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Submitted on 1 Jan 1990
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PROBLÈMES DE DIFFRACTION-DIFFUSION ET DE RAYONNEMENT ACOUSTIQUES
P. Filippi, J.-P. Sessarego
To cite this version:
P. Filippi, J.-P. Sessarego. APPLICATION DE LA THÉORIE SPECTRALE AUX PROBLÈMES DE DIFFRACTION-DIFFUSION ET DE RAYONNEMENT ACOUSTIQUES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-63-C3-72. �10.1051/jphyscol:1990307�. �jpa-00230735�
COLLOQUE D E PHYSIQUE
Colloque C3, supplément au n017, Tome 51, ler septembre 1990
APPLICATION DE LA THÉORIE SPECTRALE AUX PROBLÈMES DE DIFFRACTION-DIFFUSION ET DE RAYONNEMENT ACOUSTIQUES
P. FILIPPI et J.-P. SESSAREGO
Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, 31, chemin Joseph Aiguier, F-13402 Marseille Cedex 09, France
Résumé : On considère une structure vibrante de dimensions finies immergée dans un fluide s'étendant jusqu'à l'infini ; le système est excité par des sources quelconques, et on s'intéresse au champ acoustique dans le fluide. A partir d'une formulation générale à 1 'aide d'équations intégrales de frontières, on exprime la solution en régime harmonique par une série de modes propres. On en déduit alors une expression du régime temporel sous forme d'une série des modes de résonance. La théorie générale est présentée sur le cas simple où la structure est un volume fluide ; elle est illustrée par un calcul détaillé de la diffraction par une sphère fluide. Enfin, on présente et commente les diverses méthodes expérimentales utilisées pour 1 'identification de cibles par voie acoustique.
Summary : Let us condider a finite dimension vibrating structure embedded in a fluid extending up to infinity ; the acousic field, due to any kind of excitation of this system, is looked at. Using a general boundary integral formulation of the problem, the harmonic response is expanded as a series of the corresponding eigenmodes. The time dependent response is then deduced, and expressed by a series of the resonance modes. The general theory is developed on a simple case : the structure is a fluid volume. It is illustrated by the detailed calculations of the acoustic field diffracted by a spherical fluid volume. Finally, the various experimental methods used for target acoustic identification are recalled, and analysed.
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INTRODUCTIONDans le présent exposé, nous ne faisons aucune distinction entre le problème du rayonnement acoustique par une structure vibrante, et celui de la diffraction d'une onde acoustique par une cible élastique. En effet, sur le plan mathématique, et donc sur celui de la résolution numérique, ces deux problèmes sont identiques. Cependant, les spécialistes de ces deux domaines utilisent souvent des méthodes différentes, voire des expressions différentes (par exemple, les uns parlent de diffusion, là où d'autres parlent de diffraction). Au niveau de certaines notions, i l existe également des habitudes de langage qui peuvent entrainer une certaine confusion : la notion de modes, par exemple, n'est pas toujours assez précisée, et le lecteur non averti a du mal à savoir s'il s'agit de modes propres ou de modes de résonance. Un des buts de cet exposé est d'essayer de montrer le lien entre ces deux classes de problèmes, et de proposer une langage plus unifié.
Nous commençons par présenter un aspect général de la théorie spectrale appliquée au couplage fluide-structure vibrante : bien que nous envisagions une structure simplifiée
(elle est constituée par un volume occupé par un fluide), les conclusions que l 'on en tire sont tout à fait générales. La théorie générale est ensuite illustrée par l'exemple de la diffraction d'une onde plane par un sphère contenant un fluide. Le calcul analytique complet, qui est possible dans ce cas, permet de bien appréhender les avantages des méthodes spectrales, et d'en voir également les 1 imites au niveau des études expérimentales. Enfin, nous consacrons une dernière partie à 1 a description des méthodes expérimental eh de reconnaisance de cibles, et à une analyse comparative de leurs possi bil ités respectives.
2
-
ASPECT GENERAL DE LA THEORIE SPECTRALEIl ne s'agit pas, ici, de présenter la théorie spectrale des opérateurs dans sa généralité ; nous nous limitons strictement à l'utilisation des résultats qui nous sont
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990307
utiles dans le cadre de 1 'appl ication envisagée.
