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Corrigé de la séance n ^◦ 2 : Kit de trigonométrie

Objectifs et Motivation

La trigonométrie n’est en général pas très appréciée par les lycéens. Il est vrai que les pro- grammes actuels lui réservent une toute petite place... Pourtant, la trigonométrie est incon- tournable en mathématiques et plus généralement dans les sciences. Comment programmer une rotation sur un jeu vidéo ? Comment prévoir la trajectoire d’un satellite autour d’une planète... ? Le nombre π peut même surgir lorsqu’on ne s’y attend pas :

1 − 1 3 + 1

5 − 1

7 + · · · = π

4 et 1 1 ² + 1

2 ² + 1

3 ² + · · · = π ² 6 .

L’objectif ce texte est d’apprendre et comprendre les relations trigonométriques «fondamen- tales» en les redémontrant et les manipulant. Il faut s’entraîner ! ! Cet apprentissage sera com- plété lors de la séance suivante sur les nombres complexes.

I Démonstration des premiers résultats

En «caricaturant», on pourrait dire que la trigonométrie se résume à trois points :

• Un tour complet mesure 2 π radians.

• Les nombres cos( θ ) et sin( θ ) sont les co- ordonnées du point M du cercle trigono- métrique d’angle polaire θ .

• Si a et b sont des réels, on a

cos( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b.

1. Vérifier que vous savez placer sur une feuille quadrillée les points du cercle trigonométrique d’angle polaire ¹ 0 , ^π ₆ , ^π ₄ , ^π ₄ et π , et compléter le tableau suivant :

x 0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂ cos x 1 ^√ ₂ ^{3 √} ₂ ^{2 1} ₂ 0 sin x 0 ¹ ₂ ^√ ₂ ^{2 √} ₂ ³ 1 tan x 0 ^{√ 1} ₃ 1 √

3 ∞

2. Relation fondamentale entre cos et sin : justifier à l’aide d’un théorème du collège que pour tout x ∈ R, on a cos ² x + sin ² x = 1.

1. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, − → u , − → v ). Le cercle trigonométrique noté C est le cercle de centre O et de rayon 1. On dit qu’un point M de C a pour angle polaire θ (mesuré en radians), si θ est une mesure de l’angle orienté ( − → u , −−→

OM ).

On utilise la figure ci-dessus. Soit M le point du cercle trigonométrique d’angle polaire x . On note H son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses. Ainsi, H a pour coordonnées (cos x, 0). La triangle OHM est rectangle en H et donc d’après le théorème de Pythagore, on a : OM ² = OH ² + HM ² , ce qui donne 1 = cos ² x + sin ² x .

3. Angles associés : en vous servant du cercle trigonométrique, compléter les relations suivantes : (a) cos( x + 2 π ) = cos x (b) cos( −x ) = cos x. (c) cos( x + π ) = − cos x

(d) cos( x − π ) = − cos x (e) cos( x + ^π ₂ ) = − sin x (f) cos( ^π ₂ − x ) = sin x (g) sin( x + 2 π ) = sin x (h) sin( −x ) = − sin x (i) sin( x + π ) = − sin x

(j) sin( x − π ) = − sin x (k) sin( x + ^π ₂ ) = cos x (l) sin( ^π ₂ − x ) = cos x 4. Équations trigonométriques

Comprendre et/ou lire sur le cercle les relations suivantes :

cos a = cos b ⇔ ( a = b mod 2 π ) ou ( a = −b mod 2 π ) (1) sin a = sin b ⇔ ( a = b mod 2 π ) ou ( a = π − b mod 2 π ) (2) Et pour l’équation cos a = sin b ? Et bien on se ramène à l’un des cas précédents en utilisant par exemple que sin b = cos( π

2 − b ).

II Autour des formules d’addition

1 Le cours

La relation e ^i(a+b) = e ^ia e ^ib entre nombres complexes se retient facilement. En identifiant les parties réelles (resp. imaginaires), on retrouve alors les formules d’addition du cosinus (resp. de sinus) rappelée ci-dessus.

