PY-MATH N° 20

(1)

http://www.enfa.fr/r2math

Décembre 2010

N° 20

le bulletin du groupe de réflexion

sur l'enseignement des mathématiques

PY-MATH

en Quatrième et Troisième de l’Enseignement Agricole, BEPA, Secondes générale et professionnelle, Bac Pro, Bac Techno,

filière S et BTSA

(2)

(3)

Sommaire

Éditorial ...

page 2

4e et 3e de l'EA Seconde Professionnelle BEPA Baccalauréat Professionnel Seconde GT Baccalauréat Technologique Filière S BTSA Enseignants

Une proposition de QCM en Seconde GT pour

terminer l’année...

^{page 3} Une idée de progression pour le chapitre Échantillonnage

en classe de Seconde générale

...

^{page 7} Activités sur GeoGebra : la droite d’Euler

...

page 15

Tests de comparaison de deux variances...

page 18 Seconde professionnelle : exemples de progressions

...

page 26 Proposition de correction de l’épreuve de mathématiques du

Baccalauréat technologique STAV (remplacement 2009)

...

^{page 31} Le renouveau des tableaux de contingence

…...

page 36

Les monuments célèbres où se cachent des mathématicien

s

page 41

Membres du groupe ayant participé à ce bulletin PY-MATH n°20

A

HARIZ

Fouad

LEGTA

de

SAINT

-

LÔ THÈRE

B

OUVIER

Thierry

LEGTA

de

PAU MONTARDON

C

HAPUT

Brigitte

ENFA

de

TOULOUSE AUZEVILLE

F

ERRER

Christelle

LEGTA

de N

ÎMES

R

ODILHAN

G

ARDIENNET

Alain

LEGTA

de

PLOMBIÈRES

-

LES

-

DIJON

J

UGAN

Delphine

LEGTA

de

SAINT

-

HERBLAIN

M

ASOUNAVE

Alice

LEGTA

de

PAU MONTARDON

M

ÉTAILLER

Anne

LEGTAF

de V

IC

-

EN

-B

IGORRE

R

OLLAND

Jeanne

LEGTA

de

MORLAIX

R

OUGER

Valérie

LEGTA

de

RETHEL

S

ICRE

Nathalie

LPA

de

SAINT

-

AFFRIQUE

S

IROT

Éric

LEGTA

de

BRESSUIRE

T

EXIER

Jacques

LEGTA

de

VENOURS

T

RONCHE

Geneviève

LEGTA

de

BRIVE OBJAT

W

AGNER

Sylvain

LEGTA

de

MIRECOURT

avec la collaboration de

B

IANCOLLI

Chantal

LEGTA

de

NÎMES RODILHAN

M

ANGANELLI

Stéphan

LEGTA

de

CARPENTRAS

T

HOMAS

Emmanuelle

LEGTA

d'

AVIGNON

R

AYMONDAUD

Hubert

LEGTA

de

CARPENTRAS

(4)

Éditorial

Vingt Vingt comme les vingt angles de l’icosagone Vingt comme les vingt sommets du dodécaèdre Vingt comme les vingt faces de l’icosaèdre

Vingt comme les vingt premiers bulletins de Py-Math, auxquels aura participé Jacques T

EXIER

et pour qui l'école est finie. Nous souhaitons à ce pilier du groupe (Vingt numéros !!!) une très bonne retraite.

Et oui, nous en sommes déjà au bulletin 20.

Vous trouverez dans ce numéro :

- Nos impressions sur le programme du nouveau Baccalauréat professionnel mis en place dès la rentrée 2009 : réflexions sur diverses progressions testées l’année dernière avec des réajustements proposés pour cette année et également un article sur les tableaux de contingence dans cette filière.

- Un QCM sur le programme de Seconde générale, ainsi qu’une présentation de l’échantillonnage.

- Un article sur la comparaison de variances en BTSA.

- Une activité sur le triangle à l’aide de GeoGebra, activité que l’on peut faire et/ou adapter à plusieurs niveaux.

- Une présentation de l’utilisation d’un tableur à l’aide des cases à cocher.

- Et nous poursuivrons notre voyage dans le monde des mathématiques à travers des éléments originaux de certains monuments historiques.

Ce bulletin ne sera pas imprimé faute de moyen et est uniquement disponible en ligne.

Notre réunion de janvier 2011 ne peut se tenir et nous avons rendez-vous en juin au lycée d’Objat près de Brive pour poursuivre cette aventure.

Vingt numéros, ce serait dommage que l’on s’arrête là, non ? Pourquoi pas au moins vingt de plus ?

À très bientôt

Delphine J

UGAN

(5)

UNE PROPOSITION DE QCM EN SECONDE GT POUR TERMINER L’ANNÉE

Voici un exemple de QCM proposé en fin de seconde GT par une de nos collègues. Même si les questions sont très variées, il n’a pas la prétention de porter sur la totalité du programme.

Proposition de barème : Il est attribué un point pour chaque réponse exacte cochée, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Dans chaque question, plusieurs réponses sont proposées ; au moins l’une d’entre elles et au plus deux réponses sont exactes. Il s’agit de cocher la (ou les) bonne(s) réponse(s).

1) On donne la courbe d'une fonction f définie sur l'intervalle [− 3 ; 4].

L'image de 0 par f est − 2.

l'équation f(x) = 0 a 2 solutions dans l’intervalle [− 3 ; 4] .

f est croissante dans l’intervalle [2 ; 4].

f(x)

≥

0 sur [2 ; 4].

2) Soit la fonction g définie sur l’intervalle [− 4 ; 3] dont le tableau de variations est le suivant.

Valeurs de x

−

4 1 3

Variations de g

− 1

On sait, de plus, que g(− 1) = 0.

g(− 2)

≥

0 g(− 2)

≤

g(0) g(x)

≥

0 sur [− 4 ;

−

1] g(x)

≥

0 sur [0 ; 3]

3) Que voit-on en affichant la courbe de la fonction f définie sur

IR

par f(x) =

−¹

2

x

²+

2x+8 en réglant la fenêtre de la calculatrice de la manière suivante :

Xmin =

−

5 ; Xmax = 5 ; Scl = 5 et Ymin =

−

5 ; Ymax = 5 ; Scl = 5 ?

