Ire annee ues

Mat

Stirie E. Ramis

Claude Deschamps Andre Warusfel

Fran�ois Moulin. Jean Fran�ois Ruaud Anne Miquel ^• Jean-Claude Si

f

^re

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Ire annee

2' edition

Mathematiques

TOUT-EN-UN elTeannee

Cours et exercices corri!es

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DUNOD {DiTWR DE $AVOIIIS

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Mathematiqlles

TOUT-EN-UN

^•

lIe annee (ours et exercices coni!es

MPSI· PCSI

Sous fa direction de

Claude Deschamps ^,t Andre Warusfel

Fran�ois Moulin

Ancien eleue de {'tcole Normale Supirieure de fa rue d'Ufm Professeur de Mathimatique! Speciafes MP'

au Iyete priu€ Sainte-Genevieve

Anne Miquel

Ancienne tletle de /'teole poly technique Professeur de Mathimatiques Supirieures IAPSI

au /yete louis-Ie-Grand

Jean Fran�ois Ruaud

Ancien eleve de /'Ecole Normale Superieure de la rue d'ufm Professeur de Mathimatiques Speciales MP

au Iyeee Saint-louis

Jean-Claude Sifre

Ancien Heve de Neole po/ytechnique Pro/emur de Mathimatiques Sp€ciafes PC'

au Iycie Louis-Ie-Grand

2'edition

Nouveau tirage corrige

DUNOD

Edmond Ramis. ancien eleve de l'Ecole Normale Superieure de la rue d'Ulm, a ete pro(esseur de Mathematiques Speciales au Iycee Louis-Ie-Grand,

puis Doyen de I'lnspection generale de mathematiques.

Couverture: Bruno loste

Ce pidogromme rnerile une e><plioolion. etobli�ts d'enseignement wperieur.

Son obilll est d'olertet- Ie iecleur our pr<:HOqJOnt une bo;� bruIaIe del ochoIs 10 menoce que represent.. pour l'ovel1;' de livre. et do. ^I_I, ou point que 10 de I'eeril, porticulieremen! dOlls pos.sibilil& mime pour � wteurs

• -;� � ^{niqJe <II} universitoire, Ie � ^I�;��'

[�l ®

^{��d.��.} de Ie. loire icliler correcternent

pemenl mo .. if du photo- est OJioum'hui menace...

eopilloge.

^' Nou. roppelon. done que

le Code de 10 p<op<.ete lOuie reproduction, portieRe OJ

intelleduelle du I- ju,lIet 1992

� �

^{k*lIe, de 10} p<iser.Ie publicoIKln inte<dit en efret ""f)r&ssement 10 est inierdile 500S oYlOrisotioo du pI>otOC<lpie <i usoge collectif Centre froncois d'&><pIoitonon du

!<Ins outorisooo., des oyonts droit. Or, droit de cop;.. (CK, 20 rue des Grorxh- celie pm�q"" s'",1 gene.^oli"'" do", � Aug.lItinl, 75006 Pori,).

© Dunod,

Paris, ₂₀₀₃

©

Dunod, Paris, 1999 pour la premiere edition

ISBN9782 10007944

5

Toute representation ou reproduction integrale ou partielle faite sans Ic consentement de I'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite scion Ie Code de 13 proprictc intellct:tuelle (Art L 122-4) ct constitue une contref�on reprimee par Ie Cooe penal. • $cules son! autorisees lArt L 122-5) Ics copies ou reproductions strictemcnt rcservees a I'usage privc du copis!c et non tlestinccs a une utilisation <.:ollcctivc, ainsi quc les analyses et (ourtcs citatioos justitiees par Ie caractere critique, pCdagogique ou tl'information de I'ceuvre ii laquelle elles sont incorportes. SOlIS reserve, toutcfois. du respect des dispositions des articles L 122-10:i L 122-12 tlu meme Code, relatives ilia

reproduetioo par reprograpbie.

Preface

Ce nouveau cours de mathematiques superieures et speciales est Ie resultat d'un triple pari:

• Les modifications substantielles apportees au systeme de classes prepara­

toires aux grandes €coles scientifiques exigeaient qu'a cote du cours c1assique con�u et dirige par

EDMOND RAMlS

vienne s'adjoindre une sene adaptee aux donnes actuelles, profondement differente, mais qui reste comparable quant a la qualite scientifique et pedagogique recannue de ce modele -ce defi n'etant pas Ie plus mince de ceux que oous avions

a

_relever.

• L'etat d'esprit nouveau resultant notamment de la contraction des horaires demandait que ceUe serie reponde a deux exigences :

couvnr tout Ie programme, mais rien que Ie programme;

fournir

it

I'etudiant un ouvrage de reference, clair et precis, completant Ie cours du professeur plus irrempla�able que jamais.

• Faire tenir expose et exercices (avec corriges succincts) en un seul volume de format maniable pour chacune des deux annees.

Le

succes rem porte par les trois premiers tirages de ce volume ainsi que par les deux premiers tirages de I'ouvrage de seconde annee montre que ce pari n'etait pas absurde. La qualite de I'equipe et son aptitude a meier limpidite et fluidite (autant que Ie sujet Ie permet) se retrouvent, croyons-nous, dans ceUe nouvelle edition, largement transformee pour satisfaire Ie plus exactement possible aux exigences de la refonte des programmes de MPSr et resr.

Certes, quelques entorses aces principes sont visibles ci--et-Ia. : des preuves tres elementaires des theoremes (comme par exemple celui de d' Alembert--Gauss) figurent dans Ie cours de premiere annee, et depassent la norme ci-dessus. Nous avons pense que leurs roles culturels importants justifiaient ces accrocs

a

^{la regie}

fixee. Cela dit, elles n'impliquent en rien que nous suggerions leur etude en cJasse; au contraire, leur presence dans un ouvrage de reference peut aider Ie

vi

^PREFACE

professeur a l'etroit dans Ie carcan des horaires, qui se sentira moins coupable d'abandonner des demonstrations hautement instructives qu'il avait peut--etre I'habitude d'offrir a ses etudiants.

Bien entendu, les parties figurant seulement au programme de la MPSI et les commentaires destines aux etudiants de pesl sont c1airement distingues par des symboles dans la marge ( MPSI et PCSI). La encore, Ie fait que des eleves ame­

nes a recevoir un cours moins etendu aient en leur possession, sous une forme commode, les complements traites par leurs camarades de MPS) n'est pas une in­

citation a deborder des limites posees, mais seulement un element securisant, in­

teressant pour ceux qui veulent consulter un peu au-dela du necessaire, comme lorsqu'on se reporte a une encyclopedie pour enrichir sa culture personnelle.

