d’´enonc´es ´el´ementaires Connecteurs logiques

C ={ ¬, ∧, ∨, →, ↔}

(25)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

F l’ensemble des formules du calcul propositionnel

D´efinition (r´ecursive)

Toute formule F ∈ F est de l’une des formes suivantes

1 F =p avec p∈P, F est alors dite formule ´el´ementaire ;

2 F =¬(H) avec H∈ F;

3 F = (H)(F) avec∈ {∧,∨,→,↔}et (H,K)∈ F2.

Exemples

(p)∧(q) (p)→((p)→(q)) Contre-exemples

p∧q (p)(q)∧

(26)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

F l’ensemble des formules du calcul propositionnel

D´efinition (r´ecursive)

Toute formule F ∈ F est de l’une des formes suivantes

1 F =p avec p∈P, F est alors dite formule ´el´ementaire ;

2 F =¬(H) avec H∈ F;

3 F = (H)(F) avec∈ {∧,∨,→,↔}et (H,K)∈ F2. Exemples

(p)∧(q) (p)→((p)→(q))

Contre-exemples

p∧q (p)(q)∧

(27)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

F l’ensemble des formules du calcul propositionnel

D´efinition (r´ecursive)

Toute formule F ∈ F est de l’une des formes suivantes

1 F =p avec p∈P, F est alors dite formule ´el´ementaire ;

2 F =¬(H) avec H∈ F;

3 F = (H)(F) avec∈ {∧,∨,→,↔}et (H,K)∈ F2. Exemples

(p)∧(q) (p)→((p)→(q)) Contre-exemples

p∧q (p)(q)∧

(28)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

R` egles d’´ elimination des parenth` eses

1 Supprimer les parenth`eses entourant les variables

2 Tenir compte de la priorit´e des connecteurs ordre standard : ¬,∧,∨,→,↔

3 Consid´erer qu’un op´erateur unaire l’«emporte» toujours sur un op´erateur binaire

Exemples

(¬(p))∧(q) devient¬p∧q

((¬(p))∧(q))→(r) devient¬p∧q →r

Par contre, (¬(p))∧((q)→(r))devient¬p∧(q →r)

(29)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

R` egles d’´ elimination des parenth` eses

1 Supprimer les parenth`eses entourant les variables

2 Tenir compte de la priorit´e des connecteurs ordre standard : ¬,∧,∨,→,↔

3 Consid´erer qu’un op´erateur unaire l’«emporte» toujours sur un op´erateur binaire

Exemples

(¬(p))∧(q) devient¬p∧q

((¬(p))∧(q))→(r) devient¬p∧q →r

Par contre, (¬(p))∧((q)→(r))devient¬p∧(q →r)

(30)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Caract´ erisation par une grammaire syntaxique de Chomsky

D´efinition (Grammaire g´en´erative de type 2)

G ={VN, VT, S, R}

VN d´esigne le vocabulaire non terminal VT d´esigne le vocabulaire terminal.

S un symbole de d´epart ;

R est l’ensemble des r`egles de la grammaire.

(31)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

G

CP

: une grammaire de Chomsky pour le calcul propositionnel

D´efinition de GCP VN ={S}

VT ={(,)} ∪P∪C

R =RN∪RT avec RN ={r|∈C} o`u : r¬ = (S,¬(S))

∀∈C \ {¬} r = (S,(S)(S)) et RT ={rp|p ∈P} avecrp= (S,p).

NB : (S,A) se lit « je remplace S par A»

(32)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

G

CP

: une grammaire de Chomsky pour le calcul propositionnel

D´efinition de GCP VN ={S}

VT ={(,)} ∪P∪C

R =RN∪RT avec RN ={r|∈C} o`u : r¬ = (S,¬(S))

∀∈C \ {¬} r = (S,(S)(S)) et RT ={rp|p ∈P} avecrp= (S,p).