−

2

3

(6)

4) Comment régler la fenêtre d'affichage de la calculatrice pour voir cette partie de la courbe de la fonction f définie par f(x) =

−¹

2

x

−

6 ?

Xmin

=

−5

Xmax

=

5 Scl

=

1

Ymin

=

−4 Ymax

=

2 Scl

=

1

Xmin

=

−15 Xmax = 15 Scl = 3

Ymin

=

−12 Ymax

=

6 Scl

=

3 Xmin

=

−20

Xmax = 20 Scl = 4

Ymin

=

−12 Ymax

=

6 Scl

=

3

Xmin

=

−10 Xmax = 10 Scl = 2

Ymin

=

−12 Ymax

=

6 Scl

=

3

5) Pour répondre à la question :

« Trouver le(s) nombre(s) dont le carré est égal à ce nombre augmenté de 1 »

, quelle équation faut-il résoudre ?

2x = x

+

1 x

²

= x

+

1 x

²

= x

²+

1 4x = x

+

1 6) L’ensemble des solutions de l'inéquation : 8

−

2x

²≥

0 est :

[− 2 ; 2] ]−

∞

; 2] ]−

∞

;

−

2] [2 ;

+∞[

7) On donne le tableau de signes d’une expression algébrique E(x) :

Valeurs de x

−∞ −

1 2

₊∞

Signe de E(x) + – 0 +

Alors, on peut en déduire que :

E(− 2) > 0 E(− 1) = 0 E(x)

≥

0 sur [2 ; 12] E(0) = 0

8) Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points : A (− 6 ;

−

1), B (0 ; 2), C (4 ; 1) et D (1 ;

−

1).

les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

le point E

⎝⎛

⎠⎞

2

.,3

2

est milieu de [BC].

Le coefficient directeur de la droite (BD) est 3.

La droite (AD) a pour équation : x =

−

1. 9) ABCD est un parallélogramme de centre O ? Dans le repère ( ^A

^.,

^AB

^⎯⎯→^.,

^{AD :}

^⎯⎯→

)

a) O (0 ; 0) B (0 ; 1) C(1 ; 1) D(1 ; 0) b) Dans ce repère, les coordonnées du point K, milieu de [OC] sont :

⎝⎛

⎠⎞

1

.,3

4 ⎝⎛

⎠⎞ 3 4.,3

2 ⎝⎛

⎠⎞ 3 4.,3

4 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 1 2.,

3

4

(7)

10) Soient (d) la droite du plan d'équation y = x

−

1 et A (0 ;

−

2) et B (4 ; 1) deux points du plan représentés dans le repère ci-dessous.

(AB) a pour équation : y = 3 4 x

−

2. (d) et (AB) sont parallèles.

(d) et (AB) se coupent au point de coordonnées

⎝⎛

⎠⎞

−⁹ 2.,−¹¹

2

. Le point C (− 1; 0) est un point de (d).

11) Quel(s) système(s) n’a (n’ont) aucun couple-solution ?

⎩⎨⎧

3x

+

4y = 6

2x

+

y = 3

_⎩⎪^⎨

⎪⎧

2x

−

4y =

−

8

−

x

+

2y = 5

⎩⎨⎧

2x + 4y = 10

3x

+

6y = 15

⎩⎨⎧

12x + 4y = 20 3x

−

y = 12

12) Le système

⎩⎪⎨

⎪⎧

3x

−

4y = 8

x

+

y =

−

3 est équivalent au(x) système(s) :

⎩⎪⎨⎪⎧

y =

⁻³

4

x

−

2 y =

−

x

−

3

⎩⎪⎨⎪⎧

y =

³ 4

x

−

2 y =

−

x

−

3

^⎩⎪

⎨⎪⎧

7x =

−

4 x

+

y =

−

3

⎩⎪⎨⎪⎧

3x

−

4y = 8

−

7y =

−

1 13) On considère la série statistique suivante :

Valeurs du caractère 10 11 12 14 15 17

Effectifs 2 6 9 5 2 1

a) La médiane de cette série est égale à :

¹²⁺¹⁴

2

12

⁹⁺⁵

2

12,44

b) Le 3

^ème

quartile de cette série est égal à :

14 18,75 15 12

(8)

14) On lance simultanément deux pièces de monnaie équilibrées. La probabilité d’obtenir une fois PILE et une fois FACE est :

¹

4

¹

3

¹

2

³

4

15) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on désigne par A l’événement :

« la carte tirée est un trèfle » et par B l’événement « la carte tirée est un roi ». Alors : P(A

∪

B) =

³

8

P(A

∪

B) =

¹

32

P(A

∪

B) =

¹¹

32

P(A

∪

B) =

³³ 32

16) JACQTIXR est un cube d’arête 5 cm.

U est le milieu de [AJ], S est le milieu de [IX] et E est le centre de la face TIXR.

Les droites (EU) et (AI) sont coplanaires.

Les plans (ASJ) et (RXC) sont parallèles.

Le triangle AEU est isocèle.

À 0,1 près, la longueur EU mesure 5,6 cm.

(9)

UNE IDÉE DE PROGRESSION

POUR LE CHAPITRE ÉCHANTILLONNAGE EN CLASSE DE SECONDE GÉNÉRALE

1 - INTRODUCTION

Dans le chapitre statistique descriptive, on a vu que l'on peut résumer une série statistique, soit par des graphiques, soit en calculant des paramètres (moyenne, médiane, mode, étendue…).

Prévoir un exemple de rappel si le chapitre statistique a été traité depuis longtemps.

Et quand la description exhaustive n’est plus possible ?

On a alors à notre disposition un autre domaine de la statistique : la statistique inférentielle qui permet à partir de l'étude d'un échantillon, d'estimer les valeurs des paramètres d'une population (estimation de paramètres) ou encore de vérifier certaines hypothèses sur des populations (tests statistiques) avec un certain risque d'erreur.

