Terminale S Devoir surveillé n◦1 Lundi 27 septembre 2004 Exercice 1 :(7 points)
On définit les suites(an)et (bn)para0= 1, b0= 7et :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
an+1= 1
3(2an+bn) bn+1=1
3(an+ 2bn) SoitD une droite munie d’un repère³
O;−→i´ .
Pour toutn∈N, on considère ls pointsAn etBn d’abscisses respectivesan etbn. 1. Placer les pointsA0, B0, A1, B1, A2 etB2,
2. Soit(un)la suite définie parun=bn−an pour toutn∈N. Démontrer que(un)est une suite géométrique de raison 1
3 dont on précisera le premier terme.
Exprimerun en fonction den.
3. Compareran etbn.Etudier le sens de variation des suites(an)et(bn).Interpréter géométriquement ces résultats.
4. Démontrer que les suites(an)et(bn)sont adjacentes.
5. Soit(vn)la suite définie parvn =bn+an pour toutn∈N. Démontrer que la suite(vn)est une suite constante.
En déduire que tous les segments[AnBn]ont même milieuI.
6.Justifier que les suites(an)et(bn)sont convergentes et calculer leur limite. Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice 2 :(7 points)
Pour tout entier natureln,on considère la fonctionfn définie sur]−1; +∞[ par :
⎧⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎩
pour n= 0, f0(x) = 1
√1 +x3 pourn≥1, fn(x) = x3n
√1 +x3
On désigne par (Cn) la courbe représentative defn dans un repère orthonormal ³
O;−→i ,−→j´
ayant pour unité graphique 4 cm.
1.1.Déterminer les limites def0 aux bornes de son ensemble de définition.
1.2.Etudier le sens de variation de f0.
1.3.Construire(C0)dans le repère orthonormal³
O;−→i ,−→j´ . 2. Soitnun entier naturel non nul.
2.1.fn0 désignant la fonction dérivée defn,démontrer quefn0(x) =x3n−1£
(6n−3)x3+ 6n¤ 2 (1 +x3)√
1 +x3 2.2.Dresser le tableau de variation def1 et tracer(C1)(sur le même repère que(C0)) 2.3.Dresser le tableau de variation def2 et tracer(C2)( à nouveau sur le même repère) Exercice 3 :(7 points)
Soit la suite(un)définie paru0 et par la relation de récurrence :un+1=√ 3un+ 4 1.1.Etudier rapidement (variations limites) la fonctionf(x) =√
3x+ 4et tracer sa courbe sur l’intervalle
¸−4 3 ; +∞
∙ . 1.2.Faire un diagramme en chemin et conjecturer la limite de convergence de la suite(un)en fonction de u0.
2.On suppose maintenantu0= 0.
2.1.Montrer que(un)est majorée par 4.
2.2.Montrer que(un)est strictement croissante.
2.3.En déduire que(un)est convergente et déterminer sa limite.
3. Montrer que pour tout entier natureln,4−un+1≤ 1
2(4−un)et retrouver le résultat précédent.
