Un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz et applications au problème du temps d’occupation

BLAISE PASCAL

Mohamed Ait Ouahra, Abdelghani Kissami & Aissa Sghir Un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz et applications au problème du temps d’occupation

Volume 18, n^o2 (2011), p. 301-321.

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Un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz et applications au problème du

temps d’occupation

Mohamed Ait Ouahra Abdelghani Kissami

Aissa Sghir

Résumé

Dans ce travail, nous présentons une nouvelle caractérisation de la norme des espaces de Besov-Orlicz associés à la N-fonction exponentielle Mβ pour β > 0.

Nous utilisons cette nouvelle norme et un lemme de Marcus et Pisier [15], pour démontrer un critère de tension et de régularité dans les espaces de Besov-Orlicz pour β≥1. Nous étudions ensuite dans les espaces de Besov-Orlicz pourβ= 1, des théorèmes limites pour les mesures d’occupations du temps local du processus stable symétrique d’indice 1 < α ≤ 2, ce qui présente une généralisation des résultats de Ait Ouahra etal.[1] dans les espaces de Besov standards.

1. Introduction

La relative compacité dans les espaces probabilisés est la clé de l’étude de la convergence faible. Une famille F des mesures de probabilités dans un espace métrique (S,B(S)) est dite tendue si pour tout > 0,il existe un compact K⊆Stel que P(K)≥1−, pour touteP ∈ F. Le théorème de Prohorov (voir Billingsly [5]) affirme que si (S,B(S)) est un espace mé- trique complet et séparable, alors la relative compacité est une condition nécessaire et suffisante pour la tension.

Nous nous intéressons aux théorèmes limites des processus de la forme 1

λ^{α−1α −γα} Z λt

0

f(X_s)ds, (1.1)

Mots-clés : Espace de Besov-Orlicz, Théorèmes limites, Tension, Processus stables, Temps local, Dérivée fractionnaire.

Classification math. :46E30, 60F17.

où f est la dérivée fractionnaire d’ordreγ d’une certaine fonctionghölde- rienne d’ordreδet à support compact, etX={X_t, t≥0}est un processus stable symétrique d’indice 1< α≤2. Ce genre de théorèmes limites a été étudié par Yamada [21], [22] dans le cas α= 2, (i.e.X est un mouvement Brownien), et Fitzsimmons et Getoor [10] pour le processus stable symé- trique d’indice 1 < α ≤2. Tous ces résultats sont obtenus dans l’espace des fonctions continues. Dans un autre point de vue de généralisation, Ait Ouahra et Eddahbi [2] ont étudié les résultats de Fitzsimmons et Getoor [10] dans l’espace de Hölder et Ait Ouahra et al. [1] dans les espaces de Besov standards.

Soit δ > 0 et considérons l’espace C^δ des fonctions localement hölde- riennes d’ordreδ. Pourγ ∈]0, δ[, on définit la dérivée fractionnaire d’ordre γ d’une fonction f appartenant àC^δ∩L¹(R) par

D_±^γf(x) := 1 Γ(−γ)

Z +∞

0

f(x±y)−f(x) y^1+γ dy, et on définit l’opérateurD^γ par

D^γ :=D₊^γ −D₋^γ.

Puisque la fonction y → ¹_y n’est pas intégrable à l’infini, la définition de D^γ_± doit être modifiée pourγ = 0, à savoir

D⁰_±f(x) :=− Z +∞

0

f(x±y)−f(x)1_]0,1[(y)

y^1+γ dy,

pour toute fonction f ∈ C^δ∩L¹(R) et δ >0.

On note aussi

D⁰:=D⁰₊−D⁰₋,

qui est, à une constante près, la transformée de Hilbert.

Remarque 1.1. (1) D^γ₊ etD^γ₋ vérifient l’identité de dualité suivante Z

R

f(x)D^γ₋g(x)dx= Z

R

g(x)D₊^γf(x)dx,

pour toutes fonctionsf, g ∈ C^δ∩L¹(R), etγ ∈[0, δ[.

(2) Sih:R→R eta >0, alors

D^γ_±(h_a) =a^γ(D^γ_±h)_a, ∀γ >0.

D_±⁰(ha) = (D_±⁰h)a+halog(a), où ha est la fonction définie par ha(x) =h(ax).

(3) Sif ∈ C^δ∩L¹(R) alorsDf ∈ C^δ−γ, avec D∈ {D^γ, D^γ₊, D^γ₋}pour tout 0≤γ < δ.