2 - NOTIONS D’ÉCHANTILLONNAGE

Première question : Je veux connaître la taille moyenne des élèves de Seconde C du lycée.

Que dois-je faire ?

………

Deuxième question : On veut connaître le goût d'une soupe. Faut-il boire toute la soupière ?

………

Troisième question : Je veux tester la qualité d’une boîte de cent cartouches achetées dans un

« vide grenier ». Faut-il toutes les essayer ?

………

Ces différentes questions permettent de générer un débat au sein de la classe, d’amener quelques définitions et quelques règles.

Population : Le mot population est pris au sens large. C'est l'ensemble sur lequel on veut étudier un ou plusieurs caractère(s) particulier(s).

Individu : C'est un élément de la population étudiée. Les individus peuvent être des personnes, des animaux, des objets, des plantes...

Première règle : On peut étudier une population entière si celle-ci est de taille raisonnable ou s'il s'agit d'un recensement.

Deuxième règle : On ne peut pas étudier l'intégralité d'une population si celle-ci est trop importante (contraintes de temps, de coûts), si l'observation détruit l'individu ou s'il y a risque pour l'individu. Dans ce cas, on étudie une petite partie de la population, appelée échantillon. Le nombre d’éléments constituant l’échantillon est appelé taille de l’échantillon.

Troisième règle : Lorsqu’on fait des estimations sur une population, l’estimation est d’autant

meilleure que la taille de l'échantillon est importante.

(10)

3 - COMMENT PRÉLEVER UN ÉCHANTILLON ? Activité 1

1) On dispose d'un sac contenant un nombre N de haricots : 5 rouges et 15 blancs.

Calculer la proportion p de haricots rouges.

On veut constituer un échantillon de taille n (n = 10). Pour cela, on effectue n = 10 tirages de 1 haricot de façon aléatoire.

Calculer la probabilité de tirer un haricot rouge pour les trois premiers tirages.

………

Cette question permet d’introduire la notion d’indépendance entre les tirages. La question

avec ou sans remise sera posée. Les élèves doivent constater que si l'on effectue des tirages

successifs sans remise, les calculs de probabilités sont plus difficiles et la probabilité de tirer un haricot rouge varie de façon significative.

2) On dispose maintenant d'un sac contenant 20 000 haricots rouges et 80 000 haricots blancs.

Calculer la proportion p de haricots rouges.

On veut constituer un échantillon de taille n (n = 100).

Calculer la probabilité de tirer un haricot rouge pour les trois premiers tirages.

………

Les élèves doivent constater que la probabilité de tirer un haricot rouge varie cette fois de façon négligeable si les tirages se font sans remise. Par la suite lorsque la taille de la population sera très importante par rapport à la taille de l’échantillon, les tirages pourront être assimilés à des tirages avec remise.

Activité 2

On dispose toujours d'un sac contenant des haricots rouges et des haricots blancs, N est très grand (N = 100 000). On tire un échantillon de 2 individus.

Quelles sont les issues possibles ? Que peut-on dire sur la proportion de haricots rouges ?

………

………...

On attend des élèves qu’ils remarquent que la taille d’échantillon est trop petite pour donner une estimation de la proportion dans la population. On peut affirmer que plus la taille d’échantillon est grande, meilleure sera l’estimation.

Un échantillon est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire.

Construction d’un échantillon :

En théorie : On peut utiliser une table de nombres aléatoires, la fonction Random d'une calculatrice ou la fonction ALEA() d'un tableur.

On numérote les individus de la population de 1 à N; on construit une liste de n nombres entiers aléatoires compris entre 1 et N. Chaque nombre obtenu correspond à un numéro d'individu. L’échantillon sera constitué des n individus correspondant aux n numéros.

Activité 3 - Réalisation d'un échantillon

On veut réaliser un sondage auprès des élèves du lycée sur les moyens de transport.

Construire un échantillon aléatoire de 30 élèves dans une population comportant

654 individus (vous disposez d'une calculatrice et/ou d'une table de nombres aléatoires).

(11)

4 - DISTRIBUTION DES FREQUENCES D’ECHANTILLONNAGE Exercice

On considère un groupe de quatre enfants : Adeline, Benjamin, Clara et David qui pratiquent chacun un sport : Benjamin et Clara font du volley, Adeline de la natation, David du rugby.

1) a) Représenter, par un diagramme en bâtons, la répartition des enfants par sport.

b) Donner la proportion p d’enfants de la population (le groupe des 4 enfants) pratiquant le rugby.

2) Combien peut-on former d’échantillons de taille 3 constitués par un tirage avec remise ? En donner toute la liste.

3) Pour chaque échantillon de la question 2), donner la fréquence f du choix « Rugby »;

on obtient une nouvelle série appelée S. (Voir feuille annexe).

4) a) Représenter par un diagramme en bâtons la série statistique S.

b) Calculer la moyenne de la série S.

Conclusion : Les élèves constatent que les fréquences varient d’un échantillon à l’autre (fluctuation d’échantillonnage). Ils visualisent l’ensemble des fréquences obtenues sur tous les échantillons (distribution des fréquences d’échantillonnage).

Pour des échantillons avec remise de taille 10, puis 30, puis 100, on obtient les distributions suivantes :

Les élèves constatent que la distribution reste centrée sur ¼.

0/10 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 10/10

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

Echantillons de taille 10

Fréquence du choix du rugby

Probabilité 0/30 2/30 4/30 6/30 8/30 10/30 12/30 14/30 16/30 18/30 20/30 22/30 24/30 26/30 28/30 30/30

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

Probabilité

0/50 4/50 8/50 12/50 16/50 20/50 24/50 28/50 32/50 36/50 40/50 44/50 48/50

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

Probabilité

(12)

Feuille annexe :

Tableau à fournir à la question 3).