1. Compléter, et démontrer les relations suivantes :

cos( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b (3)

cos( a − b ) = cos( a + ( −b )) = cos a cos( −b ) − sin a sin( −b ) = cos a cos b + sin a sin b (4)

sin( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a (5)

sin( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a (6)

2. Formules de duplication (on double l’angle)

Déduire des formules d’addition, les formules de duplication suivantes :

cos(2 x ) = 2 cos ² x − 1 (7)

sin(2 x ) = 2 sin x cos x (8)

On a

cos(2 x ) = cos( x + x ) = cos ² x − sin ² x = cos ² − (1 − cos ² x ) = 2 cos ² x − 1 . On a sin(2 x ) = sin( x + x ) = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x .

3. Les formules de linéarisation :

il s’agit de transformer un produit de fonctions trigonométriques en une combinaison linéaire (ou somme) de fonctions trigonométriques :

Démontrer, puis compléter à l’aide des formules d’addition ci-dessus les relations suivantes :

cos a cos b = 1

2 (cos( a + b ) + cos( a − b )) (9) cos a sin b = 1

2 (sin( a + b ) − sin( a − b )) (10) sin a sin b = 1

2 (cos( a − b ) − cos( a + b )) (11) La formule (9) s’obtient en additionnant les deux premières formules d’addition : (3)+(4).

La formule (10) s’obtient en faisant (5)-(6).

La formule (11) s’obtient en faisant (4)-(3).

2 Exercices

Exercice 1 Résoudre dans [ −π, π ] les équations 2 cos(2 x ) + 1 = 0 et cos x = sin(3 x ) (il y a quatre solutions à la première équation).

1. Première équation :

2 cos(2 x ) + 1 = 0 ⇐⇒ cos(2 x ) = − 1

2 ⇐⇒ cos(2 x ) = cos 2 π 3

⇐⇒

2 x = 2 π

3 + 2 kπ, k ∈ Z

ou 2 x = − 2 π

3 + 2 kπ, k ∈ Z

⇐⇒

x = π

3 + kπ, k ∈ Z

ou x = −π

3 + kπ, k ∈ Z

Nous avons les solutions sur R, (il y en a une infinité, on pourrait même dire «deux familles infinies de solutions»), on ne va garder que celles qui sont dans [ −π, π ]. Pour la première famille de solutions ^π ₃ + kπ , si k = 0, on obtient ^π ₃ . Si k = 1, on a ^π ₃ + π , ça dépasse π ! On prend k = − 1, on a ^π ₃ − π = ^−2π ₃ . Pour k = − 2, c’est plus petit que −π ...

On fait de même avec la deuxième famille de solutions ^−π ₃ + kπ et on obtient ^−π ₃ ( k = 0) et

−π

3 + π = ^2π ₃ (avec k = 1).

Conclusion, il y a quatre solutions : ± ^π ₃ et ± ^2π ₃ .

2. Deuxième équation :

cos( x ) = sin(3 x ) ⇐⇒ cos( x ) = cos π 2 − 3 x

⇐⇒

x = π

2 − 3 x + 2 kπ, k ∈ Z

ou x = 3 x − π

2 + 2 kπ, k ∈ Z

⇐⇒

4 x = π

2 + 2 kπ, k ∈ Z

ou − 2 x = −π

2 + 2 kπ, k ∈ Z

⇐⇒ x = π 8 + kπ

2 , k ∈ Z

!

ou x = π

4 − kπ, k ∈ Z

On obtient alors 6 solutions dans [ −π, π ] : π

8 , π 8 + π

2 , π 8 − π

2 , π

8 − π et π 4 , π

4 − π.

Exercice 2 Trouver une valeur exacte de cos ^π ₈ à l’aide d’une formule de duplication.

Le nombre ^π ₈ est la moitié de ^π ₄ dont on connaît le cosinus. Ainsi d’après la formule (8) utilisée avec x = ^π ₈ , on a : cos ^π ₄ = 2 cos ^{2 π} ₈ − 1, d’où

cos ² π

8 = cos ^π ₄ + 1

2 = 1

2

√ 2 2 + 1

!

=

√ 2 + 2 4 . Ainsi comme cos ^π ₈ > 0 car ^π ₈ ∈ [0 , ^π ₂ ], on a

cos π 8 = ±

s √ 2 + 2

4 =

s √ 2 + 2

4 .

Exercice 3 On considère la fonctions f définie sur R par : f ( x ) = sin x

2 + cos x .

1. Vérifier que f est impaire, en déduire qu’il suffit d’étudier f sur [0 , π ].

Remarquons déjà que f est définie sur R car pour tout réel x , cos x > − 1, donc 2 + cos x >

1 > 0.

