RENTREE DANS L ’ATMOSPHERE
Théorie d ’ALLEN: rentrée balistique
X Z
Z e V
eSol
Trajectoire Capsule de rentrée
Limite atmosphère
R x
V
Verticale depuis le centre de la terre
γ e
Pesanteur négligée (puisque la décélération sera de plusieurs dizaines de g)
Portance négligée (car rentrée balistique) Traînée:
( )
22
1 Z SC V R
x= ρ
x( )
0 22
1 1 e V
M SC dt
dV =−
ρ
x −HZ( ) V
edt
dZ = − sin γ 2
km m Z
H
m e
Hkg
Z
pour /
.
avec 5 80
6700 735
1
30 0
≤ ≤
=
= ρ ρ =
ρ
RENTREE DANS L ’ATMOSPHERE
Application à Apollo
global rho Cx M S H gamma
rho=1.735;S=0.0032;Cx=1;M=1;H=6700;
Ve=11000;Ze=80000 for i=1:10
gamma=5*i/180*pi
options=odeset('RelTol',1e-10)
[t,y]=ode45('rentree_eq',[0 400],[Ze Ve],options)
acceleration=-(0.5*rho*S*Cx/M).*exp(-y(:,1)/H).*y(:,2).^2;
plot(y(:,1),acceleration/10)
text(y(250,1),acceleration(250)/10,['\leftarrow',num2str(5*i),'°'],'FontSize',12) hold on
end
title(['Accélération subie par Appolo pour différents angles d entrée \gamma']);
xlabel('altitude')
ylabel('acceleration unités = g')
function z=rentree_eq(t,y) global rho Cx M S H gamma;
z=zeros(2,1);
z(1)=-y(2)*sin(gamma);
z(2)=-0.5*rho*S*Cx/M*exp(-y(1)/H)*y(2)^2;
RENTREE DANS L ’ATMOSPHERE
Application à Apollo
L’angle d’attaque est primordiale
Pour des valeurs supérieures à 10°, l’accélération dépasse 10g, qui est humainement inacceptable
Géométrie de la capsule n’a pas d’influence sur l’accélération Géométrie a influence sur l’altitude de l’accélération maximale
CONCLUSIONS
–Isoler la partie frontale de la capsule de la couche ionisée très chaude. C'est le rôle du BOUCLIER THERMIQUE
–Evacuer loin des parois latérales ce flux de chaleur.Forme du corps de rentrée très évasée, qui "éclate" l'onde de choc et l'écarte des parois, entraînant ainsi une couche limite
–Eviter l'échauffement de la partie isolante. Sublimation à température peu supérieure à la température ambiante de la cabine.
–Un changement de phase solide - gaz est préconisé pour éviter les dépôts et
"coulures" sur les parois, le bouclier se sublime donc.
KEPLER
Exemple n°1: Deuxième Vitesse Cosmique
V r E
r mE m Gm mV
U E
E m = C + =
2− t = ⇔ =
2− µ 1 2
2 1
0 0 2
2 1 2
2 1
V r V − µ r = − µ
Conservation de l’énergie:
2ème vitesse cosmique = vitesse pour se libérer de l’attraction de l’astre V
2> 0 même si r → ∞
0 2 0
V = r µ
NB: Première vitesse cosmique = vitesse pour rester en orbite circulaire au ras du sol
SCRIPT MATLAB
global gm_terre;
gm_terre=39.86e4*3600^2;
options = odeset('RelTol',1e-5);
title(['Vitesse Cosmique']);
axis([-100000 100000 -100000 100000]);
xlabel('km') ylabel('km') hold on
% conditions initiales du mouvement
Vitesse_cosmique=sqrt(2*gm_terre/(200+6378));
for j=0.8:0.05:1.1
x0=(200 + 6378);y0=0;dx0_dt=0;dy0_dt=Vitesse_cosmique*j;
[t,y] = ode45('kepler_eq',[0:0.25:24],[x0 y0 dx0_dt dy0_dt],options);
plot(y(:,1),y(:,2),'r.','MarkerSize',4);
drawnow;
hold on end
function z = kepler_eq(t,y) global gm_terre;
z = zeros(4,1);
r = sqrt(y(1)^2 + y(2)^2);
z(1) = y(3);
z(2) = y(4);
z(3) = - gm_terre*y(1)/r^3 ; z(4) = - gm_terre*y(2)/r^3 ;
RESULTATS
KEPLER
Exemple n°2: Orbite géostationnaire
Même si la Terre est assimilée à une sphère parfaite:
- Le plan orbital passe par l’équateur
- Le point géostationnaire ne peut être que sur l’équateur (sinon le satellite serait à la fois au nord et au sud de l’équateur)
