C AHIERS DE
TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CATÉGORIQUES
R ENÉ G UITART
Qu’est-ce que la logique dans une catégorie ?
Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome 23, n
o2 (1982), p. 115-148
<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1982__23_2_115_0>
© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1982, tous droits réservés.
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Q U’EST-CE QUE LA LOGIQUE DANS UNE CATÉGORIE ?
par
René GUITART
P o ur Fran ço i s e
CAHIERS DE TOPOLOGIE E T
GÉOMETRIE DIFFÉRENTIELLE
Vol. XXIII - 2
(1982 )
3e COLLOQ UE
SUR LESCATÉGORIES DÉDIÉ
A CHARLES EHRESMANNAmiens, Juillet
1980SOMMAIRE.
-1. Source. 0. But. 1.
Pratiques.
2. Formules. 3.Diagrammes.
4. Fonde-ments. 5. Relations. 6.
Singulier
et universel. 7. Universalgébriques.
8. Topogé-nèses. 9. Machines et tenseurs. 10. Fibrations. il. Pro-univers. 12. Le rôle cen-
tral des carrés exacts. 13.
Esquisses
concrètes etesquisses
abstraites. 14. Ladéduction dans la
logique catégorique.
15.Lissage
de la réalité. 16.Logique
ex-acte fibrée. 17.
Dialectique, dogme provisoire, métalogique,
formules ethomologies.
- 1 . SOU RC E. e
J e
veuxprofiter
de ceColloque
pourrappeler
toute l’ aide - tant surle
plan scientifique
que sur leplan personnel -
quej’ai
reçued’Andrée
et Charles Ehresmann.Beaucoup
de mesréflexions
ont pour sources -des ou- tilsqu’ils
ont introduits( foncteur-types, 2-catégories, catégories d’opéra-
teurs, suites exactes de
foncteurs, esquisses).
Ce texte est unesynthèse
unificatrice de la
thèse
de Doctorat d’Etatpréparée
sous leur direction(et
soutenue à Amiens le 8
Juin 1979,
avec pourjury:
i A & C.Ehresmann,
G.Choquet,
H.Kleisli, J. Bénabou,
M.Tierney,
L.Boasson)
et de travaux réalisésdepuis.
Lesrésultats
desparagraphes
13 à 17qui
ont faitl’objet
de
l’exposé
oral à ceColloque
sontinédits.
Les
démonstrations
nefigurent
pas; sauf pour celles des paragra-phes
13 à17,
on lestrouvera,
avec descompléments
et toutes les informa-tions
bibliographiques qui
n’ont pas leurplace
dans cerapide
survol de mesidées,
dans les textes suivants(auxquels
ce texte-ci est uneintroduction
générale
oùl’aspect logique >>
estprivilégié).
Ces textes sont réunis endeux volumes
multigraphiés
àl’Université
Paris 7.(Abréviations:
C.R.A.S. = Compte-rendus
del’Académie
desSciences ;
CTGD
= Cahiers deTopologie
et Géom.Diff. )
V OL UME 1.
[1. Relations, fermetures,
continuités(Thèse 3e cycle
Univ. Paris 7,Juin
1970)Esquisses
Math. 1 (1970), 102pages. 1
2. Problèmes universels associés à
quelques catégories d’applications,
C. R.A.S.P aris
270 ( 1970 ),
1398-1401.3. La
catégorie
des relations continues entrefermetures,
Idem 1572- 1574.4. Définitions de
l’homotopie
entrerelations,
Idem 271 (1970), 635-638.5. Sur
l’homotop ie
entrerel ation s,
Idem 27 2( 1971 ),
117 5 - 1178.6. Sur les fonctions associées à la notion de sous-structure, Idem 273, 558-561.
7. Foncteurs
sous-objets
et relationscontinues,
CTGD XIII-1(1972),
57-100.8. Sur les
idempotents
dans lestriples
et ladescription
des structures, C. R. A. S.275
( 1972 ),
259 - 262.d
9. Sur l’ébauche des structures, Proc.
3d Cong. of Bulgarian Math.,
Summaries II (1972),p. 354.10. Structures
algébriques
et extensions de Kand’applications covariantes,
C. R.A. S. P aris 277 ( 1973), 83-86.
11. Sur le foncteur
diagramme,
CTGD xIV- 2 (1973), 181- 182.12. Les monades involutives en théorie élémentaire des
ensembles,
C. R. A. S . P aris 277( 197 3 ),
9 35 -9 37.13.
Categorias cantorianas,
Encontro Nac. deLogica
Mate., Univ. Fed. Flumin.N it ero i,
1974, 14 p ag e s,14. Remarques sur les machines et les structures, C T GD XV- 2 (1974). 113 - 14 4.