NB : (S,A) se lit « je remplace S par A»

(33)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Caract´ erisation de mots

D´efinition (Mots)

Unmotpour un ensemble donn´e E est une juxtaposition d’´el´ements de cet ensemble

Il s’agit donc d’un ´el´ement de E

Exemples de mots surVT

pq∧ (p))q (p)∧(q)

(34)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Caract´ erisation de mots

D´efinition (Mots)

Unmotpour un ensemble donn´e E est une juxtaposition d’´el´ements de cet ensemble

Il s’agit donc d’un ´el´ement de E Exemples de mots surVT

pq∧ (p))q (p)∧(q)

(35)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Caract´ erisation de mots

D´efinition (Mots corrects)

On dit qu’un mot estcorrectou encore qu’il appartient au langage g´en´er´e par une grammaire G si et seulement si

c’est unmot sur VT

il «d´erive»de S par l’application d’un nombre fini de r`egles

Exemple

(p)∧(q) est correct dansGCP

Il d´erive deS par l’application successive des r`egles : r,rp et rq. On note :

S =r (S)∧(S)=rp (p)∧(S)=rq (p)∧(q)

(36)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Caract´ erisation de mots

D´efinition (Mots corrects)

On dit qu’un mot estcorrectou encore qu’il appartient au langage g´en´er´e par une grammaire G si et seulement si

c’est unmot sur VT

il «d´erive»de S par l’application d’un nombre fini de r`egles Exemple

(p)∧(q) est correct dansGCP

Il d´erive deS par l’application successive des r`egles : r,rp et rq. On note :

S =r (S)∧(S)=rp (p)∧(S)=rq (p)∧(q)

(37)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Exercice

Montrer que ((p)∧(q))→(r) est correct pourGCP.

Correction

Il s’agit bien d’un mot sur VT et ce mot d´erive de S par l’application successive de r,r,rp,rq,rr.

(38)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Exercice

Montrer que ((p)∧(q))→(r) est correct pourGCP.

Correction

Il s’agit bien d’un mot sur VT et ce mot d´erive de S par l’application successive de r,r,rp,rq,rr.

(39)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

D´efinition (Langage engendr´e par une grammaire)

L’ensemble des mots corrects dans une grammaire G est appel´e langageengendr´e par G . Il est not´e L(G).

NB : par d´efinition, F =L(GCP).

(40)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

D´efinition (Langage engendr´e par une grammaire)

L’ensemble des mots corrects dans une grammaire G est appel´e langageengendr´e par G . Il est not´e L(G).

NB : par d´efinition, F =L(GCP).

(41)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Backus

-Naur

-Form : une autre fa¸con d’´ ecrire les r` egles

GCP ={VN, VT, <proposition>, R}

VN ={<proposition>,<implication>,<terme>,

<facteur>,<proposition secondaire>,<proposition primaire>}

R est donn´e sous la forme BNF suivante :

<prop.> ::= <impl.> | <prop.> ↔ <impl.>

<impl.> ::= <terme> | <implication> → <terme>

<terme> ::= <fact.> | <terme> ∨ <fact.>

<fact.> ::= <prop. sec.> | <fact.> ∧ <prop. sec.>

<prop. sec.> ::= <prop. prim.> | ¬ <prop. prim.>

<prop. prim.> ::= (<prop.>) | p (avec p ∈P)

(42)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Exercice

Comment d´erive-t-onp∧(q→r) ?

Correction

<prop> =⇒ <implic.>

=⇒ <terme>

=⇒ <facteur>

=⇒ <facteur> ∧ <prop. sec.>

=⇒ <prop. sec.> ∧ <prop. sec.>

=⇒ <prop. prim.> ∧ <prop. sec.>

=⇒ p ∧ <prop. sec.>

=⇒ p ∧ <prop. prim.>

=⇒ p ∧ (<prop.>)

=⇒ ...

=⇒ p ∧(q →r)

(43)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Exercice

Comment d´erive-t-onp∧(q→r) ? Correction

<prop> =⇒ <implic.>

=⇒ <terme>

=⇒ <facteur>

=⇒ <facteur> ∧ <prop. sec.>

=⇒ <prop. sec.> ∧ <prop. sec.>

=⇒ <prop. prim.> ∧ <prop. sec.>

=⇒ p ∧ <prop. sec.>

=⇒ p ∧ <prop. prim.>

=⇒ p ∧ (<prop.>)

=⇒ ...

