Systèmes électroniques

Systèmes électroniques

__________

Chapitre 7

L ES REGULATEURS STANDARDS

1. Analyse comportementale des régulateurs P, PI, PID analogiques

2. PI, PID numériques

3. Régulateurs tout ou rien

T A B L E D E S M A T I E R E S

PAGE

7. LES REGULATEURS STANDARDS...1

7.1 INTRODUCTION...1

7.1.1 Généralités...1

7.1.2 Amplificateur opérationnel ...2

7.1.3 Comparaison de la valeur de consigne et de la valeur réelle. ...2

7.1.4 Configuration générale d’un amplificateur de réglage...3

7.1.5 Fonction de transfert...4

7.1.6 Réponse harmonique...4

7.1.7 Régulateur P...6

7.1.8 Régulateur PI...6

7.1.9 Régulateur PD...9

7.1.10 Régulateur PID...17

7.2 DISPOSITIFS DE LIMITATION...23

7.2.1 Généralités...23

7.2.2 Limitation par un pont à diodes...23

7.3 LIMITATION SUR UN RÉGULATEUR COMPORTANT UNE COMPOSANTE INTÉGRALE...25

7.3.1 Généralités...25

7.3.2 Limitation cascadée au régulateur...25

7.3.3 Limitation intégrée au régulateur...27

7.3.4 Conclusion ...28

7.4 CORRECTION DE LA COMPOSANTE INTÉGRALE EN CAS DE LIMITATION...28

7.4.1 Généralités...28

7.4.2 Cas du régulateur PI...28

7.5 RÉGULATEUR PI NUMÉRIQUE...33

7.5.1 Description ...33

7.5.2 Intégration : approximation d’ordre zéro...33

7.5.3 Intégration : approximation d’ordre un...34

7.5.4 Implémentation dans un DSP ...35

7.5.5 Exemple d’algorithme pour régulateur PI...36

7.6 R^ÉGULATEUR PID ^NUMÉRIQUE...43

7.6.1 Description ...43

7.6.2 Différentiation ...43

7.6.3 Implantation dans un DSP...44

7.7 REGULATEUR A ACTION À DEUX POSITIONS...45

7.7.1 Généralités...45

7.7.2 Principe de fonctionnement ...45

7.7.3 Régulateur à action à deux positions avec contre-réaction ...47

A. COMPLÉMENT MATHÉMATIQUE...51

A.1 RÉGULATEUR PD...51

Bibliographie

LES REGULATEURS STANDARDS Page 1

7. LES REGULATEURS STANDARDS 7.1 INTRODUCTION

7.1.1 Généralités.

Tout système à régler possède un régulateur, qu’il soit analogique ou numérique. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux régulateurs. Ces régulateurs ont pour tâche de comparer, en premier lieu, une valeur de consigne avec la valeur de mesure correspondante. En second lieu, le régulateur agit sur la grandeur de commande pour rendre la valeur de mesure aussi proche que possible de la valeur de consigne.

Comme exemple de circuit de réglage, on peut citer la régulation de la tension de sortie d’une alimentation à découpage. Dans ce cas, la tension de sortie du convertisseur est comparée à une valeur de consigne et, selon la charge, la température ou les variations de la tension d’entrée, la tension de sortie est maintenue à la valeur de consigne désirée. La Figure 7-1 illustre la structure de la boucle de réglage.

U_e

Modulateur de

largeur d'impulsions Commande

du Transistor

G_R(s)

H(s)

_ + Alimentation à découpage

Mesure de tension u_S

u_REF Grandeur

de Référence Erreur

Référence - Mesure

Régulateur δ(τ)

δ

G_cm(s) dT_S T_S

Figure 7-1 : Schéma de principe de la régulation de tension d'un convertisseur DC/DC

Le régulateur reçoit à son entrée la différence entre la valeur de référence (consigne) et celle de mesure (valeur réelle). Cette différence est appelée « Écart de réglage ». La Figure 7-2 représente le schéma bloc fonctionnel pour la régulation de la tension de sortie.

Dans ce schéma bloc, on distingue :

GR(s) : fonction de transfert du régulateur.

