Correction
Terminale ES/L
Suites
Durée 1,5 heure - Coeff. 7 Noté sur 20 points
Exercice 1. QCM d’après Bac 3 points
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
La sommeS=2+22+23+ · · · +220est égale à :
a. 1−220 b. 221−2 c. 2−221 d. 220−1
Question 1
On reconnait la somme des 20 premiers termes de la suite géométrique de premier termeu0=2 et de raison 2 :
S=1er terme×1−qnb termes 1−q
=2×1−220 1−2
= 2
−1ס 1−220¢
= −2ס 1−220¢ S= −2+221
Preuve
La suite géométrique (un) de premier termeu1=34 000 et de raisonq=1,05 est de terme général : a. 32 380,95×1,05n b. 34 000×1,05n c. 34 000×1,05n−1 d. 35 700×1,05n Question 2
La suite géométrique (un) de premier termeu1=34 000 et de raisonq=1,05 est de terme général, pour tout entiern≥1 :
un=up×qn−p un=u1×qn−1 un=34 000×1,05n−1
Preuve
La suite (un) est la suite géométrique de premier termeu0=5 et de raison 1 2. La sommeS=u0+u1+ · · · +u9est égale à :
a. 5ס
1−0,59¢
b. 10ס
1−0,510¢ c. 10ס
1−0,59¢
d. 5ס
1−0,510¢ Question 3
La suite (un) est la suite géométrique de premier termeu0=5 et de raison 1
2, alors la somme de ses 10 premiers termes est donnée par :
S=1er terme×1−qnb termes 1−q
=u0×1−0,510 1−0,5
=5×1−0,510 0,5 = 5
0,5ס
1−0.510¢ S=10ס
1−0.510¢
Preuve
Exercice 2. 2 points
La suite (un) est la suite géométrique de premier termeu0=2 et de raison 1,1. Calculer la sommeS=u0+u1+ · · · + u25en donnant la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.
La suite (un) est la suite géométrique de premier termeu0=2 et de raison 1,1, alors la somme de ses 26 premiers termes est donnée par :
S=1er terme×1−qnb termes 1−q
=u0×1−1,126 1−1,1
=2×1−1,126
−0,1 S=20ס
1−1,126¢
≈218,36
Exercice 3. D’après BAC 15 points
On considère la suite(un)définie par u0=65et pour tout entier naturel n : un+1=0,8un+18.
1. Calculeru1etu2.
n 0 1 2
un 65 u1=0,8×65+18=70 u2=0,8×70+18=74 2. Pour tout entier natureln, on pose :vn=un−90.
2. a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur dev0. Les suites (un) et (vn) sont définies pour tout entiernpar :
(un) :
( u0 =65
un+1 =0,8×un+ 18
¯
¯
¯
¯
¯ (vn) :
( v0
vn =un−90 Pour tout entiernon a :
vn+1=un+1−90
vn+1=(0,8un+18)−90 vn+1=0,8×un−72 vn+1=0,8×
µ
un+−72 0,8
¶
vn+1=0,8×(un−90) vn+1=0,8×vn
La suite (vn) est donc une suite géométrique de raisonq=0,8, et de premier termev0= −25 puisque : v0=u0−90
v0=65−90 v0= −25 Soit :
(vn) :
( v0 = −25 vn+1 =0,8×vn
;∀n∈N
2. b. Démontrer que, pour tout entier natureln:un=90−25×0,8n.
La suite (vn) est géométrique de raisonq=0,8, et de premier termev0= −25 donc son terme général est
∀n∈N;vn=v0ס q¢n
Soit
∀n∈N;vn= −25×(0,8)n
De l’égalité définie pour tout entiern:
vn=un−90 On peut en déduire l’expression :
un=vn+90 Soit :
∀n∈N;un= −25×(0,8)n+90 3. Variations.
3. a. Déterminer les variations de la suite (vn).
La suite (vn) est géométrique, de premier terme négatif, et de raisonq=0,8∈]0 ; 1[. Elle est donc strictement croissante.
3. b. En déduire celles de la suite (un).
Pour tout entiernon a :
un+1−un=(vn+1+90)−(vn+9)=vn+1−vn>0
Car on vient de montrer que la suite (vn) était croissante, doncvn+1−vn est positif ce qui implique que un+1−un l’est aussi. Donc la suite (un) est aussi croissante.
4. Limites.
4. a. Déterminer la limite de la suite (vn).
Si le réelqest tel que :−1<q<1 on a : lim
n→+∞ qn=0.
Théorème 1
Ici−1<q=0,8<1 et d’après le théorème 1 on a : lim
n→+∞ (0,8)n=0 . Donc :
nlim→+∞ −25×(0,8)n=0=⇒ lim
n→+∞ vn=0 4. b. En déduire celle de la suite (un).
Puisque pour tout entiernon a :un=vn+90 on a alors : ( lim
n→+∞ vn=0 un=vn+90
=⇒ lim
n→+∞ un=90 5. Á l’aide de la calculatrice, résoudre l’inéquation :unÊ85.
n 7 8
un 84.757<85 85.806>85
Puisque le suite (un) est croissante, les solutions de l’inéquation sont les entiers supérieurs ou égaux à 8.
6. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de52epar mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio. En juillet 2017,65particuliers ont souscrit cet abonnement.
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :• d’un mois à l’autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;• chaque mois,18particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.
6. a. Justifier que la suite (un) permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio len-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
• Au mois de juillet, 65 particuliers ont souscrit à l’abonnement doncu0=65.
• D’un mois sur l’autre, environ 20% des abonnements sont résiliés et 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.
Donc le nombre d’abonnés au panier bio len+1-ième mois qui suit le mois de juillet 2017, s’obtient en conservant 80% desunabonnés du mois précédent et en en ajoutant 18 soit :
un+1=0,8un+18
• Conclusion : la suite (un) permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio len-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
6. b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420edurant l’année 2018? Justifier la réponse.
On cherche à savoir si la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420edurant l’an- née 2018. Puisque Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52e par mois et que la suite (un) permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio len-ième mois qui suit le mois de juillet 2017, la recette mensuelle est de :
52×un
On cherche donc à résoudre, pournentier entre 6 et 17 (de janvier 2018 pourn=6, à décembre 2018 pour n=17) l’inéquation :
52×un≥4420e⇐⇒ un≥4420 52 =85
On reprend alors le résultat obtenu lors de la question (3.) un≥85⇐⇒ n≥8
Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va dépasser 4 420een mars 2018 (pour n=8).
6. c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette? Argumenter la réponse.
On a montré que :
nlim→+∞un=90
À partir d’un certain nombre de mois, le nombre d’abonnés sera chaque mois proche de 90 ce qui corres- pond à une recette :
90×52e=4680e La recette mensuelle de la société Biocagette tend vers 4680 euros.