15.
Equational
translation of set theoreticalnotions,
Summary of a conf. at Ober-wolfach,
1974, 3 pages.16. Constructions de monades
involutives,
C. R. A. S. Paris 279 (1974), 491-493·17. Traduction
équationnelle
de notionsensemblistes,
Idem 541-543.18. Monades involutives
compl ém ent ée s,
C T GD x VI -1 (1975), 17 -101.19. Involutive monads and
topologies,
Math.Forschungsinst. Obenvolfach,
Tagung.33(1975), 2 pages.
20. Un contexte
adapté
aux relationscontinues,
CTGD XVI-3 (1975), 244-245.21.
Fibrations, diagram
anddecompositions,
Abstract of a talk at the category the-ory
Meeting
Isle ofThorns, 1976,
3 pages.22. Sur la
décomposition
descatégories, Multigraphié
Univ. Paris 7,1976, 4
p.23.
Topogenesis
and continuou srelations,
Abstract of a talk at th e Northae st Ger-man Category Seminar. Univ. Bremen,
1976,
4 pages.24.
Topologie
dans les universalgébriques,
Math.A rbeits pup,
7, Univ. Bremen(1976),
59 -97.VOLUME 2.
25. Calcul des relations
inverses,
CTGD XVIII-1(1977),
67-100.26. Structures dans les univers
algébriques, Multigraphié
Univ. Paris 7, 1977, 45 p.27.
Changement
delogique
dans les universalgébriques, Idem,
10 pages.28. Extensions de Kan
absolues,
Math.Forschungsinst, Oberwolfach,
Tagung. Kat.egorien,
1977, 42-44.29.
Décompositions
etlax-complétions
(avec L.VandenBril),
CTCD XVIII-4 (1977), 333- 407.30. Des machines aux
bimodules, Multigraphié
Univ. Paris 7, 1978, 28 p.31. Foncteurs-types,
équations
de structures, Universalgébriques, Exposé 9
Sém.de
Catégories (Guitart-Lair-Coppey-Foltz),
1979,Multigraphié
Paris 7, 8 p.32. Résumé de Thèse. Univ.
Amiens,
1979, 2 pages.33. Théorie des
bornes,
I,Diagrammes
1 (1979),pari s,
4 page s.34. a) Carrés exacts;
b)
Tenseurs etmachines,
Math.Forschungsinst.,
Oberwol.fach,
Tagung.Katego ri en,
1979, 1 page.35.
Algebraic universes,
Lecture at the summer school onuniversal algebra
and or-dered sets,
jindrichuv
Hradec(Tchécoslovaquie),
1979, 10 pages.36. Constructions de
produits
tensoriels et machinesnon-déterministes,
Seminar- berichte Femuniv. Hagen 7 (1980), 25- 30.37. Théorie des
bornes,
II,Diagrammes
2, Paris (1979), 2 p.38. Tenseurs et
machines,
C TGD XXI-1 (1980), 5-62.39. Pour un calcul
logique géométrique, Multigraphié,
Univ. Paris 7, 1980, 6 p.40. Sur les contributions de Charles Ehresmann à la théorie des
catégories,
Ga-z ette d es Math. S, Math, France 13 (1980 ), 377-43.
41. Extenseurs,
Diagrammes
3, Paris(1980),
2 p.42. Relations et carrés exacts, A nn. S c. Math.
Q ué.
IV-2(1980), 103-125.
43. a) Exact
square s and reality; b)
Tensors,Fachtagung allgemeine Algebra und Grenzgebiete 27/10 AlmsfeldjHarz,
DDR, 1980, 2 pages,44.
Qu’est-ce
que lalogique
dans unecatégorie?
Ce Volume.0. BUT.
Je conçois
lathéorie
descatégories
comme unelogique mathéma- tique élargie, incorporant
à son propredéveloppement,
à son formalisme età ses
méthodes
certains aspects de lalogique dialectique.
Elle sedéve- loppe
par l’observationobjective
despratiques singulières
desmathémati-
ciens et la recherche de ce que ces
pratiques
comportentd’universel.
Je
vais exposer ici comment mes propres travauxs’appuient
sur cet-te
conception
et larenforcent.
Monbut précis
est de montrer que, en seplaçant
au niveau convenabled’abstraction,
on a:L ogique
=Algèbre homologique,
de sorte que chacun de ces domaines doit
profiter
desméthodes
del’autre.
1. PRATIQUE.
La
logique
étant la branche desmathématiques appliquées qui
étu- die l’activitémathématique elle-même,
ilimporte
de fixer d’abord la con-ception
que l’on se fait de cetteactivité.