Cet ouvrage est largement iIlustre d'exemples aidant a la bonne comprehension des concepts developpes. Lorsque ces exemples font appel a des notions intro­

duites plus loin, ils sont reperes par Ie symbole

+

dans la marge et peuvent etre laisses de cote lors d'une premiere lecture.

Au-dela du contenu de ce volume et dans I'etat d'esprit que nous venons d'evo­

quer, la consultation des livres de la sene-mere, ainsi que celie d'autres ouvrages fram,;ais et etrangers, permettra s'iJ en est besoin de jouir d'un panorama plus large sur certains points; cela dit, ce tome suffit evidemment totalement pour ce qui est du strict programme des classes de premiere annee.

Qu'iJ nous soil permis de remercier ici JACK-MICHEL CORNll _et PHILIPPE TE5TUD, qui retrouveront dans ces pages une partie de leurs idees interessantes, et sans qui la redaction aurait ete plus difficile et penible. Naturellement -et ce n'est pas une formule de style - tout lecteur qui repererait, en depit des relec­

tures farouches de toute I'equipe (assistee notamment par MICHEL COLIN), _telle ou telle erreur, ou qui proposerait telle ou telle simplification positive, sera Ie bienvenu. Nous Ie remercions par avance de nous aider

a

mieux gagner, pour Ie bien de tous, notre ambitieux challenge: aider les etudiants des classes prepa­

ratoires

a

maitriser les mathematiques indispensables a la suite de leur carriere, et prouver que, comme un arbre ayant subi une taille plutot severe, notre disci­

pline incontournable peut et doit, encore aujourd'hui, apporter une contribution essentielle

a

la formation des scientifiques de demain.

Claude DESCHAMPS et Andre WARUSFEL

Table des matieres

o

I

1

Vocabulaire et notations

1. Ensembles usuels de nombres

1.1

Notations. . . .

1.2 Relations d'ordrc ...

1.3

InteTValles ...

2.

Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications 2.1 Propositions mathematiques

2.2 Ensembles ....

2.3 Applications ... . 3. Entiers, denombrement

3.1 Entiers naturels, recurrence 3.2 Ensembles finis, denombrement 4. Structures algebriques usuelles . .

4.1 Lois de composition interne sur un ensemble E 4.2 Groupes . ^. . . .

4.3 Anneaux el corps . 4.4 Espaces vectoriels .

Pour commencer ...

Les nombres complexes

1. Le corps des nombres complexes 1.1 Definition . . . . ^. 1.2 Conjugu� d'un nombre complexe 1.3 Module d'un nombre complexe .

1.4 Arguments d'un complexe non nul, forme Irigonometrique

1.5

Exponenlielle complexe . . . 2. Applications

a

la t

r

igo

n

ometrie . . . . .

2.1 Linearisation de cos'"

8

sin" 8 . . .

2.2 Expression de cos

n8

et sin nI) en fonction de cos tJ et sill ^tJ 2.3 Expression de

tan ⁿ⁸

en fonction de

tall 0 .

. . .

1 ] ] 2 3 3 3 4 4 6 6 7 7 8 8 10 11

17

19 19 19 21 22 24 29 31 32 32 33

viii 3.

4.

Resolution d'equations algebriques dans (

3.1 Equation du second degre dans ( . . . 3.2 Racines n

tmes

d'un nombrc complexe

Applications ^a la geometrie . .. . .

. 2

Geometrie plane

1.

Definitions, Notations . . .

2.

Modes de reperage d'un point

2.1 Coordonnees cartesiennes . 2.2 Affixes ...

2.3 Coordonnees polaires . . .

3. Produit scalaire . . .

. 3.1 Proprietes du produit scalaire 3.2 Projection sur une droite . 4.

Determinant et angles orientes

4.1 Orientations du plan . 4.2 Angle oriente . .

. .

^{. .}

4.3 Determinant de deux vecteurs . 4.4 Proprietes ...

4.5 Application a la resolution d'un systeme . 4.6 Exemple d'ulilisalion des complexes 4.7 Angles de droites

5.

Reperes cartesiens . . .

6.

7.

8.

5.1 Definition . . . 5.2 Changement de repefe

Droites . . .

6.1 Representations analytiques . 6.2 Orthogonalite...

6.3 Mediatrice . .

. .

^.

.

6.4 Distance d'un point a une droite .

Cercles . . .

7.1 Generalites ... ^. 7.2 Droites et cercles . . . 7.3 Intersection de cercles . 7.4 Cercles et angles ...

7.5 Exemples de lignes de niveau

Transformations remarquables du plan

8.1 Translations, homotheties 8.2 Rotations . . . . . 8.3 Similitudes directes 8.4 Symctries . 8.5 Inversions

TABLE DES MATIERES

34 34 39 41

47 47 49 49 50 52 54 54 57 58 58 59 60 61 63 65 67 67 67 69 69 69 73 75 75 77 77 79 80 82 84 87 87 89 90 92 93

TABLE DES MATIERES

3

4

Geometrie dans

l'espace

1. Definitions, Notations . . . 2. Modes de representation d'un point

2.1 Coordonnees cartesiennes . 2.2 Coordonnees cylindriques 2.3 Coordonnees spheriques 3. Orthogonalite et produit vectoriel

3.1 Vecteurs orthogonaux a deux vecteurs non colineaires 3.2 Proprietes du produit vectoriel

3.3 Bases orthonormees .

3.4 Orientation . . . . . ^. . . . .

3.5 Interpretations geometriques du produit vedoriel 3.6 Produit mixte, determinant

3.7 Coplanearite ...

4. Droites et plans .. . . . ... . . . 4.1 Representations parametriques

4.2

Eq

uations cartesiennes . . . . 4.3 Intersection d'une droite et d'un plan

4.4 Projections orthogonales, distance a une droite ou a ^{un plan} 4.5 Perpendiculaire commune

4.6 Angles ..

5. Spheres

5.1 Generalites 5.2 Plan et sphere . 5.3 Droite et sphere . 5.4 Intersection de spheres

Fonclions

usuelles

1. Fonctions logarithmes et exponentielles 1.1 Logarithme neperien . . . . . . 1.2 Exponcntidle . . . . . . . . ^{. .}

1.3 Representation graphique des fonctions logarithme neperien et ex- ponentielle . . . ^. . . . . . . . . ^. . . . . . .

1.4 Logarithmt.'S et exponentielles de base quelconque 2. Fonctions puissances

2.1 Definition

2.2 Fonctions racines

2.3 Comparaison des fonctions logarithmes, puiss.1nces et exponcntielles 3. Fonctions circulaires nkiproques . . .

3.1 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus . 3.2 Fonction Arc tangente .

