- - C Co or rr re ec ct ti io on n - -

(1)

T T E E S S T T DE D E ST S TA AT TI IQ QU U E E 2 2 0 0 08 0 8 - - 2 2 00 0 0 9 9

- - C Co or rr re ec ct ti io on n - -

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Du D ur ré ée e 2 2h h3 30 0

N No ot te e

II IIII IIIIII B B

//88 /5/5 //77

/ / 20 2 0

1 – Pince de Levage (1h)

La pince « à écrevisse », de la figure 1, est suspendue en A au câble d’une grue. Elle est destinée à soulever des blocs de pierre. Elle comprend deux sabots (3) et (3’) articulés sur deux leviers coudés identiques (2) et (2’). L’écartement des leviers est assuré par la barre (4), articulée en C et C’. Deux barres (1) et (1’) articulées en A, B, et B’ sont reliées en A au câble de la grue dont la tension est T_ext/A. Le poids de la pierre est P tel que P = 1,5.10⁴ N. Les poids propres des barres et des sabots seront négligés devant les autres efforts. Le coefficient de frottement au contact pierre/sabot est f = 0,5. C'est un problème plan

A

B B’

C’ C

D’ D

E E’

1

2

4 1’

2’

3 3’

8

Figure 1

Dimension en mm

360 140 170 80

300

440

300

x

y

ext / A

T

(2)

1.1. Déterminer les actions de contact aux points d’articulation de chaque barre : A, B, C et D On isole { 1 } :

Système soumis à 2 efforts → Directions (AB), Intensités inconnues On isole { 4 } :

Système soumis à 2 efforts → Directions (CC’), Intensités inconnues On isole { 1 + 1’ + 2 + 2’ + 3 + 3’ + 4 + 8 } :

Système soumis à 2 efforts → Directions verticales, Intensités 1,5.10⁴N, Sens T_ext/A vers le haut On isole { le point A } :

Système soumis à 3 efforts. Symétrie du système : F_1/A=F_1’/A

arctan 360 50,194

α =300 → α = °

Résultante du Principe Fondamental de la Statique sur l’axe y

1/ A ext / A

ext / A 1/ A

1/ A

2.F .cos T 0

F T

2.cos F 11715N

− α + =

= α

= Text/A

T_1’/A T_1/A

A

On isole { 2 } :

Système soumis à 3 efforts.

1/ 2

B D

4 / 2 4 / 2

4 / 2

C D

3 / 2

3 / 2 3 / 2

D

9000 0 9000 0

7500 0 7500 0

0 0 0 11685000

X 0 X 0

0 0 0 0

0 0 0 300.X

X 0

Y 0

0 0

     

     

ℑ = =

     

     − 

     

   

 

     

ℑ = =

     

     − 

     

 

   

ℑ =

   

   

   

Moment du Principe Fondamental de la Statique sur l’axe z

4 / 2 4 / 2

11685000 300.X 0 X 38950 N

− − = = −

Résultante du Principe Fondamental de la Statique sur l’axe x

900+X +X =0 X =29950 N

(3)

1.2. Où doivent se situer les points E et E’ ?

1.3. La pierre peut-elle être soulevée ?

La pierre peut être soulevée :

Vrai Faux

Coefficient de frottement : f =tanϕ =0,250 <0,5 La pierre peut être soulevée !

Position du point E :

x = 42,571 mm

Pour avoir l’équilibre, il faut l’angle mini définit pas les composantes de F_2/3 : arctan 7500 14,059

29950

 

ϕ =  = °

 

Position du point E : tan x

170 x 42,571mm

ϕ =

=

D E

3

φ F_2/3

X

170

(4)

2 – Pied stabilisateur (30min)

La figure 2 représente l’un des 4 pieds stabilisateurs d’un engin de chantier. Chaque pied est composé d’un patin (5), de deux barres (3) et (4) et d’un vérin hydraulique (1+2). Les barres sont articulées en C et B sur le bâti (0) et en A sur le patin. Toutes les liaisons sont des liaisons rotules. La liaison en A est commune aux pièces (2), (3), (4) et (5). On considérera que dans la phase de fonctionnement choisie le vérin (1+2) forme un solide unique.