Pour plus de détails sur les dérivées fractionnaires, nous renvoyons le lecteur à Hardy et Littlewood [12], Titchmarsh [19], Yamada [20] et Samko et al.[18].

Soit la N-fonction Mβ définie par M_β(x) =

(

e^|x|β −1 siβ ≥1, E_β(x)−E_β(0) si 0< β <1,

où E_β(x) =E_β(−x) est le prolongement de la partie convexe de e^|x|β sur [xβ,+∞[ par sa tangente au point xβ > 0. e^|x|β change de concavité en x_β. Pour tout x ∈ R et 0 < β ≤ 1, il existe une constante C_β > 0 telle que,

e^|x|β ≤E_β(x)≤C_βe^|x|β.

Le reste de ce papier est organisé comme suit : Dans la deuxième partie, nous présentons quelques notions de base sur la théorie des espaces de Besov-Orlicz, associés à la N-fonction exponentielleMβ,β > 0. Dans la troisième partie, nous démontrons un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz pourβ ≥1. La quatrième partie est consacrée à la présen- tation d’un critère de régularité Besov-Orlicz, avec quelques applications pour certains processus gaussiens, ainsi que le temps local et sa dérivée fractionnaire du processus stable symétrique d’indice 1 < α≤2. La der- nière partie est réservée à l’étude des théorèmes limites pour les processus de la forme (1.1), dans les espaces de Besov-Orlicz pour β = 1.

2. Espaces de Besov-Orlicz

Pour la théorie de base des espaces de Besov-Orlicz, nous renvoyons le lecteur à Boufoussi [6], Ciesielski [8] et Ciesielski et al. [9]. Cependant, nous présentons un bref aperçu sur ces espaces.

Définition 2.1. Soit (Ω,Σ, µ) un espace de mesure fini. L’espace d’Orlicz L_M

β(dµ)(Ω) associé à laN-fonctionM_β, pourβ >0, est l’espace de Banach des fonctions f : Ω→Rmesurables muni de la norme

kfk_Mβ(dµ) = inf

λ>0

Z

Ω

Mβ(| f(.)

λ |)dµ(.)<1

.

Cette norme est équivalente à la norme de Luxemburg [14] donnée par kfk_Mβ = inf

λ>0

1 λ

1 +

Z

Ω

M_β(|λf(.)|)dµ(.)

.

L’espace d’Orlicz associé à laN-fonctionM(x) = ^|x|_p^p, p≥1, est l’espace de Lebesgue ordinaire L^p(Ω), muni de la normek.k^p_p=^R_Ω|.|^pdµ.

Le théorème suivant nous donne une caractérisation de la norme d’Or- liczk.k_Mβ en terme de la normek.k_p, p≥1. (Voir par exemple Ciesielski et al.[9]).

Théorème 2.2. Pour toutβ >0, il existe une constanteC_β >0telle que pour toute fonction f ∈L_Mβ(dµ), on ait

1 C_β sup

p≥1

kfk_p p^β1

≤ kfk_M

β(dµ)≤C_βsup

p≥1

kfk_p p^1β

.

Le lemme suivant et sa démonstration se trouvent dans Benchekroun et Benkirane [4].

Lemme 2.3. Soit M une N-fonction définie sur un espace de mesure fini (Ω,Σ, µ) et soit A un ouvert de Ω. Alors, pour toute fonction f ∈ L_M(dµ)(A) et g∈L^∞(A), on a

kf.gk_M(dµ)≤ kfk_M(dµ)kgk∞, avec kgk_∞= sup_x∈A|g(x)|.

Le module de continuité d’une fonction f définie sur [0,1] en norme d’Orlicz est défini pour tout h∈Rpar

ω_Mβ(f, t) = sup

|h|≤t

k∆_hfk_M

β(dx),

où dxest la mesure de Lesbegue sur [0,1] et ∆_hf(x) = 1_[0,1−h](x)[f(x+ h)−f(x)].

Définition 2.4. Pour tout 0 < µ < 1 et ν > 0, l’espace de Besov- Orlicz noté B^ω_M^µ,ν

β,∞, est l’espace de Banach des fonctions continues f ∈ L_Mβ(dx)([0,1]) muni de la norme

kfk^ω_M^µ,ν

β,∞=kfk_M

β(dx)+ sup

0<t≤1

ωM_β(f, t) ωµ,ν(t) ,

où

ωµ,ν(t) =t^µ(1 + log(1 t))^ν. Muni de cette norme, l’espace B^ω_M^µ,ν

β,∞ n’est pas séparable. Par contre, il contient un sous espace fermé et séparable noté B^ω_M^µ,ν,0

β,∞ qui correspond aux fonctionsf telles queωM_β(f, t) =o(ωµ,ν(t)), quandt→0.