Quand
Einsteinpréconise
de resterprofondément opportuniste,
ilindique
que toutprincipe épistémologique
limite lespossibilités
dedécou-
verte. Pour cela aussi Bohr renonce à
l’exigence
habituelle desimplicité, d’élégance
et même decompatibilité
avec lesthéories admises. Feyerabend précise
que, «pour ceuxqui considèrent
la richesse deséléments
fournis par l’histoire etqui ne
s’ efforcent pas del’appauvrir
pour satisfaire leur soif de sécurité intellectuelle - sous forme declarté, précision, «objectivi-
té» - pour
ceux-là,
il devient clairqu’il
y a un seulprincipe
àdéfendre
entoutes circonstances et à tous les stades du
développement humain,
c’estle
principe:
tout est bon »( Against Method,
NewLeft Books, 1975).
Ainsi même le
principe
suivantlequel
pour êtreintéressant
un tra- vailmathématique
doit soit être clair etélégant,
soitrésoudre
unproblème difficile,
estinacceptable,
par lapriorité
absoluequ’il
donne aux modes depensées
etthéories établis, rejetant
dans les ténèbres extérieures lesidées
et
pratiques
«fausses », tortueuses ou bizarresqui participent
pourtant aus- si desmathématiques,
maisqui
n’ont pasl’avantage
d’être en accord avecle
dogme
de l’instant. Au contraire uneconception plus expérimentale
del’activité mathématique, préservant
au maximum la richesse et ladiversité
desdécouvertes possibles, conduit
à ne pasnégliger
etpeut-être
à encou-rager les conduites
hétérodoxes
et lespratiques
sauvages.Je
necritique
pas ici la
clarté d’exposition toujours indispensable,
mais laschématisa-
tion excessive et apriori, basée
sur la croyance que les chemins condui-sant à la
vérité
sontsimples.
On sait maintenant quel’activité scientifique
ne
procède
ni duréalisme (Aristote, Newton)
ni du rationalisme(Platon, Descartes),
mais ne seréalise pleinement qu’en
assumant dans sesprati-
ques la
complexité
de ladualité (soulignée
parBachelard) Réalisme/ Ra-
tionalisme.
C’est dans ce va-et-vient lucide entrePittoresque
etCompré- hensible,
entreSingulier
etUniversel,
que la Science sefait.
Si,
comme l’asouligné Husserl, l’intérêt
d’uneLogique
est d’êtreune efficace doctrine de la
Science,
uneLogique évoluée
doit tenter d’in-tégrer explicitement
à sesmécanismes
ce va-et-vient fondamentalrappelé
ci-dessus. A ce
sujet Kedrov
observe(Dialectique, Logique, Gnoséologie:
leur unité, Ed.
duProgrès, 1970)
que «leslogiciens
formels ne font que s’abstraire de lavariabilité
de lavérité (c’est-à-dire
de notresavoir)
lais-s ant à une autre science
logique
le soin derésoudre
etd’étudier
cette ques-tion.
Cette autre sciencelogique
est lalogique dialectique.
Dans lamême veine,
Marcuse(One-dimensr;onal
man, BeaconPress, 1964)
dit que «la lo-gique mathématique
actuelle est une forme depensée d’où
a été retranchéle
«négatifs qui
était tellementévident
àl’origine
de laphilosophie
et dela
logique -
lenégatif
oul’expérience
de la forcenégative, décevante,
fal-sifiante de la
réalité établie.
En éliminant cetteexpérience,
l’effort con-ceptuel
de ce fait cesse de maintenir la tension entre est etdevrait»,
etil oppose à cela la
logique dialectique qui
«refuse les abstractions de lalogique
formelle ettranscendantale,
mais en même temps refuse le concret del’expérience immédiate >>. Une Logique Mathématique qui rendrait compte de
lalogique dialectique
serait trèsprécieuse,
carbeaucoup plus adaptée
à
l’analyse
despratiques scientifiques
réelles.Je
pense que,après
la lo-gique
formelle et lathéorie
desmodèles classique ( ensembliste ),
lathé-
orie des
catégories
est un pas vers une telleLogique,
en un sens queje
vais
développer
dans lasuite,
etdécrire
sous une forme utilisable au no 17.2. FORMULES.
La
logique
est l’étude desformules,
avec:Formul e - Description d’une pratique.
