Un principe d’invariance de type Donsker dans une classe d’espaces de Besov-Orlicz

ANNALES MATHÉMATIQUES

BLAISE PASCAL

Mohamed Ait Ouahra, Abdelghani Kissami & Aissa Sghir Un principe d’invariance de type Donsker dans une classe d’espaces de Besov-Orlicz

Volume 19, n^o1 (2012), p. 263-269.

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Un principe d’invariance de type Donsker dans une classe d’espaces de Besov-Orlicz

Mohamed Ait Ouahra Abdelghani Kissami

Aissa Sghir

Résumé

Dans ce papier, nous allons étendre le principe classique d’invariance de Donsker [4] dans une classe des espaces de Besov-Orlicz associés à la N-fonction exponen- tielleM2(x) = exp(x²)−1.

1. Introduction

Le résultat classique connu sous le nom du théorème de la limite cen- trale assure que pour toute suite de variables aléatoires réelles i.i.d (Xn)_n≥1 centrées, de variance σ² finie, la suite ¹

σ√ n

Pn k=1X_k

n≥1 converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi normale standard. La version fonctionnelle du théorème de la limite centrale connue sous le nom de prin- cipe d’invariance a été établie par Donsker [4], dans l’espace des fonctions continues C([0,1]), muni de la topologie de la convergence uniforme, et dans l’espaceD([0,1]), muni de la topologie de Skorohod pour les proces- sus discontinus.

Théorème 1.1. Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen- trées, de variance σ² finie et soit Sn=^Pn_k=1X_k etS0 = 0. Alors, la suite des processus

ξn(t) = 1 σ√

nS_[nt], 0≤t≤1

,

converge faiblement, lorsquen→+∞, vers un mouvement Brownien stan- dard, dans l’espace D([0,1]).

Mots-clés :Espaces de Besov-Orlicz, Principe d’invariance de type Donsker, Conver- gence faible, Tension.

Classification math. :46E30, 60F17.

M.Ait Ouahra, A.Kissami & A.Sghir

Théorème 1.2. Soit (Xn)_n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen- trées, de variance σ² finie et soit Sn=^Pn_k=1Xk etS0 = 0. Alors, la suite des processus

γ_n(t) = 1 σ√

n

S_[nt]+ (nt−[nt])X_[nt]+1, 0≤t≤1

,

converge faiblement, lorsquen→+∞, vers un mouvement Brownien stan- dard, dans l’espace C([0,1]).

Ce genre de théorèmes ont été étudiés par Hamadouche [5] et Lamperti [7] dans l’espace de Hölder et Morel [8] dans les espaces de Besov stan- dard. D’autre part, Kerkyacharian et Roynette [6] ont donné une autre démonstration du résultat de Lamperti [7] en utilisant la base de Schau- der. Dans ce papier, nous allons étendre ces deux théorèmes à la topo- logie des espaces de Besov-Orlicz associés à la N-fonction exponentielle M₂(x) = exp(x²)−1.

Soit la N-fonction M_β définie par : M_β(x) =

( e^|x|β −1 siβ ≥1, Eβ(x)−Eβ(0) si 0< β <1,

où E_β(x) =E_β(−x) est le prolongement de la partie convexe de e^|x|β sur [x_β,+∞[ par sa tangente au point x_β >0. (e^|x|β change de concavité en xβ).

Le reste de ce papier est organisé comme suit : Dans la deuxième partie, nous présentons quelques notions de base sur la théorie des espaces de Besov-Orlicz, associés à la N-fonction exponentielle M_β, pour β >0. La dernière partie est réservée à la démonstration de nos résultats.

2. Espaces de Besov-Orlicz

Pour la théorie de base des espaces de Besov-Orlicz, nous renvoyons le lecteur à Boufoussi [2] et Ciesielski et al.[3]. Cependant, nous présentons un bref aperçu sur ces espaces.

Soit (Ω,Σ, µ) un espace de mesure finie. L’espace d’Orlicz L_Mβ(dµ)(Ω) as- socié à laN-fonctionM_β, pourβ >0, est l’espace de Banach des fonctions f : Ω→Rmesurables muni de la norme

kfk_Mβ(dµ) = inf

λ>0

Z

Ω

Mβ(| f(.)

λ |)dµ(.)<1

.

Dans le cas d’un espace probabilisé (Ω,Σ, P), on a kfk_M

β(dP)= inf

λ>0

E(M_β(| f

λ |))<1

.

Le module de continuité d’une fonction f définie sur [0,1] en norme d’Or- licz est défini pour tout h∈R par :

ω_Mβ(f, t) = sup

|h|≤t

k∆_hfk_M

β(dx),

où ∆_hf(x) =1_[0,1−h](x)[f(x+h)−f(x)] etdxest la mesure de Lebesgue sur [0,1].