=⇒ p ∧(q →r)

(44)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Suppression compl` ete des parenth` eses : notations polonaises (ou de Lukasiewicz)

D´efinition (Notation post-fix´ee)

GCP0 ={ {S}, VT0, S, RN0 ∪RT } VT0 =P∪C ;

S est le symbole de d´epart ; RN0 ={r0 |∈C} o`u :

r¬0 = (S,S¬)

∀∈C \ {¬} r0 = (S,SS)

NB : on note F0 =L(GCP0 )

(45)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Suppression compl` ete des parenth` eses : notations polonaises (ou de Lukasiewicz)

D´efinition (Notation post-fix´ee)

GCP0 ={ {S}, VT0, S, RN0 ∪RT } VT0 =P∪C ;

S est le symbole de d´epart ; RN0 ={r0 |∈C} o`u :

r¬0 = (S,S¬)

∀∈C \ {¬} r0 = (S,SS)

(46)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Notation postfix´ ee

Exemple

1 + 2 en notationinfix´ees’´ecrit 1·2·+ en notation postfix´ee

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP0 ) ?

Correction

pq∧r → ¬

(47)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Notation postfix´ ee

Exemple

1 + 2 en notationinfix´ees’´ecrit 1·2·+ en notation postfix´ee

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP0 ) ?

Correction

pq∧r → ¬

(48)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Notation postfix´ ee

Exemple

1 + 2 en notationinfix´ees’´ecrit 1·2·+ en notation postfix´ee

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP0 ) ?

Correction

pq∧r → ¬

(49)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

D´efinition (Notation pr´efix´ee)

GCP00 ={ {S}, VT0, S, RN00 ∪RT } S est le symbole de d´epart ;

RN00 ={r00

|∈C} o`u :

r¬00 = (S,¬S)

∀∈C \ {¬} r00 = (S,SS)

NB : on note F00=L(GCP00 )

(50)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

D´efinition (Notation pr´efix´ee)

GCP00 ={ {S}, VT0, S, RN00 ∪RT } S est le symbole de d´epart ;

RN00 ={r00

|∈C} o`u :

r¬00 = (S,¬S)

∀∈C \ {¬} r00 = (S,SS)

NB : on note F00=L(GCP00 )

(51)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Notation pr´ efix´ ee

Exemple

1 + 2 en notationinfix´ees’´ecrit +·1·2 en notationpr´efix´ee

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP00 ) ?

Correction

¬ → ∧pqr

(52)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Notation pr´ efix´ ee

Exemple

1 + 2 en notationinfix´ees’´ecrit +·1·2 en notationpr´efix´ee

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP00 ) ?

Correction

¬ → ∧pqr

(53)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Notation pr´ efix´ ee

Exemple

1 + 2 en notationinfix´ees’´ecrit +·1·2 en notationpr´efix´ee

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP00 ) ?

Correction

¬ → ∧pqr

(54)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

D’une notation ` a l’autre

Soitf0:RT ∪RN −→RT ∪RN0

f0(r) =

r sir ∈RT

r0 si∈C etr =r

DeL(GCP) `a L(GCP0 )

SiS =br⇒F ∈ L(GCP) alors S f

0(br)

=⇒F0 ∈ L(GCP0 )

br est une s´equence r1, . . . ,rn d’´el´ements deRT ∪RN f0(br) est d´efinie comme la s´equence de r`egles de RT∪RN0 : f0(r1), . . . ,f0(rn)

(55)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Exemple

SoitF =¬(p∧q →r) formule deF.

S =br F On abr =r¬,r,r,rp,rq,rr

On af0(br) =r¬0,r0 ,r0,rp,rq,rr

On obtient directementF0 =pq∧r→ ¬.

NB : on d´efinit de la mˆeme fa¸con les traductions entre les diff´erents langages d´ecrivant les formules du calcul

propositionnel

(56)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Exemple

SoitF =¬(p∧q →r) formule deF.

S =br F On abr =r¬,r,r,rp,rq,rr

On af0(br) =r¬0,r0 ,r0,rp,rq,rr

On obtient directementF0 =pq∧r→ ¬.

NB : on d´efinit de la mˆeme fa¸con les traductions entre les diff´erents langages d´ecrivant les formules du calcul

propositionnel

(57)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Quelques instants de r´ eflexion

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP00 ) ?