4. Fonctions hyperboliques

4.1 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques

4.2 Formules de base de la trigonometrie hyperbolique

I,

105 105 107 107 107 108 109 109 112 113 115 117 119 121 123 123 123 128 130 133 136 137 137 138 139 140

145 146 146 147

148 149

lSI lSI

152 153 154 154 157 160 160 161

, TABLE DES MATIERFS

4.3 4.4

La fonction tangente hyperbolique . Fonctions hyperboligues rt'riproques 5.

Fonction exponentielle complexe .

5 .1 DCrivee d'un fonclion complexe . 5.2 Derivee de eO(> ^{• • • • • • • • •}

5 Equations differentielles

1.

PreJiminaires

^....

2.

1.1 Definitions . .

1.2 Exemples de problemes conduisant � une equation differentielle

Equations differentielles lineaires .

2.1 Generaliles . . . 2.2

2.3

Equations du premier ordre . .

Equations du second ordre a coefficients constants .

6 Courbes parametrees

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Derivation des fonctions ^it va leurs dans ^�2

1.1 Definition 1 .2 Proprietes Arc

para metre

^.

2

.1 Definitions

2.2 Interpretation cinematique

Etude locale d'un arc parametre

3.1 Tangente en un point d'un arc paramelre 3.2 Tangente en un point singulier

Branches infinies .

^{. .... .}

4.1 Asymptote ... . 4.2 Methode de recherche d'une asymptote

Trace des courbes parametrees

^{..... .}

5.1 Reduction du domaine . . . 5.2 Plan d'etude d'une courbe parametree .

Courbes en coordonnees polaires

^.

6.1 Representation polaire

6. 2 Vitesse et acceleration . . . 6. 3 Tangente ... .

6.4 Etude d'une courbe d'equation polaire

r =

p(O) 6.5 Reductiun du domaine . . . . ...

.

6.6 Etude locale au pOle . . . 6.7 Etude locale en un point different du pOle 6.8 Etude des asymptotes .

6.9 Plan d'etude ... .

161 162 165 165 166

171

171 171 172 174 174 176 186

203

203 203 204 206 206 206 207 207 209 211 211 212 214 214 216 219 219 219 219 220 220 221 221 222 223

TABLE DE'S MATIERE'S

7 Coniques

1. Ellipses, hyperboles, para boles 1.1 De fini ti on monofo cal e 1.2 Et ude des pa rab ole s . 1 .3 E tude de s elli pse s. . . 1.4 Et ude des hy perb ole s .

1.5 Eq ua ti on polaire d' un e coni que de f oy er 0 1 .6 Defini ti on bif ocale de s elli pses et des hy perboles . 2. Definition analytique ...

.

2.1 Definition . . . . .. . .... . 2.2 Re ducti on de I'e qua ti on d' une coni que 2.3 Typed' une conique propre . . 2.4 Tang en te a un e coni que pmp re . . . .

II

Analyse fI?elle et complexe

8 Le corps des nombres reels

1. Proprietes

Hees it

la relation d' ordre 1.1 R ela tion d'o rrl re

1.2 C or ps total em en t ordonne 1.3 Val eur ab sol ue .

2. Propril�te de la borne superieure

3.

2.1 Born e supe ri eure, born e inferi eure . 2.2 Rati onn el s et i rra ti onn el s . 2.3 D roi te n ume rique a che vee 2.4 Intervalle s de R

2 .5 Pm prictc d' An::himC de 2.6 Pa rti e en tie re . . . . 2.7 D ensi tc de o:Q dan s R Fonctions n�elles . . . . .

3

.1 L' en sembl e :F(X, R) 3.2 Fon ctiollS b omees . 3.3 M ono toni e ...

3

.4 Pari te, pe ri odi ci te . . 3

.5 F on cti on re ci proque .

3.6

Fon cti on s li pschilzienn es 9 S

u

i

tes reelles

1. Definitions

1.1 Definiti on s Iie es a la rela ti on d'o rrl re . 1.2 S ui tes con verg ent es . . . . . . . . 1 .3 Pr opric te s des sui tes con ve rgente s. . 1 .4 S uit es ten dant ve rs \'infini. . . 1.5 Ca ra ctere a sym pto tiq ue de la n oti on de limite

"

229 229 229 230 231 233 235 237 238 238 239 240 242

249

251

252 252 254 255 256 256 258 259 260 261 262 263 264 264 266 268 270 271 272

279 279 280 281 284 285 286

,11

2.

3.

1.6 Suites extrailes

Operations sur les Hmites ...

2.1 Ensemble des suites bomees

2.2 Operations sur les suites tcodant vcrs 0 2.3 Ensemble des suiles convergcntes . . ^. 2.4 Operations sur les suites Icndan! vers l'in6ni 2.5 Inverse et quotient ... .

Limites et relation d'ordre ...

. 3.1 ^Passage a 1a limite dans les inegalites 3.2 Existence de limite par encadrement .

TABLE DES MATIERES

4.

Consequences de la propriete de la borne superieure

286 287 288 288 289 290 292 293 293 294 295 295 296 298 299 4

.1 Suites monotones ...

.

4

.2 Suites adjacentes, segments cmboites ...

4

.3 Theoreme de Bolzano-Weierslrass. . . . . 4

.4 Approximation decimale des nombres reels

10

Limites - Continuite ponctuelle

1.

Definitions, proprietes ... .

1.1 Fonctions dcfinies au voisinage de n E R 1.2 Fonctions tcndan! vers 0 .

1.3 Limiles finies . . . _{. . .}

. .

1.4 Proprietes des limites finies . 1.5 Prolongement par continuite 1 .6 Limites infinies . . . . .

.

^.

1.7 Caractere local de la notion de limite 2.

Operations sur les limites . ...

^.

2.1 Proprietes dt$ fonctions admeUant 0 pour limite 2.2 Combinaisons lineaires et produits

2.3 Inverse et quotient . . . . . 3.

Limites et relation d'ordre ...

^.

3.1 Passage a la limite dans les inegalites 3.2 Existence de limite par encadrement . 4.

Theoremes de composition des Iimites .

4

.1 Image d'une suite convergente 4

.2 CompoSition des limites

5.

Cas des fonctions monotones .. .

5.1 Limites a droite et a gauche ..

5.2 Fonctions monotones el limiles

11

Continuite

1.

Continuite sur un intervalle .

1.1 Definition . . . .

. .

^.

1.2 Operations sur les fonctions continues . 1.3 Restrictions . . .

. . .

. . . . . . _.

.