Gcm(s) : fonction de transfert du dispositif de commande (modulateur de largeur d’impulsion (PWM) et commande du transistor)

Gs(s) Fonction de transfert du convertisseur de tension du filtre et de la charge H(s) : Fonction de transfert de la mesure de tension

LES REGULATEURS STANDARDS Page 2

G_R(s) G_cm(s) G_s(s)

H(s) u_s

u_c u_r

u_e

Régulateur Dispositif

de commande

Système à régler

Dispositif de mesure

Figure 7-2 : Schéma bloc de la boucle de réglage

Les coefficients des régulateurs standards sont ajustables. Une fois ajustés, les coefficients restent fixes. L’ajustement optimal n’est donc possible que pour un point de fonctionnement du système à régler. Si les caractéristiques statiques et dynamiques de ce dernier varient dans un large domaine, il y a des points de fonctionnement où l’amortissement dans le circuit de réglage n’est plus satisfaisant, et où il peut même apparaître un risque d’instabilité. Dans ces cas critiques, on fait appel à des régulateurs adaptatifs. Leurs coefficients sont variables en fonction d’une tension de contrôle qui doit dépendre du point de fonctionnement, de sorte que le circuit de réglage est toujours stabilisé de manière optimale.

Parfois les régulateurs doivent présenter des caractéristiques non linéaires. Il est assez souvent nécessaire de limiter la tension de sortie d’un régulateur, par exemple pour éviter une

intervention trop brutale lors de l’apparition de phénomènes transitoires importants.

7.1.2 Amplificateur opérationnel

Pour la réalisation des diverses structures de régulateurs, nous admettrons que les

amplificateurs opérationnels sont idéaux. Si une caractéristique importante de l’amplificateur opérationnel peut influencer la qualité du régulateur, il en sera fait mention. Les hypothèses simplificatrices sont donc les suivantes :

Rin → ∞ : Résistance d’entrée infinie Rout → 0 : Résistance de sortie nulle Ib(+) = Ib(-)→ 0 : Courant d’entrée nulle

7.1.3 Comparaison de la valeur de consigne et de la valeur réelle.

La différence entre la valeur de consigne et la valeur de réelle, appelée écart de réglage est réalisée à l’aide de résistances de comparaison Rc et Rr et d’un amplificateur opérationnel utilisé en sommateur ou en montage différentiel

La tension de consigne uc dont la polarité dépend du point de fonctionnement est fournie par un organe de contrôle amont (potentiomètre, Convertisseur D/A, …). La tension réelle ur est égale à la grandeur de sortie d’un organe de mesure de la grandeur à régler. Cette tension a une polarité inversée par rapport à uc. Pour obtenir une comparaison précise et constante entre les valeurs de consigne et réelle, on doit en général utiliser des résistances de précision.

LES REGULATEURS STANDARDS Page 3

=0

−

−

s e r r c c

R u R u R

u 7.1

r r c s c

e s u

R u R R

u = R ⋅ − ⋅ _7.2

R₀

u_C

u_r

R_C R_S

u_e

R_r

Sommateur

r rc r

rc u

R R u R

u(+)= (−)= + _7.3

cs s c

c

R u u R

u

u − (−) = (−)−

7.4

r c

c cs rs r c rs c

e cs u

R R R R R u R R

u R +

− +

= _7.5

u_C

u_r

R_C R_CS

u_e

R_r R_rs

Montage différentiel Figure 7-3 : Comparaison de la valeur de consigne avec la valeur réelle 7.1.4 Configuration générale d’un amplificateur de réglage

Les amplificateurs de réglage sont composés d’un amplificateur opérationnel et d’un réseau de contre-réaction adéquat. Cette contre-réaction a pour but de donner à l’amplificateur de réglage une fonction de transfert déterminée, apte à stabiliser le circuit de réglage. En plus, on réalise, sur les amplificateurs de réglage, la comparaison entre valeur de consigne et valeur réelle. Généralement on utilise des régulateurs standards tels que les régulateurs P, PD, PI et PID. Dans le cas le plus général, le montage extérieur de l’amplificateur de réglage consiste en trois quadripôles, dont deux bornes de chacun d’eux sont reliées au point zéro commun.