Remarque 2.5. (1) L’espace d’Orlicz associé à la N-fonction M(x) =

|x|^p

p , p≥1, est l’espace de Lebesgue ordinaireL^p[0,1] muni de la normek.k_p, et nous retrouvons l’espace de Besov Standard B^ωp,∞^µ,ν

muni de la norme

kfk^ω_p,∞^µ,ν =kfk_p+ sup

0<t≤1

ωp(f, t) ω_µ,ν(t).

(2) Si p = +∞ et f ∈ C([0,1]) où C([0,1]) est l’espace des fonctions continues, alors B^ω∞,∞^µ,ν est l’espace des fonctions de Hölder C^ωµ,ν, muni de la norme

kfk^ωµ,ν = sup

0≤x≤1

|f(x)|+ sup

0≤x6=y≤1

|f(x)−f(y)|

ωµ,ν(|x−y|).

Le système de fonctions de Schauder{ϕ_j,k, j ≥0, k= 1, ...,2^j}sur [0,1]

est défini par







ϕ₀(t) =1_[0,1](t), ϕ₁(t) =t1_[0,1](t), n= 2^j+k, j≥0, k= 1, ...,2^j, ϕ_j,k(t) =ϕ_n(t) = 2.2^−2jΦ(2^jt−k), avec Φ(u) =u1_[0,¹

2](u) + (1−u)1_]¹

2,1](u).

Nous savons que toute fonctionf continue sur [0,1], se décompose dans la base de Schauder

f(t) =

∞

X

n=0

Cn(f)ϕn(t),

où la convergence est uniforme et les coefficients dans cette base sont donnés par







C0(f) =f(0), C1(f) =f(1)−f(0), n= 2^j+k, j≥0 , k= 1, ...,2^j, C_n(f) =f_j,k= 2^j2 2f(^2k−1₂j+1)−f(^2k−2

2^j+1)−f( ^2k

2^j+1).

Le théorème suivant qui est dû à Ciesielski et al. [9] caractérise la norme de Besov-Orlicz d’une fonction à l’aide de ses coefficients dans sa décom- position dans la base de Schauder.

Théorème 2.6.

kfk^ω_M^µ,ν

β,∞∼max







|C₀(f)|,|C₁(f)|,sup

j≥0

sup

p≥1

2^{−j(12−µ+p1)} p^1β(1 +j)^ν

[

2^j

X

k=1

|f_j,k|^p]^1p





 ,

f ∈B^ω_M^µ,ν,0

β,∞⇐⇒ lim

j→+∞

2^{−j(12−µ+1p)} p^β1(1 +j)^ν

[

2^j

X

k=1

|f_j,k|^p]^1p = 0.

Nous allons construire une norme équivalente à la normek.k^ω_M^µ,ν

β,∞. Pour chaque j ≥0, on définit sur T ={1, ...,2^j} la variable aléatoire réelle fj,.

définie par

fj,.(k) =f_j,k ∀ k∈T,

telle quefj,. prend chacune des valeurs{f_j,1, fj,2, .., f_j,2^j}avec la probabi- lité ₂¹j. Donc, f_j,. suit la loi uniforme discrète θdéfinie surT par

θ(k) :=θ(f_j,.=f_j,k) = 1

2^j ∀ k∈T.

Le résultat principal de cette partie est le suivant.

Théorème 2.7.

kfk^ω_M^µ,ν

β,∞∼max (

|C₀(f)|,|C₁(f)|,sup

j≥0

2^{−j(12−µ)}

(1 +j)^ν kf_j,.k_Mβ(dθ) )

,

f ∈B^ω_M^µ,ν,0

β,∞⇐⇒ lim

j→+∞

2^{−j(12−µ)}

(1 +j)^ν kf_j,.k_Mβ(dθ)= 0.

Démonstration. On note Eθ l’espérance sous la mesure de probabilité θ, kf_j,.k_p := (Eθ|f_j,.|^p)^p1 =





2^j

X

k=1

|f_j,k|^pθ(k)





1 p

= 2

−j p





2^j

X

k=1

|f_j,k|^p





1 p

.