2.1. Exprimer les actions exercées par le patin sur les barres et le vérin.

D D

BB

C C

AA

F F a

9.a

3.a

3.a 5.a

O O

x

y

z

ext / 5

F

1 1

2 2 0 0

44

3 3

55

Figure 2

On isole { 4 } :

Système soumis à 2 efforts → Directions (AC), Intensités inconnues On isole { 3 } :

Système soumis à 2 efforts → Directions (AB), Intensités inconnues On isole { 1 + 2 } :

Système soumis à 2 efforts → Directions (AD), Intensités inconnues

(5)

2.2. Application numérique : Fext/5 = 30.10³ N et a = 200mm

Bilan :

F

_2/5

F

_3/5

F

_4/5

X

⁰ ^-10000 ¹⁰⁰⁰⁰

Y

⁶⁰⁰⁰⁰ ^-30000 ^-30000

Z

^-30000 ⁰ ⁰

On néglige le poids propre des barres devant les autres efforts.

1 1

3 2

arctan( ) 18,44 arctan( ) 26,57

β = = ° α = = °

Résultante du Principe Fondamental de la Statique sur l’axe z

ext / 5

2 / 5 ext / 5 2 / 5

F .sin F 0 F F 67082 N

− α + = =sin =

α

4 / 5 3 / 5

F .sinβ −F .sinβ =0 (1)

4 / 5 3 / 5 2 / 5

F .cos F .cos F .cos 0 (2)

− β − β + α =

3 / 5 2 / 5

2 / 5 3 / 5

4 / 5 3 / 5

.cos .sin 2.F .sin .cos F .cos .sin 0

F cos

F . 31623 N

2 cos

F F 31623

(1) (2)

(1) N

β + β ⇒ − β β + α β =

⇒ = α =

β

⇒ = =

(6)

3 – Plateau de chargement (1h)

La figure 3 représente un plateau de chargement utilisé lors des déménagements. Les deux galets (1) et (2) sont en liaison pivot parfait avec le plateau (3) et en contact ponctuel parfait (sans frottement) avec le rail (0).

Le déplacement du plateau est réalisé par l’intermédiaire d’un câble (Fcable/3) qui déplace l’ensemble à vitesse constante. Une charge uniformément répartie d’intensité p (en N/m) est placée sur le plateau.

La structure et le chargement sont symétriques par rapport au plan médian de telle sorte qu’on considère le problème comme plan.

B B

E E

x y

cable / 3

F

3.b

C C

D D

b

b 6.b

p

(en N/m) Figure 3

b

PlPlaatteeaauu 33

R Raaiill 00

G Gaalleett 11

GGaalleett 22

A A β

Pour information :

b 1

arc sin( ) arcsin( )

3.b 3

β = =

(7)

3.2. Exprimer les torseurs transmis par les liaisons en A, B et C en fonction des données du problème.

3.3. Application numérique : p = 1,2.10³ N/m et b = 100mm

1/ 3 2 / 3 C / 3

F = 1200 N F = 960 N F = 679 N

On isole {le plateau 3} :

En isolant 1 puis 2, on montre qu’ils sont soumis respectivement à 2 forces → Directions connues → Intensités inconnues.

[ ]

1/ 3

1/ 3 1/ 3

B

2 / 3 2 / 3

2 / 3 2 / 3 2 / 3

2 / 3

A B

C / 3

F .cos 0 F .sin 0

0 0

F .cos 0 F .cos 0

F .sin 0 F .sin 0

0 0 0 F . sin .(b.cos 3.b.sin ) cos .( 3.b.cos b.sin ) β

 

   

ℑ = β

   

   

   

 

− β − β

 

     

ℑ = − β = − β

     

     β β + β − β − β + β 

     

−

 

 

ℑ =

 

 

 

C / 3 C / 3

C B

p / 3

2 2

D B

F .sin 0 F .sin 0

F .cos 0 F .cos 0

0 0

0 0 0 0

6.p.b 0 6.p.b 0

0 18.p.b 0 24.p.b

β − β

   

   

β = β

   

   

   

     

     

ℑ = − = −

     

   −   − 

 

Moment du Principe Fondamental de la Statique sur l’axe z

^{2 / 3}

[ ]

²

2 2 / 3

F . sin .(b.cos 3.b.sin ) cos .( 3.b.cos b.sin ) 24.p.b 0 24.p.b

F sin .(b.cos 3.b.sin ) cos .( 3.b.cos b.sin )

β β + β − β − β + β − =

= β β + β − β − β + β

1/ 3 2 / 3 C / 3

F .cosβ −F .cosβ −F .sinβ =0 (1)

1/ 3 2 / 3 C / 3

F .sinβ −F .sinβ +F .cosβ −6.p.b=0 (2)

2 / 3 C / 3

C / 3

1/ 3 2 / 3 C /

(2) (1)

3

F .sin F .cos 6.p.b

tan F .cos F .sin

6.p.b F tan .sin co (1)

s

F F F .tan

β − β +

β = β + β

= β β + β

= + β