307

307 307 309 309 312 315 315 317 320 320 321 323 325 325 326 326 326 328 329 329 331

337

337 337 338 339

TABLE DE'S MATIERES 2.

3.

Les theoremes fondamentaux .... . . 2

.1 Thoorcm e des val eur s int erme diai res 2.2 Red pro que d' une fon ct io n cont inue 2

.3 Imag e co ntinue d' un segm ent Continuite uniforme . . . 3.1 Defi nition, exem pl es 3.2 Theorem e de H ei ne .

12

Derivation

1 . Definitions ... . 1.1 Derive e en un point ... . 1.2 De ri ve es a droit e et a ga uch e en un point 1.3 Caractc re lo cal de la deri vabilite . 1.4 Deri vabilite et co ntin uite . 1.5 Fo nction dcri ve e . . . . . . . . 1.6 Int erpretation s des de ri ve es . . . 2. Operations sur les fonctions derivables

2

.1 L' ensembl e D(I) ....

2

.2 I nver se et q uoti ent . . 2

.3 ComJX>S€e et fonction recip ro que . .

3. Thooreme de Rolle - Theoreme des accroissements finis 3.1 E xt rem um d'une fo netio n deri vabl e

3.2 Thoorem e de Roll e . . . . . . 3.3 Egalite des a ccr oi ssem ent s f ini s 4. Applications . . . . . ... .

4

.1 Variation s d' un e fo nction . . . 4.2 I negalitc des a ccroi ssem ent s fini s 4.3 E tu de d'un e suit e re curr ent e

4.4 Co nditio n suffi sa nte de der i vabilite en un point 5. Derivees successives . .

6.

5.1 De ri ve e seco nde . 5.2 Derive e d'or dr e n

Fonctions de classe

C n

6

.1 Definitio ns, exem pl es

6.2 E nsemble des fo nction"; de da sse e"

6

.3 Com po se e, in ver se, et fo nctio n rtki proque

13

Fonctions con vexes 1 . Generalites

1.1 Definition s. . 1.2 I negalitc de co nvexHe . 1.3 Ca ra cte ri satio n ge ometri que 1.4 Ca ra ctc ris.1tio n en t erm e de p ent e 2. Convexite et derivabilite

2

.1 Caracterisation des fo nction"l deri vabl es con vexes 2.2 Po sitio n par ra ppo rt a la tang ent e . . .

xiii

340 340 344 345 347 347 348

353

353 353 354 355 356 357 357 358 358 360 361 364 364 365 366 368 368 371 373 383 385 385 386 388 388 390 390

399

399 399

400 401

403 405 405 407

,,, TABLE DES

MATIERES

14 Integration

1. Integrate des fonctions en escalier 1.1 Subdivision d'un segment . ..

1.2 Fonctions en escalier

1.3 Integrale d'une fonetio" en escalier

1.4 Proprietes de l'integrale des foodions en escalier . 2. Fonctions continues par morceaux .. . . . . . . 2.1 Definition, exemples ... . . ... . . 2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux

2.3 Integrale d'une fooClion continue par morceaux

2.4 Valeur moyenne

3. Proprieh�s de I'integrale ... . . 3.1 Linearite, relation de Chasles

3.2 InegaJMs . . . .. . 3.3 Cas des fonctions continues

3.4 Invariance par translation 4. Sommes de Riemann

5. Fonctions continues par morceaux sur un intervalle

15

Integration et derivation

1. Primitives el integrate d'une fonction continue 1.1 Definitions . . . . . . . .

1.2 Theoreme fondamental . . . 2. Methodes de calcul de primitives .

2.1 Integration par parties

2.2 Changement de variable 3. Formules de Taylor ...

3.1 Fonnule de Taylor avec reste integral

3.2 InegaJiM de Taylor-Lagrange 3.3 Fonnule de Taylor-Young . . . .

16

Etude locale: relations de comparaison

1. Fonctions dominees, fonctions negligeables 1.1 Definitions, exemples

1.2 Proprietes 2. Fonctions equivaientes

2.1 Definitions . . . . 2.2 Resultats fondamentaux

2.3 Obtention d'equivalents .

2.4 Operations sur les fonctions equivalentes

2.5 Les equivalents et I'addition . 2.6 Equivalents dassiques en 0 3. Comparaison des suites . . . .

3.1 Definitions, caracterisations

411 412 412 413 414 415 417 417 419 420 422 423 423 425 428 430 431 436

443 443 443 444 448 448

450 454 454 456 457

465 466 466 467 469 469 471 472 473 476 478 479 479

TABLE DFS MATIERFS

3.2 3.3 3.4

Resultats fondamentaU)(

Utilisation des resultats correspondanls sur les fonclions Operations sur les suites equivalente;

17 Etude locale: developpements limih�s

1. Definitions, exemples . ^. . . . . . . . . . . . _. . . . _. .

1.1 Developpement limite au voisinage de 0 . . . . 1.2 Developpements limites en 0 des fonctions elementaires 1.3 Developpement limite en Xo ^{• • • • • • • •}

1

.4 Developpement limite a ^{droite et} a ^{gauche. .} 1.5 Developpement limite au voisinage de )'infini

1.6 Derivabilite et developpement limite

2. Operations sur les developpements limites ^{. .} 2.1 Somme et produit de developpements limites

2.2 Quotient dc developpements limites. .

2.3 Composition de developpements limites . 2.4 Integration des develol?pements Iimites 3. Applications ... .

3.1 Recherche d'equivalents

3.2 Etude de tangentes . . .

3.3 Recherche d'asymptotes

18 Suites et fonctions complexes

1. • Generalites . . _. . _. 1.1 L'cnscmble

F(X,C)

1.2 Fonctions bomees. . 2. Suites complexes . . .

3.

4.

5.

6.

2.1 Suites convergentes .

2.2 Suites extraites . .

Proprietes des suites convergentes 3.1 En<;emblc des suitL"S convergentes

3.2 Inverse et quotient de suites . Limites, continuite en un point 4.1 Definitions . . . . . . .

4.2 Proprietes des limites . . 4.3 Operations sur les limites Continuite sur un intervalle .

5.1 Definition

5 .2 Operations sur les fonctions continues . Derivation ........_........ . 6.1 Derivee en un point

6.2 Operations sur les fonctioi1S derivables

6.3 Fonction<; derivables sur un intervalle 6.4 Derivecs succcssives ... .

480 480 481

487

487 487 491 492 494 496 497 499 499 502 506 507 511 511 513 517

527

527 527 528 529 529 531 532 532 532 533 533 534 535 536 536 537 538 538 539 540 542

xvi

7.

8.