La
nécessité soulignée
ci-dessus den’éliminer
apriori
aucunepratique
par-ticulière crée,
dansl’étude «logique »
d’unecatégorie C ,
la nécessité dene formaliser que
lentement,
enprêtant
attention surtout à lacohérence
in-terne de la
théorie
en cours deformation, plutôt qu’à
ses éventuelles «re-tombées»
dans lesthéories
« reconnues ».Chaque catégorie C
est en faitune modélisation
provisoire ( i. e, qu’il
ne faut pas s’interdire de modifier - cf. no15 )
d’uneproblématique réelle,
etl’étude
deC
vise à«résoudre»
cette
problématique-là,
et non à contribueraveuglément
à l’enrichissement duCorpus Mathématique.
Les formules dans une
catégorie donnée C
devront êtresimplement
l es descriptions des pratiques qui
se sontdéveloppées
dansC depuis
sonémergence dans l’histoire des mathématiques.
Le cesdescriptions,
onexige principalement
d’êtrefidèles
à lapratique dans C
tellequ’elle
estréelle-
ment perçue; pour un
géomètre
les formules seront vues comme formules-figures,
et pour unesprit plus analytique
elles revêtirontl’aspect
de for-mules-algorithmes.
Cesdescriptions
devraient être d’une forme brute et di- recte, ne cherchant pas àreprendre
les chemins desclassiques
construc-tions
logico-ensemblistes;
lesmanières
de construire etd’interpréter
lesformules dans
C
devraient êtrediscutées
en second lieuseulement,
de tel-les
opérations
revenant à comparer les formules dansC
avec les formulesdans .d’ autre s catégories.
Il fautéviter d’imposer
apriori
une formespéciale
aux formules
(e. g.
uneprésentation
heureuseailleurs )
et s’ attacher àdéga-
ger la nature
profonde
des situations sans chercher trop hâtivement à résou- dre lesquestions
apparentes.L’idée de forncule
estin formalisable,
et de-meure
dynamique
et ouverte, de sorte que pourchaque catégorie
nouvelleC
lalogique intrinséque
àC
est radicalement àdécouvrir,
lapremière
éta-pe étant de donner les
formules, c’est-à-dire
dedécrire précisément
ce que l’on aréellement
faitdéjà
dansC .
Maisensuite,
il faut faire lesmathé- matiques, c’est-à-dire -
suivant Thom etPoincaré -
«gagner de larigueur, quitte
àperdre
de lasignification »
et, «poussant lesentités
distinctes àse confondre »,
délimiter
uncalcul, dégager
desprésentations
formelles dediverses approximations limitées de l’idée
deformule.
3. DIAGRAMMES.
L’utilisateur d’une
catégorie
concrèteC
voit dans lesmorphismes
les «liens
élémentaires »
entreobjets,
et sespremières démarches
consis-tent à construire et
analyser
des liensplus généraux
etpuissants :
rela-tions entre
paires d’objets
deC ,
extensions et suites exactes, carrés com-mutatifs, morphismes
àhomotopie près, préfaisceaux
surC ,
et au sens leplus général, diagrammes
dansC .
Voila donc lespremiers exemples
de for-mules ;
on observera que de cepoint
de vue lalogique
est peudifférente de
la théorie des catégories elle-même. L’idée
de penser directement les cônes inductifs etprojectifs
comme des formules adéjà
étéindiquée
parplusieurs
auteurs
(Mijoule -
en1973
au Séminaire A . & C. Ehresmann à Paris7,
Ro-sicky, Keane, Andreka-Nemeti -Sain,
Guitart(voir (39)) ),
et par aiileurscette
«logique
des cônes» s’estdéveloppée implicitement
sous forme d’es-quisses ( A,
et C.Ehresmann, Gabriel-Ulmer, Lair, Diers )
ou detopologie
de
Grothendieck (Makkai-Reyes, Coste, Diers).
Noussystématisons
ceciavec le calcul des
T-fonnules
ou formules internes à unethéorie
T( voir paragraphes 13, 14) qui rejoint
aussi( avec
T =Graphes
ouCat )
lesidées
de
Blanc, Rambaud, Penon,
A. Burroni sur leslangages
surgraphes,
lan-gages de
catégories, langages graphiques ( voir
enparticulier
la conférencede Burroni dans ce
Colloque).
Voir aussi au no 10 lacomplétion graphique.
4. FONDEMENTS.
La
question
de fondements( où
se font lesmaths. ? ) est
un aspectparticulier
de laquestion
de lalogique ( comment
se font lesmaths.? ). J e
crois que nous n’avons besoin de fondements que
localement,
afin de sa-voir,
pour unethéorie donnée,
surquoi
nousbâtissons. L’idée
de fonder dans leur ensemble toutes lesmathématiques
estdémesurée.
Uneidée
es-sentielle
qui
aémergé
dans les annéescinquante
estqu’il n’y
a pas un uni-vers
privilégié ( avec
unelogique donnée,
desobjets donnés)
où sedéve- loppe
le discoursmathématique,
mais uneinfinité
d’universpossibles.