Soit x ∈ R, on a :

f ( −x ) = sin( −x )

2 + cos( −x ) = − sin x

2 + cos x = −f ( x ) . Ainsi f est impaire.

Elle est de plus 2 π -périodique, donc il suffit de l’étudier sur un intervalle de longueur 2 π . On va choisir [ −π, π ], mais comme elle est de plus impaire, il suffit de l’étudier sur I = [0 , π ].

2. Justifier que f est dérivable et que sa dérivée est du signe de 2 cos x + 1. Terminer l’étude

de f .

f est dérivable sur R, comme somme et quotient de fonctions dérivables. On a pour x ∈ R, f ⁰ ( x ) = cos x (2 + cos x ) − − sin x sin x

(2 + cos x ) ² = 2 cos x + cos ² x + sin ² x

(2 + cos x ) ² = 2 cos x + 1 (2 + cos x ) ² . On a donc pour x ∈ [0 , π ]

f ⁰ ( x ) > 0 ⇐⇒ 2 cos x + 1 ⇐⇒ cos x > − 1

2 ⇐⇒ x ∈ [0 , 2 π 3 ] . x

f ⁰ ( x )

f ( x )

0 ^2π ₃ π

+ 0 −

00

√ 1 3

√ 1 3

00

-5

-5 -4.5-4.5 -4-4 -3.5-3.5 -3-3 -2.5-2.5 -2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 33 3.53.5 44 4.54.5 55 5.55.5 66

-4 -4 -3.5 -3.5 -3 -3 -2.5 -2.5 -2 -2 -1.5 -1.5 -1 -1 -0.5 -0.5 0.5 0.5 11 1.5 1.5 22 2.5 2.5 33

00 ff

Remarque : f ⁰ (0) = ¹ ₃ et f ⁰ ( π ) = − 1. On a ainsi les pentes des tangentes aux points d’abscisse 0 et π .

Exercice 4 (Fonction tangente) On définit la fonction tangente notée tan par : tan x = sin x

cos x .

1. Donner l’ensemble de définition de tan puis vérifier que tan est impaire et π -périodique.

tan x existe ssi cos x 6 = 0.

Ainsi tan et définie sur D = R \ { ^π ₂ + kπ | k ∈ Z } . Pour tout x ∈ D , on a tan( −x ) =

sin(−x)

cos x = ⁻ _cos ^sin _x ^x = − tan x , ce qui montre que tan est impaire.

De plus tan( x + π ) = _cos(x+π) ^sin(x+π) = ₋ ⁻ _cos ^{sin x} _x = tan x , ce qui montre que tan est π -périodique.

Il suffit donc de l’étudier sur un intervalle de longueur π , on choisit ] ^−π ₂ , ^π ₂ [. Mais comme elle est de plus impaire, il suffit de l’étudier sur I = [0 , ^π ₂ [.

2. Justifier que tan est dérivable sur I , et démontrer que :

∀x ∈ I, tan ⁰ ( x ) = 1 + tan ² ( x ) = 1 cos ² x . tan est dérivable sur I , comme quotient de fonctions dérivables.

Pour x ∈ I , on a :

tan ⁰ ( x ) = sin ⁰ ( x ) cos x − cos ⁰ ( x ) sin x

cos ² x = cos( x ) cos x − ( − sin x ) sin x cos ² x

= cos ² x + sin ² x

cos ² x = 1 cos ² x

= cos ² x

cos ² x + sin ² x cos ² x

= 1 + tan ² x

3. Terminer l’étude de tan et donner sa représentation graphique.

On en déduit que la dérivée de tan est positive et donc tan est croissante sur I . De plus, il est clair que lim x→ ^π ₂ ⁺ tan x = + ∞ .

Exercice 5 (Linéariser pour mieux intégrer) Le but de cet exercice est de calculer des intégrales de fonctions trigonométriques.

1. On a

Z ^π

2

0 cos(2 x ) d x =

"

sin(2 x ) 2

# ^π ₂

0

= sin π − sin 0

2 = 0 .

2. Calculer ^R 0 ^{π 2} cos ² x d x (la difficulté est qu’on ne connaît pas de primitive de cos ² . Comme il est plus simple d’intégrer une somme qu’un produit, l’idée est de transformer le produit cos ² en somme (on linéarise) : pour cela il suffit «d’inverser» la formule de duplication du cos).