On peut établir les relations suivantes )

) ( ( ) 1

( u s

s s Z

i _e

e

e =− _7.6

) ) ( ( ) 1

( u s

s s Z

i _s

s

s = ⋅ _7.7

0 ) ( )

(s +i s =

i_{e s 7.8}

Pour la tension de sortie, on obtient

LES REGULATEURS STANDARDS Page 4

) ) ( (

) ) (

( u s

s Z

s s Z

u _e

e s

s = ⋅ _7.9

Z_e(s)

Z_s(s)

R₀ u_e

u_S i_e

i_s

Figure 7-4 : Configuration générale d’un amplificateur de réglage 7.1.5 Fonction de transfert

A l’aide de la fonction de transfert GR(s) d’un régulateur, on peut écrire la relation générale )

( ) ( )

(s G s u s

u_s = _R ⋅ _{e 7.10}

qui correspond au schéma bloc de la Figure 7-5

G_R(s)

u_e(s) u_s(s)

Figure 7-5 : Schéma bloc d’un régulateur 7.1.6 Réponse harmonique

Les réponses harmoniques des régulateurs et des filtres sont souvent représentées par des portions de droites représentant les asymptotes des courbes réelles. Les allures du module et de la phase de la réponse harmonique pour un régulateur PI sont représentées sur les figures ci-dessous.

LES REGULATEURS STANDARDS Page 5

ω₀/2 ω₀

2ω₀ 1dB

3dB

1dB

0dB -20dB/decade

Figure 7-6 : Réponse harmonique (module) pour un régulateur PI

5.7°

ω₀/10

ω₀

10ω₀ 5.7°

+45°/decade

45°

-90°

0°

Figure 7-7 : Réponse harmonique (phase) pour un régulateur PI

Pour la phase, il peut être intéressant de tracer la tangente au point d’inflexion situé au milieu de la déviation totale de la plage angulaire.

ω₀/4.81

ω₀

4.81ω₀ 45°

0°

-90°

Figure 7-8 : Réponse harmonique (phase) pour un régulateur PI

Lorsque la réponse harmonique d’un système est d’ordre supérieur à 1 et si le système possède plusieurs pôles et zéros réelles, l’approximation par des droites peut devenir

insuffisante. Dans ce cas, l’utilisation de programmes informatiques (MathCad, Mathematica, Mapple, Matlab,…) dédicacés aux applications mathématiques permet de tracer aisément la réponse harmonique d’un système complexe sans utiliser d’approximation par des droites. Le soin est laissé à l’étudiant d’investiguer dans ce sens.

LES REGULATEURS STANDARDS Page 6

7.1.7 Régulateur P 7.1.7.1 Fonction de transfert

La fonction de transfert du régulateur P prend la forme générale suivante

p

R s K

G ( )= _7.11

7.1.7.2 Réalisation pratique

La Figure 7-9 présente le schéma de principe d’un régulateur P

R₀ u_e

R₂

u_S R₁

Figure 7-9 : Schéma d'un régulateur P On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateur

2 1

1 1

u R

u_e R = _{s 7.12}

et finalement la fonction de transfert

1 2

) (

) ) (

( R

R s U

s s U

G

e

R = s = _7.13

7.1.8 Régulateur PI 7.1.8.1 Fonction de transfert

La fonction de transfert du régulateur PI prend la forme générale suivante

i p i

R s T

T K s

s

G ⋅

⋅

= 1+ )

( _7.14

LES REGULATEURS STANDARDS Page 7

7.1.8.2 Réalisation pratique

La Figure 7-10 présente le schéma de principe d’un régulateur PI (proportionnel-intégrateur).

R₀

Ue

R₁

R₂ C₂

U_S

Figure 7-10 : Schéma de principe du régulateur PI

Il possède un circuit de contre-réaction formé d’un condensateur C2 mis en série avec la résistance R2

On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateur

2 2 2 1

1 1

sC C U sR

U_e R = _s + _7.15

et finalement la fonction de transfert

2 2

2 2 1

2 1 )

( ) ) (

( sR C

C sR R

R s U

s s U

G

e s R

= +

= _7.16

avec

1 2

R

K_p = R _7.17

et

2 2C R

T_i = _7.18

7.1.8.3 Réponse harmonique

La réponse harmonique du régulateur PI est représentée à la Figure 7-11.

Les diverses courbes permettent de définir l'influence de chaque composant sur les résultats.

− Une variation de R1 provoque une translation verticale du module (une augmentation de R1 entraîne une translation vers le bas de la courbe).

LES REGULATEURS STANDARDS Page 8

− Une variation de R2 provoque une translation oblique (20dB/décade) du module (une augmentation de R2 entraîne une translation dans le sens décroissant des pulsations et croissant du module).