Deplus
dansl’étude
desmathématiques
àl’intérieur
d’un univers il peut être très fructueux de s’ «extraire» de l’univers enquestion,
etéventuellement
de modifier cet univers. Ainsi - suivantl’expression
deDieudonné -
Gro- thendieck «sort» les ouverts del’espace topologique
et propose les toposcomme
objets
fondamentaux de lagéométrie algébrique;
Robinsonjoue
surle va-et-vient entre deux univers
lJ
et*tJ
poursimplifier l’étude
de l’ana-lyse
dans lepremier
et fournir un cadre formel correct au calculinfinitési-
mal à laLeibniz ;
et dans lesmodèles booléiens,
Scott etSolovay
«gon- fient» l’univers initial où lalogique
est binaire en luiajoutant
demanière cohérente
des valeurslogiques qui
serviront à évaluerplus
finement lesénoncés portant sur le
premier
univers.Suivant Gauss
(puis Hilbert, Eilenberg-Mac Lane, Ehresmann ),
enmathématique
la nature «intime» des êtresétudiés n’importe
pas, seulescomptent
les relations entre cesêtres,
et les structuresexprimant
ces re-lations.
Enparticulier
pourdévelopper
tellethéorie
ilimporte
moins d’avoirun
modèle précis explicitement
construitqu’un système
d’axiomes biendé- fini.
Devant cette attitude touteméfiance
envers leséléments idéaux
intro- duits à diversesépoques
pour rompredes
situationsparadoxales (
irration-nels, imaginaires, points
àl’infini, etc) disparaît, puisque
ces éléments«insensés» ne
prétendent plus
à unequelconque
existence etexpriment
seulement des rapports.
Si maintenant cette
conception,
au lieu d’êtreappliquée
à lagéo- métrie,
lathéorie
deséquations,
ou telle autrethéorie particulière,
est ap-pliquée
d’un coup à lathéorie mathématique
desmathématiques,
cela donnela
conception axiomatique
desunivers,
avec enparticulier
lapossibilité
de modifier les univers par
adjonction d’éléments idéaux
convenables(nou-
veaux
ensembles,
nouvelles valeurslogiques,...).
Le
mathématicien
au travail dans un contexte et rencontrant une si- tuation insoluble a l’habitude dechanger
de contexte, de seplacer délibé-
rément
ailleurs,
dans un contexteélargi, «complet»,
où les solutions exis- tent. A force demanipulation
et avec «del’inspiration»,
il finit par «saisir»les
éléments
de ce nouveau contexte, et paracquérir
ainsi une nouvelle vi- sion sur sa situation insolubleinitiale.
Cela vaut si le contexte initial enquestion
est un univers tout entier. Suivant laphilosophie
desparagraphes
1 et 2
l’ étude
de cespratiques
doit aussi être unfragment
de lalogique.
L’étude axiomatique des univers,
les manières de lesconstruire,
et les fa-çons dont on peut faire les
mathématiques
dans un universdonné,
tout celaest
expliqué
dansl’algèbre
universelleclassique
et les nombreux travaux- au demeurant très fins - de
théorie
desmodèles:
mais cetteapproche
neme satisfait pas, car la vision
ensembliste
estaujourd’hui
uneauthentique
o bstruction
àl’ application
directe de laméthode mathématique
à laréalité ( où
l’ intuitionperçoit
les structures et non pas les«points »
des ensemblesabstraits soi-disant
sous-jacents
à cesstructures).
Du reste, on observe que cettefaculté
dechanger
de contexte est enpratique
trèslimitée
cheznombre de
mathématiciens quand
ils’agit
de lathéorie
desensembles,
par-ce que leur intuition est canalisée
depuis
troplongtemps
dans le formalismedes
ensembles,
de sortequ’ils
ontperdu
legoût
de la recherche des limites de ce formalisme où ilsvivent:
ils finissent par croire que lathéorie
des ensembles est une base absolue et que les ensembles existentréellement.
lo
prendre définitivement
comme base pour lesquestions
de fondementla
théorie
des ensembles est troplimitatif.
20 Un rôle essentiel dans
l’axiomatique
des univers est àjouer
par lathéorie
descatégories.
5. RE LATIONS.
D ans ma
conception
un univers estconstitué
de troisdonnées:
unecatégorie
debase,
un contexteopérationnel,
un contexterelationnel.
