Fascicule 3 : Calcul de diffraction par FFT Pascal PICART Holographie

Pascal PICART

École Nationale Supérieure d’Ingénieurs du Mans – ENSIM

Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Mans – LAUM UMR CNRS 6613 Tel : 02.43.83.39.58.

email : pascal.picart@univ-lemans.fr

Holographie

Fascicule 3 : Calcul de diffraction par FFT

Sommaire

Introduction

Optique de Fourier

Relation entre transformées de Fourier continue et discrète Conditions d’échantillonnage

Calcul de diffraction par FFT Quelques illustrations

Conclusion

Références bibliographiques

Introduction

Diffraction formalisée par différentes approches « onde scalaire » - spectre angulaire

- Kirchhoff

- Rayleigh-Sommerfeld

- intégrale de diffraction de Fresnel (approx. paraxiale)

 Il n’existe presque jamais de solution analytique simple pour un grand nombre de problèmes de diffraction rencontrés en

pratique

 Résoudre le problème de façon numérique

- diffraction calculée par un algorithme FFT

Dans un milieu isotrope, linaire et homogène, les équations de Maxwell conduisent à :

toutes les composantes de E, E_x,E_y,E_z toutes les composantes de B, B_x,B_y,B_z

 même équation de propagation

 description par une unique onde scalaire U(r,t)

2 0

2 2

2 



 

 c t

n E

E

Optique de Fourier (1)

Propagation d’une onde monochromatique

 solution générale

   





 

U 

 équation de propagation de Helmholtz





 

U=E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z

z y

x ye ze

e

x     r 

RQ:   Laplacien

k : vecteur d’onde





 n

n c

k  k   2

Front d’onde

S Front d’onde

S A_infini

Onde sphérique

A

Onde plane Solutions particulières de l’équation de propagation

  

  

t A

U r,  ⁰ exp   exp ^U

 



 



2 2

2 x y

z

r   

Optique de Fourier (2)

Propagation d’une onde monochromatique

k : vecteur d’onde

t+t t

x

x front d’onde

primaire

enveloppe

fronts d’onde secondaires ondelettes

sphériques secondaires

P

« la lumière est de nature ondulatoire et elle se propage par ondes »

Optique de Fourier (3)

Principe d’Huygens Fresnel

M₂ M₁

x

       

r Y ikr

X i U

d y x

U 



0 exp , 1 ,

,

, ₀

 











Amplitude complexe au point P  est donnée par une intégrale de

superposition

r 

z y

x

d₀

Y

X

M  P

S

 

 

θ

K Formule de Kirchhoff

 

K 1ère formule de Rayleigh-Sommerfeld

 

K

Optique de Fourier (4)

Formulation de la diffraction

K() : facteur d’obliquité qui conduit à 3 expressions pour la formulation de la diffraction

2ème formule de Rayleigh-Sommerfeld

  



2

0 x X y Y

d

r  MP     

 



 



cos d x X y Y

d r

d







 

  avec

       

   





ik Y

X iλ U

d y x

U 





     











 

    

 

S

0 2 2 2

2 0 2 2

0

2 2 2

0

0 2

exp 0 , 1 ,

, ,

0

Optique de Fourier (5)

Formulation de la diffraction Formule de Kirchhoff

1ère formule de Rayleigh-Sommerfeld

2ème formule de Rayleigh-Sommerfeld

       

^{x X} ^{y Y} ^dXdY

d

Y y X

x d k i Y

X iλ U

d d y x

U _{2 2 2}

0

2 2 2

0 0 0

exp 0 , , ,

,

0    



 

    

 

S

       

x X y Y ^dXdY

d

Y y X

x d ik y

x iλ U

d y x

U 2 2 2

0

2 2 2

0 0

exp 0 , 1 ,

, ,

0    



 

    





S

U(x,y,z+d

) ≡ équation de convolution entre U(x,y,z) et h(x,y,d

)

h(x,y,d

) : réponse impulsionnelle de l’espace libre

Équation de convolution

     

   

 



























dXdY d

Y y X x h z Y X U

d y x h z y x U d

z y x U

0 0

0

, ,

, ,

, , ,

, ,

,

Optique de Fourier (6)

h(x,y,d

) dépend de la formulation choisie

Ex: 1ère formule de Rayleigh-Sommerfeld

   

2 2

2 0

2 2

2 0 0

0

/ 2 , exp

, d x y

y x

d i

i d d

y x

h  



   



U(x,y,z)

Optique de Fourier (7)

Équation de convolution

Calcul de la diffraction par Transformée de Fourier

U(x,y,z+d

)

TF[ h(x,y,d

)]

* h(x,y,d

)

 ^{u, v, z} 

U ~ ^{U ~}  ^{u, v, z  d}



TF TF^-1

Optique de Fourier (8)

Propagation par le spectre angulaire

Décomposition en ondes planes de fréquences spatiales (u,v)

 

       













 U u v z i ux vy dudv z

y x

U ~ , , exp 2 

, ,









 

U~ , ,  , ,

Recherche des solutions de l’équation de Helmhotz



 









  









   

~ i d u v

z v u U d

z v u

U  







   

G    

Fonction de transfert du spectre angulaire

avec

Optique de Fourier (9)

Propagation par le spectre angulaire

U(x,y,z) U(x,y,z+d

)

G(u,v,d

)]

 ^{u, v, z} 

U ~ ^{U ~}  ^{u, v, z  d}



TF TF^-1

1ère formule de Rayleigh-Sommerfeld

       



 



d

Y y X

x d

k i Y

X iλ U

d d y x

U _{2 2 2}

0

2 2 2

0 0 0

exp 0 , , ,

,

0    



 

    





S

Optique de Fourier (10)

Approximation de Fresnel

       

       











  



 



   





 



   





 

 











8 ...

