556 exercices corrigés conseils & précis de cours

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556 exercices corrigés

conseils & précis de cours

Premiers cycles universitaires scientifiques

François Bayen

Docteur es sciences mathématiques Maître de conférences à l'université Pierre et Marie Curie (Paris-VI)

Dominique Clénet

Agrégé de mathématiques

Professeur au lycée François Villon, Les Mûreaux

François Dehame

Ancien élève de l'École normale supérieure (Saint-Cloud) Agrégé de mathématiques

Professeur en prépa PCSI au lycée Raspail, Paris

JohanYebbou

Ancien élève de l'École normale supérieure Agrégé de mathématiques

' Professeur en prépa MP au lycée Charlemagne, Paris

SUB Gôttingen

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Série dirigée par Jacques Chevallet

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Table des matières

Chapitre 1 Propriétés de R 1

I. Inégalités et valeur absolue 1 Exercices progressifs corrigés 2 Exercices proposés 5 II. Borne inférieure, borne supérieure 5 Exercices progressifs corrigés 6 Exercice proposé 9 III. Intervalles 9 Exercices progressifs corrigés -, 10 Exercices proposés r 11 IV. Radicaux 12

' Exercices progressifs corrigés .13 Exercices proposés 14 V. Utilisation des symboles £ et II 14 Exercices progressifs corrigés 15 Exercices proposés 18 VI. Partie entière 18 Exercices progressifs corrigés 19 Exercices proposés 20 VII. Vrai-Faux 20 VIII. Indications pour les exercices proposés 22

Chapitre? Suites 25

I. Notion de limite 25 Exercices progressifs corrigés 27 Exercices proposés 30 II. Limites et inégalités 31 Exercices progressifs corrigés 31 Exercices proposés 35 III. Relations de comparaison 35 Exercices progressifs corrigés 37 Exercices proposés. •. 39 IV. Suites adjacentes 40 Exercices progressifs corrigés 40 Exercices proposés 47

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V. Suites récurrentes u^n+l =fi.uⁿ) . 48 Exercices progressifs corrigés 49 Exercices proposés , . . . 58 VI. Théorème de Cesàro 58 Exercices progressifs corrigés 59 Exercices proposés 62 VII. Exemples de suites complexes . 62 Exercices progressifs corrigés 62 Exercices proposés 65 VIII. Vrai-Faux 66 IX. Indications pour les exercices proposés. 68

Chapitre 3 Fonctions numériques 72

I. Généralités 72 Exercices progressifs corrigés 74 II. Notion de limite 75 Exercices progressifs corrigés , 79 Exercices proposés 83 III. Relations de comparaison 84 Exercices progressifs corrigés 86 Exercices proposés 90 IV. Vrai-Faux 90 V. Indications pour les exercices proposés 91

Chapitre 4 Continuité 93

!

I. Continuité en un point 93 Exercices progressifs corrigés 94 Exercices proposés 96 II. Continuité sur un intervalle 97 Exercices progressifs corrigés 98 Exercices proposés 102 III. Vrai-Faux 103 IV. Indications pour les exercices proposés 105

Chapitre 5 Dérivabilité 107

I. Dérivabilité en un point 107 Exercices progressifs corrigés 108 Exercices proposés ..110

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II. Opérations. Formule de Leibniz 111 Exercices progressifs corrigés 111 Exercices proposés 114 III. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis 114 Exercices progressifs corrigés 116 Exercices proposés 119 IV. Monotonie et dérivabilité 120 Exercices progressifs corrigés 121 Exercices proposés 123 V Fonctions convexes 123 Exercices progressifs corrigés 124 Exercices proposés 126 VI. Méthode du point fixe

pour la résolution d'équations numériques 127 Exercices progressifs corrigés 127 VII. Vrai-Faux 130 VIII. Indications pour les exercices proposés 132

Chapitre 6 Fonctions usuelles 134

I. Étude générale d'une fonction 134 Exercices progressifs corrigés 136 Exercices proposés 138 II. Fonctions logarithmes et exponentielles 139 Exercices progressifs corrigés 141 Exercices proposés 145 III. Fonctions circulaires 145 S Exercices progressifs corrigés '. 146