Ainsi si U est un univers deGrothendieck,
lacatégorie
de base estEns ( la
ca-tégorie d’applications associée
àlJ ),
le contexteopérationnel
est le cal-cul des
produits
cartésiens dansEns ,
et le contexte relationnel est le cal- cul dansEns
des fonctionscaractéristiques
de sous-ensembles.Pour
l’aspect opérationnel,
l’essentiel a été dit de1955
à1965
parGrothendieck, Lawvere, Chevalley, Ehresmann, Bénabou, qui
ont donné di-verses variantes pour
développer
lesthéories algébriques
demanière
inter-ne à une
catégorie
à limitesprojectives, puis
de1965
à1969
parLinton, Kleisli, Eilenberg, Kelly,
à propos des monades etcatégories
monordales.Il faut aussi citer
l’étude
par Lambek descatégories cartésiennes
et multi-catégories.
En1970
on sait donc assez bienétudier
lesthéories algébri-
ques dans les
catégories,
mais on ne s ait pas cequ’il
convient de faire pour lesthéories topologiques ( où l’ aspect
relationnel estcrucial),
et celaprin- cipalement
parce quel’étude logique
descatégories
commence àpeine,
mal-gré l’étude
de Lawvere de1963
sur les axiomesélémentaires
deEns .
AuColloque
de Zürich en1970
Lawvere etTiemey présentent
leurs toposélé- mentaires,
dontl’étude
dans les six ou sept années suivantes par de nom- breux auteurs montrera la richesse( voir l’exposé
no 513 par P. Cartier dans leSéminaire
Bourbaki deFévrier 1978);
on sait enparticulier
maintenantque la
logique
des topos est celle desalgèbres
deHeyting,
lalogique
in-tuitionn is te .
Après
la notion de doctrine( Lawvere ), Bénabou, Lambek ( voir
sonarticle dans ce
Colloque), Volger,
ontproposé
vers1974
dessystèmes plus généraux
que les topospermettant
encore un calcul des relations( catégo-
ries
déductives, dogmas, catégories logiques).
Zadeh etGoguen,
entre au-tres, ont
popularisé
les ensembles flous( où
lalogique «probabilistes
n’estpas
intuitionniste,
et donc nerelève
pas du cas destopos,
même si des calculs dans le gros toposEns Ens
semblent opportuns -cf.
no15).
En
1970
auColloque
deZürich -
voir( 1 )
page 60 -, afin d’axioma- tiserl’idée
d’univers dupoint
de vue de lalogique
dans lescatégories,
etdans un
esprit différent
destopos élémentaires
queje
ne connaissais d’ail- leurs pas,j’ai
introduit les «chaînesdualisantes»,
calcul axiomatisant ladualité
deStone,
quej’ai prouvé
ensuiteéquivalent
à celui desmonades involutives complémentées ( voir (18)) qui
est lepremier fragment
d’unethé-
orie
des relations
«ensemblistes»qui
a abouti(1975-76)
à lathéorie
desunivers
algébriques ( voir (24)
et ici lesparagraphes
7 et il).
Si la
logique
dans unecatégorie C
est vue d’abord comme l’intro-duction pour tout
objet X
d’un treillisSub(X)
dessous-objets de X -
lesrelations
de X
vers Y étant leséléments
deSub( X X Y) -
alors on peutdire que l’on
applique
àC
unschéma
depensée
externe àC (à
savoirl’idée
detreillis) qui
estinspiré
du casC
=Ens,
cequi
autorisera donc la«reproduction»
dansC
derésultats
connus dansEns ,
et dans certainscas,
l’explicitation
despseudo-nouveautés
ainsi obtenuesengendrera
enretour dans
Ens
des résultatsoriginaux (
lire aussi le no15).
Cepoint
devue
(qui je
crois anime lesméthodes
descatégories déductives, dogmas
etcatégories logiques)
est voisin de celui des topos.Il
peut se faire que l’i-dée
de treillis soit franchementétrangère
à la vraie nature de lalogique
inteme
intrinsèque
àC ,
comme le montre le cas oùC
=Cat
ou le cas oùC = Top ( cf., paragraphes 8, 10).
Dans un topos le treillis
Sub( X )
estreprésentable
par unobjet PX,
et les relations sont lesmorphismes X -> P y .
De même dansTop
ona pour
tout X
un espace de sous-espaces2X (avec
la «finitetopology»
de
M ich ael ), Beaucoup
d’auteurs( Riemann, Grassmann,
lesgéomètres
ita-liens, Grothendieck, Cerf, Douady)
ontcherché
à munircanoniquement
d’unestructure de
variété
l’ensemble dessous-variétés
d’unevariété donnée.