6.5 Fonctions de dasse en . . . Integration . . . . . ._{. .} . .. . . 7

.1 Integrale d'une fonction continue par morceaux 7

.2 Proprietes de I'integrale . 7

.3 Primitives ... . 7

.4 Theorcme du relcvement ... . Accroissements finis, formules de Taylor 8.1 Inegalite des accroissements finis 8.2 Formules de Taylor . . . 8.3 JJeveloppemenls Iimites

19 Cal

cu

l

s

d'integrales

1. Calcul de primitives ... .. .

2.

1.1 Primitives d'une fraction rationnelle. . . 1.2 Primitives des polyn6mes-exponentielles 1.3 Primitives des fonctions usuelles ..

Methodes de calcul approche d'integrales 2 .1 Methode des rectangles . ^. . . . 2.2 Methode des rectangles medians 2.3 Methode des trapezes .

2.4 Methode de Simpson . . . . . .

20

Proprieles

mHriques des courbes

parametrees

1. Modes de definition d'une courbe plane.

2.

3.

4.

1.1 Representation cartesienne . 1.2 Representation parametrique 1.3 Representation polaire . . 1.4 Parametrage admissible ..

Longueur d'un arc parametre . 2 .1 JJefinitions ... ^. 2.2 Calcul ... . Abscisse curviligne sur un arc oriente 3

.1 Arc parametre oriente. . . . . . . 3

.2 Abscissecurviligne ... . 3

.3 Parametrage par l'abscisse curviligne Courbure d'un arc oriente regulier 4.1 Courbure, rayon de courbure 4

.2 4.3 4.4

Formules de Frenel . . . . Interpretation cinematique Calculs pratiques . . .

TABLE DES _MATIERES

543 544 544 545 546 548 549 549 550 551

555

555 555 559 561 561 563 564 567 569

577 577 577 578 578 579 580 580 582 583 583 584 587 588 588 589 590 591

TABLE DES MAllERES

21 Fonctions de deux variables

I.

2.

3.

4.

Preliminaires . . . . 1 .1 Parties ouvertes. .

1.2 Applications partielles associees a une fonction de deux variables Continuite ... . . ... . .... .

2

.1 Limite et continui!c d'une fonction de deux variables 2

.2 2 .3 2 .4

2 .5

Proprietes

L'espace vectoriel

C(A, R)

Espace vt.'Ctoriei

C(A. R2)

^.

Composees de fonctions continues

Derivees d'ordre I d'une fonction de deux variables . 3 .1 Deriv€es partielles . . ^.. ..

3 .2 Fonctions de dasse

C1

^{• • • • •}

3.3 3.4 3.5 3.6

Derivee d'une fonction compo*

Gradient ...

.

Derivees parlielles d'une fonction composee . Coordonnees polaires . . . . . .

. . . . .

3.7 Extremum d'une fonction de deux variables Derivees d'ordre superieur ...... .

. . .

4

.1 Derivees partielles secondes ... . 4

.2 4 .3

Exemples d'equations aux derivees partielles Deriv€es partielles d'ordre

k � 2

22 Inh�grales multiples

1.

Integrale double sur un rectangle .

2.

3.

4.

1.1 Integrale d'une fonction en escalier 1.2 Integrale d'une fonction continue .

1.3 Proprietes de l'integrale d'une fonction continue . 1.4 Calcul de I'integrale double d'une fonclion continue

Integrale double d'une fonction sur une partie bornee de IR2 2

.1 Fonction integrable sur une partie bomee de R2 2

.2 Caleul d'une integrale double . Changement de variables .

.

^{. . .}

3.1 Changement de variables affine

3.2 Changement de variables en coordonnees polaires Integrales triples ..

4 .1

4 .2

4 .3

Integrale triple sur un pave . . .....

Integrale triple d'une fonction sur une partie bomee de R3 Changement de variables .

. . .

. . . . .

. . . . .

.

xvII

601 601 601 604 605 605 607 608 611 612 614 614 616 621 622 624 625 627 630 630 633 636 643

643

643 645

646

647 648 648 650 652 652 655 658 6S8 658

659

xviii

23

Ca1culs de champs de vecteurs

1.

Gradient, divergence, rotationnel .

1.1 Differentielle, matrice jacobienne 1.2 Gradient .

1 .3 Divergen� .

1.4 Laplacien . 1.5 Rotationnel 1.6 Potentiel scalaire 2.

Integrale curviligne

.

2.1 Circulation d'un champ de vecteurs 2.2 Fonnule de Green-Riemann. .

III

Algebre et geometrie 24

Arilhmelique dans

_Z.

1.

Divisibilite

dans 7l.

1. 1 Diviseurs, multiples 1 .2 Division euclidienne sur ?l

TABLE DES MATIERES

667 667 667 668 669 670 671 671 673 673 675

679

681 681 681 683 2.

Plus grand commun diviseur _(PGeD) et plus petit commun mul-

3.

tiple (PPCM) . .. ... .

2 .1 Definitions . .

. .

. . 2.2 Algorithme d'Euciide . 2.3 Coefficients de Bezout 2.4 Entiers premiers entre eux . 2.5 1l1eoreme de Gauss . .

. .

2.6

rPCM . . .

_.

2.7 Resolution dans ?l de I'equation ax + by = c

2.8 Plus grand commun diviseur de plusieurs entiers

Nombres premiers

3.1 Definition 3 .2 Proprieles .

3.3 Decom?JSition en produit de facteurs premiers

25

Polynomes

1.

Ensemble des polynomes a coefficients dans K

1.1 Polynomes ... . 1.2 Degre d'un polynome . 1.3 Substitution

2.

Divisibilite dans K[X] .

2.1 Mulliples,diviseurs.

2.2 Division euclidienne sur

K [XI

3.

Racines d'un polynome

3.1 Racines . . . .

.

684 684 685 687 688 689 690 691 695 696 696 696 698

705 705 705 709 711 716 716 717 720 720

TABLE DfS MATIERES ,I,

3.2 Identification entre polynome et fonction poIynomiaIe

722

3.3 Racines multiples .

. . . . . . . . 723

3.4 Polynomes scindes, fonctions symetriques eiementaires

726

4. Derivation des polynomes

^{. .}

⁷²⁹

4.1 Polynome derive

. . . . . 729

4.2 Derivees successives, forrnule de Taylor

731

4.3 Caracterisation de I'ordre d'une racine .

732

5. Etude de ([X] et R[X]

^...

⁷³³

5.1 Factorisation dans

c[XI . 733

5.2 Conjugaison .

734

5 . 3 Factorisation dans

R[XI 735

6. Plus grand commun diviseur (reeD) et plus petit commun mul�

tiple (PPCM) . . . . . 736 6.1

Plus grand commun diviseur, algorithme d'EuC\ide

736

6 . 2 Plus petit commun multiple. .