Échantillons de

taille 3 Sport pratiqué

Série S fréquences du choix du rugby

Échantillons de

taille 3 Sport pratiqué

Série S fréquences du choix du rugby

A A A N N N C A A V N N

A A B N N V C A B V N V

A A C N N V C A C V N V

A A D N N R C A D V N R

A B A N V N C B A V V N

A B B N V V C B B V V V

A B C N V V C B C V V V

A B D N V R C B D V V R

A C A N V N C C A V V N

A C B N V V C C B V V V

A C C N V V C C C V V V

A C D N V R C C D V V R

A D A N R N C D A V R N

A D B N R V C D B V R V

A D C N R V C D C V R V

A D D N R R C D D V R R

B A A V N N D A A R N N

B A B V N V D A B R N V

B A C V N V D A C R N V

B A D V N R D A D R N R

B B A V V N D B A R V N

B B B V V V D B B R V V

B B C V V V D B C R V V

B B D V V R D B D R V R

B C A V V N D C A R V N

B C B V V V D C B R V V

B C C V V V D C C R V V

B C D V V R D C D R V R

B D A V R N D D A R R N

B D B V R V D D B R R V

B D C V R V D D C R R V

B D D V R R D D D R R R

Moyenne Moyenne

(13)

5 - INTERVALLE DE FLUCTUATION

Activité 1 - Objectif : comprendre la notion d’intervalle de fluctuation

Vous disposez d’une urne contenant 10 jetons : quatre portent la lettre A et six portent la lettre B.

(Dix petits carrés de papier sont donnés à chaque élève.)

On appelle p la proportion de jetons portant la lettre A dans l’urne.

Par groupe de deux, vous devez constituer 15 échantillons aléatoires, avec remise, de taille 5.

Pour chacun, vous calculerez la fréquence d’apparition de la lettre A.

N°

d’échantillon Jetons obtenus dans les échantillons Fréquences du A 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Quelles valeurs de fréquences avez-vous obtenues ? Quelles sont les valeurs possibles ?

Construisez le tableau d’effectifs de la série des fréquences concernant vos 15 échantillons.

Fréquences Total

Effectifs 15

Construisez sur papier un nuage de points qui représentera les fréquences d’apparition du jeton portant la lettre A en fonction des numéros d’échantillons.

Mise en commun par l’enseignant des résultats de tous les élèves de la classe et présentation

du nuage de points global. Les élèves observent qu’il y a beaucoup de fréquences autour de

0,4.

(14)

Le nuage suivant est réalisé grâce au logiciel TinkerPlots :

Réalisation d’une simulation sur tableur

Réalisée par l’enseignant pour montrer l’influence de la taille d’échantillon sur l’intervalle de fluctuation.

On réalise des tirages automatiques d’échantillons; on tire 1 000 échantillons de taille 10, 1 000 échantillons de taille 30, 1 000 échantillons de taille 50, 1 000 échantillons de taille 100 et à chaque échantillon on associe la fréquence d’apparition de la lettre A.

On obtient les nuages de points suivants :

L’enseignant trie ensuite les données selon la taille des échantillons :

(15)

Définition :

On note p la proportion de la population qui vérifie un caractère particulier A.

On note n la taille des échantillons prélevés.

Lorsque n supérieur ou égal à 25 et p compris entre 0,2 et 0,8, alors pour 95 % des échantillons, la fréquence f du caractère A observée sur l’échantillon appartient à l’intervalle

⎣⎢

⎡

⎦⎥

p

−

1

⎤

n

^.,

p + 1 n .

Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation de f au niveau de probabilité de 95 %.

On peut alors faire calculer les intervalles de fluctuation pour p = 0,4 et pour n = 30, n = 50 et n = 100 et les visualiser sur les nuages de points précédents.

6 – PRENDRE UNE DECISION À PARTIR D’UN ÉCHANTILLON Méthode :

Pour apprécier si une fréquence observée f sur un échantillon de taille n est compatible ou non avec une population dans laquelle un caractère est représenté avec une proportion p, on examine si f appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Si f n’est pas dans l’intervalle de fluctuation, alors on peut rejeter l’hypothèse de compatibilité avec un risque d’erreur de 5 %.

Si f est dans l’intervalle de fluctuation, alors on ne peut pas rejeter l’hypothèse de compatibilité.

Exercice

Deux entreprises A et B recrutent dans une région où il y a autant de femmes que d’hommes, avec la contrainte du respect de la parité.

Dans l’entreprise A, il y a 100 employés dont 43 femmes.

Dans l’entreprise B, il y a 2 500 employés dont 1 150 femmes.

1) Calculer les proportions de femmes dans les deux entreprises.

2) Les deux entreprises sont assimilables à des échantillons respectivement de taille 100 et 2 500, prélevés dans une population sensée contenir une proportion p = 0,5 de femmes (parité hommes-femmes).

a) Calculer pour chacun d’eux l’intervalle de fluctuation correspondant.

b) Indiquer l’entreprise qui respecte le mieux la parité et expliquer pourquoi.

A priori, on aurait tendance à dire que l’entreprise B respecte mieux la parité car la proportion de femmes y est plus importante. En calculant les intervalles de fluctuation, on constate que la proportion de femmes dans l’entreprise B n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation de p = 0,5.

7 - Estimer une proportion inconnue p à partir d’une fréquence observée f sur un échantillon

1) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel non nul n : f

∈

⎣⎢

⎡

⎦⎥

p

−

1

⎤

n

^.,

p + 1

n équivaut à p

∈

⎣⎢

⎡

⎦⎥

f

−

1

⎤

n

^.,

f + 1

n

(16)

2) On souhaite estimer la proportion p (inconnue) d'une sous-population

A

à partir d'un échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans remise. Sur cet échantillon la fréquence observée est f = 0,6.

Intervalle de confiance :

On prélève un échantillon de taille n (supérieure ou égale à 25) dans une population dont une proportion p inconnue vérifie un caractère A.

On note f la fréquence du caractère A dans l’échantillon observé.

On retient les valeurs de p qui font en sorte que f

∈

⎣⎢

⎡

⎦⎥

p

−

1

⎤

n

^.,

p + 1

n , ces valeurs de p constitue l'intervalle

⎣⎢

⎡

⎦⎥

f

−

1

⎤

n

^.,

f + 1 n .

On appelle cet intervalle un intervalle de confiance au niveau 95 % de p.

Les élèves déterminent les intervalles de fluctuation associés à différentes valeurs de p.