Du Théorème 2.2, nous déduisons que kf_j,.k_Mβ(dθ)∼sup

p≥1

kf_j,.k_p p^β1

= sup

p≥1

2

−j p

p^β1





2^j

X

k=1

|f_j,k|^p





1 p

.

Donc, sup

j≥0

sup

p≥1

2^{−j(12−µ+1p)} p^β1(1 +j)^ν

[

2^j

X

k=1

|f_j,k|^p]^p1 ∼sup

j≥0

2^{−j(12−µ)}

(1 +j)^ν kf_j,.k_M

β(dθ).

La preuve du Théorème 2.7 est ainsi achevée.

3. Tension dans les espaces de Besov-Orlicz

Nous allons établir un critère de tension dans les espaces de Besov- Orlicz B^ω_M^µ,ν,0

β,∞,β ≥ 1. On va suivre la même technique utilisée dans Ait Ouahra et al. [1] dans le cas des espaces de Besov standards. Le théorème de Prohorov (voir Billingsly [5]), implique que la convergence faible d’une suite de processus stochastiques dans B^ω_M^µ,ν,0

β,∞, β ≥ 1, est équivalente à la tension plus la convergence des lois fini-dimensionnelles de cette suite dans B^ω_M^µ,ν,0

β,∞ qui est séparable, et l’injection de B^ω_M^µ,ν,0

β,∞ vers B^ω_M^µ,ν

β,∞ est continue. Donc, la convergence faible dansB^ω_M^µ,ν,0

β,∞implique la convergence faible dans B^ω_M^µ,ν

β,∞.

Lemme 3.1. Soit β >0, ε >0, 0< µ <1 etν >0. On note H_ε(f, µ, ν, M_β) = sup

0<t≤ε

ωMβ(f, t) ω_µ,ν(t) .

Soit A un espace des fonctions mesurables f : [0,1]→Rtelles que sup

f∈A

kfk^ω_M^µ,ν

β,∞<∞, (3.1)

lim sup

ε→0

sup

f∈A

H_ε(f, µ, ν, M_β) = 0. (3.2) Alors A est relativement compact dans B^ω_M^µ,ν,0

β,∞.

On a besoin du théorème suivant dont la preuve se trouve dans Kras- nosel’skii et Rutickii [13] (Théorème 11.4 - pp. 100). Ce théorème est une extension du théorème de Kolmogorov-Riesz dans les espaces d’Orlicz. Il a été generalisé par Goes et Welland [11] dans le cas des espaces de Khöte.

Théorème 3.2. On note parE_Mβ([0,1])la fermeture dansL_Mβ([0,1])de l’espace des fonctions bornées. Soit A une partie bornée dans E_Mβ([0,1]) satisfaisant :

Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour toute fonction f ∈ A,

|h|< δimplique que kf(x+h)−f(x)k_Mβ < ε. AlorsA est compacte dans E_Mβ([0,1]).

Démonstration du Lemme 3.1. D’après le Théorème 3.2, les conditions (3.1) et (3.2) impliquent queAest relativement compacte dansE_Mβ([0,1]).

Donc, pour toute suite (f_n)_n d’éléments de A, on peut extraire une sous suite, notée aussi (fn)_n, qui converge vers f ∈ E_Mβ([0,1]). Maintenant pour achever la preuve, on montre les deux points suivants

f ∈B^ω_M^µ,ν,0

β,∞, (3.3)

(f_n)_nest une suite de Cauchy dans f ∈B^ω_M^µ,ν,0

β,∞. (3.4) Démontrons (3.3). Puisque (fn)_n converge dans E_Mβ([0,1]) versf, alors (fn)_n converge vers f en norme de Luxemburg (voir Luxemburg [14]) et donc (f_n)_n converge en mesure vers f. Par conséquent, on peut choisir une sous suite, notée aussi (fn)_n, qui converge vers f presque partout.

Par application simple du lemme de Fatou, on obtient kf(.+h)−f(.)k_Mβ ≤ lim

n→∞infkf_n(.+h)−fn(.)k_Mβ

≤sup

n≥1

kf_n(.+h)−f_n(.)k_Mβ. Donc, pour tout t∈]0,1], nous avons

ωM_β(f, t)≤sup

n≥1

ωM_β(fn, t), et par (3.1), on a

sup

0<t≤1

ω_Mβ(f, t) ωµ,ν(t) ≤sup

n≥1

sup

0<t≤1

ω_Mβ(f_n, t) ωµ,ν(t) <∞.