. 738

6.3 Polynomes premiers entre eux . .

739

6.4 Proprietes du PGCD et du PPCM

740

6 .5 ThOOreme deGauss.

741

7. Polynornes irreductibles

^.

⁷⁴³

7.1 Definition . .

. . . 743

7.2 Proprictes ... . .

744

7.3 [)€composition d'un polynome en produit de facteurs im!ductibles

745 26 Fractions rationnelles

1. Corps des fractions rationnelles . . . . ... ^.

1.1 Definition.. regles de caIcul

1.2 Representant irreductible d'une fraction rationnelle

13 Degre d'une fraction rationnelle . 1.4 Racines, pOles .

1.5 Composition ... . . .

2. Decomposition en elements simples

2 . 1 Partie entiere . . . . . 2.2 Partie polaire . . . . . . . .

23 Decomposition en elements simples dans

C(X)

2.4 Methodes pratiques . . . . . . . . .

27 Algebre lineaire et geometrie affine eiementaires

1 . Espaces vectoriels .

^.

^. .

. . . . .

.

1.1 Definition, proprietes, exemples . 1.2 Combinaisons lineaires . . . 1.3 Produit d'espaces vectoriels ...

1.4 Sous--espaces vectoriels . . . . .

2. Sous-espace vectoriel engendre par une partie

2.1 Definition ... .

755

755

755

756

757

759

760

761

761

762

766

769

777

777

777

779

780

781

782

782

3.

4.

5.

2.2 Cas d'une\partie finie

Sous--espaces affines .

.

.

3.1 Translation<;

3.2 Sous-espaces affines 3.3 Parallelisme

3.4 Intersection de sous-espaces affines 3.5 Barycenlres . ^.

. .

.

. .

Applications lineaires . . . ...

^.

4.1 Definition, caracterisation ..

4.2 Noyau, image d'une application lineaire . 4.3 Siructuresde C(E, P) et qE)

4.4 Applications affines ..

4.5 Application<; bilineaires

Equations lineaires ... . .

5.1 Definition, exemples .

5.2 Structure de I'ensemble des solutions

TABLE DES MATIERES

784 785 785 786 788 789 790 795 795 797 798 801 808 809 809 810 28 Sous-espaces supplementaires et bases d'un espace vectoriel 815 815 815 816 818 819 825 825 827 830 831 1. Sous-espaces vectoriels supplementaires .

1.1 Somme de sous-espaces vectoriels 1.2 Sous-espaces vectoriels supplementaires 1.3 Intersection d� sous-espaces affines ...

1.4 Projections, symetries, affinites . . 2.

Families libres, families genera trices, bases

2.1 Families generatrices

2.2 Families libres ...

.

2.3 Bases .

2.4 Bases et applications Iineaires

3. Reperes cartesiens

3.1 Definitions 3.2 Regles de C.lleul .

29 Espaces vectoriels de dimension finie 1. Dimension d'un espace vectoriel

1.1 Existence d'une base ...

1.2 Dimension ..

1.3 Theoreme de la base incomplete.

1.4 Un exemple: les suites recurrentes d'ordre 2 . 1.5 Dimension des sous-espaces vectoriels

2. Relations entre les dimensions ... . .

2.1 Dimension el isomorphisme. '.

2.2 Dimension d'un produit de sous-espaces vectoriels 2.3 Dimension d'une somme de sous-esp.lces vectoriels

834 834 834

841

841

841

842

845

846

847

849

849

850

851

TABLE DES MATIERFS

3. Rang.. .

.

.

^. . . . ^. . . . . . . . . . . . . . . . ^{. .} 3.1 Rang d'une famille de vccteurs, d'une application lineaire 3.2 Tht'ioreme du rang . . . ^.

3.3 Caracterisation des isomorphismes 3.4 Hyperplans ct formes lineaires

30 Matrices

1. Introduction . .

. . .

. . . .

. .

2.

3.

L1 Definitions . . . . .

. .

. . . . 1.2 Matrice d'une application lineaire 1.3 Matrice de changement de bases 1.4 Matrice d'une fa mille finic de vectcurs .

Operations sur les matrices . .

2.1 Espace vcctoriel M".p(K) 2.2 Produit de matrices . .

2.3 Anneau des matrices carrees d'ordre 7t

2.4 Excmpk : une construction de (

Rang des matrices . . .

3.1 Matrices d'une application lineaire dans des bases differentes 3.2 Rang d'une matrice .

. . . . .

. . . . .

. . 31

Systemes lineaires

1. Operations elementaires sur les rangees d'une matrice .

1.1 Generaliles .

. . . .

. .

. .

1.2 Traduction en terme de produit matriciel 1.3 Application au calcul du rang

1.4 Methode du pivot de Gauss .

2. Systemes lineaires .

2.1 Definitions . . .

2.2 Structure affine de I' ensemble des solutions 2.3 Interpretations d'un systeme Iineaire

3. Systemes de Cramer .

. . .

. . . . .

.

. .

. . 3.1 Definition . . .

.

.

.

. . ^. .

. . . .

.

.

3.2 Resolution d'un systeme de Cramer par la methode du pivot de

xxi

853 853 854 855 857 867 867 867 869 872 875 876 876 879 884 890 891 891 892 901 901 901 902 903 905 907 907 908 908 910 910

Gauss . . ^. . .

.

. ^. . .

. . . . . . . 911 32 Determinants

1.

2.

Groupe symetrique

1.1 Definition 1.2 Signature .

.

. 1.3 Groupe alterne

Applications p-lineaires .

2.1 Definition

2.2 Expression d'une application p-lineaire en dimension Hnie

917

917

917

919

921

922

922

923

xxii

TABLE DFS MATIERFS

3.

4.

2.3 Applications p-Iineaires altcrnees .

2.4 Expression d'une application n-lineaire alternee en dimellSion 11

Determinants ... . ... . ....

.

3.1 Formes n-Iineaires altemees sur un espace de dimension n 3.2 Diverses notions de determinants

3.3 Proprietes des determinants . ^. . . . . . ^. . . . .

.

.

Applications . . . . . ... . . .

. .

.

. .

. ..

. .

. .

4.1 Operations sur les !ignes ou les colonnes d'un determinant . 4.2 Developpemcnt d'un determinant suivant une rangee 4.3 Coma trice

4.4 Formules de Cramer

33 Espaces euclidiens

1.

Definitions . . . . . . .

2.

3.

4.

5.

1.1 Formes bilineaires symetriques 1.2 Produit scalaire . . . . . .

.