Ils obtiennent le graphique suivant qui leur permet de déterminer graphiquement l'intervalle de confiance associé à leur échantillon.

Application :

Un candidat à une élection effectue un sondage dans sa circonscription comportant 85 842 électeurs. Sur 1 068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat.

Pour gagner l’élection au 1

^er

tour, un candidat doit obtenir 50% des voix.

Ce candidat affirme : « Si les élections avaient eu lieu le jour du sondage et si les réponses au sondage étaient sincères, alors j’aurais été élu au 1

^er

tour. »

Qu’en pensez-vous ?

L’intervalle de confiance à 95% calculé est [0,484;0,546]. L’échantillon favorable à 51,5 % au candidat peut très bien être issu d’une population qui ne voterait qu’à 48,4% pour ce candidat…

Bibliographie :

- DUTARTE, Philippe. Pour une éducation à l'inférence statistique au lycée. REPÈRES IREM, juillet 2005, n°60, p 5-19.

- DUTARTE, Philippe. Quelle culture mathématique pour le citoyen ? article en ligne disponible sur http://apmep.univ-lyon1.fr/IMG/pdf/CR_atelier_65_Dutarte.pdf . (consulté le 27 août 2010). Imprimé p 7.

- FAGES, Jean. Documents de travail des stages D11 à l'ENFA.

- CHAPUT, Brigitte. Documents de travail du stage Nouveau programme de Seconde – ENFA.

f

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

(17)

ACTIVITÉS SUR GEOGEBRA : LA DROITE D’EULER

Peu familiarisé(e) avec l’usage de Géogébra, un(e) membre de Py-Math s’est jeté(e) à l’eau et a proposé une activité (mise en ligne par F. Thirion, sur le site du collège Anceau de Garlande à l’adresse http://www.anceaudegarlanderoissy.ac-creteil.fr/spip.php?article117) en classe de Troisième.

Cette activité nous semble également transposable en classe de Seconde professionnelle, voire en Seconde générale. En effet, conformément aux recommandations du document d’accompagnement de Seconde professionnelle, « l’utilisation (…) de l’outil informatique est une obligation dans la formation » et « l’évaluation des acquis [peut se faire] avec ou sans TIC ».

L’objectif de cette activité est de réactiver les connaissances des élèves sur les droites remarquables du triangle et de découvrir la droite d’Euler.

Conditions de déroulement : Séance d’une durée d’une heure en classe entière (24 élèves à raison de deux élèves par poste), les élèves n’avaient pas eu l’occasion jusqu’ici de manipuler le logiciel GeoGebra. Au fur et à mesure du TP, les élèves, par groupe de deux, complètent par écrit les pointillés sur la feuille. La trace écrite et le fichier informatique ont été relevés et notés à l’issue de la séance.

Activité : Nom,prénom :

ACTIVITÉ GEOGEBRA Construction de la droite d'EULER.

Remarques : Les mots en italique et en gras sont les fonctions de

GeoGebra à utiliser ! Pour revenir en arrière, il faut utiliser la flèche jaune en haut à droite !

Ouvrir le logiciel

GeoGebra

, enlever les axes et sauvegarder votre travail dans vos documents sous le nom « vos noms »

I. Construction du triangle

1. Placer trois

points A, B et C.

2. Construire les

segments [AB], [BC] et [AC].

Remarque : Pour faire bouger la figure, il faut utiliser la flèche de la première icône et

cliquer sur un point puis le faire bouger.

II. Construction des médiatrices du triangle et de leur intersection Donner la définition de médiatrice :

………

Note :

(18)

1. Cliquer sur l'icône médiatrice, puis sur chacun des trois segments.

2. Faire un clic-droit sur chaque médiatrice, puis aller dans les propriétés et changer la

couleur de ces droites en vert.

3. Cliquer sur l'icône intersection de deux objets, puis sur deux des trois médiatrices.

4.

Renommer le point d'intersection en O.

Rappel : Les médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé

………. du triangle.

III. Construction des médianes du triangle et de leur point d'intersection Donner la définition de médiane :

………

1. Construire le

milieu du segment [AB].

2. Construire le

segment joignant le sommet C et le milieu du segment [AB].

3. Refaire de même pour les sommets A et B.

4. Faire un clic-droit sur chaque médiane, puis aller dans les propriétés et changer la

couleur de ces segments en rouge.

5. Cliquer sur l'icône intersection de deux objets, puis sur deux des trois médianes.

6. Renommer le point d'intersection en G.

Rappel : Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé

……….. du triangle.

IV. Construction de la droite d'EULER

1. Construire la droite passant par O et G. Cette droite est appelée la droite de Jacques, euh non ! d’EULER !

2. Faire un clic-droit sur cette droite, puis sélectionner propriétés et style : mettre la droite en pointillés.

V. Construction des hauteurs du triangle et de leur point d'intersection Donner la définition de hauteur :

………

1. Cliquer sur l’icône droite perpendiculaire pour construire la hauteur issue de C.

Cliquer sur le point C, puis sur le segment [AB].

2. Faire de même pour les hauteurs issues de A et de B.

3. Faire un clic-droit sur chaque hauteur, puis aller dans les propriétés et changer la

couleur de ces droites en bleu.

4. Cliquer sur l'icône intersection de deux objets, puis sur deux des trois hauteurs.

5.

Renommer le point d'intersection en H.

Rappel

: Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé

……… du triangle.

Le point H semble-t-il être sur la droite d’EULER ?...

(19)

6.

Faire bouger la figure ! Qu’observez-vous ?

………

VI. Sauvegarde du TP

Envoyer le TP sur l’atelier info dans le dossier dépôt.

Pour information :

Leonhard Euler (15 avril 1707 à Bâle (Suisse) - 18 septembre 1783 à

Saint-Pétersbourg (Russie)) était un mathématicien et un physicien suisse.