2-1 Enoncé du problème :
On considère un domaine %borné, de frontière 2
,
occupé par un fluide caractérisé par une masse volumique pz et une vitesse de propagation des ondes acoustiques c,. L'extérieurq
de ce domaine est occupé par un fluide de caractéristiques pl et c.
Soient Iïl (M,t) une pression incidente donnée dans 2,
et $(M,t) une pression incidente donnée dans % (si$= O
,
on a un problème de diftraction ; sinl=
O, on a un problème de rayonnement). Les pressions acoustiques totales a,(M,t) et a;(M,t), qui règnent respectivement dans El et %, vérifient le système d'équations suivant :(
[ A - (l/c:) a2/at2 ] ( a ,-nl
) = O dans 4[
A - (11~2) a2/at2 ] (a,
-q
1 = 0 dans %(1 a , = a; sur Z
sur Z, n = normale à Z extérieure à B
On ajoute en outre des données initiales (champ nul) pour assurer l'unicité de la solution.
Soient maintenant pj et Pj les transformées de Fourier de ai et
nj
définies par :~ ( t ) eiwt dt ; p(t) =
J'
f(w)e-jmt dw.
Ces fonctions vérifient les équations suivantes :
[ A + k : ] ( p l - P 1 ) = O dans E l , kl = w/c1 (21
1
[ A + ~ Z ] ( P ~ - P ~ ) = O dans %, k, = w/czPl = P2 sur z
anp1/pl = anpz/pz sur 1
On ajoute une condition de Sommerfeld sur ( pl - Pl ).
2-2 ûe~résentation de Green de la solution du système (21, et éauations intéarales de frontière :
Désignons par Gj (M,M1) les noyaux de Green vérifiant la condition de Sommerfeld définis oar :
Les pressions acoustiques dans les deux milieux sont données par :
( 3 ) pj (M) = Pj (M) + ej
1,
[ Gj (M,M1) an.pj (M') - pj (M') a,.Gj (M,M') 1 e l = 1, E2= - 1En écrivant les conditions de continuité, on obtient un système d'équations intégrales de frontière pour déterminer pl et anpl :
2-3 Modes propres et modes de résonance :
Notons A 1 'opérateur matriciel défini par les expressions (4). Les modes propres et valeurs propres de A sont définis par :
On montre &'il en e d s t e une suite dénombrable ; les modes propres sont orthogonaux entre eux, et on peut les supposer de norme unité. Il faut noter que les modes et valeurs propres dépendent de la pulsation w. La solution du système (4) s'écrit alors :
A chaque couple (
uj
,@j), on peut associer, par la relation de Green ( 3 ) , un mode de rayonnement (ou de diffraction) pJ,
et la pression acoustique dans le milieu nOl prend alors la formeF j .
(7) Pl = p l
+ C - P ~ .
j j'
Les expressions(6) et (7) sont toujours définies lorsque la pulsation w est réelle.
Les pulsations de résonance sont les valeurs complexes
njs
de la pu1 sation w qui annulent les valeurs propres xj(w). Il leur correspond des modes de résonance donnés parOn montre [1,2] que les pulsations de résonance forment une suite dénombrable, sont de partie imaginaire négative, et vont par paires symétriques par rapport à l'axe réel. A chacun des modes de résonance du système d'équations intégrales de frontière on peut associer un mode de résonance de rayonnement (ou de diffraction) par :
2-4 Représentation de la pression acoustiaue
a,
:Elle est donnée par transformation de Fourier inverse de l'expression (7),
c'est-à-dire que nous devons calculer des expressions de la forme :
Les zéros de
xj
(w) étant de partie imaginaire négative, on est assuré que les fonctions définies par les expressions (9) sont nulles pour t < O. En utilisant la méthode des résidus, pour t suffisamment grand on obtient le résultat suivant :Fj(Rjs) - i n . t
(10) tq (M,t) =
nl
(M,t) - 2in1 -
PiS(M) e J S,
A; (w) = a i j (w)/8wjs
xJ(fijS)
expression dans laquelle la pression acoustique diffractée est exprimée à partir des modes de résonance définis par la relation (8).