1 2

1 1 1

2

2 0

2 2

0 2 2

0 2 2

0 2 0

2 0

2 2

0 2 0

2 2 2

0

d y Y d

x X d

y Y d

x d X

d y Y d

x d X

y Y x

X d

       







    









 ₂

0 2 2

0 2 0

2 2 2

0 2

1 2

1 1

d y Y d

x d X

y Y x

X d

Linéarisation dans l’exponentielle Cas où d₀ est « grand »

Expression de l’exponentielle

Expression du dénominateur

Équation de diffraction

 réponse impulsionnelle de Fresnel

       



 



   





 

 

    

0 2

0 2 2 0

2 2

0 2 exp

2 exp

exp d

Y y in d

X x i d

Y i y X

x i d

















  



2

0 x X y Y d

d     

     

 

 

d z i

y x d U

i d

d i z y x

U 



 



   



 



 



















2 2

0 0

0

0 2 , , exp

exp ,

, 









   



 



 







 ^{2 2}

0 0

0

0 2 exp

exp ,

, x y

d i d

i d

d i y x

h 









Optique de Fourier (11)

Approximation de Fresnel

   

 

3 2

max 2 2

0 4 x X y Y

d    





condition

   

   

d X y

d i x

Y d X

z i Y X U

y d x

i d

i d

d i z y x U



 



 



 



 

 



 



 





 



 



 



 



















 0 0

2 2

0

2 2

0 0

0 0

2 exp

exp ,

,

2 exp exp

, ,



 















intégrale de Fresnel

≡ transformée de Fresnel

Équation de diffraction après développement des facteurs quadratiques

Le champ diffracté à la distance d₀ est proportionnel à la transformée de Fourier du champ initial multiplié par un terme de phase

quadratique et calculée en (x/^d₀,y/^d₀)

Optique de Fourier (12)

Transformée de Fresnel

Optique de Fourier (13)

Transformée de Fresnel dans le domaine de Fourier









 

G_F  





 





 





exp i a x b y _



 



 

 



 

 ₂^{2 2}₂

exp b

v a

i u ab

i 

Rappel

TF

Fonction de transfert de Fresnel

   



 



 







 ^{2 2}

0 0

0

0 2 exp

exp ,

, x y

d i d

i d

d i y x

h 









TF

Optique de Fourier (14)

Calcul de la Transformée de Fresnel

U(x,y,z) U(x,y,z+d

)

G

(u,v,d

)

* h(x,y,d

)

 ^{u, v, z} 

U ~ ^{U ~}  ^{u, v, z  d}



TF TF^-1

TF

Définition

  

      















 f x y i ux vy dxdy

v u

f , , exp 2 

~

 Transformée de Fourier Discrète

Relation entre T de Fourier continue et discrète (1)

Transformée de Fourier à 2 dimensions

Discrétisation de l’espace (x,y) avec NM points et un pas p_xp_y

  _

     











 ¹

1 1

1

2 exp ,

~ , ^N

l M

k

y x

y x

e

e u v f lp kp i ulp vkp

f 

Avec le signal échantillonné

 



 



 

 

f _{px px}

l k

y x

y x

e , 



et

 

_ 



l k

y x

y x p

p x lp y kp

p y p

x x

x 1 ,

, , 

 Peigne de Dirac de pas (p_x,p_y)

Relation entre T de Fourier continue et discrète (2)

Périodicité du spectre du champ discret

     

 















  













  







l k x y

l k x y

e e

p y k

p u l

f

p y k

p u l

v u f

y x f TF v

u f

~ ,

,

~ ,

,

~ ,



Transformée de Fourier du champ discrétisé

 spectre du champ discrétisé est périodique de périodes

(f_ex=1/p_x,f_ey=1/p_y)

Spectre Spectre périodisé

f_ex=1/p_x

fey =1/py fey =1/pyfey =1/py

f_ex=1/p_x f_ex=1/p_x

Relation entre T de Fourier continue et discrète (3)

Fonction de filtrage de la TFD-1

 

 

 

f ,  cos 2 ₀  ₀

    

      

 

 

2 , 1

2 cos

,v TF u x v y u v u u v v u u v v

u

f          

 

 

    _{ }

       

















 ¹

0

1

0

0 0

0

0 , cos 2 exp 2

2 cos

N k

k

M l

l

y x

y

x lv p i ukp vlp

p ku v

u y v x u

DFT   

                 

 

 

       

 

 













