Il est considéré comme le mathématicien le plus prolifique de tous les temps. Il a dominé les mathématiques du XVIII

^e

siècle et développé très largement ce qui s'appellait alors la nouvelle analyse. Il eut treize enfants dont cinq seulement passèrent l'âge de l'enfance. Complètement aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, il a produit presque la moitié de la totalité de son travail durant cette période.(source : Wikipédia)

Commentaires à l’issue de la séance Points positifs

Cette activité est facile à s’approprier par l’enseignant, même s’il n’est pas familier du logiciel (ce qui est le cas de notre collègue ☺). Il en a été de même pour les élèves.

Cette activité peut être également réalisée à l’aide d’un tableau numérique interactif.

Enfin on peut aussi demander aux élèves de rédiger au propre une fiche bilan sur les droites remarquables du triangle en leur faisant rajouter les bissectrices.

Points à améliorer

L’usage de matériel informatique est souvent chronophage, notamment durant les premières séances. Aussi, une durée d'une heure et demie au lieu d’une heure aurait permis une fin de cours moins précipitée. On aurait souhaité conclure la séance en utilisant un vidéo-projecteur pour bien faire visualiser la réponse escomptée au plus grand nombre d’élèves.

Conclusion

Faire cours de mathématiques en salle informatique peut être une balade de santé : classe

dédoublée, salle disponible, logiciel installé ou un véritable parcours du combattant : classe

entière, salle en situation de surbooking, logiciel invisible, session et/ou ordinateur qui ne

fonctionnent pas… Cependant, l’évolution des programmes conduit les enseignants à utiliser

de plus en plus régulièrement les TICE, à chacun de s’adapter au contexte local et aux

contraintes organisationnelles.

(20)

TESTS DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES

À l’occasion de la rénovation du BTSA, il nous a semblé nécessaire d’aborder la notion de test de comparaison de deux variances.

Celle-ci apparaît dans le référentiel du BTSA module M41 (famille1) objectif 3 : « La comparaison des variances à l’aide d’un test de Fisher est mise en œuvre dans des études d’homogénéité de lots ».

Ce test est souvent utilisé pour valider l’hypothèse de leur égalité (appelée homoscédasticité

¹

).

La comparaison des variances s’avère donc utile comme test complémentaire lorsqu’on souhaite tester l’égalité de deux moyennes (cas des petits échantillons indépendants). Le test de comparaison de deux variances est également utilisé dans le cadre d’une analyse de variance ou d’un test sur le coefficient de détermination.

Cependant, lorsqu’on s’intéresse aux dispersions d’un même caractère dans deux populations, la comparaison des variances constitue alors une étude intrinsèque (il s’agit dans ce cas d’un test à part entière). On lui trouve un intérêt particulier lorsque deux méthodes de mesures sont comparées par la variabilité des résultats fournis. Celle dont la variance est la plus faible est alors considérée comme la plus précise.

Exemple 1

En Argentine, une expérimentation a été menée en 2009 dans le but de résoudre des problèmes liés à l’intensification de l’agriculture et particulièrement à une nouvelle méthode d’engraissement des bovins. La race traditionnelle A.Angus n’étant pas adaptée à ce système d’élevage, un croisement : A.Angus x Charolaise a été créé. L’objectif est d’obtenir des animaux mieux adaptés à ces nouvelles pratiques tout en maintenant une homogénéité comparable à celle de race traditionnelle.

Le caractère étudié est le GMQ (Gain Moyen Quotidien) exprimé en kg.

Les résultats observés sur deux lots (ici au sens " échantillons") sont les suivants : - pour le lot 1 : race pure, taille de l’échantillon : 16, variance : 0,26.

- pour le lot 2 : race croisée, taille de l’échantillon : 21, variance : 0,37.

Peut-on considérer que le GMQ du croisement A .Angus x Charolaise donne des résultats aussi homogènes que celui de la race pure ? (on prendra un seuil de risque de 0,05).

Exemple 2

Dans un élevage de canards prêts à gaver, une expérimentation relative à l’alimentation a été menée.

Ces canards sont traditionnellement nourris au maïs grain complémenté avec du soja, du colza et du tournesol.

Pour des raisons économiques, l’expérience consiste à remplacer le soja par des drèches de maïs (le soja est importé du Brésil alors que le maïs est cultivé sur place).

On définit ainsi deux types d’alimentation :

- Type A : alimentation traditionnelle : soja, colza, tournesol.

- Type B : colza, tournesol, le soja a été remplacé par des drèches de maïs.

Le problème est de savoir si l’alimentation de type B ne va pas provoquer une plus grande dispersion du poids des canards.

Le caractère étudié est donc le poids des canards exprimé en grammes.

1

Homoscédasticité :

Étymologie : Composé du préfixe « homo » qui signifie même et de la racine « scédasticité »

qui vient du grec « σκεδαση » qui signifie dispersion.

(21)

Les résultats sont donnés ci-dessous :

- Échantillon 1 extrait de la population des canards dont l’alimentation est de Type A : taille 50, variance s

₁² =

105623 .

- Échantillon 2 extrait de la population des canards dont l’alimentation est de Type B : taille 50, variance : s

₂² =

129600 .

Précisions sur les notations utilisées dans cet article :

Dans l’exemple 1 :

On définit la variable aléatoire X

1

(respectivement X

2

) qui, à chaque vache de race A.Angus (respectivement A.Angus x Charolaise) prélevée au hasard, associe son GMQ. Ces deux variables sont supposées distribuées normalement de variances respectives σ

12

et σ

22

.

Soit S

12

(respectivement S

22

) la variable aléatoire qui à chaque échantillon de n

1

vaches A.Angus (respectivement n

2

vaches A.Angus x Charolaise) associe sa variance notée s

12

(respectivement s

22

).

Les échantillons sont supposés aléatoires simples et indépendants.

Dans l’exemple 2 :

Les notations sont analogues en remplaçant dans le paragraphe ci dessus « les vaches de race A.Angus » par « les canards engraissés avec l’alimentation de type A », et « les vaches de race A. Angus x Charolais » par « les canards engraissés avec l’alimentation de type B ». Les hypothèses sont les même que dans l’exemple 1.