3
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DIFFRACTION D'UNE ONDE PLANE PAR UNE SPHERE FLUIDELa surface 2 est une sphère de rayon a, centrée l'origine. On suppose qu'il n'y a pas d'onde incidente dans le milieu n02, et que dans le milieu nOl on a une onde incidente plane, soit :
i w T o i k l Z
IIl(M,t) = U(t) * S(t - r, - Z/cl)
,
P,(M,w) = u(w) e e,
7, arbitraire.Nous commençons par traiter le régime harmonique. On développe 1 'onde incidente en série d'harmoniques sphériques, et on cherche les pressions p (M) et p, (M) sous forme d'un développement analogue, en tenant compte de la symétrie de révo\ution des données :
i 00
pz (M) = a2
x
(2n+l) j,, (k2p) Pn (cose) A hn (k2 P)-
Bn h, (k, v)]n = l
avec : (~,8) = coordonnées sphériques d'un point ; P (u) = polynôme de Legendre ; jn (u) = fonction de Bessel sphérique ; hn (u) = fonction de ~ankel sphérique de première espèce. Les coefficients An et Bnsont donnés par :
Le système d'équations intégrales (4) est alors remplacé par une suite de systèmes d'équations algébriques 1 inéaires :
Sans qu'il soit besoin de faire le calcul, on voit immédiatement sur l'expression (11) que les modes propres de rayonnement se confondent avec les harmoniques sphériques
L'équation aux valeurs propres s'écrit :
x2 -
(VA'
+y )
A + (VA1 VE2 - V12 n V21 n)
= O ;elle a deux racines, dont une seule posséde des zéros. Ces zéros sont donnés par 1 'équation des résonances suivante :
En annulant le premier terme on a l'équation classique des résonances que l'on obtient en cherchant la solution du problème en séparation des variables ; l'annulation du second terme, qui donne des modes de résonance identiquement nuls, n'est autre que l'équation aux résonances du système physique dans lequel le milieu n02 est à l'extérieur de la sphère, et le milieu n0l à l'intérieur.
En régime harmonique, le champ diffracté par la sphère fluide s'exprime par la série suivante :
(14) pl (M,w) = Pl (M,u) + U(u) eiurO
Pour cal cul er 1 a réponse temporel 1 e, i 1 faut examiner 1 e comportement asymptotique des composantes de la pression diffractée quand w est de partie imaginaire négative, et de module croissant indéfiniment. On montre aisément le résultat suivant :
e i u ~ / c l
rn
(w) iw(p-2a)/clhn(klp) = cte
----
;-
h, (kl P)"
e x terme borné P Dn(4
On calcule alors la transformée de Fourier inverse de l'expression (14) par une méthode de résidus, qui fait apparaître, outre l'onde incidente, un premier terme transitoire de durée 2a/c1, puis un second terme qui décroît exponentiellement en fonction du temps :
Les coefficients a,, et pn sont donnés par :
En prenant la transformée de Fourier de ?'expression (151, on obtiendrait une nouvelle représentation de la pression acoustique en régime harmonique, qui fait intervenir les modes de résonance.
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METHODES EXPERIMENTALES D'ETUDE DE LA DIFFUSION ACOUSTIQUE PAR UNE CIBLEA la lumière des résultats théoriques qui ont été exposés précédemment, nous allons analyser les différentes techniques expérimentales qui ont été mises en oeuvre pour mettre en évidence soit l'aspect résonnant de la diffusion acoustique, soit l'interprétation en termes d'ondes de différents types de la réponse temporelle d'une cible diffusante.
Historiquement, 1 a première méthode expérimentale développée pour détecter 1 es résonances d'une cible a été baptisée MIIR (Méthode d'Isolement et d'Identification des Résonances) par ses auteurs [3]. Un train d'onde de durée assez longue (quelques dizaines de cycles), de fréquence v Q est émis ; on analyse la partie du signal qui correspond au régime d'extinction de l'écho refléchi. Cette façon de procéder s'apparente aux méthodes classiques en acoustique des salles où 1 'on s'intéresse au phénomène de réverbération pour en extraire des informations sur les caractéristiques acoustiques de la salle.
Plus précisément, on examine l'écho renvoyé par la cible en fonction de la fréquence
v g du train d'onde émis. Ce signal présente un transitoire d'établissement,puis une phase d amplitude à peu près constante qui correspond au régime quasi-établi ; enfin une troisième phase d'extinction dont on mesure l'amplitude relative quelques périodes après son début.