− Une variation de C2 provoque une translation horizontale du module (une augmentation de C2 entraîne une translation vers la gauche).

Légende :

1 : R1 R2 C2

2 : 10R1 R2 C2

3 : R1 10R2 C2

4 : R1 R2 10C2 Diagramme de Bode

ω [rad/sec ] arg(GR(ω)) [Deg]|GR(ω)| [dB]

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

-90 -45 0 0 20 40 60 80 100

3 4 2

1 2

4 1

3

Figure 7-11 : Réponse harmonique du régulateur PI : R1=10k, R2=100k, C2=10nF 7.1.8.4 Réponse indicielle

L’expression de la fonction de transfert selon 7.16 se prête particulièrement bien à la détermination de la réponse indicielle γR(t) (grandeur rapportée à la tension d'entrée). A partir de la relation générale, on obtient

s K T s s K s G t

L ^p

i p R

R +

= ⋅

⋅

=1 ( ) ₂ )]

(

[γ _7.19

D’où l’on tire par la transformée de Laplace inverse

p p i

R K

K T

t = t + ) /

γ ( _7.20

Cette réponse indicielle est représentée à la Figure 7-12 . A l’instant initial (t=0⁺), on observe un saut égal à Kpε(0⁺), correspondant à la composante proportionnelle. Ensuite γR(t) augmente linéairement en fonction du temps t en correspondance avec la composante intégrale.

On peut donc déterminer Ti et Kp expérimentalement à partir de la réponse indicielle. La valeur de la réponse indicielle augmente pour t →∞ théoriquement jusqu’à γR(t) →∞. En réalité, la tension de sortie d’un amplificateur opérationnel est limitée par sa tension de saturation. Pour enregistrer expérimentalement la réponse indicielle, il est nécessaire d’appliquer à l’entrée de l’amplificateur de réglage une petite variation de la tension ue de sorte que la tension de sortie reste, pour une grande partie du phénomène transitoire, dans les limites données par la saturation, afin de relever correctement la composante intégrale.

LES REGULATEURS STANDARDS Page 9

Légende :

1 : R1 R2 C2

2 : 10R1 R2 C2

3 : R1 10R2 C2

4 : R1 R2 10C2

t [s]

γR(t) [V/V]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0. 6 0.7 0.8 0.9 1

x 10^-3 0

20 40 60 80 100 120

3

1 4 2

Figure 7-12 : Réponse indicielle du régulateur PI : R1=10k, R2=100k, C2=10nF

7.1.9 Régulateur PD 7.1.9.1 Fonction de transfert

Ce type de régulateur est utilisé pour augmenter la marge de phase. Pour des fréquences élevées, la partie dérivée pose un problème majeur de stabilité. Il est donc judicieux d'ajouter un pôle afin de limiter l'effet dérivateur à des fréquences inférieures à la fréquence de

pulsation Fp.

La fonction de transfert de ce type de régulateur est donnée par la relation

) 1 (

) 1 ( 1

) 1 (

p z p

p z p

R s

s sT K

K sT s G

ω ω + +

⋅ + =

⋅ +

= _7.21

Le déphasage maximum se situe à une pulsation ω_ϕmax correspondant à la moyenne géométrique des pulsations ωz et ωp (voir annexe mathématique §A.1)

z

p ω

ω

ω_ϕmax = ⋅ _7.22

Pour obtenir une marge de phase maximum, le régulateur PD doit être dimensionné pour que la pulsation ωϕmax corresponde à la pulsation de coupure ωC de la fonction de transfert en boucle ouverte.

La valeur de la phase à cette pulsation se détermine en remplaçant s par jωϕmax. Après quelques calculs on obtient

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⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

= ⁻

tan 2 )) (

( _max ^{1 p}

z z

p

R j

G ω

ω ω

ω ω

ϕ _{ϕ 7.23}

Cette relation peut être résolue en fonction de ϕmax (voir annexe)

) sin(

1

) sin(

1

max

ϕmax

ϕ ω

ω

−

= +

z

p 7.24

Finalement, connaissant la pulsation de coupure ωC de la fonction de transfert en boucle ouverte, et en faisant coïncider à cette pulsation ωC la pulsation correspondant au déphasage maximum du régulateur PD, soit la pulsation ωϕmax, on peut écrire la relation.