Quelques précisions sur la loi de Fisher Snedecor : Définition

Si U et V sont deux variables aléatoires indépendantes distribuées respectivement selon les lois de χ

²

(ν

1) et de χ²

(ν

2), alors la loi de la variable aléatoire : W

=

U ν1

V ν2

est distribuée selon la loi de Fisher-Snedecor à (ν

1

;

ν2) degrés de liberté (ν1

degrés de liberté au numérateur et ν

2

degrés de liberté au dénominateur), notée F(ν

1

;

ν2).

Conséquence immédiate :

Si W est une variable aléatoire distribuée selon la loi F(ν

1

;

ν2), alors ¹

W

est distribuée selon la loi F(ν

2

;

ν1).

Propriété 2

Le quantile d’ordre α de la loi F(ν

₁

;

ν₂), est l’inverse du quantile d’ordre 1−α de la loi

F(ν

2

;

ν1). On a donc la relation : fα(ν1

;

ν2)

=

¹

f1−α(ν₂;ν₁)

.

On note f

_α(ν₁

;

ν₂) le nombre réel tel que P

( ^F ^< ^f

α(ν₁

;

ν₂)

) =

α.

(22)

Démonstration :

W est distribuée suivant la loi de Fisher Snedecor à (ν

₁

;

ν₂) ddl. W prend donc des valeurs

strictement positives.

Soit a > 0, P(W

≤

a) = P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W≥¹

a

D’autre part, P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W≥¹

a =1−

P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W

<

¹

a .

La loi de

W

étant continue, celle de

¹

W

aussi, P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W

<

¹

a =P⎝⎛

⎠⎞ 1 W≤¹

a

Ainsi P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W≥¹

a =1−

P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W≤¹

a

En posant P(W

≤

a) =

α, on alors P⎝⎛

⎠⎞ 1 W≥¹

a

=

α.

Par conséquent :

1−

P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W≤¹

a

=

α

ou encore P

⎝⎛

⎠⎞ 1 W≤¹

a =1−α.

La loi de Fisher Snedecor étant continue, α étant défini, a est unique et s’exprime en fonction de α : a = f

_α

(ν

1

;

ν2)

P(W

≤

a) =

α ⇔ P⎝⎛

⎠⎞ 1 W≤¹

a =1−α

avec la notation : a = f

_α

(ν

1

;

ν2) et d’après la propriété 1,

1 a = f

1−α

(ν

2

;

ν1).

On obtient donc : f

α

(ν

1

;

ν2)

=

¹ f1−α(ν2;ν1) .

Cas d’échantillons issus de populations gaussiennes

Or, si on dispose de deux échantillons aléatoires simples et indépendants de tailles respectives n

1

et n

2

issus de deux lois mères gaussiennes, alors les variables aléatoires n

1

S

12

σ12

et n

2

S

22

σ22

sont indépendantes et distribuées respectivement selon les lois du χ

²

(n

1−

1) et du

χ²

(n

2−

1).

Sous l’hypothèse d’égalité des variances (σ

12

=

σ22

), on en déduit que la variable aléatoire n

1

S

12

n

1−

1 n

2

S

22

n

2−

1 est distribuée selon la loi de F(n

1−

1 ; n

2−

1).

Test bilatéral :

Hypothèses : H

0

: "σ

1

=

σ22

" et H

1

: "σ

12≠σ22

"

Sous l'hypothèse H

0

, la variable F =

n

1

S

12

n

1−

1 n

2

S

22

n

2−

1 est distribuée selon la loi de Fisher Snedecor

F(n

1−

1 ; n

2−

1)

(23)

Dans ce cas, le test de comparaison étant bilatéral, on rejette H

0

au seuil de risque α dans les deux cas suivants :

f_obs≤f^α

2(ν₁

;

ν₂) ou f_obs≥f

1−α

2(ν₁

;

ν₂)

On a la relation suivante P

⎝⎛

⎠⎞ f^α

2

(n

1−

1 ; n

2−

1) < F <

f₁₋^α

2

(n

1−

1 ; n

2−

1) = 1

−α.

D’où la règle de décision :

Si f

obs

=

n

1

s

12

n

1−

1 n

2

s

22

n

2−

1

∉⎣⎡

⎦⎤ f^α

2

(n

1−

1 ; n

2−

1)

.,f₁₋^α

2

(n

1−

1 ; n

2−

1) , on rejette H

0

au seuil de risque α, dans le cas contraire, on n'est pas en situation de rejeter H

0

.

Exemple 1 : Eléments de correction :

Hypothèses : H

0

: "σ

1

=

σ22

" et H

1

: "σ

12≠σ22

"

La variable aléatoire F =

n

1

S

12

n

1−

1 n

2

S

22

n

2−

1 est distribuée selon la loi de F(15 ; 20).

Calcul de la valeur observée : f

obs

=

n

1

s

12

n

1−

1 n

2

s

22

n

2−

1 =

16×0,26 15 21×0,37

20

–∼

0,71.

zone de non rejet de H

0

zone de

rejet de H

₀

zone de

rejet de H

₀

f

_α/2

f

_1-α/2

(24)

On détermine les valeurs critiques au risque de 0,05 : f

0,025

(15 ; 20) = 1

f

0,975

(20 ; 15)

^–^∼

1 2,76

^∼^–

0,36 et f

0,975

(15 ; 20)

–∼

2,57.

0,71

∈

[0,36 ; 2,57]. On ne peut pas en déduire que les variances du caractère GMQ des deux populations sont différentes, donc on accepte H

0.

Test unilatéral

Hypothèses : H

0

: "σ

₁

=

σ₂²

" et H

1

: "σ

₁²

>

σ₂²

"

Règle de décision : si f

obs

=

n

1

s

12

n

1−

1 n

2

s

22

n

2−

1 >

f1−α

(n

1−

1 ; n

2−

1), on rejette H

0

au seuil de risque α.

Exemple 2 : Eléments de correction

Hypothèses : H

0

: "σ

2

=

σ12

" et H

1

: "σ

22

>

σ12

"

La variable aléatoire F =

n

2

S

22

n

2−

1 n

1

S

12

n

1−

1 est distribuée selon la loi de F(49 ; 49).

