DS 8 de 1S1 du 30 avril 2019.
Exercice 1. Résoudre surR. 4 points
1. L’inégalité : ´x2`7x´10 x2`6x`9 ě0.
Pour´x2`7x`10, on a ∆“72´4ˆ10“9“32. Doncx1“ ´7´3
2ˆ p´1q “5 etx2“ ´7`3 2ˆ p´1q “2 Pourx2`6x`9, on a ∆“62´4ˆ9“0. Doncx0“ ´6
2ˆ1 “ ´3.
Un polynôme est du signe de "a" (coefficient dex2) à "l’extérieur" des racines. Donc : x
´x2` 7x´10 x2`6x`9
´x2`7x´10 x2`6x`9
´8 ´3 2 5 `8
´ ´ 0 ` 0 ´
` 0 ` ` `
´ ´ 0 ` 0 ´
´x2`7x´10
x2`6x`9 ě0ôxP r2; 5s 2. L’équation :
sin
´ 3x`π
3
¯
“
?3
2 ô
$
’’
’&
’’
’% 3x`π
3 “π 3 p2πq ou
3x`π 3 “2π
3 p2πq ô
$
’’
&
’’
% x“π
9
`2π
3
˘ ou x“π
9
`2π
3
˘
Exercice 2. 4 points
On considère un triangleABC et les points E et F tel que :ÝÑ
AE“3ÝÝÑ AB`ÝÑ
AC etÝÝÑ BF “ 1
5 ÝÝÑ BC.
1. Faire une figure avec le triangleABC et les point E, F.
2. Montrer queÝÑ AE“5ÝÑ
AF. Que peut-on en déduire ? ÝÑAF “ÝÝÑ
AB`ÝÝÑ BF “ÝÝÑ
AB`1 5
ÝÝÑ BC“ÝÝÑ
AB`1 5
´ÝÝÑ BA`ÝÑ
AC
¯
“ 4 5
ÝÝÑ AB`1
5
ÝÑAC“ 1 5
ÝÑAE
DoncÝÑ
AE “5ÝÑ AF
3. On se place dans le repèrepA;ÝÝÑ AB;ÝÑ
ACq.
(a) Déterminer les coordonnées du points F.
ÝÑAF “ÝÝÑ AB`ÝÝÑ
BF “ÝÝÑ AB`1
5 ÝÝÑ BC“ÝÝÑ
AB`1 5
´ÝÝÑ BA`ÝÑ
AC¯
“ 4 5
ÝÝÑ AB`1
5 ÝÑAC
DoncF ˆ4
5;1 5
˙
(b) Déterminer les coordonnées des vecteursÝÑ AE :
ˆ4 1
˙ et ÝÑ
AF :
¨
˚
˝ 4 5 1 5
˛
‹
‚. (c) En déduire que les points A, E et F sont alignés. On a 4ˆ1
5 ´1ˆ4
5 “0 doncÝÑ AE et ÝÑ
AF sont colinéaires, donc les points A, E et F sont alignés.
Exercice 3. 4 points On considère le planP muni du repère orthonormé pO,ÝÑi ,ÝÑjq. On considère les pointsGp2´?
3; 1`2?
3qetHp2,1q.
1. Déterminer le produit scalaireÝÝÑ HO¨ÝÝÑ
HG. En déduire la nature du triangleOGH.
ÝÝÑ HO¨ÝÝÑ
HG“ ˆ´2
´1
˙
¨
˜
´? 3 2?
3
¸
“2? 3´2?
3“0
DoncÝÝÑ HO etÝÝÑ
HG sont orthogonaux. Le triangle OGH est donc rectangle en H.
2. (a) Déterminer les longueurs : GO“
b p2´?
3q2` p1`2?
3q2“a 4´4?
3`3`1`4?
3`12“? 20 etHG“?
3`12“? 15.
(b) Déterminer le produit scalaireÝÝÑ GO¨ÝÝÑ
GH.
