DEMONSTRATIONS POUR LE BAC

DEMONSTRATIONS POUR LE BAC

SUITES

Propriété

Soient u et v deux suites et p ∈ℕ tel que pour tout n  p, un≤v_n Si lim_n∞u_n=∞ alors lim_n∞v_n=∞

Démonstration : si lim u = +∞ alors pour tout A il existe n0 tel que si n > n0 alors unA donc si n > ⁿ0 et n > p donc n > max( n0 , p ) al or s ^vn  ^un > A

donc pour tout A, vn peut dépasser A donc lim_n∞v_n=∞. Propriété

Si q > 1 alors lim qⁿ = +∞

Démonstration :

Pour tout a ∈ℝ^+∗ et tout n ∈ℕ 1aⁿ  1 + n a (inégalité de Bernoulli démontrable par récurrence) Donc si q > 1 donc q = 1 + a avec a > 0 donc qⁿ  1 + n a et lim(1+na) = + ∞ donc lim qⁿ = +∞

EXPONENTIELLE

Propriété

Il existe une et une seule fonction f dérivable sur ℝ , égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0.

Démonstration :

L'existence : conformément au programme, elle est admise.

unicité : soit g une autre fonction vérifiant g ' = g et g(0) = 1.

or f ne peut pas s'annuler ( propriété montrée en cours) donc h=g

f est dérivable et h '=g ' f−gf '

f² = 0 car f' = f et g' = g donc h est constante or h(0) = 1 donc pour tout x réel h(x)=1 donc g(x)

= f(x).

Propriété :

lim_{x ∞}e^x=∞ et lim_x–∞e^x=0

Démonstration :

Soit la fonction f définie sur ℝ⁺ par f(x)= e^x−x alors f ’(x) = e^x - 1 or si x  0 alors e^x  1 donc f ’(x) 0 donc f croissante sur ℝ⁺

donc pour tout x  0 , f (x)  f (0) > 0 d’où e^x  x ;

xlim∞x=∞ donc lim_{x ∞}e^x=∞ de plus lim_x–∞e^x= lim_{t ∞}e^{– t} = lim

t∞

1 e^t = 0

PRODUIT SCALAIRE

Propriété :

Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes d1 et d2 d'un plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.

Démonstration :

soit u un vecteur directeur de D ⃗

soit u₁⃗ , u₂⃗ des vecteurs directeurs de d1 et d2 (ils forment une base de P) Soit  une droite de P de vecteur directeur w donc ⃗ w = a ⃗ u₁⃗ + b u₂⃗ donc u⋅ ⃗⃗w = a u .⃗u₁⃗ + b u⋅ ⃗⃗u₂ = 0 + 0 donc u ⊥⃗ w et donc D ⊥⃗ .

Propriété :

Tout plan de vecteur normal n ( a ; b ; c ) où a , b et c sont trois réels non tous nuls admet une équation cartésienne de la forme a x + b y + c z + d = 0 .

Démonstration : Soit A un point de P

M(x;y;z) ∈ P ⇔AM⃗(x−x_a; y−y_a;z−z_a) ⊥ n ⃗

⇔ a(x−x_a)+b(y−y_a)+c(z−z_a)=0

⇔ ax+by+cz+(−a⋅x_a−b⋅y_a−c⋅z_a) = 0 Propriété :

L'ensemble E des points M(x;y;z) de l'espace vérifiant l'équation a x + b y + c z + d = 0 où a , b et c sont trois réels non tous nuls est un plan de vecteur normal n ( a ; b ; c ).

Démonstration :

Supposons a ≠ 0 alors M

(

^−da ;0 ;0

)

^∈ E donc E n'est pas vide (de même si b et c non nuls) Soit A (x_a; y_a; z_a) un point de E alors d = −ax_a−by_a−cz_a

donc M ∈ E ⇔ ax+by+cz+(−a⋅x_a−b⋅y_a−c⋅z_a)

⇔ a(x−x_a)+b(y−y_a)+c(z−z_a)=0

⇔AM . ⃗n = 0⃗

donc E est le plan passant par A et de vecteur normal n .⃗ PROBABILITES

Propriété :

si A et B sont indépendants alors A et B sont indépendants

Démonstration : P(A) = P(A ∩B) + P(A∩ B ) donc P(A∩ B ) = P(A) - P(A ∩B)

= P(A) - PA×PB

= P(A) ( 1 – P(B) )

= P(A) x P( B )

LOI EXPONENTIELLE

Propriété :

L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre  et 1 λ . Démonstration :

E = lim_a→+∞I_a avec Ia =

∫

0 a

t⋅λe^−λtd t

Soit f la fonction définie sur ℝ⁺ par f(t) = tλe^−λt cherchons une primitive de f de la forme F(t) = (mt+n)e^−λt

donc F'(t) = (m−nλ−mλt)e^−λt donc par identification on a -m =  et m - n = 0 donc en résolvant le système on a m = -1 et n = −1

λ donc F(t) =

(

^−t−1λ

)

^e−λt

I_a = F(a) – F(0) = −a e^−λa−1

λe^−λa+1

λ or lim_a→+∞e^−λa = a et lim_a→+∞a e^−λa = 0 donc E = lim_a→+∞I_a = 1

λ

LOI NORMALE

Propriétés :

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale

N ^(0;1)

alors pour tout réel  ] 0∈ ; 1 [ il existe un unique réel uα tel que P ( −u_α  X  uα ) = 1 - 

Démonstration : Soit fx= 1



^2e

– x²/2

posons g(t) = P (-t  X  t ) =

∫

−t t

f(x)d x = 2

∫

0 t

f(x)d x car f est paire.

Donc g'(t) = 2 f(t) > 0 donc g est strictement croissante et continue.

Or g(0) = 0 et lim_t→+∞g(t) = 2×1

2 = 1 donc si  ∈ ] 0 ; 1 [ on a donc 0 < 1 -  <1 donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique ^uα  0 tel que g(u_α) = 1 -  .

INTERVALLE DE FLUCTUATION Propriété :

Pour tout  de ]0;1[ on pose In=

[

^p−uα

^√

^p(1−p)

√

^{n ; p+uα}

√

^p(1−p)

√

ⁿ

]

^{avec uα} désigne le réel tel que P(−uα⩽Z⩽uα) = 1- lorsque Z suit la loi normale

N ^(0;1)

^.

Si la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale B(n;p) avec p ∈ ]0;1[ alors lim

n→+∞

P

(

^Xnⁿ∈I_n

)

^{= 1-}

Démonstration : On pose Z_n= X_n−np

√

^np(1−p) , d'après le théorème de Moivre-Laplace, lim_n→+∞P(−u_α⩽Z_n⩽u_α) = P(−u_α⩽Z⩽u_α) or P(−uα⩽Z_n⩽uα) = P ( np−u_α

√

np(1−p)  Xn  np+u_α

√

np(1−p))

= P( p−u_α

√

^p(1−p)

√

^{n }

X_n

n  p+u_α

√

^p(1−p)

√

^{n )}

donc lim

n→+∞P

(

^Xnⁿ∈I_n

)

^{= P(−uα⩽Z⩽uα) = 1- .}