Séquence 10 : Trigonométrie
Introduction
Les origines de la trigonométrie remontent jusqu’aux babyloniens, 2 000 ans avant notre ère.
Déjà à cette époque, la trigonométrie était utilisée en astronomie. Plus tard, les grandes conquêtes maritimes du XVe au XVIIIe siècle ont eu recours à des méthodes de positionnement de plus en plus sophistiquées. De nos jours, l’observation des étoiles permet de mieux comprendre les origines de notre Univers.
Crédit Photo : Planète Chocolat —CC BY-SA 3.0
Activité de découverte LE RADIAN
• La circonférence d’un cercle de rayon 𝑅 est 𝑙 = 2𝜋𝑅
• Si le rayon est égal à 1, la circonférence du cercle devient 𝑙 = 2𝜋
• Pour calculer la longueur d’un arc de ce cercle unitaire, on admettra que la longueur de cet arc est proportionnelle à l’angle au centre :
Dans l’exemple ci-contre :
La longueur de l’arc 𝐴𝐵) est alors : 𝑙!" = 80
360× 2𝜋 = 80 × 𝜋
180=4𝜋 9
Définition
Sur un cercle de rayon 1, la mesure en radian d’un angle au centre interceptant un arc est la longueur de cet arc.
Application :
Un angle de 80° mesure 𝟒𝝅𝟗 radian.
Cours
1. Angles orientés
1.1 Cercle trigonométrique
Le sens antihoraire est aussi appelé sens trigonométrique ou sens direct.
1.2 Le radian
+
Remarque : Le cercle trigonométrique est orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. ( sens antihoraire)
Cours
1.3 Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique.
On place la droite numérique tangente au cercle trigonométrique en I (1 ; 0) et on l’enroule sur le cercle : https://www.geogebra.org/m/Ry4j9ZT2
Principe de la démonstration : Le périmètre du cercle trigonométrique a pour longueur 2𝜋.
Pour tout point M du cercle, on peut calculer la longueur de l’arc IM ou bien parcourir plusieurs fois le cercle jusqu’à revenir sur M. La longueur parcourue sera alors augmentée de 2𝜋 à chaque tour.
En parcourant le cercle dans le sens indirect, on obtient des valeurs négatives.
2 Trigonométrie
2.1 Dans le triangle rectangle
2.2 Dans le cercle trigonométrique
Animation GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/XUd7hFrF
Cours
Cours
EXERCICE 15
EXERCICE 16
EXERCICE 17
EXERCICE 18
EXERCICE 19
Pour chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur IR, donner l’expression de la fonction dérivée.
𝑓(𝑥) = 2 cos(𝑥) + 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥&sin (𝑥) ℎ(𝑥) = 𝑥 sin(𝑥) (−3𝑥 + 4)
𝑘(𝑥) = 1
sin (𝑥) 𝑙(𝑥) = sin (𝑥)
cos (𝑥) 𝑚(𝑥) = 3
2 + sin (𝑥)
EXERCICE 21
TP ALGO :
Approximation de 𝝅 par la méthode d’Archimède
BN-Jupyter :https://nbviewer.jupyter.org/url/sme.lycee.ecmorlaix.fr/YG/2019/Python- BN/BN-Archimede/carnet14-pi-archimede.ipynb
