Devoir surveillé n°6

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Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir surveillé n°6

Exercice 1 (France septembre 2007) - 6 points

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur





 -π 

2;π 2 :

• (E) y′+(1+tanx)y=cosx

•

( )

^{E0 y′+y=1}

1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation

( )

^{E0 . 1,5 point}

y'+y=1ñy′=-y+1

Les solutions de

( )

^E0 sont les fonctions définies sur





 -π 

2;π

2 par x→Ae^-x+1 avec A un réel quelconque.

2. Soient f et g deux solutions dérivables sur





 -π

2;π

2 et telles que f(x)=g(x)×cosx.

Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de

( )

^{E0 . 2.5 points}

Soient f et g deux fonctions dérivables sur





 -π

2;π

2 telles que f=g×cos Alors f′=(g×cos)′=g′×cos−g×sin

Donc f est solution de (E) ñ f′+(1+tan)f=cos

ñ (g′×cos−g×sin)+(1+tan)×g×cos=cos ñ cos(g′−g×tan+g+g×tan)=cos

ñg′+g=1 car cos ne s’annule pas sur





 -π 

2;π 2 . ñ g est solution de

( )

^{E0 .}

3. Déterminer la solution f de (E) telle que f(0)=0. 2 points Les solutions de (E) sont donc les fonctions f définies sur





 -π 

2;π

2 par f(x)=

(

Ae^-x+1

)

×cos(x) avec A☻Ë.

Or, f(0)=0ñ

(

Ae⁰+1

)

×cos0=0ñ(A+1)×1=0ñA=-1 La fonction f cherchée est donc définie sur





 -π 

2;π

2 par f(x)=

(

^1−e-x

)

^×cosx

Exercice 2 (Inspiré de France septembre 2004) - 7 points

1- Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1;+õ[ par g(x)= 1 x

(

x²−1

)

.

a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l’on ait, pour tout x>1, g(x)=a x + b

x+1+ c x−1.

┐x>1, a x + b

x+1+ c

x−1=a

(

x²−1

)

+bx(x−1)+cx(x+1)

x

(

x²−1

)

=ax²−a+bx²−bx+cx²+cx x

(

x²−1

)

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=(a+b+c)x²+(-b+c)x−a x

(

x²−1

)

Ainsi g(x)= a x + b

x+1+ c x−1ñ



^a+b+c=0 -b+c=0 -a=1

ñ



^a=-1 b+c=1 b−c=0

ñ



 

^a_b^=-1₌¹

2 c=¹ 2 Donc ┐ x>1, g(x)=-1

x +1 2× 1

x+1+1 2× 1

x−1 1,5 point b. Trouver une primitive G de g sur ]1;+õ[

g est une fonction rationnelle définie sur ]1;+õ[ donc dérivable sur ]1;+õ[ donc continue sur ]1;+õ[.

Ainsi g admet des primitives sur ]1;+õ[.

Une primitive G de g sur ]1;+õ[ est définie par G(x)= -ln

( | |

x

)

+1

2ln

( ^|

^x+1

^| )

⁺¹₂^ln

( ^|

^x−1

^| )

Or ┐x>1, x>0 donc

| |

x =x ; x+1>0 donc

|

x+1

|

=x+1 et x−1>0 donc

|

x−1

|

=x−1 Donc G(x)=-ln(x)+1

2(ln(x+1)+ln(x−1))=1

2ln((x+1)(x−1))−lnx=ln x²−1−lnx=ln



x²−1

x 2.5 points 2- Trouver la primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle ]-1;1[ par f(x)= 2x

(

x²−1

)

²telle que F(0)=4.

Soit u:x→x²−1 alors u′(x)=2x. Ainsi f=u′ u²

Les primitives de f sur ]-1;1[ sont donc les fonctions F =-1

u +c (c☻Ë) càd les fonctions F définies sur ]-1;1[ par F(x)=- 1

x²−1+c (c☻Ë).

Or, F(0)=4ñ −1

0−1+c=4ñ1+c=4ñc=3 La fonction F cherchée est donc définie par F(x)=- 1

x²−1+3 3 points Exercice 3 (D’après France septembre 2001) – 7 points

On dispose de deux urnes composées de boules indiscernables au touché : - l’urne a contient une boule rouge et quatre boules blanches - l’urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

L’épreuve consiste à choisir une urne au hasard, puis de tirer toujours au hasard une boule de cette urne.

On note: A : l’événement "L’urne a est choisie", B : l’événement "l’urne b est choisie" ,

R : l’événement "une boule rouge est obtenue au tirage" et ÒR son événement contraire.

1- Déterminer les probabilités suivantes : a. Choisir l’urne a.

Calculer la probabilité de choisir l’urne a revient à calculer p(A).

Le choix de l’urne est réalisé au hasard, on a donc une chance sur deux de choisir l’urne a donc p(A)=1

2 0,5 point b. Obtenir une boule rouge sachant qu’on a choisi l’urne a.

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Calculer la probabilité d’obtenir une boule rouge sachant que l’on a choisi l’urne a revient à calculer p_A(R).

Dans l’urne a, il y a 1 boule rouge et 4 boules blanches. On a donc 1 chance sur 5 de choisir la boule rouge, ainsi pA(R)=1

5. 0,5 point

c. Obtenir une boule rouge de l’urne a.

Calculer la probabilité d’obtenir une boule rouge de l’urne a revient à choisir l’urne a et de tirer une boule rouge dans cette urne donc à calculer p(A∩R).

Or, p(A∩R)=p(A)×p_A(R)=1 2×1

5= 1

10 1 point 2- Montrer que p(R)=13

30.

Les événements A et B forment une partition de l’univers donc R=(R∩A)∟(R∩B) et p(R)=p(R∩A)+p(R∩B) Le choix de l’urne est équiprobable donc p(B)=1

2

Dans l’urne b, il y a 4 boules rouges et 2 boules blanches donc il y a 2 possibilités sur 6 de tirer une boule rouge sachant qu’on a choisi l’urne b donc p_B(R)=4

6=2 3 Ainsi p(B∩R)=p(B)×p_B(R)=1

2×2 3=1

3 Finalement p(R)=p(A∩R)+p(B∩R)= 1

10+1 3=13

30 La probabilité de tirer une boule rouge est 13

30. 2 points

3- Sachant que la boule est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne a ? On cherche pR(A).

On sait que p(A∩R)= 1

10 et p(R)=13 30

Or, p(A∩R)=p(R)×p_R(A) donc pR(A)=p(A∩R) p(R) =

1 10 13 30

= 3 13.

La probabilité d’avoir choisi l’urne a sachant que la boule tirée est rouge est 3

13. 1,5 point 4- Sachant que la boule est blanche, quelle est la probabilité que l’urne choisir soit l’urne a ? On cherche pÒR(A) .

On sait que l’urne a contient une boule rouge et 4 boules blanches, on a donc 4 possibilités sur 5 de choisir une boule blanche dans l’urne a donc p_A

( )

R^Ò =4

5 donc p

(

^A∩ÒR

)

= p(A)×p_A

( )

^ÒR =1 2×4

5=2 5

De plus p

( )

^ÒR =1−p(R)=1−13 30=17

30. Donc pÒR(A)=p

(

^ÒR∩A

)

p

( )

^ÒR

= 2 5 17 30

=12

17 1,5 point La probabilité de choisir l’urne a sachant qu’on a tiré une boule blanche est 12

17.