De plus, (3.2) implique que pour tout ε >0, il existeε0 >0 tel que pour tout n≥1,

sup

0<t<ε0

ω_Mβ(f_n, t) ω_µ,ν(t) < ε.

Donc, ω_Mβ(f, t) =o(ω_µ,ν(t)), quand t→ 0. Ce qui complète la preuve de (3.3).

Montrons maintenant (3.4). Soit n, m≥0, on a kf_n−f_mk^ω_M^µ,ν

β,∞=kf_n−f_mk_Mβ+ sup

0<t≤1

ωM_β(fn−fm, t) ωµ,ν(t) .

Comme kf_n−fmk_Mβ → 0, lorsque n, m → +∞, alors pour tout ε0 >0 assez petit,

sup

0<t≤1

ω_Mβ((f_n−f_m), t) ω_µ,ν(t)

≤ sup

0<t≤ε₀

ωMβ((fn−fm), t)

ω_µ,ν(t) + sup

ε0≤t≤1

ωMβ((fn−fm), t) ω_µ,ν(t)

≤Hε0(fn−fm, µ, ν, Mβ) + 2kf_n−f_mk_Mβ min_ε0≤t≤1ωµ,ν(t)

≤H_ε0(f_n, µ, ν, M_β) +H_ε0(f_m, µ, ν, M_β) +C(µ, ν, ε₀)kf_n−f_mk_Mβ

≤3ε.

Ce qui complète la preuve du lemme.

Lemme 3.3. Soit β > 0, 0 < µ < 1 et 0 < ν < ν⁰. Alors, toute partie bornée de B^ω_M^µ,ν

β,∞ est relativement compacte dans B^ω_M^µ,ν0,0

β,∞.

Démonstration. Ce lemme est une conséquence immédiate des conditions (3.1) et (3.2) du lemme 3.1. Soit Aune partie bornée de B^ω_M^µ,ν

β,∞. Il est clair que si 0< ν < ν⁰, alorskfk^ω_M^µ,ν0

β,∞≤ kfk^ω_M^µ,ν

β,∞ce qui implique (3.1).

Pour (3.2), on a

H_ε(f, µ, ν⁰, M_β) = sup

0<t≤ε

ωM_β(f, t)

ωµ,ν⁰(t) ≤ sup

0<t≤ε

ωM_β(f, t)

ωµ,ν(t) ω_0,ν−ν⁰(t)

≤H_ε(f, µ, ν, M_β)ω_0,ν−ν⁰(t)≤ kfk^ω_M^µ,ν

β,∞ω_0,ν−ν⁰(t), ce qui entraîne que Hε(f, µ, ν⁰, M_β) → 0 lorsque ε → 0 car ν⁰ −ν > 0 et le lemme précédent implique que A est relativement compacte dans B^ω_M^µ,ν0,0

β,∞.

Lemme 3.4. Soit(X_tⁿ:t∈[0,1])n≥1 une suite de processus stochastiques définies sur (Ω,Σ, P) satisfaisant les hypothèses suivantes

(1) X₀ⁿ= 0, pour tout n≥1.

(2) Il existe une constante C >0 telle que pour tous t, s∈[0,1] on a, kX_tⁿ−X_sⁿk_M

β(dP)≤C|t−s|^µ. (3.5)

Alors, la famille des lois de (X_tⁿ:t∈[0,1]) est tendue dans B^ω_M^µ,ν,0

β,∞, pour tous β≥1, 0< µ <1 et ν >1.

La preuve du Lemme 3.4 repose sur le lemme suivant dû à Marcus et Pisier [15].

Lemme 3.5. Soit T = {1,2, ..., N} et soit {Z(t), t ∈ T} un processus stochastique défini sur (Ω,Σ, P) qui satisfait

kZ(t)k_M

β(dP)≤d, ∀t∈T.

Alors, pour tous β etβ⁰ tels que1≤β ≤β⁰ ≤ ∞, on a EkZ(t)k_M

β0(dτ)≤d C_β (log(N))

1 β−¹

β0

,

où dτ est une mesure de probabilité surT etC_β est une constante positive qui dépend seulement de β.

Démonstration du Lemme 3.4. Nous allons prouver que pour toutν >1, il existe une constante C > 0, telle que pour tout n ≥ 1, λ > 0 et 1< ν⁰< ν,

PⁿkX_.ⁿk^ω_M^µ,ν0

β,∞> λ^o≤ C λ.