- L’orbite est forcément circulaire pour éviter une oscillation Est-Ouest
Le renflement équatorial provoque:
- Provoque une dérive du plan orbital si ce plan n’est pas équatorial
- Provoque une accélération du fait du supplément d’attraction (sol: on place le satelitte un peu plus haut)
Intérêt de l’orbite géostationnaire:
-3 satellites à 120 ° couvrent toute la Terre
-2 stallites permettent de communiquer point à point sans problème
Cas des constellations d’orbite:
-MEO/LEO
-Iridium/Disc
Lancement géostationnaire
Base de lancement équatoriale
Idéal car:
- L’orbite est équatoriale (pas de correction d’inclinaison orbitale) - Gain de vitesse du à la vitesse de rotation équatoriale
- Une orbite parking n’est pas néessaire: un transfert GTO est possible immédiatement après la phase propulsée
- un seul allumage de correction
- au contraire, la navette demande une double motorisation
- Transfert de Hohman encore utilisé pour les vols interplanétaires (orbite de trasnfert bi- tangente aux orbites de départ et d’arrivée
périgée v
pa V r
V r
E 2 1 p p 2
1 2 2 − µ = 2 − µ = − µ
=
2a=42164+6378+200=48742 km
µ=39.86E13 m3/s
2r
p=(6378 +200) km
V
p=10.239 km/s-1
à comparer à la première vitesse cosmique à 200 km/s = 7.784 km/s
apogée
SCRIPT MATLAB
global gm_terre;
MeanMotion=2*pi/(24);
gm_terre=39.86e4*3600^2;
options = odeset('RelTol',1e-5);
Alpha=145*pi/180;
% conditions initiales du mouvement x0=(200 + 6378)*sin(Alpha);
y0=-(200 + 6378)*cos(Alpha);
dx0_dt=10.239*cos(Alpha)*3600;
dy0_dt=10.239*sin(Alpha)*3600;
t_initial=0;
[t,y] = ode45('kepler_eq',[t_initial:0.15:t_initial+240],[x0 y0 dx0_dt dy0_dt],options);
apogee=find((sqrt(y(:,1).^2 + y(:,2).^2)==max(sqrt(y(:,1).^2 + y(:,2).^2)))) temps_atteinte_apogee=t(apogee)
pause
Hohman1.m
function z = kepler_eq(t,y) global gm_terre;
z = zeros(4,1);
r = sqrt(y(1)^2 + y(2)^2);
z(1) = y(3);
z(2) = y(4);
z(3) = - gm_terre*y(1)/r^3 ; z(4) = - gm_terre*y(2)/r^3 ;
SCRIPT MATLAB
Hohman1.m title(['Trajectoire de la sonde pour \alpha =',num2str(Alpha)]);
axis([-50000 50000 -50000 50000]);
xlabel('km') ylabel('km') hold on
temps=[0:1:24];
plot(6378*cos(MeanMotion*temps(:)),6378*sin(MeanMotion*temps(:)),'r-');
for i=2:apogee
% tracé de la rotation de la Terre
plot(6378*cos(MeanMotion*t(1:i,1)),6378*sin(MeanMotion*t(1:i,1)),'r-');
plot(6378*cos(MeanMotion*t(i,1)),6378*sin(MeanMotion*t(i,1)),'ro');
% tracé de la trajectoire de la sonde plot(y(1:i,1),y(1:i,2),'b-');
plot(y(i,1),y(i,2),'bo');
drawnow;
tic;
while toc<0.25; end ;
plot(6378*cos(MeanMotion*t(i,1)),6378*sin(MeanMotion*t(i,1)),'wo');
plot(y(i,1),y(i,2),'wo');
end pause
SCRIPT MATLAB
Hohman1.m x0=y(apogee,1);
y0=y(apogee,2);
t_initial=t(apogee);
cos1=y0/sqrt(x0*x0+y0*y0);
sin1=-x0/sqrt(x0*x0+y0*y0);
dx0_dt=-sqrt(39.86e4/42164)*3600*cos1;
dy0_dt=-sqrt(39.86e4/42164)*3600*sin1;
[t,y] = ode45('kepler_eq',[t_initial:0.15:t_initial+240],[x0 y0 dx0_dt dy0_dt],options);
for i=2:480
% tracé de la rotation de la Terre
plot(6378*cos(MeanMotion*t(1:i,1)),6378*sin(MeanMotion*t(1:i,1)),'r-');
plot(6378*cos(MeanMotion*t(i,1)),6378*sin(MeanMotion*t(i,1)),'ro');
% tracé de la trajectoire de la sonde plot(y(1:i,1),y(1:i,2),'b-');
plot(y(i,1),y(i,2),'bo');
drawnow;
tic;
while toc<0.25; end ;
plot(6378*cos(MeanMotion*t(i,1)),6378*sin(MeanMotion*t(i,1)),'wo');
plot(y(i,1),y(i,2),'wo');
end
