Second Exercice

Université de Cergy-Pontoise Janvier 2013

L1-SV Mathématiques pour les Sciences

Durée 2 heures, documents interdits

Premier Exercice

On étudie donc la fonction f(x) =^x+1_x−1. 1. Le domaine de définition def est R\ {1}

2. On af^′(x) = _(x−1)⁻²2.f^′ est toujours négative.

3. limx→−∞f(x) = 1,limx→+∞f(x) = 1, lim_x→1−f(x) =−∞,lim_x→1⁺f(x) = +∞.

4. La droite d’équation x = 1 est une asymptote vertical et la droite d’équation y = 1 est un asymptote horizontale.

5. Tableau de variation def. x

f(x)

f

−∞ 1 +∞

− −

1 1

−∞

+∞

1 1

6. Courbe représentative def.

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

1

Second Exercice

1. Le domaine de définition def est R. 2. f^′(x) = _(2x+1)² 2+1 = _4x2+4x+2²

3. ∀x∈R, f^′(x)>0,f est donc strictement croissante. De plus, f est continue surR(intervalle). f est donc une bijection deR sur]−^π₂,^π₂[. On a : y= arctan(2x+ 1) ⇔tany = 2x+ 1⇔x = ^tan₂^y−1. La fonction f⁻¹ est définie de]−^π₂,^π₂[surRpar f⁻¹(x) = ^tan₂^x−1.

Troisième Exercice

1. Calcul de R₁

0 te^−tdt. On pose u^′(t) = e^−t et v(t) = t. Alors u(t) = −e^−t et v^′(t) = 1. La formule d’intégration par parties donne :

R1

0 te^−tdt== [−te^−t]¹₀− Z ₁

0

−e^−tdt=−e⁻¹+ [−e^−t]¹₀ = 1−2e⁻¹. 2. Calcul de R2

1 1

tln(t)dt. Posons f(t) = ln(t). Alors f^′(t) = ¹_t. On a donc R2 1 1

tln(t)dt = R2

1 f^′(t)f(t)dt = [¹₂f(t)²]²₁ = ¹₂(ln(2))².

3. Une mise au même dénominateur permet de vérifier l’égalité. On a donc : Z ₄

2

f(x)dx= 1 2

1 2

Z ₄

2

2x

x²+ 1dx+ 3 Z ₄

2

1

x²+ 1dx+ Z ₄

2

1 x−1dx D’où

Z 4 2

f(x)dx= 1

4[ln(x²+ 1]⁴₂+3

2[arctan(x)]⁴₂+1

2[ln(x−1)]⁴₂ = 1

4ln(17)−1

4ln(5) +3

2arctan(4)−3

2arctan(2) +1 2ln(3)

Quatrième Exercice

1. Sur ]−1,+∞[, l’équation s’écrit : y^′+_1+x¹ y= 0. Il s’agit donc d’une équation linéaire du premier ordre sans second membre. Les solutions sont donc données par y(x) = Ce^−ln(x+1) = Ce^{ln(x+11 )} = C_x+1¹ où C∈R.

2. (a) On recherche une solution sous la formey₀(x) =a+bln(1 +x). Alorsy₀^′(x) = _x+1^b . On remplace dans l’équation avec second membre. On obtient donc(1 +x)_1+x^b +a+bln(1 +x) = 1 + ln(1 +x); ce qui donne b= 1 eta= 0. D’oùy₀(x) = ln(1 +x).

(b) Les solutions de (E) sur]−1,+∞[sont données pary(x) =C_1+x¹ + ln(1 +x) avec C∈R.

Cinquième Exercice

1. L’équation caractéristique est r² −1 = 0. Les racines de cette équation sont 1 et −1. Les solutions de l’équation différentielle sont doncy(x) =Ae^x+Be^−x avec AetB réels.

2. L’équation caractéristique estr²+r+1 = 0.∆ =−3. Il n’y a donc pas de racine réelle. Alorsα=−_2a^b =−¹₂ etβ = ^√_2a^−∆ = ^√₂³ . Les solutions de l’équation différentielle sont doncy(x) =Ae^x2 cos(^√₂³x)+Be^x2 sin(^√₂³x) avecA etB réels.

2