) sin(

1

) sin(

1

) sin(

1

) sin(

1

max max max max

ϕ ω ϕ

ω

ϕ ω ϕ

ω

−

= +

+

= −

C p

C z

7.25

z p⋅

max =

z p [rad /s]

z p⋅

max =

] / [rad s

10

z/ _p/10 10⋅ _z 10⋅ _p

décade

45°/ 45°/décade

0°

max

G_R( ) [dB]

K_P

arg(G_R( ))

z p

KP ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ϕ

ω

Figure 7-13 : Diagramme de Bode (Amplitude et Phase) du régulateur PD

LES REGULATEURS STANDARDS Page 11

10⁰ 10¹ 10² 10³

0 10 20 30 40 50 60 70 80

90 φ_max=f(ω_p, ω_z) [Deg]

ω_p/ω_z [1]

Figure 7-14 : Déphasage maximum en fonction du rapport ωz/ωp pour un régulateur PD 7.1.9.2 Réalisation pratique.

En pratique, il existe un grand nombre de façon de réaliser un régulateur PD, toutefois le choix de l'amplificateur opérationnel reste un point déterminant. La Figure 7-15 illustre un tel régulateur.

R₀ u_e

R₁

C₁ R₂

u_s R_C1

Figure 7-15 Régulateur PD On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateur

( )

2 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

U R R C sR

C R R

U s _s

C C

e =

+ +

+ 7.26

et finalement la fonction de transfert

LES REGULATEURS STANDARDS Page 12

( )

1 1

1 1 1 1

2

1 1 )

( ) ) (

( sR C

C R R s R R s U

s s U

G

C C e

s

R +

+

= +

= _7.27

avec

1 2

R

K_p = R _7.28

(

)

z = +

ω _7.29

1 1

1 C R_C

p =

ω _7.30

7.1.9.3 Exemple de régulateur PD

On prend pour exemple un régulateur PD ayant un gain statique KP= 2 et une avance de phase maximum fixée à ϕmax= 55° pour une pulsation de ωC = 1000 rad/s.

Le zéro de la fonction de transfert correspond à une pulsation de ] / [ 10 15 . ) 3 55 sin(

1

) 55 sin(

10 1 ) sin(

1

) sin(

1 _{3 2}

max

max rad s

C

z = ⋅

+

⋅ − + =

= −

ϕ ω ϕ

ω _7.31

alors que le pôle de la fonction de transfert correspond à une pulsation de ] / [ 10 17 . ) 3 55 sin(

1

) 55 sin(

10 1 ) sin(

1

) sin(

1 _{3 3}

max

max rad s

C

p = ⋅

−

⋅ +

− =

= +

ϕ ω ϕ

ω _7.32

Le dimensionnement du régulateur se déroule de la manière suivante

Ω

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

→

Ω

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

→

Ω

=

=

→

=

→

k R

N C A

K R

k R

N C A

R

k R

N C A

R

nF C

Choix

p z p

p z

C p

C

123 :

. 1 .

1 4 1

6 . 86 :

. 1 .

1 3 1

55 . 9 :

. 1 .

2

33 :

1

2 1

2

1 1

1

1 1

1 1

ω ω

ω ω ω

7.33

La Figure 7-15 illustre le diagramme de Bode du régulateur PD

LES REGULATEURS STANDARDS Page 13

Diagramme de Bode

arg(GR(ω)) [Deg]|GR(ω)| [dB]

0 5 10 15 20 25

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

0 30 60

ω_c=10³ φ_max =55°

ω [rad/s]

Figure 7-16 : Diagramme de Bode du régulateur PD

ωC=1krad/s, ϕmax=55°, Kp= 2, C=33nF,RC1=9.55k, R1=86.6k, R2=123k 7.1.9.4 Réponse indicielle

A partir de la relation générale 7.21, on peut déterminer de la réponse indicielle γR(t).