Pour tout 0 < µ < 1 et ν >0, l’espace de Besov-Orlicz noté B^ω_M^µ,ν

β,∞, est l’espace de Banach des fonctions continues f ∈L_Mβ(dx)([0,1]) muni de la norme

kfk^ω_M^µ,ν

β,∞=kfk_Mβ(dx)+ sup

0<t≤1

ω_Mβ(f, t) ωµ,ν(t) , où

ωµ,ν(t) =t^µ(1 + log(1 t))^ν. Muni de cette norme, l’espace B^ω_M^µ,ν

β,∞ n’est pas séparable. Par contre, il contient un sous espace fermé et séparable noté B^ω_M^µ,ν,0

β,∞ qui correspond aux fonctionsf telles queωM_β(f, t) =o(ωµ,ν(t)), quandt→0.

Nous savons que toute fonction f continue sur [0,1], se décompose dans la base de Schauder {ϕ_n=ϕ_j,k, j≥0, k= 1, ...,2^j}

f(t) =

∞

X

n=0

Cn(f)ϕn(t),

où la convergence est uniforme et les coefficients dans cette base sont donnés par







C₀(f) =f(0), C₁(f) =f(1)−f(0), n= 2^j+k, j≥0 , k= 1, ...,2^j,

Cn(f) =f_j,k= 2^j2h2f(^2k−1₂j+1)−f(^2k−2_2j+1)−f(₂^2k_j+1)ⁱ.

Les preuves des deux théorèmes suivants se trouvent dans Ait Ouahra et al.[1], le premier caractérise la régularité Besov-Orlicz des trajectoires du mouvement Brownien standard et le deuxiéme donne un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz.

M.Ait Ouahra, A.Kissami & A.Sghir

Théorème 2.1. Soit {B_t, t ≥ 0} un mouvement Brownien standard.

Alors p.s, la trajectoire t → B_t appartient à l’espace de Besov-Orlicz B

ω1 2,ν,0

M2,∞, ∀ν >1.

Théorème 2.2. Soit (X_tⁿ:t∈[0,1])_n≥1 une suite de processus stochas- tiques définis sur (Ω,Σ, P) satisfaisant les hypothèses suivantes

(1) X₀ⁿ= 0, pour tout n≥1.

(2) Il existe une constanteC >0telle que pour toust, s∈[0,1], on a, kX_tⁿ−X_sⁿk_M

β(dP)≤C|t−s|^µ.

Alors, la famille des lois de (X_tⁿ:t∈[0,1]) est tendue dans B^ω_M^µ,ν,0

β,∞, pour tous β≥1, 0< µ <1 et ν >1.

3. Les résultats principaux

Théorème 3.1. Soit (X_n)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen- trées, de variance σ² finie, et soitS_n=^Pn_k=1X_ketS₀ = 0. Alors, la suite des processus

ξ_n(t) = 1 σ√

nS_[nt], 0≤t≤1

,

converge faiblement, lorsquen→+∞, vers un mouvement Brownien stan- dard, dans l’espace de Besov-Orlicz B

ω1 2,ν,0

M2,∞, pour tout ν >1.

Théorème 3.2. Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen- trées, de variance σ² finie, et soitSn=^Pn_k=1X_ketS0 = 0. Alors, la suite des processus

γ_n(t) = 1 σ√

n

S_[nt]+ (nt−[nt])X_[nt]+1^o, 0≤t≤1

,

converge faiblement, lorsquen→+∞, vers un mouvement Brownien stan- dard, dans l’espace de Besov-Orlicz B

ω1 2,ν,0

M2,∞, pour tout ν >1.

On a besoin du lemme suivant de Morrow [9] dont la preuve se trouve dans Zhonggen Su [10] .

Lemme 3.3. Soit 0 < β ≤ 2. Si (Xn)_n∈N est une suite de variables aléatoires i.i.d centrées telles que kX₁k_M

β(dP) < ∞, alors il existe une constante 0< C_β <∞ telle que

X₁+...+X_n

√n M_β(dP)

≤CβkX₁k_Mβ(dP).

Remarque 3.4. Si (X_n)_n∈N est une suite de variables aléatoires i.i.d cen- trées telles que pour toutp≥1,kX₁k_p <∞, alors il existe une constante 0< C_p <∞ telle que

X₁+...+X_n

√n p

≤C_pkX₁k_p.

C’est l’inégalité de Marcinkiewicz-Zygmund.

Preuve du Théorème 3.1. Il suffit d’établir que la famille (ξ_n(t)) est tendue dans l’espace B

ω1 2,ν,0

M2,∞, pour toutν >1.

kξ_n(t)−ξ_n(s)k_M2(dP) =

1 σ√

n

[nt]−1

X

k=[ns]

X_k M2(dP)

=

p[nt]−[ns]

σ√ n

[nt]−1

X

k=[ns]

X_k p[nt]−[ns]

M2(dP)

.