1.3 Norme eudidienne . . ^. . . 1.4 Espaces vectoriels eudidicns 1.5 Identites de polarisation

Bases orthonormees .

^{. .}

2.1 Famillesorthonormees . 2.2 Bases et reperes orthonormes

2.3 Procede d'orthononna!isation de Schmidt

Sous--espaces orthogonaux . .

3.1 Definitions . . .

. .

^. . . 3.2 Supplementaire orthogonal 3.3 Equations d'un hyperplan .

Projections orthogonales

4.1 Projections vectoriclles . . 4.2 Projections affines . . . 4.3 Distance a un sous-espace

Orientation . . .

5.1 Definition

5.2 Bases orthononnees diTeCtes

34 Isometries du plan et de I'espace

1.

Isometries, matrices orthogonales

1.1 Aulomorphismes orthogonaux 1.2 Isometrics affines .

. .

1.3 Matrices orthogonales . . 1.4 Groupe orthogonal . . .

1.5 Rotations, deplacements 2.

Reflexions . .

.

.

.

.

.

2.1

Symetries orthogonales .

925 927 928 928 931 935 939 939 940 945 947

955 955 955 956 957

%0

%0 962 962 965 967 969 969 969 970 972 972 974 974 976 976 977

981

981 981 984 986 988 989 990 990

TABLE DES MATIERES ^xxiii

2.2 Proprietes des reflexions 992

2.3 Composees de reflcxions 993

3. Automorphismes orthogonaux du p

lan

⁹⁹⁵

3.1 Matrices orthogonales . 995

3.2 I�otatjons vectorielles, angles 9%

3.3 J�cflexions vectorielles 998

4.

[sometries du plan affine ....

^{1 ()()()}

4.1 Etude des deplacements du plan 1000

4.2 Composees de feflexions 1001

4.3 Simi litudes du plan .

. .

¹⁰⁰²

5.

Automorphismes orthogonaux de l'espace

¹⁰⁰³

5.1 Orientation d'un plan . .

.

¹⁰⁰³

5.2 Decomposition en produit de reflexions 1004

5.3 Rotations vectorielles 1005

6. lsometries affines

de I' ^espace

¹⁰⁰⁷

6.1 Rotations affines 1007

6.2

^{Vissages . . 1009}

6.3

Composees de reflexions 1012

Notions de base 1017

35

Ensembles, applications, relations ₁₀₁₉

1.

Assertions.

¹⁰²⁰

1.1 Assertions 1020

1.2

Connecteurs 1020

1.3 Methodes de demonstration . 1022

2.

Ensembles, pre<iicats .

¹⁰²³

2.1 Generalites 1023

2.2

^{Predicats . . 1023}

2.3 Qu^antificateurs

.

¹⁰²⁴

2.4 Negation de quantificateurs . 1025

2.5 Sowrensembles definis par un predical 1026

2.6

operations sur les parties . 1026

2.7 Couples, produit cartesien 1027

3.

Applications

¹⁰²⁸

3.1 Def^mitions 1028

3.2 Injectiv

i

te, surjectivite, bijectivite 1031

3.3 Composition d'applications 1032

3.4 Application redproque 1033

3.5 Images directes, images reciproques . 1036

3.6

^{Families . . 1039}

4.

Relations d'ordre .

¹⁰⁴⁰

4.1 Relations binaires . 1040

4.2 Ensembles ordonn('S 1041

4.3 Proprietes 1042

xxiv

TABLE DES MATIERES

36

Entiers naturels, ensembles finis, denombrement

1.

Principe de recurrence . . . .

.

.

1.1 L'ensemble N . . . .

1 . 2 Raisonnement par recurrence

1.3 Suites definies par recurrence

2. Ensembles finis . .... . .

^.

2.1 Definitions ...

. .

.

.

2 , 2 Proprh�tes des cardinaux

3. Denombrement.... . ...

3.1 Applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini .

3.2 Nombre de parties " p elements

.

^.

. . . .

.

37

Structures algebriques usuelles

1.

Lois de composition interne.

1.1 Generalites . .

. . . .

1 . 2 !teres d'un element

..

1 . 3 Produit de n elements 1.4 Notation additive . .

1.5 Construction de lois . 1,6 Morphismes

2. Groupes . . .

.

3.

4.

5.

2 .1 Definitions, exemples

2.2 SOus-groupes . . . .

2.3 Morphismes de groupes 2.4 Noyau^, image

Anne

aux

3. 1 Definitions

3.2 Regles de calcul

.

3. 3 Anneaux

integres

3.4 SOus-anncaux

3.5 Morphismes J'anncaux

3.6 Elements inversibles, unites

Corps

4.1 Definitions

4. 2 Corps des fractions

Espaces vectoriels

Solutions des exercices Index

1045 1045 1045 1046 1049 1049 1049 1051 1059 1059 1061

1065 1065 1065 1069 1069 1070 1071 1073 1074 1074 1075 1076 1077 1079 1079 1080 1083 1084 1084 1085 1086 1086 1088 1088

1089 1405

Chapitre 0

Vocabulaire et notations

Dans ce chapitre nous fixons certaines notations et definissons (ou rappelons la definition) des termes utilises largement dans la suite de I'ouvrage. Plusieurs de ces notions ont deja ell! introduites dans les classes anterieures.

TOlltes ces notions sont reprises en detail dans la derniere partie du livre] (sauf les espaces vectoriels dont I'etude complete est Faile page 777). En cas de

be­

soin, it sera done parfois utile de consulter leur definition exacte ainsi que leurs proprietes elementaires.2

II est inutile de faire I'etude complete de cette derniere partie avant de commen­

cer la lecture des differents chapitres d'analyse ou d'algebre. L'acquisition de ces notions se {era au fur et a mesure des exemples rencontres lors de l'apprentissage du cours.

1 . Ensembles usuels de nombres 1 . 1 Notations

Dans tout ce livre, nous supposons connus les ensembles de nombres suivants, leurs operations usuelles

+ , -, x

et /, ainsi que Ies proprietes eiementaires de ces demieres .

• IN,

I'ensemble des ell tiers "atl/refs : 0, 1 , 2, . . .

•

71.., I'ensemble des entiers refati/s : c'est I'ensemble des entiers naturels et de leurs opposes.

I On

^Y trouvera en particulicr les demonstrations des resultats enonces id.