L'amplitude relative de 1 'extinction du signal en fonction de la fréquence constitue ce que les auteurs de la MIIR appellent le spectre de résonance de la cible. On constate que cette fonction présente une suite de pics d'amplitude, qui apparaissent pour une suite de fréquences G j . Il serait évidemment erroné d'assimiler ces fréquences aux fréquences de résonances de la cible. En effet, nous avons vu que les fréquences de résonance de la cible sont de partie imaginaire strictement négative. Toutefois, on peut remarquer que la composante du régime transitoire correspondant à la pulsation de résonance O,,,
,
passe par un maximum quand la pulsation du train d'onde excitateur est égale à la partie réelle de %,.
Cette méthode permet de mettre en valeur des quasi-résonances : leurs fréquences sont proches de la partie réelle des fréquences de résonance faiblement amorties de la cible. On peut donc considérer que cette technique expérimentale permet de détecter certaines des fréquences de résonance d'une cible. La figure 1 montre trois exemples de signaux rétrodiffusés par une sphère métallique creuse, et permet de voir les différents régimes transitoires et quasi-établis dont on a parlé plus haut.
La MIIR semble mal adaptée à la détection des résonances très amorties. Les auteurs de cette méthode (voir [ 4 ] ) , ont montré la difficulté qu'il y a à mettre en évidence expérimentalement certaines résonances d'une cible que la théorie prévoit.
Examinons maintenant de plus près l'expression (15) qui donne la réponse temporelle d'une cible. Elle appelle un certain nombre de remarques. Plaçons-nous, pour simplifier, dans le cas de la rétrodiffusion.0n voit que l'on peut distinguer deux périodes dans le signal rétrodiffusé. La première phase du signal réfléchi commence à une date qui correspond au temps qu'une onde acoustique met à faire le chemin aller-retour entre le point d'observation et le point de la cible le plus proche : c'est ce que 1 'on peut appeler 1 'écho géométrique de la cible. La deuxième phase débute à une date qui correspond au temps mis par une onde acoustique pour effectuer le trajet aller-retour entre le point d'observation et la limite de l'ombre géométrique. Ces deux phases contiennent, certes, toutes deux l'ensemble des informations sur les fréquences de résonances de la cible ; mais l'ensemble de la réponse fait apparaître une série des modes de résonance à coefficients dépendant du temps ;
aussi son spectre de Fourier sera délicat à analyser, puisqu'il contiendra le produit de convolution des transformées de Fourier des modes de résonance par celle des divers coefficients. Du point de vue expérimental, i l semble donc préférable d'effectuer l'analyse de Fourier de la deuxième phase du signal rétrodiffusé, uniquement ; c'est d'ailleurs cette technique qui a été adoptée par certains auteurs [5,6].
Telle que nous l'avons écrite, l'expression (15) contient une sommation en n de fonctions de la forme
Sous cette forme, il est difficile de donner une interprétation du résultat en termes
d'ondes de surfaces. L'utilisation de la transformée de Sommerfeld et Watson présente le résultat avec une inversion de l'ordre des sommations, et permet cette interprétation du phénomène observé. Dans un cas général, l'inversion de l'ordre des sommations pose une difficulté théorique : nous avons vu qu'à chaque mode propre numéroté n correspond une suite de modes de résonances numérotés par un deuxième indice s ; on désirerait inverser l'ordre des sommations de façon à obtenir, pour chaque s, une série en n qui puisse recevoir une interprétation physique ; on voit donc que le choix de la numérotation en s ne peut pas être quelconque. L'examen du cas simple de la diffraction par une sphère ou un cylindre suggère que, pour n donné, on numérote les résonances correspondantes par ordre d'amortissement croissant, ce qui donne une règle pour l'inversion de l'ordre des sommations. On peut donc se poser la question de savoir si cette méthode de numérotation reste valable dans le cas général.