• •- " Exercices proposés 149 IV. Fonctions circulaires réciproques 150

Exercices progressifs corrigés 151 Exercices proposés 153 V. Fonctions hyperboliques 153 Exercices progressifs corrigés '.. . 154 Exercices proposés 158 VI. Indications pour les exercices proposés 159

Chapitre 7 Développements limités 162

I. Calculs de développements limités 163 Exercices progressifs corrigés 165 Exercices proposés 175

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II. Développements asymptotiques 176 Exercices progressifs corrigés 176 Exercices proposés 180 III. Applications des développements limités 180 Exercices progressifs corrigés 182 Exercices proposés 187 IV. Études de fonctions 188 Exercices progressifs corrigés 188 Exercices proposés 193 V. Vrai-Faux 193 VI. Indications pour les exercices proposés 195

Chapitre 8 Intégration 200

I. Intégration de fonctions continues par morceaux 200 Exercices progressifs corrigés 206 Exercices proposés 212 II. Intégration par parties et changement de variable 213 Exercices progressifs corrigés 214 Exercices proposés 224 III. Sommes de Riemann 225 Exercices progressifs corrigés 226 Exercices proposés 231 IV. Formules de Taylor 231 Exercices progressifs corrigés : 233 Exercices proposés 235 V. Intégrales dépendant d'un paramètre entier ou réel 236 Exercices progressifs corrigés 236 Exercices proposés 242 VI. Vrai-Faux 243 VII. Indications pour les exercices proposés 245

Chapitre 9 Calcul des primitives 250

I. Intégrales et primitives 250 Exercices progressifs corrigés 251 Tableau des primitives usuelles 252 Exercices proposés 258 II. Primitives des fonctions rationelles 258 Exercices progressifs corrigés 260 Exercices proposés 265

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III. Fonctions rationnelles de cos x et sin x 265 Exercices progressifs corrigés 267 Exercices proposés 272 IV. Fonctions rationnelles de exp x, ch x et sh x ' 272 Exercices progressifs corrigés 273 Exercices proposés 274 V. Fonctions rationelles de x et lH/(ax+6)/(cc+c0 275 Exercices progressifs corrigés 275 Exercices proposés 279 VI. Fonctions rationelles de x et sjax^+bx+c 280 Exercices progressifs corrigés 282 Exercices proposés , 286 VII. Indications pour les exercices proposés 286

Chapitre 10 Intégration sur un intervalle quelconque 289

I. Fonctions continues intégrables à valeurs positives 289 Exercices progressifs corrigés 292 Exercices proposés 304 II. Fonctions continues intégrables à valeurs complexes 305 Exercices progressifs corrigés 307 Exercices proposés 310 III. Vrai-Faux 310 IV. Indications pour les exercices proposés 311

Chapitre 11 Fonctions de deux variables 313

I. ^ Espace R² 313

Exercices progressifs corrigés 314 Exercices proposés 318 IL Suites dans R² 318 Exercices progressifs corrigés ; 319 Exercices proposés 326 III. Continuité des fonctions de deux variables 327 Exercices progressifs corrigés 329 Exercices proposés 332 IV. Dérivées partielles premières 333 Exercices progressifs corrigés 336 Exercices proposés 341 V. Dérivées partielles d'ordre supérieur 342 Exercices progressifs corrigés 343 Exercices proposés 346

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VI. Coordonnées polaires 346 Exercices progressifs corrigés 348 VII. Vrai-Faux 351 VIII. Indications pour les exercices proposés 351

Chapitre 12 Équations différentielles 357

I. Définition d'une solution

d'une équation différentielle sur un intervalle 357 Exercices progressifs corrigés 359 Exercices proposés 363 II. Équations linéaires du premier ordre 363 Exercices progressifs corrigés 366 Exercices proposés 373 III. Équations linéaires du second ordre à coefficients constants 374 Exercices progressifs corrigés 376 Exercices proposés 382 IV. Applications 383 Exercices progressifs corrigés 383 V. Vrai-Faux 390 VI. Indications pour les exercices proposés 391

Chapitre 13 Intégrales multiples 396

I. Intégrales doubles 396 Exercices progressifs corrigés 399 Exercices proposés '. 404

| II. Intégrales triples 406 Exercices progressifs corrigés 408 Exercices proposés 412 III. Indications pour les exercices proposés 413

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