2 A cette fin, Ie lecteur est invite _a consulter I'index en fin de volume.

2 ENSEMBLES USUELS DE NOMBRES

•

sont deux entiers reiatifs, q etant non nuL !l), I'ensemble des ratiOllnels : c'est I'ensemble des quotients p/q, ou ^{p et q}

•

R, I'ensemble des reefs : iI contient, outre les rationnels, des nombres jrratioll­

nels leis que V2,

^{11'" • • •}

• (

,

)^'

ensemble des complexes : ses e!t�ments sont de la forme a + ^{i b}

^I

^avec

^Q

^{et b}

deux reels et ⁱ un complexe tel que i2

=

-1.

•

Ces ensembles prives de 0 sont respectivement notes f\J', 7l", (1' , R' et (".

1 .2 Relations d'ordre

L'ensemble R est muni des relations de comparaison �, � , < et > .

•

x � y se lit «:1" est inferieur (ou egaD a y » OU « x est plus petit que y»,

• X

� Y se lit « x est superieur (ou egaO a y" OU "X est plus grand que y».

• X

< ^{y se lit «x} est strictement inferieur

it Y" Oll

« x est strictement plus petit que

1/'),

•

x > y se lit «x est strictement superieur a y» ou «x est strictement plus grand que y » .

•

Un reel x est positif (respectivement strictement positiD si X ) 0 (respective­

ment x > 0).

•

Un reel

T

est negatif (respectivement strictement negatiO si x ( 0 (respecti­

vement x < 0).

• IR+, IP+

sont respectivement les ensembles des reels positifs et des rationnels positifs.

• IR_,

10_, 71.._ sont respectivement les ensembles des reels negatifs, des ra­

tionnels negatifs et des entiers negatifs.

• IR�, IP�

sont respectivement les ensembles des reels strictement positifs et des rationnels strictement positifs.

• IR:",

10:", 7l:" sont respectivement les ensembles des reels strictement nega- tifs, des rationnels strictement negatifs et des entiers strictement negatifs.

La relation ( est compatible avec les operations 3 ^{de �} c' est-a-dire :

•

si a ( b, alors pour tout

^x

on a a

+ x

( b

+ T,

•

si a ( b, aiors pour tout x ) O on a a x ( bx.

Par consequent, on a aussi :

•

si a ( b ^et

c

( d, alors a ⁺ c ( b ⁺ d,

•

si O ( a ( b et O ( c ( d, aiors a c ( bd.

3 On dit plutot compatible avec la structure de corps de _R.

CHAP. 0-VOCABULAIRE E T _NOTATIONS

1 .3 Inlervalles

Etant donnes deux reels

a

et

b,

on note :

[a. bl � {X E R I a ';;; x ';;; b}

[ ^{o , h} [

^�

{X E R I u ';;; x < b}

[a,+oo [ � {X E R I ^{a ';;; x}}

] -oo.b] = {X E IR I x O}

] a. b [ = {x E IR I a < T. < h}

] a,b] = {X E R I a < x ,;;; b}

]a,+oo [ = {X E R I a < x}

] -oo, b [ = {x E IR I x < b}

3

Les

ensembles ci-dessus ainsi que

� = ] -00, +00 [

sont appeles

illtervalles

de

IR.

Si (j et

b

sonl deux entiers relatifs, on note :

(a, bl = {x E � I a ';;; x ,;;; b}

la, +00(= {x ^E � I a ';;; x}

l-oo. al = {x E � 1

x ,;;;

a}

2. Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications

2.1 Propositions mathematiques

.. Une

proposition

(ou une

assertion

ou une

relation)

est une phrase mathema­

tique

a

laquelle on peut attribuer une valeur de verite (vraie ou fausse). Par exemple l'enonce du theoreme de Pythagore est vrai, alors que la proposi­

tion « 11'" est un entier » est fausse.

• Souvent, une telle proposition depend de certaines variables (on parle aIors aussi de

prediCilt)

; sa valeur de verite ne pourra donc etre determinee que lorsque I'on aura precise ce que sont ces variables. Par exemple, la veracite de la proposition « Ie triangle (ABC) est rectangle en A » depend des points A, B et C.

• On dira qU'une proposition P

entmine

ou

implique

une proposition

Q

(ou que

Q

est une

consequence

de P), et l'on ecrira

P

::::::}

Q,

si

Q

est vraie des que P est vraie. Par exemple, la proposition ci-dessus entraine la rela­

tion BC2

=

AB2

+

AC2 .

.. On dira que des propositions sont

equivalelltes,

et I'on ecrira P <===>

Q,

si elles sont simuItanement vraies. Par exemple, Ie theoreme de Pytha­

gore dit que les propositions « Ie triangle (ABC) est rectangle en A » et « BC2

=

^AB2

+

11C2 » sont equivalentes.

4 VOCABUlAIRE RELATIF AUX ENSEMBLES _ET AUX APPLICATIONS

2.2

Ensembles

_

l:appartcIIQnCe

d'un

eMmellt x ^a

un

ensemble E

se note :r

E ^{E .} l:inclllsion

d'un ensemble

E

dans un ensemble F se note

E c

F . On dit aussi que

E

_{est une}

partie

de

F.

On a ainsi, par exemple,

E C E.

.. L'cllsemhfe des parties

de

E

_{est note}

P(E).

Parmi ces parties, it y a en particu­

lier

E

_{et I'}

cllsemble vide

note

0 .

_ Les operations sur les parties sont

l'illtersectioll ( A

_{n B),} 1a

relll/iOIl (A

U

B),

la

differencdA \

B) et Ie

compltmclItairdC£A

⁼

E \ A).

.. On utilisera aussi les

qllmlfi{icateurs :

•

'r/x E E .

. . pour signifier qU'une propriete est vraie pour tOllS les elements de

E,

•

3x E ^E

. .

.

pour signifier qu'une propriete est vraie pour au moins un element de

E.

Par exemple, I'inclusion d'un ensemble

E

dans un ensemble F peut s'ecrire :

"Ix E ^E, x E F

et dans Ie plan euc1idien

P,

l'existence d'un vecteur orthogonal

a

un vec­

teur

u

s' ecrit :

3v E ^{P :} u.v = O.

Le

produit Cllrtesie"

de deux ensembles

E

et F se note

E x

F. C'est I'ensemble desc

ollples

(a,

b)

_{telsque a}

E E

et

b _E

F.

2.3

Applications

� On note

F(E,

F) I'ensemble

desapplicatiolls

de

E

dans F (on dit aussi de

E

vers F).

.. Le

graphe

d'une application f :

E

_{-F est :}

{ (x, J(x)) E ^{E x} F I x E ^{E ) .}

Cest done une partie de

E

x F .

_

L'appliclltiol1 idelltiqllc

de

E,

^noh?e Ide, assode tout element de

E a

lui-meme.

La

restriction

d'une application f :

E

_-F a une partie

A

de

E,

notee A . , est I'application :