Puisque le triangle OGH est rectangle en H, on a : ÝÝÑ GO¨ÝÝÑ
GH “GH2“15 (c) En déduire que cospÝÝÑ
GO;ÝÝÑ GHq “
?3
2 puis déterminer la valeur de l’angleOGH.{ ÝÝÑ
GO¨ÝÝÑ
GH“GOˆGOˆcospÝÝÑ GO;ÝÝÑ
GHq “
?3
2 ôcospÝÝÑ GO;ÝÝÑ
GHq “ 15
?20ˆ? 15 “
c15 20 “
?3
2 “cosπ 6. Donc :OGH{“π
6
Exercice 4. 4 points
On considère la fonctionf définie surr0,4spar : fpxq “?
4´x
Dans le repère orthonormép0;ÝÑi ,ÝÑjq, on a la représentation gra- phiqueCf def graphique ci-contre où :
• Le pointApa, fpaqqest un point deCf (oùaP r0,4s)
• Le pointHpa,0q
• On admet que le triangleOAH est rectangle en H.
On considère la fonctiong définie surr0,4spar : gpxq “1
2x? 4´x
1. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants ci-dessous. Justifier la quatrième ligne du tableau en admettant le résultat de la troisième ligne du tableau :
(c’est-à-diref1pxq “ ´1 2?
4´x) .
1 fpxq: “sqrt(4-x) Ñ 1
2x? 4´x 2 gpxq: “ 1
2x˚sqrt(4-x) Ñ 1
2x? 4´x 3 dériver(fpxq)
Ñ ´1 2?
4´x 4 dériver(gpxq)
Ñ 8´3x 4?
4´x g1pxq “1
2 ˆ
1ˆ
?4´x´xˆ 1 2?
4´x
˙
“ 2p4´xq ´x 4?
4´x “ 8´3x 4?
4´x
2. Étudier le signe de g1pxq sur l’intervalle r0,4s, en recopiant et complétant le tableau suivant. Sur la dernière ligne vous indiquerez les variation deg:
8´3xě0ô 8
3 ěx et 4?
4´xě0
x 8´3x 2?
4´x g1pxq
gpxq
0 83 4
` 0 ´
` `
` 0 ´
0 0
8? 3 3 8? 3 3
0 0
On a :g ˆ8
3
˙
“ 8
?3 3
3. Montrer quegpaqreprésente la surface du triangle OHA.
surface du triangle OHA“ 1
2OHˆAH“1
2aˆfpaq “gpaq 4. En déduire la valeur deapour que la surface du triangle OHA soit maximale.
D’après la question 2. La valeur maximale degpaqest 8
?3
3 et est atteinte ena“ 8 3.
Exercice 5. 3 points
On possède un dé à 4 faces avec
• deux faces avec "1" ;
• une faces avec "2".
• une faces avec "6".
On lance le dé et à noter le résultat obtenu. On noteX la variable donnant le résultat.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variableX.
xi 1 2 6 Total pi 12 14 14 1 2. Déterminer l’espérance et la variance de la variable X.
EpXq “1ˆ1
2 `2ˆ1
4 `6ˆ1 4 “5
2 et VpXq “12ˆ1
2 `22ˆ1
4 `62ˆ1 4´
ˆ5 2
˙2
“ 17 4 3. Le joueur mise 10eet gagne 6 fois la valeur obtenue lors du lancé. On note Y le gain algébrique du joueur.
(a) On a :Y “6ˆ loomoXon
valeur obtenue
´loomo3on
mise
(b) Déterminer l’espérance et la variance de la variable Y.EpYq “Ep6X´10q “6EpXq ´10“6ˆ5
2 ´10“5e. EtVpYq “Vp6X´10q “62VpXq “153
(c) Vous direz si le jeu est favorable ou non favorable au joueur. CommeEpYq ě0, le jeu est favorable au joueur.
Exercice 6. 5 points
Un propriétaire décide de louer son hangar à l’année. Il propose pour l’année 2020 un loyer annuel de 4500 e. Il propose au locataire une augmentation suivant deux options possibles :
• Il augmente le loyer chaque année de 100e. Le loyer à l’année 2020`nsera alors modélisé par la suitepunq.
• Il augmente le loyer chaque année de 2 %. Le loyer à l’année 2020`nsera alors modélisé par la suitepvnq.
1. Étude de le suitepunq.