Correction

On a S r¬=,r,r F. Donc, on a S r

00

¬,r00,r00

=⇒ F00. Ce qui donne F00=¬ → ∧pqr.

Exercice

R´esoudre les exercices 8 et 9 du poly

(58)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Quelques instants de r´ eflexion

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP00 ) ?

Correction

On a S r¬=,r,r F. Donc, on a S r

00

¬,r00,r00

=⇒ F00. Ce qui donne F00=¬ → ∧pqr.

Exercice

R´esoudre les exercices 8 et 9 du poly

(59)

Logique des propositions Aspects syntaxiques

Quelques instants de r´ eflexion

Exercice

Comment s’´ecrit la formule de L(GCP) ¬(p∧q →r) dans L(GCP00 ) ?

Correction

On a S r¬=,r,r F. Donc, on a S r

00

¬,r00,r00

=⇒ F00. Ce qui donne F00=¬ → ∧pqr.

Exercice

R´esoudre les exercices 8 et 9 du poly

(60)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Plan

1 Introduction

2 Logique des propositions Aspects syntaxiques Aspects s´emantiques Aspects alg´ebriques Aspects d´eductifs

La th´eorie des nombres typographiques

3 Logique du premier ordre Aspects syntaxiques Aspects s´emantiques Aspects d´eductifs

4 Logiques non classiques Logiques modales Logiques multivalentes

(61)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Valeurs de v´ erit´ e

D´efinition (Logique binaire) vrai (not´e ou1) faux (not´e ou0) D´efinition (Op´erateur)

A chaque connecteur c de C , on associe un` op´erateur c.

L’op´erateur¬

A` ¬est associ´e l’op´erateur unaire ¬de{,} dans{,} :

¬() =

¬() =

(62)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Op´ erateurs binaires usuels

conjonction

disjonction

implication

´

equivalence

(63)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Op´ erateurs binaires usuels

conjonction

disjonction

implication

´

equivalence

(64)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Op´ erateurs binaires usuels

conjonction

disjonction

implication

´

equivalence

(65)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Op´ erateurs binaires usuels

conjonction

disjonction

implication

Exercice

Le procureur g´en´eral :«si l’accus´e est coupable, il a un complice» L’avocat : «c’est faux !».

Que penser de l’avocat ?

´

equivalence

(66)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Op´ erateurs binaires usuels

conjonction

disjonction

implication

´

equivalence

(67)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Notion d’interpr´ etation

D´efinition (Interpr´etation)

A chaque variable propositionnelle p on associe une` interpr´etation ou valeur de v´erit´e

δ :P −→ {,} D´efinition (Extension aux formules)

On prolongeδ (on note δ) `a l’ensemble des formules δ(p) =δ(p) avec p∈P ;

δ(¬F) =¬(δ(F))avec F ∈ F;

δ(F4G) =δ(F)4δ(G) avec 4 ∈ {∧,∨,→,↔}et

∈ F2

(68)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Tables de v´ erit´ es

D´efinition (Table de v´erit´e)

C’est un tableau dont les lignes sont les interpr´etations possibles

Tables de v´erit´es des op´erateurs binaires usuels p q p∧q p∨q p →q p ↔q

(69)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Tables de v´ erit´ es

D´efinition (Table de v´erit´e)

C’est un tableau dont les lignes sont les interpr´etations possibles Tables de v´erit´es des op´erateurs binaires usuels

p q p∧q p∨q p →q p ↔q

(70)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exemple

On consid`ere : (¬p →q)∧(q ↔r)

p q r ¬p ¬p→q q ↔r (¬p →q)∧(q ↔r)

(71)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exemple

On consid`ere : (¬p →q)∧(q ↔r)

p q r ¬p ¬p→q q ↔r (¬p →q)∧(q ↔r)

(72)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exemple

On consid`ere : (¬p →q)∧(q ↔r)

p q r ¬p ¬p→q q ↔r (¬p →q)∧(q ↔r)

(73)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exemple

On consid`ere : (¬p →q)∧(q ↔r)

p q r ¬p ¬p→q q ↔r (¬p →q)∧(q ↔r)

(74)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exemple

On consid`ere : (¬p →q)∧(q ↔r)

p q r ¬p ¬p→q q ↔r (¬p →q)∧(q ↔r)

(75)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Formule satisfiable)

Une formule estsatisfiable si et seulement si :

∃δ δ(F) =

NB : on dit aussi queF est consistante.