C’est cette
idée -
inscrite dans lapratique
desmathématiciens -
d’associer à toutobjet X
deC
uno bjet des sous-o b jets
PX
eC o -
quej’ai privi- légiée, considérant
donc unecatégorie
de relations comme étant lacatégo-
rie de Kleisli d’unemonade (=
constructionstandard),
paranalogie
avecle cas de la
catégorie
deKleisli
de la monade desparties
surEns .
b. SINGULIER ET UNIVERSEL.
Les
mathématiques
ne seréduisant
pas auxproblèmes universels, l’étude
deslogiques
decatégories
concrètes doit s’aborder apriori
sur unmode combinatoire
naif, quitte
àdécouvrir
ensuite dans des cadres ad hoc lespropriétés
universelles desopérateurs
mis enévidence.
C’est le sensde la
démarche entreprise
avec les universalgébriques -
conçus comme ou- tilopératoire
pour latopologie
etl’analyse fonctionnelle,
et ladifférence
cruciale entre univers
algébriques
et toposélémentaires.
D’un autre
côté
uneapproche
de lalogique
de Ens encoreplus
pu-rement
catégorique
que celle faite avec les toposélémentaires (où
une pro-priété
universelle de{0,1}
est choisie commeclé)
est celle consistant àclassifier,
pourtout X c Enso ,
tous lesproblèmes
universelsdont X
est solution( e .
g.2 = 1+1 , 2 = sub, obj, cl., N = free mon.(1), N = N.N.O. , ...).
Cettelogique
despropriétés
universelles estliée
auxdécompositions
dans une
catégorie (Tarski, Coppey)
etdonc,
suivant(21), (22), (29),
auxfibrations.
Et en fait cesquestions
de classification desproblèmes
univer-sels et des
décompositions
sont unepartie
de lalogique
exactefibrée
surEns ( cf,
no16).
On
distinguera
donc dans lalogique
d’unecatégorie
Cles formules universelles,
i. e. dont ladescription
a un sens dans toutecatégorie ( les
formules
«diagrammes»
du no3
sont de cegenre)
et lesformules singuliè-
res,
i.
e. dont ladescription nécessite - jusqu’à
preuve du contraire -d’ê-tre dans la
catégorie C précisément ( par exemple « Ae P X»
formule dansEns, «v e TxM»
formule dans lacatégorie
desvariétés Cl ).
Historiquement
toute formule est apparue sous formesingulière
apriori.
C’est dansl’interpénétration
permanente entre l’universalisation etun flot sans cesse
renouvelé
dedonnées singulières
que l’oncomprend
lemonde réel
qu’une catégorie donnée schématise.
Dans ce texte les formules
singulières
serontréalisées
comme for-mules sur des
objets
deC ,
e, g, lesdonnées
de laforme ( Y - O x) E D,
oùX
eCo et 0 : C ->
Dfoncteur,
et les formules universelles seront les for- mules surC elle-même
(commeobjet
deCat ),
e, g, les foncteurs B ->Fib C;
ainsi l’universel dans
C
est le reflet surC
dusingulier
dansCat.
De même que
l’idée
de formulel’ idée
de ladualité Singulier/Univer-
sel
n’est pasformalisable.
Sousl’angle particulier
de ladualité Modèle/
Théorie,
et dans le cadrespécial
du formalismecatégorique,
uneapproxi-
m ation
limitée
de cetteidée
existe sous la forme des diversthéorèmes
d’ad-jonctions Sérnantique/Syntaxe qui décrivent
le passage dansCat des fonc-
teurs sortant
de C (
=données sémantiques)
auxfoncteurs
entrantdans
C ( = données syntaxiques ).
Dans les univers
algébriques (no 7)
et lestopogenèses (no g )
onconserve aux espaces de formules
P X
leur caractèresingulier,
i.e, non u-niversellement
défini,
et ainsi diversfragments
de lathéorie
des universalgébriques ( e, g, catégories
avec appartenance(7),
monades involutives(12), (18),
calcul destranspositions (25) )
restent utiles eneux-mêmes,
com-me formalismes
exploratoires
d’autres espaces«singuliers »
de formules que les «espaces departies
d’un ensemble ».A
l’opposé
dans les carrés exacts et lalogique
exactefibrée
on neconsidère
quel’aspect
universel( voir
lesparagraphes
12 à16).
7. UNIVERS
ALGÉBRIQUES.
Afin de saisir la
définition
d’universalgébriques,
il estconseillé
de
l’interpréter
dans lesexemples qui suivent,
et enparticulier
dans lecas de
Ens.
On
appelle
universalgébrique ( en abrégé
u.a, )
ladonnée de ;
(1) Un
contexteopérationnel,
i.e. unecatégorie E
à limfinies.