(a) Déterminer l’expression deun`1en fonction deun et en déduire la nature de la suitepunq.
un`1“ un
loomoon
loyer à l’année 2020+n
` lo100omoon
Augmentation de 100e
Donc la suitepunqest une suite arithmétique de premier termeu0“4500 et de raison 100.
(b) Exprimerun en fonction den.
un“nr`u0“100n`4500
(c) Déterminer le loyer que devrait percevoir le propriétaire à l’année 2034 (vous arrondirez le résultat à l’euro près) u14“14ˆ100`4500“5900e
(d) Déterminer ce que représentera pour le propriétaire la somme totale des loyers perçus par le propriétaire à la fin de l’année 2034 avec cette option. (vous arrondirez cette somme à l’euro près)
u0`u1`u2`...`u14“4500` p100`4500q ` p2ˆ100`4500q `...` p14ˆ100`4500q
“4500ˆ15`100ˆ p1`2`3`...`14q “67500`100ˆ14ˆ p14`1q 2
“78000 e 2. Étude de le suitepvnq.
(a) Déterminer l’expression devn`1 en fonction devn et en déduire la nature de la suitepvnq.
vn`1“ vn
loomoon
loyer à l’année 2020+n
ˆ 1`0,02 looomooon
Augmentation de 100e
Donc la suitepvnqest une suite géométrique de premier termev0“4500 et de raison 1,02.
(b) Exprimervn en fonction den.
vn “qnv0“1,02nˆ4500
(c) Déterminer le loyer que devrait percevoir le propriétaire à l’année 2034 (vous arrondirez le résultat à l’euro près) v14“1,0214ˆ4500»5938e
(d) Déterminer ce que représentera pour le propriétaire la somme totale des loyers perçus par le propriétaire à la fin de l’année 2034 avec cette option. (vous arrondirez cette somme à l’euro près)
v0`v1`v2`...`v14“4500`1,02ˆ4500`1,022ˆ4500`...`1,0214ˆ4500
“4500ˆ p1`1,02`1,022`...`1,0214“4500ˆ1,0215´1
1,02´1 “225000`
1,0215´1˘
“77820 e 3. On considère les deux programmes suivants :
% programme 1 U=4500
V=4500 N=0
w h i l e V<=U:
U=U+100 V=V∗1 . 0 2 N=N+1 p r i n t (N)
% programme 2 U=4500
V=4500 SU=4500 SV=4500 N=0
w h i l e SV<=SU : U=U+100 V=V∗1 . 0 2 SU=SU+U SV=SV+V N=N+1 p r i n t (N)
Pour le programme 1, la valeur affichée dans le Shell est 12 et pour le programme 2, elle de 17.
Le premier programme permet de déterminer quand le loyer annuel devient plus élevé pour l’option 2 (progression géomé- trique) que pour l’option 1 (progression arithmétique). Cela arrivera donc à l’année 2032.
Le deuxième programme permet de déterminer quand la somme des loyers annuels devient plus élevé pour l’option 2 (pro- gression géométrique) que pour l’option 1 (progression arithmétique). Cela arrivera donc à l’année 2037.
Exercice 7. 6 points On considère la série statistiqueX suivante :
xi : valeurs a b 7 ni : effectifs 3 2 5
Partie A
Dans cette partie, les valeurs sonta“ ´1 etb“4.
1. Déterminer les valeurs de la moyenne et de l’écart type (à 10´2 près).
2. On définie la fonctionf surRpar : fpxq “ 1
10
3
ÿ
i“1
nipx´xiq2“ 3px´x1q2`2px´x2q2`5px´x3q2 10
(a) Montrer que :
fpxq “x2´8x`28 (b) Dresser le tableau de variation def.
(c) En déduire quef admet un extremum, donner la valeur de cet extrémum et la valeur pour laquelle il est atteint (on noterafpx0qetx0ces deux valeurs)
(d) Que représente ces deux valeurs pour la sérieX
Partie B
Objectif : Déterminer les valeurs deaetb pour que
X “5 et VpXq “7 1. Montrer que l’on obtient le système :
"
3a`2b“15 3a2`2b2“75 2. En déduire queavérifie l’équation :
a2´6a`5“0 3. En déduire les valeurs possibles pouraetb.