La dernière inégalité entraîne que pour toutε >0, il existeλ0 assez grand tel que

PⁿkX_.ⁿk^ω_M^µ,ν0

β,∞> λ₀^o≤ε, ∀n≥1.

D’après la caractérisation du Théorème 2.7, il suffit de prouver que I=P

( sup

j≥0

2^{−j(12−µ)}

(1 +j)^ν0kX_j,.ⁿk_Mβ(dθ)> λ )

≤ C

λ, ∀n≥1, avec

X_j,.ⁿ(k) =X_j,kⁿ = 2^j2{2Xⁿ2k−1 2j+1

−Xⁿ2k−2 2j+1

−Xⁿ2k 2j+1

}.

Par application de l’inégalité de Tchebeshev, on a I≤ 1

λ X

j≥0

2^{−j(12−µ)}

(1 +j)^ν0EkX_j,.k_Mβ(dθ).

La condition (3.5) du Lemme 3.4 implique que pour touth∈Rett∈[0,1]

tel que t+hett−hrestent dans [0,1], il existe une constanteC >0 telle que,

k2X_t−X_t+h−Xt−hk_M

β(dP)≤Ch^µ.

En particulier, pour t= ^2k−1_2j+1 eth= _2j+1¹ , on obtient kX_j,kk_Mβ(dP)≤C2^j(12−µ).

Le Lemme 3.5 appliqué au processus {Z(k) = X_j,k, k ∈ T} pour T = {1, ...,2^j}, β = β⁰ et d = C2^j(12−µ), implique qu’il existe une constante C_β >0 telle que

EkX_j,.k_Mβ(dθ)≤C_β2^j(12−µ). Donc,

I≤ C_β λ

X

j≥0

1

(1 +j)^ν0 ≤ C

λ, ∀ν⁰ >1.

Ce qui termine la preuve du lemme.

4. Régularités Besov-Orlicz

Le résultat suivant caractérise la régularité des processus dans les espaces de Besov-Orlicz. Il se démontre avec la même technique utilisé dans la preuve du Lemme 3.4.

Lemme 4.1. Soit {X_t, t ∈ [0,1]} un processus stochastique défini sur (Ω,Σ, P). Supposons qu’il existe une constante C >0 telle que pour tous t, s∈[0,1] et β≥1 on ait,

kX_t−Xsk_M

β(dP)≤C|t−s|^µ.

Alors, la trajectoire t → Xt appartient p.s à l’espace de Besov-Orlicz B^ω_M^µ,ν,0

β,∞ pour tout ν >1.

Nous présentons par la suite quelques applications du Lemme 4.1.

4.1. Régularité des processus gaussiens

Lemme 4.2. Soit {X_t, t∈[0,1]} un processus gaussien centré tel que, E(Xt−Xs)² ≤C|t−s|^2µ.

Alors, la trajectoire t → X_t appartient p.s à l’espace de Besov-Orlicz B^ω_M^µ,ν,0

2,∞, ∀ν >1.

Démonstration. D’après Lemme 4.1, il suffit de montrer qu’il existe une constante C >0 telle que

kX_t−X_sk_M2(dP)≤C|t−s|^µ.

D’après la Remarque 3.2 de Marcus et Pisier [15], si{X_t, t∈[0,1]}est un processus gaussien centré, alors il existe une constante C >0 telle que

kX_t−Xsk_M2(dP)≤C(E|X_t−Xs|²)¹². Donc,

kX_t−Xsk_M2(dP)≤C|t−s|^µ.

4.2. Cas particuliers

(1) Dans le cas d’un mouvement Brownien fractionnaire {B_t^H, t ∈ [0,1]}de paramètre de HurstH ∈]0,1[, on a

E(B_t^H−B_s^H)² =C|t−s|^2H.

Donc, la trajectoire t → B_t^H appartient p.s à l’espace de Besov- OrliczB^ω_M^H,ν,0

2,∞, ∀ν >1.

(2) Pour H = ¹₂, B¹² est un mouvement Brownien standard. Donc, la trajectoire t → Bt appartient p.s à l’espace de Besov-Orlicz B

ω1 2,ν,0

M2,∞, ∀ν >1.

4.3. Régularité du temps local

Soit X = {X_t, t ≥ 0} un processus stable symétrique d’indice 1 <

α ≤2, issu de 0, i.e. le processus càdlàg à accroissements indépendants et stationnaires, de fonction caractéristique définie par

Eexp(iλXt) = exp(−t|λ|^α), ∀t≥0, λ∈R. Pour α= 2 , X est un mouvement Brownien.