Exemple

F = (¬p →q)∧(q↔r) est satisfiable pourδ(p) = et δ(q) =δ(r) =.

(76)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Formule satisfiable)

Une formule estsatisfiable si et seulement si :

∃δ δ(F) = NB : on dit aussi queF est consistante.

Exemple

F = (¬p →q)∧(q↔r) est satisfiable pourδ(p) = et δ(q) =δ(r) =.

(77)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Formule satisfiable)

Une formule estsatisfiable si et seulement si :

∃δ δ(F) = NB : on dit aussi queF est consistante.

Exemple

F = (¬p →q)∧(q↔r) est satisfiable pourδ(p) = et δ(q) =δ(r) =.

(78)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Antilogie)

Une formule F est uneantilogie si et seulement si :

∀δ δ(F) =

NB : on dit aussi queF est inconsistante, contradictoire, ou encore insatisfiable.

Exemple

p∧ ¬p est une antilogie.

p ¬p p∧ ¬p

(79)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Antilogie)

Une formule F est uneantilogie si et seulement si :

∀δ δ(F) =

NB : on dit aussi queF est inconsistante, contradictoire, ou encore insatisfiable.

Exemple

p∧ ¬p est une antilogie.

p ¬p p∧ ¬p

(80)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Antilogie)

Une formule F est uneantilogie si et seulement si :

∀δ δ(F) =

NB : on dit aussi queF est inconsistante, contradictoire, ou encore insatisfiable.

Exemple

p∧ ¬p est une antilogie.

p ¬p p∧ ¬p

(81)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Tautologies)

Une formule F est unetautologiesi et seulement si :

∀δ δ(F) = On note`F

On noteT l’ensemble des tautologies. On a : T ⊂ F ⊂VT.

Exemple

p∨ ¬p est une tautologie.

p ¬p p∨ ¬p

(82)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules particuli` eres

D´efinition (Tautologies)

Une formule F est unetautologiesi et seulement si :

∀δ δ(F) = On note`F

On noteT l’ensemble des tautologies. On a : T ⊂ F ⊂VT. Exemple

p∨ ¬p est une tautologie.

p ¬p p∨ ¬p

(83)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

D´efinition (Formules tautologiquement ´equivalentes)

Deux formules F et G sonttautologiquement ´equivalentes si et seulement si :

∀δ, δ(F) =δ(G) ou encore ∀δ, δ(F ↔G) = On note`F ↔G

Exemple

p→q et¬p∨q sont tautologiquement ´equivalentes. On peut donc ´ecrire : `(p→q)↔(¬p∨q).

p ¬p q p →q ¬p∨q

(84)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

D´efinition (Formules tautologiquement ´equivalentes)

Deux formules F et G sonttautologiquement ´equivalentes si et seulement si :

∀δ, δ(F) =δ(G) ou encore ∀δ, δ(F ↔G) = On note`F ↔G

Exemple

p→q et¬p∨q sont tautologiquement ´equivalentes. On peut donc ´ecrire : `(p→q)↔(¬p∨q).

p ¬p q p →q ¬p∨q

(85)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

double implication

`(F ↔G)↔((F →G)∧(G →F))

lien implication – disjonction

`(F →G)↔(¬F ∨G) commutativit´e

`(F ∨G)↔(G∨F) `(F ∧G)↔(G ∧F)

(86)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

double implication

`(F ↔G)↔((F →G)∧(G →F)) lien implication – disjonction

`(F →G)↔(¬F ∨G)

commutativit´e

`(F ∨G)↔(G∨F) `(F ∧G)↔(G ∧F)

(87)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

double implication

`(F ↔G)↔((F →G)∧(G →F)) lien implication – disjonction

`(F →G)↔(¬F ∨G) commutativit´e

`(F ∨G)↔(G∨F) `(F ∧G)↔(G ∧F)