(grandeur rapportée à la tension d'entrée)

( ) ( )

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

= +

⋅

=

p z p

p R

R sT

T sT

K s s s G t

L 1 1

) 1 1 (

)]

(

[γ _7.34

D’où l’on tire par la transformée de Laplace inverse

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

+

= ^{−t Tp}

p p z p

R e

T T K T

t) 1 ^/

γ ( _7.35

Cette réponse indicielle est représentée à la Figure 7-12 . A l’instant initial (t=0), on a

p p z

R T

K T

= ) 0

γ ( _7.36

correspondant à l'effet dérivateur. Ensuite γR(t) diminue exponentiellement en fonction du temps t. La valeur finale (t→∞) valant

p R(∞)=K

γ _7.37

LES REGULATEURS STANDARDS Page 14

γR(t) [V/V]

0 0.5 1 1.5

x 10^-3 0

5 10 15

¨t [s]

Figure 7-17 : Réponse indicielle du régulateur PD

ωC=1krad/s, ϕmax=55°, Kp= 2, C=33nF,RC1=9.55k, R1=86.6k, R2=123k 7.1.9.5 Caractéristique réelle de l'amplificateur.

En réalité la fonction de transfert donnée par la relation 7.27 est idéalisée par le fait que l’on suppose infinie l’amplification (en tension ) de l’amplificateur opérationnel. Le calcul de la fonction de transfert avec une amplification finie est relativement complexe. On se limitera par la suite à une déduction qualitative, donnant des résultats satisfaisants, à l’aide de la réponse harmonique.

Z_e(s) Z_s(s) u_e

u_S u_i -Au_i

i_e i_s

Figure 7-18 : Configuration d’un régulateur avec caractéristique réelle de l'amplificateur opèrationel De la Figure 7-18, on peut écrire :

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) 0 (

) ( ) ( )

( ) ( )

( − =

+ +

− Z s

s u s u s

Z s u s u

s i s

e i

e 7.38

et

) ( ) ( )

(s A s u s

u_s =− ⋅ _{i 7.39}

et par conséquent, après quelques calculs, on peut écrire pour la réponse harmonique )

) ( ( ) (

) ( ) 1

( ) (

) ) (

(

) ) (

(

) (

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω β

j j u

Z j Z

j Z j

Z j Z

j j Z

A

j j A

u _c

s e

s

j s e

e

s + +

⋅ +

=

4 4 4 3 4

4 4 2 1

7.40

La fonction de transfert de l'amplificateur est considérée comme un retard du 1^er ordre dont la forme est la suivante

FT

s A A

π 2 1

0

= + _7.41

où A0 représente le gain DC de l'amplificateur opérationnel en boucle ouverte et FT la fréquence de coupure. La Figure 7-19 illustre un exemple.

Légende :

1 : Amplificateur 2 : RC1 = 9.55Ω 3 : RC1 = 95.5Ω 4 : RC1 = 9.55kΩ Diagramme de Bode

ω [rad/sec]

arg(GR(ω) [Deg]|GR(ω)| [dB]

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

-90 -45 0 45 90 0 20 40 60 80 100 120

1 2

3 4

1

4 3

2

Figure 7-19 Diagrame de Bode du régulateur PD avec amplificateur opérationnel réel ωC=1krad/s, ϕmax=55°, Kp= 2, C=33nF,RC1=9.55k, R1=86.6k, R2=123k, A0=120dB, FT=50Hz La réponse indicielle montre de manière évidente les effets de la caractéristique de l'amplificateur.

LES REGULATEURS STANDARDS Page 16

t [s]

γR(t) [V/V]

0 1 2

x 10^-4 -800

-600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

3 4

Figure 7-20 : Réponse indicielle du régulateur PD avec amplificateur opérationnel réel ωC=1krad/s, ϕmax=55°, Kp= 2, C=33nF,RC1=9.55k, R1=86.6k, R2=123k, A0=120dB, FT=50Hz On constate l’apparition d’oscillations mal amorties à une pulsation ω très élevée . Ceci provient du fait que la boucle formée par le réseau de contre-réaction et l’amplificateur opérationnel se trouve très proche de la limite de stabilité.

Légende :

1 : Amplificateur 2 : RC1 = 9.55Ω 3 : RC1 = 95.5Ω 4 : RC1 = 9.55kΩ Diagramme de Bode

ω [rad/sec]

arg(βA(ω) [Deg]βA(ω) [dB]

-100 -50 0 50 100 150

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

-180 -135 -90 -45 0

1 4

3 2

1

4

3 2

Figure 7-21 : Bode en boucle ouverte A(jω)β(jω)

ωC=1krad/s, ϕmax=55°, Kp= 2, C=33nF,RC1=9.55k, R1=86.6k, R2=123k, A0=120dB, FT=50Hz

LES REGULATEURS STANDARDS Page 17

Effectivement pour ω très élevée, le réseau de contre-réaction provoque un déphasage proche de –90°.