Pour tout t >0, on définit la mesure d’occupation µ_t(.) par µt(A) =

Z t 0

1_A(Xs)ds,

où A∈Rest un borélien deRet 1_Aest la fonction indicatrice deA. Il est bien connu d’après Boylan [7] et Barlow [3], que la mesureµt(.) admet, par

rapport à la mesure de Lebesgue, une densité notée L(t, x). Le processus {L(t, x), t≥0, x∈R} est appelé le temps local du processusX. De plus, L(t, x) possède une version p.s continue entetx qui vérifie la formule de densité d’occupation

Z t 0

f(X_s)ds= Z

R

f(x)L(t, x)dx,

pour toute fonction borélienne bornée, et la propriété de scaling nL(λt, xλ^α1)^o

t≥0 L ⁿλ^1−α1L(t, x)^o

t≥0, ∀λ >0.

Lemme 4.3. Pour tous x, y∈R⁺, t, s∈[0,1] etp≥1, on a kL(t, x)−L(t, y)k_2p ≤Cα((2p)!)^2p1 t^α−12α |x−y|^α−12 , kL(t, x)−L(s, x)k_p ≤C_α⁰((p)!)^1p|t−s|^α−1α ,

où, C_α et C_α⁰ sont deux constantes positives et k.k_p= (Ep|.|^p)^1p.

Lemme 4.4. La trajectoire t → L(t, x) appartient p.s à l’espace de Be- sov standard B

ωα−1 α ,ν,0

p,∞ pour tout ν > ¹_p et tout |x| ≤ M, où M est une constante positive.

Lemme 4.3 est dû à Marcus et Rosen [16], et Lemme 4.4 est dû à Ait Ouahra et al. [17]. Nous allons démontrer le résultat suivant.

Lemme 4.5. La trajectoiret→L(t, x)appartient p.s à l’espace de Besov- Orlicz B

ωα−1 α ,ν,0

M1,∞ pour tout ν > 1 et |x| ≤ M, où M est une constante positive.

Démonstration. D’après Lemme 4.1, il suffit de montrer que pour tous x∈R, 0≤t, s≤1, il existe une constante C(α)>0 telle que,

kL(t, x)−L(s, x)k_M1(dP) ≤C(α)|t−s|^α−1α (4.1) En effet, d’après Théorème 2.2 et Lemme 4.3, il existe Cβ >0 telle que

kL(t, x)−L(s, x)k_Mβ(dP)≤Cβsup

p≥1

kL(t, x)−L(s, x)k_p p^β1

≤C(α, β) sup

p≥1

((p)!)^1p p^β1

|t−s|^α−1α .

Or, p!≤p^p. Donc, ((p)!)^1p ≤ p, ce qui implique que ^((p)!)

1p

p

1 β

≤ p^1−1β. Par, conséquent, pour tout 0< β≤1, on a

kL(t, x)−L(s, x)k_Mβ(dP)≤C(α, β)|t−s|^α−1α ,

et puisque Lemme 3.5 s’applique pour tout β ≥1, et comme on a trouvé 0< β≤1, alors, β = 1 et dans ce cas, on trouve que

kL(t, x)−L(s, x)k_M1(dP)≤C(α)|t−s|^α−1α .

4.4. Régularité de la dérivée fractionnaire

Lemme 4.6. Soit 0≤γ < ^α−1₂ . Alors, pour tous 0≤t, s≤1, x ∈R, et p≥1, on a

kD^γL(t, .)(x)−D^γL(s, .)(x)k_2p ≤C(α, γ)((2p)!)^2p1 |t−s|^{α−1α −αγ}, où C(α, γ) est une constante positive qui dépend seulement de α etγ. Lemme 4.7. Soit 0 ≤ γ < ^α−1₂ et D ∈ {D^γ, D⁰, D₊^γ, D^γ₋}. Alors, la trajectoire t→DL(t, .)(x) appartient p.s à l’espace de Besov Standard

B

ωα−1 α −γ

α ,ν

,0 p,∞

pour tout ν > ¹_p et|x| ≤M, où M est une constante positive.

La preuve du Lemme 4.6 se trouve dans Ait Ouahra et Eddahbi [2] et celle du Lemme 4.7 dans Ait Ouahra et al. [1]. Nous allons démontrer le lemme suivant.

