Description des protocoles expérimentaux et questions.
(version corrigée)
Expérience 1 : Dans cette expérience, on programme le tableur pour qu'il choisisse des entiers entre 1 et 6 qui représentent les lancers d'un dé à six faces régulier et non truqué.
On fait calculer pour chacune des faces la valeur des fréquences d'apparition de chacune des faces. On a représenté en abscisses le numéro des faces, et en ordonnée leur fréquence d'apparition sur 10 lancers consécutifs.
En appuyant sur F9, on peut réaliser la simulation d'une autre série de lancers.
1°) a) Que constate-t-on quand on réalise successivement plusieurs simulation de telles séries de lancers ? Les différentes distributions sont très différentes à chaque série.
b) Voit-on se dessiner un phénomène régulier, ou répétitif ? Non, rien de régulier apparemment.
2°) On va maintenant répéter cette expérience, mais avec un plus grand nombre de lancers dans chaque série. Pour cela, on va répliquer dernière ligne remplie du tableur afin de simuler une série de 50 lancers.
En utilisant la touche F9, visualiser les fréquences obtenues pour plusieurs séries de 50 lancers chacune.
Voit-on une différence notable par rapport à la situation précédente ? Formuler une hypothèse, susceptible de décrire le phénomène.
Plus on augmente la taille de la série, plus il y a de régularité dans les fréquences observées, et celles-ci se rapprochent d'une valeur comprise entre 0,1 et 0,2.
3°) Cette fois, on va considérer des séries de 2000 lancers.
Que constate-t-on ? Cela confirme-t-il l'hypothèse émise ?
Plus on augmente la taille de la série, plus il y a de régularité dans les fréquences observées, et celles-ci se rapprochent d'une valeur comprise assez proche de 0,16, soit presque 1 sur 6.
Expérience 2 : On va ici utiliser un moyen plus commode de réaliser les tirages précédents. Le fichiers nous permet de choisir trois séries de lancers, chacune étant d'une taille réglable.
1°) Prendre trois échantillons chacun de taille 10, puis en lançant le programme (appuyer sur "démarrer") Que montre le diagramme en bâtons ? Le diagramme situé au-dessous ?
Il s'agit du diagramme en bâtons des effectifs, pour la série des tirages sur l'échantillon considéré.
Le diagramme de dessous, lui, montre les fréquences associées.
a) Retrouvez-vous les disparités observées pour des échantillons de taille 10 ? Oui, bien sûr.
Relever quelques valeurs typiques de l'étendue des fréquences des trois échantillons.
2°) a) Si on augmente la taille des échantillons, que doit-il se produire normalement ? On doit observer une régularité et une homogénéisation des fréquences.
b) Augmenter la taille de chacun des trois échantillons jusqu'à une taille de 400. Ce qui était prévu se produit-il ? c) Relever quelques valeurs typiques de l'étendue des trois échantillons.
3°) Choisir un seul échantillon, de taille 2000, et les deux autre de taille 0.
Qu'observe-t-on pour les fréquences ? Pour l'étendue des fréquences ? Formuler une hypothèse la concernant.
Plus on augmente la taille de l'échantillon, plus il y a de régularité dans les fréquences observées, et celles-ci se rapprochent d'une valeur comprise assez proche de 0,16, soit presque 1 sur 6.
L'étendue, elle, diminue de plus en plus, et semble se rapprocher de 0 : il y a une homogénéisation des valeurs calculées des fréquences.
Expérience 3 : Cette expérience permet de valider l'hypothèse sur le comportement de l'étendue.
En appuyant sur le bouton "Ajouter 100 tirages", on réalise une nouvelle série de lancers du dé, que l'on cumule aux précédentes.
1°) Sur le diagramme, décrire le comportement de l'étendue des fréquences de la série.
La dispersion des fréquences est globalement décroissante vers 0, même si un comportement contraire peut parfois être observé sur les premiers tirages. Une régularisation se produit pour des tirages de grande taille.
2°) a) A priori, combien de chances a-t-on d'obtenir la face n° 3 ? La face n°5 ? On a, pour chacune des faces, 1 chance sur 6 d'obtenir cette face.
b) L'expérience correspond-elle à cette prévision (expliquer les résultats de la colonne "P") ?
On doit ici retrouver à chaque fois un nombre proche de 1. Cette colonne, qui est le résultat de la multiplication de la colonne "O" par 6 permet la comparaison des fréquences théoriques avec la fréquence empirique, observée à partir de l'échantillon (on considère qu'i y a accord pour des valeurs proches de 1 dans la colonne "P").
Expérience 4 : Cette expérience permet d'observer le comportement des moyennes successives sur des échantillons de taille de plus en plus importante.
On a fait choisir à l'ordinateur un nombre "au hasard" entre 0 et 1, un grand nombre de fois, puis on a regroupé ses réponses par "paquets" de 100 tirages consécutifs. Après chaque centaine, on a demandé le calcul de la moyenne (représenté sur le graphique)sur tous les tirages jusqu'à cette centaine là.
1°) Que constate-t-on sur l'évolution des moyennes calculées à partie d'échantillons de taille de plus en plus importante ? La moyenne se stabilise au bout d'un assez grands nombres de tirages autour de 0,5.
2°) Tester cette observation sur différents tirages, en utilisant la touche F9, qui permet d'obtenir de nouvelles réponses de l'ordinateur. Conclure.
Dans tous les cas, il y a stabilisation de la moyenne, après un temps plus ou moins long, dépendant des échantillons.
Expérience 5 : On lance simultanément deux dés, et on appelle S la valeur de la somme des deux faces.
1°) Quelles sont les valeurs possibles de S ? S est un entier compris entre 2 et 12.
2°) Décrire un moyen de donner une estimation expérimentale les fréquences probables d'apparition de chacune des valeurs de S.
Il suffit de simuler un assez grand nombre de fois deux lancers de dés et de noter la valeur de S obtenue, et de calculer les fréquences empiriques de chacune des valeurs de S. Pour un nombre de lancers assez grand, on obtient un bonne
approximation de la véritable valeur cherchée.
3°) Calculer les fréquences théoriques d'apparition de chacune des valeurs de S.
On dresse un tableau à double entrée.
4°) Expliquer ce qui figue dans la colonne "x 36".
On y retrouve la valeur approchée, associée à l'expérience, du nombre de possibilités conduisant à la valeur de S
concernée. 36 est le nombre total de cas possibles. On en tire la relation : "probabilité = cas favorables sur cas possibles".
Expérience 6 : Il s'agit ici d'utiliser une simulation (= répétition un grand nombre de fois d'une expérience de résultat aléatoire), afin de déterminer le résultat le plus probable du résultat d'une expérience aléatoire.
Expérience 7 : Cette expérience est une illustration de la méthode de Monte-Carlo pour le calcul approché de Pi.