) ( ) (

) ) (

( ω ω

ω ω

β Z j Z j

j j Z

s e

e

= + _7.42

De même, l’amplificateur opérationnel présente un déphasage proche de –90°, de sorte que le déphasage total β(ω)A(ω) (boucle ouverte vaut presque 180°. Pour pallier cet inconvénient, on doit utilise la résistance RC1 en série avec le condensateur C1. Celle-ci amène le déphasage du réseau de contre-réaction vers 0° pour ω → ∞. Ceci permet de rendre la boucle de contre- réaction bien amortie.

T s

e e

F j

A j

Z j Z

j j Z

A

j ω ω ω π

ω ω ω

β ( ) ( )1 2

) ) (

( )

( ⁰

+

= +

⋅ _7.43

7.1.10 Régulateur PID

7.1.10.1 Fonction de transfert

Le régulateur PD vu au paragraphe précédent présente un inconvénient aux basses fréquences par le fait qu'il a un gain limité. Il existe donc une erreur statique qui peut être éliminée par l'adjonction d'une composante intégrale. La relation 7.44 donne la fonction de transfert du régulateur PID usuellement utilisé pour ce type d'application

) 1

)(

1 (

) 1 )(

1 ( )

1 )(

1 (

) 1 ( 1 1

) (

2 1

2 1

p p

z L

P p

p PD Partie

z

PI Partie

i P

R s s

s K s

sT sT

sT K sT

s G

ω ω

ω ω

+ +

+ +

+ = +

⋅ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

48 47 6 43

42 1

7.44

La Figure 7-22 illustre, sous forme du diagramme de Bode, l'amplitude et la phase en fonction de la pulsation d'un tel régulateur.

Le zéro à la pulsation ωz permet d'ajouter une avance de phase dans le voisinage de la pulsation de coupure ωC comme pour le régulateur PD.

S'il a été possible de définir des relations mathématiques exactes pour les pulsations caractéristiques ωz, ωp, ωϕmax du régulateur PD, il n'en est plus de même pour le régulateur PID tel qu'il est défini par la relation 7.44. Une manière pratique de choisir les différents zéros et pôles du régulateur peut être décrite de la manière suivante.

1. Choix de l'avance de phase maximum ϕmax.

2. Définir, par rapport au système à régler la pulsation ωC correspondant au gain unité pour la fonction de transfert en boucle ouverte.

3. Calculer les pulsations ωz, et ωp1

4. Calculer ωL comme ω_L =ω_Z/10 5. Calculer ωp2 comme ω_p2 =10⋅ω_p1

LES REGULATEURS STANDARDS Page 18

z [rad/s]

L p1 p2

10

L/ _z/10

10

1/

p

⋅ L

10

⋅ z

10

10⋅ _p1

10

2/

p max

°

−90

] / [rad s

Partie PI Partie PD Partie filtre PB

G_R( ) [dB]

K_p

arg(G_R( )) ω

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ϕ

Figure 7-22 : Diagramme de Bode (Amplitude et Phase) du régulateur PID 7.1.10.2 Réalisation pratique.

En pratique, il existe un grand nombre de façon de réaliser un régulateur PID. La Figure 7-15 illustre un tel régulateur.

R₀ U_e

R₁

C₁ R₂

U_s

R_C1 C₂

C₃

Figure 7-23 Régulateur PID

LES REGULATEURS STANDARDS Page 19

On peut écrire la relation générale au nœud (-) de l'amplificateur

( )

) 1 (

1 1 1

1

3 2 2

2 3 1

3 2 2

1 1 1

1 1

1 s C C

C sR

C C

C sR C R U

C sR

C R R

U s _s

C C

e +

+ + + + =

+

+ _7.45

et finalement la fonction de transfert

) 1

)(

1 (

) ) (

1 )(

1 ( )

( ) ) (

(

1 1 3

2 3 2 2 2

2

1 1 1 2

2 3

2 2 1 2

C C sR

C C sR C C

sR

C R R s C sR C

C C R R s U

s s U

G

C C e

R s

+ + +

+ + +

= +

= 7.46

avec

3 2

2 1 2

C C

C R K_p R

= + _7.47

2 2

1 C

L = R ω

(

)

z = +

ω _7.48

1 1 1

1 C R_C

p =

ω _7.49

3 2

3 2 2 2

1 C C

C R_C C

p

+ ω =

7.1.10.3 Exemple de régulateur PID Soit le régulateur PID suivant

1. Avance de phase maximum : ϕ_max =75°.

2. Pulsation correspondant à ϕmax : ω_C =5⋅10³ [rad/s]. 3. Calcul des pulsations ωz, et ωp1 : ω_z =3.15⋅10⁴ [rad/s],

] / [ 10 17 .