D’après la formule de duplication (7), on a :

cos ² x = 1 + cos 2 x

2 .

Ainsi

Z ^π

2

0 cos ² x d x = ^Z

π 2

0

1 + cos 2 x

2 d x

= 1

2

Z ^π

2

0 1 d x + ^Z

π 2

0 cos 2 x d x

!

= 1

2

π

2 + 0 = π 4 .

3. Calculer ^R 0 ^{π 2} cos 3 x cos 2 x d x (on pourra utiliser une formule de linéarisation).

D’après la formule de linéarisation (10), on a : cos(3 x ) cos(2 x ) = 1

2 (cos(3 x + 2 x ) + cos(3 x − 2 x )) = cos 5 x + cos x

2 .

Ainsi

Z ^π

2

0 cos 3 x cos 2 x d x = ^Z

π 2

0

cos 5 x + cos x

2 d x

= 1

2

Z ^π

2

0 cos 5 x d x + ^Z

π 2

0 cos x d x

!

= 1

2 [ sin(5 x )

5 ] 0 ^{π 2} + [sin( x )] 0 ^{π 2}

!

= 1

2

1

5 + 1 = 3

5 .

4. Calculer ^{Z 2}

0 sin(2 x ) cos(3 x ) d x (on pourra utiliser une formule de linéarisation).

D’après la formule de linéarisation (11), on a : sin(2 x ) cos(3 x ) = 1

2 (sin(3 x + 2 x ) − sin(3 x − 2 x )) = sin 5 x − sin x

2 .

Ainsi

Z ^π

2

0 sin(2 x ) cos(3 x ) d x = ^Z

π 2

0

sin 5 x − sin x

2 d x

= 1

2

Z ^π ₂

0 sin 5 x d x −

Z ^π ₂

0 sin x d x

!

= 1

2

− cos 5 x 5

^π ₂

0 + [cos x ] 0 ^{π 2}

!

= 1

2

1

5 − 1 = − 2 5 .

Exercice 6 (Divergence de la suite (cos n ) n ) Nous allons démontrer que la suite de terme général cos n est divergente.

1. Démontrer que pour n ∈ N, on a

cos( n + 1) + cos( n − 1) = 2 cos( n ) cos(1) .

Il suffit d’ajouter les formules d’addition (3) et (4) ou invoquer la formule de linéarisation (9).

2. En déduire que si cos n tend vers un réel l , alors l = 0.

Supposons que cos n tend vers un réel l , alors on a aussi cos( n − 1) qui tend vers l , donc par somme et produit de limites dans la formule ci-dessus, on obtient :

l + l = 2 l cos 1 , donc si l 6 = 0, on obtient en divisant par 2 l que 1 = cos 1, ce qui est faux.

Donc l = 0.

3. Conclure à une absurdité en utilisant la formule de duplication du cosinus (expression de cos 2 n à l’aide cos n ).

On a cos 2 n = 2 cos ² n − 1 (E). Si cos n tend vers 0, alors cos 2 n tend aussi vers 0 et donc on obtient en passant à la limite dans (E), 0 = 2 × 0 − 1, d’où 0 = − 1. Constradiction. Ainsi la suite (cos n ) ne converge pas.

Exercice 7 (Un défi) Soit x ∈ R et n ∈ N. Démontrer que : P _n = ^{Y n}

k=0

cos(2 ^k x ) = 1

2 ⁿ⁺¹ × sin(2 ⁿ⁺¹ x ) sin x

L’astuce est de calculer sin x × P _n et d’utiliser la formule de duplication du sinus.

Traitons le cas n = 2 par exemple :

sin( x ) P ₂ = sin x cos( x )

| {z }

cos(2 x ) cos(4 x )

= 1

2 × sin(2 x ) cos(2 x ) cos(4 x ) = 1

2 sin(2 x ) cos(2 x )

| {z }

cos(4 x )

= 1

2 ×

1

2 × sin(4 x ) cos(4 x )

= 1

2 ² sin(4 x ) cos(4 x )

| {z }

= 1

2 ² × 1

2 sin(8 x ) = 1

2 ³ sin(2 ³ x )

Ainsi, on a bien

P ₃ = 1

2 ³ × sin(2 ³ x ) sin x .

Le cas général se traite de la même façon en réitérant le procédé. On peut rédiger par exemple

une récurrence.