Remarquons que pour nassez grand,

p[nt]−[ns]

√n

≤ |t−s|¹².

Il suffit donc de montrer qu’il existe une constante 0< C <∞, telle que pour tout nassez grand,

[nt]−1

X

k=[ns]

X_k p[nt]−[ns]

M2(dP)

≤C,

ce qui est le cas d’après Lemme 3.3.

Preuve du Théorème 3.2. Il suffit d’établir que la famille (γn(t)) est ten- due dans l’espace B

ω1 2,ν,0

M2,∞, pour toutν >1.

M.Ait Ouahra, A.Kissami & A.Sghir Premier cas : [nt] = [ns].

Dans ce cas [nt]≤ns≤nt <[nt] + 1, et par suite ^[nt]_n ≤s≤t < ^[nt]+1_n , ce qui implique que^pn|t−s| ≤1. Donc,

kγ_n(t)−γ_n(s)k_M

2(dP)=√

n|t−s|kX_[nt]+1k_M2(dP)

σ ≤ kX₁k_M2(dP)

σ |t−s|¹². Deuxième cas : [ns]<[nt].

Dans ce cas [ns]≤ns <[ns] + 1≤[nt]≤nt <[nt] + 1, et par suite ^[ns]_n ≤s < ^[ns]+1_n ≤ ^[nt]_n ≤t < ^[nt]+1_n . Donc,

kγ_n(t)−γn(s)k_M2(dP) ≤ kγ_n(t)−γn([nt]

n )k_M2(dP) +kγ_n([nt]

n )−γ_n([ns]

n )k_M2(dP)+kγ_n(s)−γ_n([ns]

n )k_M2(dP). D’après le premier cas, il existe une constante 0< C <∞ telle que

kγ_n(t)−γ_n([nt]

n )k_M2(dP)≤C|t−s|¹², et

kγ_n(s)−γ_n([ns]

n )k_M

2(dP)≤C|t−s|¹²,

en remarquant que [nt] = [nt⁰] et [ns] = [ns⁰], avec t⁰= ^[nt]_n ets⁰ = ^[ns]_n . Pour le terme du milieu, la même technique utilisée dans la démonstration du Théorème 3.1, entraîne qu’il existe une constante 0< C⁰ <∞telle que

kγ_n([nt]

n )−γ_n([ns]

n )k_M2(dP)=kγ_n(t⁰)−γ_n(s⁰)k_M2(dP)≤C⁰|t−s|¹².

La preuve du Théorème 3.2 est ainsi achevée.

Références

[1] M. Ait Ouahra, A. Kissami&A. Sghir– « Un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz et applications au problème du temps d’occupations »,Ann. Math. Blaise. Pascal 18(2)(2011), p. 237–257.

[2] B. Boufoussi – « Espaces de Besov : Caractérisations et Applica- tions. », Thèse, Université Henri Poincaré. Nancy. France, 1994.

[3] Z. Ciesielski, G. Kerkyacharian & B. Roynette– « Quelques espaces fonctionnels associés à des processus gaussiens »,Studia Ma- thematica 107(2) (1993), p. 171–204.

[4] M. D. Donsker – « An invariance principle for certain probability limit theorems »,Mem. Amer. Math. Soc.,1951(1951), no. 6, p. 12.

[5] D. Hamadouche – « Invariance principles in Hölder spaces »,Por- tugal. Math 57(2) (2000), p. 127–151.

[6] G. Kerkyacharian&B. Roynette– « Une démonstration simple des théorèmes de Kolmogorov, Donsker et Itô-Nisio », C. R. Acad.

Sci. Paris. Ser. I 312 (1991), p. 877–882.

[7] J. Lamperti – « On convergence of stochastic processes », Trans.

Amer. Math. Soc 104 (1962), p. 430–435.

[8] B. Morel – « Weak convergence of summation processes in Besov spaces »,Studia Mathematica 165 (2004), p. 19–37.

[9] J. G. Morrow– « On a central limit theorem motivated by somme Fourier series with dependent coefficients », Unpublished manuscript, 1984.

[10] Z. Su – « Central limit theorems for random processes with sample paths in exponential Orlicz spaces », Stochastic Processes and their applications 66 (1997), p. 1–20.

Mohamed Ait Ouahra

Laboratoire de Modélisation Stochastique et Déterministe et URAC 04

Faculté des Sciences Oujda B.P. 717

Maroc

ouahra@ucam.ac.ma

Abdelghani Kissami

Laboratoire de Modélisation Stochastique et Déterministe et URAC 04

Faculté des Sciences Oujda B.P. 717

Maroc

Kissami@fso.ump.ma

Aissa Sghir

Laboratoire de Modélisation Stochastique et Déterministe et URAC 04

Faculté des Sciences Oujda B.P. 717

Maroc

semastai@hotmail.fr