Lemme 4.8. Soit 0 ≤ γ < ^α−1₂ et D ∈ {D^γ, D⁰, D₊^γ, D^γ₋}. Alors, la trajectoire t→DL(t, .)(x) appartient p.s à l’espace de Besov-Orlicz

B

ωα−1 α −γ

α ,ν

,0 M1,∞

pour tout ν >1 et |x| ≤M, oùM est une constante positive.

Démonstration. On va traîter seulement le cas de D=D^γ. Les autres cas se traîtent de la même façon. D’après Lemme 4.1, il suffit de montrer que pour tous 0≤t, s≤1 et x ∈R, il existe une constante C⁰(α, γ)>0 telle que,

kD^γL(t, .)(x)−D^γL(s, .)(x)k_M1(dP)≤C⁰(α, γ)|t−s|^{α−1α −γα} (4.2)

On va suivre la même technique utilisée dans la preuve du Lemme 4.5. En effet, d’après Lemme 4.6 et puisque la normek.k_p est croissante enp, alors Théorème 2.2 implique que pour tout 0 < β ≤1, il existe une constante C_β >0 telle que

kD^γL(t, .)(x)−D^γL(s, .)(x)k_Mβ(dP)

≤C_βsup

p≥1

kD^γL(t, .)(x)−D^γL(s, .)(x)k_p p^β1

≤C(α, γ) sup

p≥1

((2p)!)^2p1 p^1β

|t−s|^{α−1α −αγ}

≤C⁰(α, γ)|t−s|^{α−1α −γα}.

Or, Lemme 3.5 est appliqué pour tout β ≥ 1, et comme on a trouvé 0< β≤1, alors β = 1, et dans ce cas, on trouve que

kD^γL(t, .)(x)−D^γL(s, .)(x)k_M1(dP)≤C⁰(α, γ)|t−s|^{α−1α −αγ}.

5. Théorèmes limites

Dans cette section, nous allons étudier, dans la classe des espaces de Besov-OrliczB^ω_M^µ,ν,0

1,∞, des théorèmes limites pour les processus de la forme 1

λ^{α−1α −γα} Z λt

0

f(X_s)ds,

où f est une dérivée fractionnaire d’une certaine fonction g hölderienne d’ordre δ et à support compact.

Théorème 5.1. Soit 0 < γ < δ < ^α−1₂ et f = D₊^γg, où g ∈ C^δ est une fonction à support compact. Alors, la suite des processus

1 n^{α−1α −γα}

Z nt 0

f(Xs)ds

t≥0

,

converge en loi, lorsque n→+∞, vers le processus

( Z

R

g(x)dx)D^γ₋L(t, .)(0)

t≥0

.

La convergence a lieu dans l’espace de Besov-Orlicz B

ωα−1 α −γ

α ,ν

,0

M1,∞ ,∀ν >1.

Théorème 5.2. Soit δ > 0 et f =D⁰₊g , où g ∈ C^δ est une fonction à support compact. Alors, on a

(1) la suite des processus ( 1

n^α−1α log(n) Z nt

0

f(Xs)ds )

t≥0

,

converge en loi, lorsque n→+∞, vers le processus

−α⁻¹( Z

R

g(x)dx)L(t,0)

t≥0

.

(2) la suite des processus 1

n^α−1α Z nt

0

(f(X_s) +α⁻¹log(n)g(X_s))ds

t≥0

,

converge en loi, lorsque n→+∞, vers le processus

( Z

R

g(x)dx)D⁰₋L(t, .)(0)

t≥0

.

Ces convergences ont lieu dans l’espace de Besov-Orlicz B

ωα−1 α ,ν,0 M1,∞ pour tout ν >1.

Démonstration du Théorème 5.1. Notons Aⁿ_t = 1

n^{α−1α −αγ} Z nt

0

f(Xs)ds.

D’après Fitzsimmons et Getoor [10], la famille{Aⁿ_t, t≥0}_n≥1 converge en loi vers le processus (^R

Rg(x)dx)D^γ₋L(t, .)(.) _t≥0 dans l’espace des fonc- tions continues. Donc, on a la convergence des lois fini-dimensionnelles de {Aⁿ_t, t ≥ 0}_n≥1. Il reste à montrer que cette famille est tendue dans B

ωα−1 α −γ

α ,ν

,0

M1,∞ pour tout ν > 1. Pour cela, il suffit d’après Lemme 3.4, de montrer qu’il existe C >0 telle que pour tous 0≤t, s≤1 on ait,

kAⁿ_t −Aⁿ_sk_M1(dP)≤C|t−s|^{α−1α −αγ}.