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DEFINITION D'UN FOND NON RESONNANT OU FOND DE REFERENCELes études théoriques de la diffraction d'une onde acoustique par une cible doivent beaucoup à la théorie de la diffusion de Lax et Philips [1,2] : ces auteurs ont développé l'outil mathématique adapté à l'étude analytique des phénomènes de résonance. Suivant donc le modèle adopté en mécanique quantique, les acousticiens se sont attachés à définir ce qu'ils appellent un fond non résonnant qui, en fait, est plutôt un fond de référence : c'est la réponse d'une cible de même forme que la cible étudiée, mais dont la réponse fréquenti el le est moins accidentée. Par exemple, pour une sphère métal 1 ique pleine immergée dans de l'eau, on prend pour référence une shère parfaitement rigide immergée dans le même fluide. Le champ rétrodiffusé par 1 'obstacle parfaitement rigide oscille faiblement en fonction de la fréquence, alors que celui renvoyé par le sol ide élastique présente des accidents plus marqués et plus "pointus". Il s'ensuit que la comparaison entre les réponses fréquentielles des deux types de cibles permet de mieux faire apparaître les quasi-résonances de la cible élastique. La figure 2 montre d'une part l'amplitude du champ rétrodiffracté par une sphère creuse, en fonction de la frequence réduite, et d'autre part l'amplitude de la différence entre ce champ et le fond de référence.
Lorsqu'on envisage le cas d'une coque sphérique, la sphère parfaitement rigide (condition aux 1 imites de Neumann) est une bonne référence si la coque est épaisse ; si elle est mince, la bonne référence est une sphère avec condition aux limites de Dirichlet ; pour des épaisseurs intermédiaires, on ne sait trop quelle référence choisir. On aimerait trouver une méthode systématique pour choisir une référence qui soit toujours adaptée au cas envisagé : la référence doit avoir des quasi -résonances peu marquées, et dans le cas de la coque élastique par exemple, doit prendre en compte la nature et 1 'épaisseur du matériau.
Différents auteurs se posent la question du choix d'une référence adaptée (voir 171 en particulier). Si l'on revient à la théorie générale du couplage entre les vibrations d'une structure élastique et un fluide environnant, on peut montrer que la pression acoustique qui règne dans le fluide doit satisfaire, sur la surface de la structure, une condition aux 1 imites non 1 ocale. En première approximation, cette condition revient à caractériser la surface de la structure par une impédance normale spécifique : cette impédance est celle que présente à une onde plane une interface fluide/matériau composant la structure. Par conséquent, une approximation de 1 'influence de la structure consiste à la remplacer par un obstacle de même forme, et caractérisé par une condition aux limites locale : il semble raisonable de prendre pour fond de référence la réponse de cette structure approchée. Dans l'exemple de la sphère fluide que nous avons développé précédemment, le fond de référence serait :
5'e
An(4 j,(kla) + i j,(kla) plcl/~,c, hn(k,FJ) Pn(cose), -
=,
= 0 n'(al
Bn(w) hi(k,a) + i hn (kla) p1cl/p2c2 'Il serait utile de démontrer que, dans le cas général, ce type de fond de référence a un comportement analogue aux fonds cl assi quement adoptés. On peut cependant remarquer que dans les deux cas extrêmes p1cl/p2c2 < 1 (resp. plc1/pZcZ
*
1 ), ce fond de référence est très voisin du fond classique correspondant à la condition aux limites de Neumann (resp. de Dirichlet).6
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CONCLUSIONDans 1 e présent exposé, nous avons essenti el 1 ement développé 1 'aspect "diffraction"
des phénomènes d'interaction entre un champ acoustique et une structure vibrante, laissant quelque peu en retrait l'aspect "rayonnement". Cependant, comme nous l'avons mentionné au début, ces phénomènes relèvent du même type d'analyse mathématique.
On peut noter que, dans l'ensemble, les auteurs s'intéressant à la diffusion par une cible ont essentiellement développé le coté "analyse spectrale" des phénomènes, et utilisent que trés peu les méthodes utilisées pour les problèmes de rayonnement (méthodes d'éléments finis et d'éléments finis de frontière, en particulier).
De même, les auteurs qui se penchent sur les problèmes de rayonnement acoustique par des structures vibrantes n'util isent généralement pas les apports que peut fournir la théorie spectrale. Les théories modales util i sées dans ce domaine se restreignent au développement du régime vibratoire de la structure sur l a base que constituent les modes de résonance de la structure sèche : s'ils sont plus faciles à calculer, ils sont cependant mal adaptés à la description des phénomènes, surtout dans le cas de fluides lourds.
Pour conclure, disons qu'il nous paraît utile d'envisager les problèmes de diffraction-diffusion et de rayonnement comme un seul problème, et d'exploiter indifféremment dans ces deux domaines les méthodes qui sont, jusqu'à maintenant, util isées soit dans l'un, soit dans l'autre.
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