(88)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

associativit´e

`(F ∨(G∨H))↔((F ∨G)∨H)

`(F ∧(G∧H))↔((F ∧G)∧H)

distributivit´e

`(F ∨(G∧H))↔((F ∨G)∧(F ∨H))

`(F ∧(G∨H))↔((F ∧G)∨(F ∧H))

(89)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

associativit´e

`(F ∨(G∨H))↔((F ∨G)∨H)

`(F ∧(G∧H))↔((F ∧G)∧H) distributivit´e

`(F ∨(G∧H))↔((F ∨G)∧(F ∨H))

`(F ∧(G∨H))↔((F ∧G)∨(F ∧H))

(90)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

´el´ements neutres

`(F ∨)↔F `(F ∧)↔F

´el´ements absorbants

`(F ∨)↔ `(F ∧)↔ tiers exclu et non-contradiction

`(F ∨ ¬F)↔ `(F ∧ ¬F)↔

(91)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

´el´ements neutres

`(F ∨)↔F `(F ∧)↔F

´el´ements absorbants

`(F ∨)↔ `(F ∧)↔

tiers exclu et non-contradiction

`(F ∨ ¬F)↔ `(F ∧ ¬F)↔

(92)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

´el´ements neutres

`(F ∨)↔F `(F ∧)↔F

´el´ements absorbants

`(F ∨)↔ `(F ∧)↔ tiers exclu et non-contradiction

`(F ∨ ¬F)↔ `(F ∧ ¬F)↔

(93)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

double n´egation

` ¬(¬F)↔F

lois de de Morgan

` ¬(F ∨G)↔(¬F ∧ ¬G)

` ¬(F ∧G)↔(¬F ∨ ¬G) simplification

`(F →(G →H))↔((F ∧G)→H)

(94)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

double n´egation

` ¬(¬F)↔F lois de de Morgan

` ¬(F ∨G)↔(¬F ∧ ¬G)

` ¬(F ∧G)↔(¬F ∨ ¬G)

simplification

`(F →(G →H))↔((F ∧G)→H)

(95)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Equivalences tautologiques bien connues ´

double n´egation

` ¬(¬F)↔F lois de de Morgan

` ¬(F ∨G)↔(¬F ∧ ¬G)

` ¬(F ∧G)↔(¬F ∨ ¬G) simplification

`(F →(G →H))↔((F ∧G)→H)

(96)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Morphisme de susbtitution

D´efinition (Morphisme de substitution) f : VT →VT

x 7→

x six ∈VT \P y ∈ F six ∈P

NB : un morphisme de substitution permet de remplacer chaque variable par une formule.

Exemple

sif(p) = (p→q) et f(q) =r alors

f(p∧q) = f(p)f(∧)f(q) = (p →q)∧r

(97)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Morphisme de susbtitution

D´efinition (Morphisme de substitution) f : VT →VT

x 7→

x six ∈VT \P y ∈ F six ∈P

NB : un morphisme de substitution permet de remplacer chaque variable par une formule.

Exemple

sif(p) = (p→q) et f(q) =r alors

f(p∧q) = f(p)f(∧)f(q) = (p →q)∧r

(98)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Morphisme de susbtitution

D´efinition (Morphisme de substitution) f : VT →VT

x 7→

x six ∈VT \P y ∈ F six ∈P

NB : un morphisme de substitution permet de remplacer chaque variable par une formule.

Exemple

sif(p) = (p→q) et f(q) =r alors

f(p∧q) = f(p)f(∧)f(q) = (p →q)∧r

(99)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Morphisme de susbtitution et valeur de v´ erit´ e

Th´eor`eme

Soitδ ∈ {,}P. Consid´eronsδ0∈ {,}P d´efini par :

∀p∈P, δ0(p) =δ(f(p))alors : δ0 =δ◦f

Corollaire

L’ensemble des tautologiesT est stable pour tout morphisme de substitution

Corollaire

Dans tout formule F , on peut remplacer toute sous-formule par une formule ´equivalente

(100)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Morphisme de susbtitution et valeur de v´ erit´ e

Th´eor`eme

Soitδ ∈ {,}P. Consid´eronsδ0∈ {,}P d´efini par :