(II)
Un contexterelationnel, c·est-à-dire :
10 Une
monade (
«desparties »)
P =( P ,
a,S)
surE ,
avec doncsupposée
trèsfidèle,
i. e. telle que, pour toutX
EE 0 ,
on ait2°
Une involution ( calculant
les relations«opposées »), c’est-à-dire
un foncteur1: KlP-> (KlP)op
tel que, pour toutX E E.o, I ( X )
=X ,
et telque Iop. I = IdKL p . On pose U. Iop = R, R. L op = F.
3° Une
transposition ( calculant
les relations«adjointes »), -
ou «quan- tification» -c’est-à-dire
un foncteur(III)
Unlien
entre contextesopérationnel
etrelationnel, c’est-à-dire:
1 o
Un
termevide,
i. e, une transformation naturelle0 : " I " -> P ,
20 Une
représentation des couples,
i. e. une transformation naturelle c;(-)2 ->
Passujettie
aux conditions(1), (2), (3) suivantes:
( 1 ) cx .AX = a X (les
atomes sontles couples diagonaux).
(2)
Endésignant
parT; X +>
y lemorphisme
deKlP déterminé
par lemorphisme
r:X - P y
deE ,
on a enparticulier Sy = U(I Px);
on poseOn
impose
que Dcalcule les produits cartésiens de relations,
i. e. :(2-1)
Dfait
de P unemonade involutive monoidale symétrique ( par
rapport à x), 1. e.
le bifoncteur xdonné par r X r’
=Dy,y" (r X r’)
estune extension à
Kl P
de la structure monoidalesymétrique
xde E
et on aet
pro j ).
(2-3)
En posant, pourA , X
eE 0 ,
on
impose ( compatibilité
de Det A ):
(3)
Sous leshypothèses précédentes,
on montre queest une monade involutive sur
Kl P , d’où
desbijections
naturellesqui, composées avec /,
induis ent desbijections
On pose
car P X,X (1 PX) = evX ,
et, pour toutf:
B ->A ,
onimpose
que :(F calcule les images inverses J.
Je
ne peuxexposer
ici quequelques
uns desrésultats
sur les u.a.donnés
dans mesarticles(voir particulièrement (7, 15, 17, 18, 19, 24, 25, 27)).
Toutd’abord,
on prouve - par unedémonstration (27)
un peudifférente
de celle
donnée
par Kock dans le casparticulier
d’un topos -qu’un
u. a. estautomatiquement
unecatégorie cartésienne fermée.
D’autre part, on prouve que l’ensemble de toutes les
données
d’un u.a. se
réduit
à unecatégorie
àlim finies E
avec:lo Un
objet Il
deE
telqu’il
existeVX,
pour toutX e E. 0 (on
auraP1
=v ).
20 Pour
tout X
eE0
desmorphismes
3o
En posantla
condition :
40 Des
équations
entre lesdonnées 2 ,
que l’on trouvera dans les ar- ticlescités.
Les
topos
deLawvere-Tiemey
et lesquasi-topos
de Penon sontdes
exemples d’u, a,,
avec:En prenant E = Ens et
(L , 0, sup )
un monoide abéliencomplet
on obtientun u. a. en posant: V
= L , Ox (*)(x)
= o,( avec
e =élément
neutre de®),
( en
désignant par
L XL°P -
L le bifoncteuradjoint
à 0 : LX L ->
L).
La structure
d’u, a,
deEns résulte,
auchoix,
de ce que Ens est un toposou de ce que
0, 7 ! =2
est un monoideabélien complet.
C’est en
séparant
leplus longtemps possible
contexte relationnelet contexte
opérationnel,
et en évitant d’introduire le calcul des relations par unepropriété universelle, qu’on
conserve le maximum desouplesse,
ob-tenant comme cas
particuliers
les topos et les ensemblesfloues ;
ces deuxcas peuvent d’ailleurs se mêler sous la forme abstraite suivante
(principe
de
changement de logique):
étantdonné dans
un u.a. E
uno bjet
L munid’une loi de monoide abélien k
etd’une loi de P-algèbre
a,compatibles
(a. P(k). DL,L
=k.(crx«)),
il estpossible ( comme
ci-dessus dans lecas de
Ens ) de
construire sur lamême catégorie
E unedeuxième
struc-ture
d’u.
a.dont l’objet
V soit maintenantL .
P arexemple,
si i E est untopos,
A
unobjet
deE et j
unetopologie
deGrothendieck
surE ,
on peutprendre L = H A
ou L =Hj.
En
général, les tf.¡ X déterminent
unmorphisme
entre monades;
p -V V(-) ( qui
dans le cas deEns
faitapparaitre
lesalgèbres
de Booleatomiques complètes
comme dessup-treillis complets). Ces 03C8
et r sonten fait familiers aux