Calcul de la valeur observée : f

obs

=

n

2

s

22

n

2−

1 n

1

s

12

n

1−

1 = 129 600

105 623

^∼^–

1,22.

On détermine la valeur critique au risque de 0,05 :

f0,95

(0,49 ; 0,49)

–∼

1,607 et 1,22 < 1,607.

On ne peut rejeter H

0.

En conclusion, on ne peut pas dire que l’alimentation de type B provoque une plus grande dispersion du poids des canards.

zone de non rejet de H

0

zone de rejet de H

0

f1−α

(25)

Toujours bon à savoir…

Comment tracer une courbe de Fisher ?

Il suffit de connaître la fonction densité de probabilité.

La fonction densité associée à une variable aléatoire obéissant à la loi de Fisher Snedecor

F

_ν₁_,_ν₂

est la fonction

f

définie sur [0 ;

+∞[ par : f

(x) = k x

(

^ν₂¹^–¹

)

⎝⎜

⎛

⎠⎟

1 +

^ν¹ ⎞

ν₂

x

ν 1+ν 2

2

où

k

désigne la

constante réelle telle que

⌡⌠_-⁺_∞^∞

f(t) dt = 1.

Prenons un exemple (arrangeant !) avec ν

1

= 4 vet ν

2

= 2.

On montre que k = 8 et donc que :

f

(x) = 8x (1

+

2x)

³

.

Il ne vous reste alors plus qu’à utiliser votre grapheur préféré pour représenter la courbe.

Fisher et Excel : Fonctions du tableur relatives à la loi de Fisher : LOI.F ; INVERSE.LOI.F et TEST.F

LOI.F : Fonction qui renvoie la probabilité de dépasser une valeur donnée.

LOI.F(2,7;3;5) renvoie la valeur 0,1563.

Interprétation :

La loi de probabilité de F est la loi de Fisher F(3 ; 5) alors P(F

≥

2,7)

–∼

0,1563.

INVERSE.LOI.F : Une probabilité étant donnée, cette fonction renvoie la valeur a telle que la probabilité de dépasser a est la probabilité donnée.

Exemple :

INVERSE.LOI.F(0,98;3;5) renvoie la valeur 0,057.

Interprétation :

La loi de probabilité de F étant la loi de Fisher F(3 ; 5) alors P(F

≥

0,057)

–∼

0,98.

INVERSE.LOI.F(0,1563;3;5) renvoie la valeur 2,7.

2,7

0,1563

(26)

TEST.F : Sous l’hypothèse d’égalité des variances de deux populations, cette fonction renvoie la probabilité d’obtenir une telle différence entre les variances des deux échantillons.

échantillon 1 issu d'une population 1

échantillon 2 issu d'une population 2

62 46,9

59 52

59 62

56 51

61 63

Variances s

₁²=

4,24 s

₂²=

40,7216

Test de variance 0,05000345

Il s’agit d’un test bilatéral, Excel ne donne pas la possibilité de faire un test unilatéral.

Si les variances des deux populations sont égales et si le caractère étudié est distribuée selon des lois normales dans les deux populations, alors la probabilité de voir un tel écart sur les variances des deux échantillons est d'environ 0,05 : la loi de probabilité de F étant la loi de Fisher F (4 ; 4) alors :

P ⎝ ⎜ ⎛

⎠ ⎟

⎞

F

≥ 4 3

s

22

4

3

s

12

= P

⎝ ⎜

⎛

⎠ ⎟

⎞

F

≤ 4 3

s

12

4

3

s

22 –∼

0,025.

Remarque : Les données prises dans cet exemple pour interpréter la valeur renvoyée par la

fonction TEST.F ne sont pas très pédagogiques dans la mesure où il semble difficile de prendre une décision au risque de 5 % puisque l’on se trouve à la limite. L’intérêt est de faire comprendre la valeur obtenue.

Si la valeur renvoyée est nettement inférieure à 0,05, on en déduit alors si que H

₀

est vraie la probabilité d’obtenir un tel rapport est faible. On préfère alors rejeter l’hypothèse d’égalité des variances des deux populations dont sont extraits les deux échantillons.

Si la valeur obtenue au test est nettement plus grande que 0,05, on en déduit alors que le rapport n’est pas assez grand (ou proche de zéro pour l’inverse) pour mettre en doute H

_0.

On ne rejette donc pas l’hypothèse d’égalité des variances des deux populations.

Pour aller plus loin, voici un exercice en guise de prolongement…

Énoncé :

Retrouver la relation entre les lois de W et 1

W en utilisant les densités.

Indications de correction :

Si W est à valeurs strictement positives de densité f et si 1

W a pour densité g, on a la relation pour tout x positif, g(x

)=

1 x

² ^f⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

1 x pour tout x strictement positif. On peut alors retrouver la relation entre les lois de W et 1

W lorsque W est distribué selon une loi de F.

Pour démontrer la relation précédente entre f et g il suffit d’écrire les relations entre les

fonctions de répartition et d’en déduire les relations entre les fonctions dérivées.

(27)

Bibliographie :

- Gilbert SAPORTA : Probabilités − Analyse des données et statistique, éd Technip Éditions.

- Pierre DAGNELIE : Théorie et méthodes statistiques, Volumes 1 et 2, éd. Les presses Agronomiques de Gembloux.

- Bruno SCHERRER : Biostatistique, éd. Gaëtan Morin.

- Michel VILAIN : Les outils mathématiques des méthodes expérimentales, éd. Tec et Doc.

- Jean Jacques DAUDIN, Stéphane ROBIN et Colette VUILLET : Statistique inférentielle, idées démarches, exemples, Société française de statistique, Presse universitaire de Rennes.

- Pascal KAUFFMANN : Statistique information estimation tests, éd. Dunod.

- Centre d’Enseignement et de Recherche de Statistique Appliquée : Aide mémoire-pratique des techniques statistiques pour ingénieurs et techniciens supérieurs. éd. Ceresta.

- Brigitte CHAPUT : « BTSA : enseigner la statistique inférentielle » Stage ENFA.

- Yadolah DODGE : Premiers pas en statistique, éd. Springer.

(28)