∀p∈P, δ0(p) =δ(f(p))alors : δ0 =δ◦f Corollaire

L’ensemble des tautologiesT est stable pour tout morphisme de substitution

Corollaire

Dans tout formule F , on peut remplacer toute sous-formule par une formule ´equivalente

(101)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Morphisme de susbtitution et valeur de v´ erit´ e

Th´eor`eme

Soitδ ∈ {,}P. Consid´eronsδ0∈ {,}P d´efini par :

∀p∈P, δ0(p) =δ(f(p))alors : δ0 =δ◦f Corollaire

L’ensemble des tautologiesT est stable pour tout morphisme de substitution

Corollaire

Dans tout formule F , on peut remplacer toute sous-formule par une formule ´equivalente

(102)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Fonctions bool´ eennes

D´efinition (Fonctions bool´eennes)

Une fonction bool´eenne n-aire est une application de {,}n dans {,}.

On noteB l’ensemble des fonctions bool´eennes : B= [

n∈N+

{,}{,}n

Exercice

Combient y a-t-il de fonction bool´eennes `a 9 variables ? Correction

229

(103)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Fonctions bool´ eennes

D´efinition (Fonctions bool´eennes)

Une fonction bool´eenne n-aire est une application de {,}n dans {,}.

On noteB l’ensemble des fonctions bool´eennes : B= [

n∈N+

{,}{,}n

Exercice

Combient y a-t-il de fonction bool´eennes `a 9 variables ?

Correction

229

(104)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Fonctions bool´ eennes

D´efinition (Fonctions bool´eennes)

Une fonction bool´eenne n-aire est une application de {,}n dans {,}.

On noteB l’ensemble des fonctions bool´eennes : B= [

n∈N+

{,}{,}n

Exercice

Combient y a-t-il de fonction bool´eennes `a 9 variables ? Correction

229

(105)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Formules et fonctions bool´ eennes

Une formule est not´eeF(p1,p2, . . . ,pn) si les seules variables propositionnelles ayant des occurences dansF sont prises dans {p1,p2, . . . ,pn}, c’est-`a-dire :

F ∈({p1,p2, . . . ,pn} ∪C ∪ {(,)})

A toute formule` F telle que l’on aitF(p1,p2, . . . ,pn), on associe la fonction bool´eennen-aireF telle que pour δ ∈ {,}P v´erifiant∀i ∈]n], δ(pi) =xi, on ait :

∀(x1, . . .xn)∈ {,}n,F(x1, . . . ,xn) =δ(F) On dit alors que F est repr´esent´ee par F. On a :

`F ↔G si et seulement si F =G

(106)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Th´eor`eme

Toute fonction bool´eenne peut ˆetre repr´esent´ee par une formule

ϕ0 ϕ1 ϕ2 ϕ3

Les 4 fonctions bool´eennes `a une variable

(107)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Th´eor`eme

Toute fonction bool´eenne peut ˆetre repr´esent´ee par une formule

ϕ0 ϕ1 ϕ2 ϕ3

Les 4 fonctions bool´eennes `a une variable

(108)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exercice

D´eterminer les formules associ´ees `a chacune des fonc- tions bool´eennes `a deux variables.

Correction

Il y a 222 = 16 fonctions bool´eennes `a 2 variables.

p q ϕ0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7

p∧ ¬p pq p∧ ¬q p q∧ ¬p q pxorq pq

p q ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 ϕ13 ϕ14 ϕ15

¬(pq) pq ¬q qp ¬p pq ¬(pq) p∨ ¬p

Les 16 fonctions bool´eennes `a deux variables

(109)

Logique des propositions Aspects s´emantiques

Exercice

D´eterminer les formules associ´ees `a chacune des fonc- tions bool´eennes `a deux variables.

Correction

Il y a 222 = 16 fonctions bool´eennes `a 2 variables.

p q ϕ0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7

p∧ ¬p pq p∧ ¬q p q∧ ¬p q pxorq pq

p q ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 ϕ13 ϕ14 ϕ15

¬(pq) pq ¬q qp ¬p pq ¬(pq) p∨ ¬p

Les 16 fonctions bool´eennes `a deux variables

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