UPMC-ENSAM-ENSTA-MinesParis Master SDI/SAR
5AR02 - Dynamique des systèmes Documents du cours autorisés, Durée 2h00
Le train pendulaire permet grâce à un abaissement du centre de gravité et un rehaussement du centre de rotation de diminuer le ressentie de la force centrifuge dans les virages et d'augmenter le confort du passager. Le système est constitué d'une bogie (essieu à 4 roues), de la traverse pendulaire et de la cabine (caisse) (gure 1).
Figure 1 Schéma général du train pendulaire
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Partie A (Figure 2)
On considère dans cette partie le système composé de la bogie supposée horizontale et xe, et de la tra- verse pendulaire. Le dévers (pente) est donc considéré nul. Ces deux corps sont reliés entre eux par deux biellettes inclinées L1 et L2 qui forment un mécanisme 4 barres.
Soitq(t) = [x(t)y(t)β(t)]T le vecteur qui réunit les paramètres de positions (du pointG1 milieu de B et D) et d'orientation (angle par rapport à l'horizontal) de la traverse.
1. Donner en fonction deqles coordonnées des points d'attache B et D de la traverse avec les biellettes.
2. Sachant que les biellettes sont parfaitement rigides de longueur b chacune, déduire à partir de la question précédente 2 équations de contraintes scalaires (et homogène à m2 ... car plus simple).
Donner l'expression de la Jacobienne des contraintes. Vérier la mobilité du mécanisme dans la congurationβ = 0.
3. Exprimer le vecteur [ ˙x,y]˙T en fonction β˙ dans la conguration β = 0. Déduire, en fonction de β˙, l'amplitude de la vitesse du pointG1 pour cette conguration. Cela devrait permettre de trouver le centre instantané de rotation de la traverse par rapport à la bogie pour cette conguration.
4. Question hors barème : A l'aide d'un raisonnement graphique, retrouver cette dernière position du centre de rotation.
Partie B (Figure 2)
1. On néglige les inerties des biellettes par rapport à celle la traverse. On note m1 sa masse, I1 son moment d'inertie par rapport àG1~z0. Exprimer la matrice du système, son énergie cinétique et son énergie potentielle en fonction deq.
2. Un vérin linéaire est placé entre un point xe, de coordonnée dansR0 E = (xE, yE) et le point H de coordonnées dansR1 H = (xE, yE) et exerce une forceF. Exprimer la force généralisée associée.
3. Donner les équations de d'Alembert-Lagrange sous la forme matricielle.
4. On souhaite réduire ces équations et exprimer une unique équation de mouvement associée au pa- ramètre β. Expliquer les diérentes étapes sans développer tous les calculs. Donner cette équation de mouvement quandβ <<1. Retrouver l'inertie équivalente pourβ= 0 en utilisant la position du centre instantané de rotation.
Partie C (Figure 3)
On considère dans cette partie le système composé de la traverse (1) et de la caisse (2). La traverse est supposée en rotation autour d'un point xe placé à une hauteur h du point G1. La caisse (2) est en translation rectiligne par rapport à (1) suivant~y1 et est suspendue sur 2 ressorts-amortisseurs de raideur k, de frottement visqueux µ, et de longueur libre l0. On note β l'angle de la traverse par rapport à l'horizontal etλtel queG1~G2 =λ~y1, et q= [β λ]T. La caisse est de massem2 et de moment d'inertie I2
par rapport àG2~z0.
1. Exprimer l'énergie cinétique en fonction qainsi que la matrice masse.
2. Exprimer l'énergie potentielle.
3. Donner les forces généralisées associées à : (1) la forceF du vérin supposé suivant~x1 et s'appliquant enG1, (2) la force élastique dans le ressort, (3) la force de viscosité de l'amortisseur, (4) des eorts de gravité.
4. Donner les équations de mouvement sous forme matricielle.
5. Si on considère le dévers du sol déni par un angle constant α, comment ces dernières équations seraient modiées. En régime stationnaire, donner les équations que doivent vérier les valeurs d'équilibre deβ etλ.
6. Hors-barème : Lors d'un virage sans dévers, la traverse et la caisse sont soumises chacune à une force horizontale due à la force centrifuge égale àm1,2v2/Roùv est la vitesse du train et R est le rayon de courbure (algébrique). Quelles sont les forces généralisées associées à ces actions. Quelle sont les valeurs des paramètres à l'équilibre ? Donner les équations de mouvement du système autour de cet équilibre et en déduire ces pulsations propres.
2
a a
l b
O y
0x
1x
0G
1Figure 2 Mécanisme Bogie/Traverse : vue de face et schéma cinématique.
3
λ
β
Figure 3 Mécanisme Bogie-traverse-caisse.
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