3 ⁵

1 rad s

p = ⋅

ω

4. Calcul de ωL : ω_L =ω_Z/10=3.15⋅10³ [rad/s] 5. Calcul de ωp2 : ω_p2 =10⋅ω_p1 =3.17⋅10⁶ [rad/s] Le dimensionnement du régulateur se déroule de la manière suivante

Ω

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

→

=

→

k R

N C A

R K

nF C

Choix

p z p L

280 :

. 1 .

1 1 2 1

33 :

1

1 2

1 1

2

ω ω ω

LES REGULATEURS STANDARDS Page 20

pF C

N A C

C

k R

N C A

R K

k R

N A C

R

nF C

N C A

K C

L p

C

p z p

p z p L C

L

p z p L

p z

7 . 5 : . . 1

6 1

9 . 4 :

. 1 .

1 1

1 1 1

5

460 :

. 1 .

4

3 . 5 : . 1 .

1 1 1

1 1 3

3 2

2 3

1 2

1 1

1 1

2 2

2

1 2

1 1

=

−

=

→

Ω

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

→

Ω

=

=

→

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

−

=

→

ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω

ω ω ω

ω ω

La Figure 7-24 illustre le diagramme de Bode du régulateur PID

Légende :

1 : RC1 = 0Ω

C3 = 0F

2 : RC1 = 4.9kΩ

C3 = 0F

3 : RC1 = 4.9kΩ

C3 = 5.7pF

Diagramme de Bode

ω [rad/sec]

arg(GR(ω) [Deg]|GR(ω)| [dB]

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

-90 -45 0 45 90 0 20 40 60 80 100

1

2

3 1

2

3 φ_max=75°

Figure 7-24 : Diagramme de Bode du régulateur PID R1=280k , RC1=4.9k, R2=460k, C1=5.3nF, C2=33nF, C3=5.7pF 7.1.10.4 Réponse indicielle

A partir de la relation générale 7.44, on peut déterminer de la réponse indicielle γR(t).

(grandeur rapportée à la tension d'entrée)

LES REGULATEURS STANDARDS Page 21

) 1

)(

1 (

) 1 ( 1 1

) 1 (

)]

( [

2

1 p

p z i

R P

R sT sT

sT sT

s s K s G t

L + +

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

⋅

γ = _7.50

D’où l’on tire par la transformée de Laplace inverse

{ ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

− −

−

− + −

−

− + +

=

− +

−

−

4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 2

4 1 4 4 3 4

4 4 2

1 PartieD Passe bas

T t

p p i

p z p T i

t

p p i

p z p i

P Partie

i p p z i

I Partie p i R

p

p e

T T T

T T T e T

T T T

T T T T T

T T T T T K t

t

2 1

) (

) )(

( )

(

) )(

( )

(

2 1

2 2

2 1

1 1

2 1

γ

7.51

Cette réponse indicielle est représentée à la Figure 7-25.

A l’instant initial (t=0), on observe un saut égal à

0 1 0

2 2

) 0 (

0 )

0 (

p p z R T

R T

T K T

p p

=

=

=

≠

γ γ

7.52

En comparant avec la relation 7.36, on voit que pour Tp2=0, il y a similitude entre les régulateur PD et PID.

Par contre en ajoutant un filtre Passe-Bas (Tp2≠0), la valeur initiale de la réponse indicielle part de zéro.

La Figure 7-25 montre la partie PD du régulateur PID. Pour des temps plus longs, on retrouve la partie intégrale du régulateur.

Légende :

2 : RC1 = 4.9kΩ

C3 = 0F

3 : RC1 = 4.9kΩ

C3 = 5.7pF

t [s]

γR(t) [V/V]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10^-4 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2

3

Figure 7-25 : Réponse indicielle du régulateur PID R1=280k , RC1=4.9k, R2=460k, C1=5.3nF, C2=33nF