1

0

1

0

0 0

1

0

1

0

0 0

2 exp 2

2 exp 1

2 exp 2

2 exp , 1

,

N k

k

M l

l

y x

N k

k

M l

l

y x

p v v l i p

u u k i

p v v l i p

u u k i v

u y x f DFT







 Exemple avec un champ périodique

Transformée de Fourier continue

Transformée de Fourier discrète

soit

       

 

   

 

x

y x

NM

vp Mvp up

Nup

vp M

i up N

i v

u W













sin sin sin

sin

1 1

exp

~ ,













         

 

 

2 , 1

, ~

, y u v W u v u u v v u u v v

x f

DFT  _NM       

Fonction de filtrage de la TFD-2

Relation entre T de Fourier continue et discrète (4)

Spectre continu convolué par fonction de filtrage

avec

 intrinsèque au nombre de points d’échantillonnage

0 +1/2p_x

N

u(mm^-1)

1/2p_x

Résolution

fréquentielle ^u Np_x

 1



y

v Mp

 1



Relation entre T de Fourier continue et discrète (5)

De la TFD à la FFT FFT : Fast Fourier Transform

 Algorithme de calcul rapide de la Transformée de Fourier Discrète

 Nombre de points de calcul en 2ⁿ

L =(256,512,1024,2048,4096,8192,etc.)

 Pas d’échantillonnage fréquentiel imposé à u = 1/Lp_x

 Possibilité de « padding » du champ avec des 0 : augmente le nombre de points d’échantillonnage du spectre (L  N)

 FFT calcule le spectre sur une période

càd sur une bande passante (1/p_x1/p_y)

x

u Np

 1



u 1



pas : résolution :





Relation entre T de Fourier continue et discrète (6)

FFT et fonction de filtrage de la TFD

 





 

f ,  exp 2  ₀  ₀

Exemple

échantillonné sur NM points

Cas 1 : échantillonnage asynchrone Cas 2 : échantillonnage synchrone



 



e ,



Cas 1 : 0 < u₀ < 1/2p_x et 0 < v₀ < 1/2p_y

mm^-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

Cas 2 : u₀ = l1/2p_x et v₀ = k1/2p_y

NM = LK NM = LK

mm-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

45 50 55

44 46 48 50 52 54 56 mm-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

Conditions d’échantillonnage (1)

Notion de fréquence spatiale locale

   



 



f ,  , exp  ,

Soit une fonction complexe

Fréquences spatiales locales définies par

Bande passante spatiale de f(x,y) donnée par

u_i x





 

 2

1

v_i y





 

 2

1

min max

i

i u

u

u  

 v v_i^max v_i^min

Exemple : réponse impulsionnelle de Fresnel

   



 



 







 ^{2 2}

0 0

0

0 2 exp

exp ,

, x y

d i d

i d

d i y x

h 







 d0

u_i x

 

d0

v_i y

 

Conditions d’échantillonnage (2)

Echantillonnage des réponses impulsionnelles-1

Réponse impulsionnelle échantillonnées avec NM points et des pas p_xp_y

Réponse impulsionnelle de Fresnel

   



 



 







 ^{2 2}

0 0

0

0 2 exp

exp ,

, x y

d d i

i d

d i y x

h 













x ^y





d0

u Np^x

 



d0

v Mp^y

 



Shannon f_ex  2u_i^max











 





2 2

0 max Np^x , Mp^y d

Réponse impulsionnelle de Rayleigh-Sommerfeld (1ère formule )

   

2 2

2 0

2 2

2 0 0

0

, exp

, d x y

y x

d k i iλ

d d y x

h  



 











  

 ^{2 2 2 2}

0 4

, 2 2 4

max 

 

 ^y

y

x x Mp p

Np p d

RQ :  identique Fresnel si p_x >> 

mm-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

Conditions d’échantillonnage (3)

Echantillonnage des réponses impulsionnelles-2 Illustration avec NM = 512512, p_xp_y = 5mm5mm et  = 0,5mm

mm 6

,

0  25 d

mm

0 100 d Shannon :

u

v

mm

0 500 mm d

0 100 d

mm-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

mm

mm

Réponse impulsionnelle de Fresnel (Re)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

Conditions d’échantillonnage (4)

Echantillonnage des réponses impulsionnelles-3 Illustration avec NM = 10241024, p_xp_y = 5mm5mm et  = 0,5mm

mm 2 ,

0  51 Shannon : d

 extension de l’horizon d’observation

mm

0 100

d d₀ 500 mm

mm

0 100 d

mm^-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

mm^-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

 extension de la bande passante spatiale

mm

mm

Réponse impulsionnelle de Fresnel (Re)

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

Conditions d’échantillonnage (5)

Echantillonnage des réponses impulsionnelles-4 Illustration avec NM = 10241024, p_xp_y = 5mm5mm et  = 0,5mm

mm 2 ,

0  51 Shannon : d

mm

0  45 d mm

0  45 d

mm

mm

Réponse impulsionnelle de Fresnel (Re)

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

mm^-1

mm-1

Spectre de fréquences spatiales

-100 -50 0 50

-100

-50

0

50

 repliement