Théorie Spectrale
Chapitre 1 : Introduction à la théorie spectrale
Lucie Le Briquer
Table des matières
1 Rappels sur les espaces de Hilbert 2
1.1 Projection sur un convexe . . . 3
1.2 Dualité . . . 3
1.3 Bases hilbertiennes . . . 6
1.4 Convergence faible . . . 7
2 Spectre des opérateurs continus 9 2.1 Rappels étendus d’analyse complexe I . . . 13
2.2 Rappels étendus d’analyse complexe II . . . 14
2.3 Preuve du théorème 9 . . . 15
3 Opérateurs compacts 16 4 Opérateurs auto-adjoints 21 4.1 Adjoint, auto-adjoint et propriétés . . . 21
4.2 Spectre essentiel . . . 27
5 Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts 29 6 Calcul fonctionnel continu 30 6.1 Algèbre stellaires . . . 30
1 Rappels sur les espaces de Hilbert
SoitHun espace vectoriel (complexe).
Un produit scalaire sur Hest une forme sesquilinéaire (1+2) hermitienne définie positive.
B:H × H →Ctelle que :
1. ∀x, x0, y∈ H,∀λ∈CB(x+λx0, y) =B(x, y) +λB(x0, y) 2. ∀x, y, y0∈ H, ∀λ∈CB(x, y+λy0) =B(x, y) + ¯λB(x, y0) 3. ∀x, y∈ HB(y, x) =B(x, y)
4. ∀x∈ H, B(x, x)>0, B(x, x) = 0⇔x= 0 On noteB(x, y) =hx, yi=hx, yiH.
Définition 1(produit scalaire)
La norme associée estkxk=p
B(x, x) =kxkH.
x, y∈ Hsont orthogonaux sihx, yi= 0. Et siE sev deHon note : E⊥ ={y∈ H | hx, yi= 0∀x∈E}
Remarque.
• kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2<hx, yi
• kx+y2 k2+kx−y2 k2= 12 kxk2+kyk2
(identité de la médiane)
• kx+yk2− kx−yk2= 4<hx, yi
x→ kxk est une norme et
∀x, y∈ H |hx, yi|6kxkkyk Propriété 1(inégalité de Cauchy-Schwarz)
• Une norme préhilbertienne est une norme associée à un produit scalaire.
• Elle dite hilbertienne si complète.
• Un espace de Hilbert est un espace vectoriel (complexe) muni d’un produit scalaire de norme associée hilbertienne.
• Un isomorphisme d’espaces préhilbertiens (ou de Hilbert) H1,H2 est ϕ : H1 → H2
isomorphisme linéaire préservant les produits scalaires (∀x, y∈ H1 hϕ(x), ϕ(y)iH2 = hx, yiH1)⇔ préservant les normes associées (∀x∈ H2 kϕ(x)kH2 =kxkH1)⇔préser- vant les normes associées (isométrique)
Définition 2(Espace de Hilbert, norme préhilbertienne et hilbertienne)
Exemple.
1. Espace hermitien standard de dimn∈N.Cn,hx, yi=Pn i=1xiyi
2. Soit(X,A, µ)un espace mesuré non vide.
L2(X,A, µ) ={f :X →Cmesurables tq |f|2 intégrable}
muni dehf, gi=R
x∈Xf(x)g(x)dµ(x)
Pour toutHespace préhilbertien,∃Hˆ espace de Hilbert eti:H →Hˆ linéaire, isométrique, d’image dense. Si ( ˆH#, i#) est un autre tel couple, alors ∃!j : ˆH → Hˆ# isomorphisme d’espaces de Hilbert tqj◦i=i#.
Théorème 1(complété)
Remarque.Hˆ=lecomplété deH, on identifieHavec son image dansHˆ et deux tels complétés par l’unique isomorphisme ci-dessus.
1.1 Projection sur un convexe
SoitHun espace de Hilbert. SoitC un convexe fermé non vide. ∀x∈ H ∃!y =pC(x)∈C tel que
kx−yk= min
z∈Ckx−yk ⇔d(x, y) =d(x, C)
De pluspC:H →Cest 1-lipschitzienne, c’est laprojection orthogonalesurC. Ety=pC(x) est l’unique point deCtq :
∀z∈C, <hx−y, z−yi60 (angle obtus)
SiC est un sev, alorspC est linéaire ety=pC(x)est l’unique point deC tqx−y∈C⊥ Théorème 2
SoitE sev deH.
1. E fermé⇒E⊥ supplémentaire deE H=E⊕E⊥ 2. E dense⇔E⊥ ={0}
Corollaire 1
1.2 Dualité
SoitK= Rou Cet E un espace vectoriel normé surK. Le dual topologique deE est l’espace vectoriel surK: E∗=E0={l:E→Kforme linéaire continue}muni de lanorme duale
klk= sup
x∈E\{0}
|l(x)|
kxk = sup
kxk61
|l(x)|
Lebidual topologique estE∗∗
∀x∈E kxk= max
l∈E∗,klk61|l(x)|
Proposition 1
Remarque.Il y a suffisamment de formes linéaires pour mesurer la norme du vecteur.
ß E → E∗∗
x 7→ {evx:l7→l(x)}
est linéaire isométrique. Son image est fermée siE est de Banach.
On identifie souventE avec son image dansE∗∗
Corollaire 2
Preuve.
∀x∈E, evx:E→Klinéaire, de norme égale àkxk par la proposition précédente.x7→evx est linéaire, isométrique, donc son image est complète si E Banach. Une partie complète d’un evn est fermée.
∀u∈ L(E, F),
tu:
ß F∗ → E∗ l 7→ l◦u
est appelée l’application duale de u. (Lnotation pour les linéaires continues) Définition 3(application duale)
Remarques.
• si E, F de dim finie, si (ei)16i6n et (fj)16j6m bases deE, F. Si (e∗i)16i6n et (fj∗)16j6m
bases duales deE∗, F∗, siM matrice deu∈ L(E, F)dans les bases(ei)et(fj), alorsMT est la matrice detu∈ L(F∗, E∗)dans les bases(fj∗)et (e∗i)
•
ß L(E, F) → L(F∗, E∗)
u 7→ tu est linéaire et isométrique car : kuk= sup
kxk61
ku(x)k =
prop sup
kxk61
sup
klk61
|l(u(x))|
= sup
klk61
sup
kxk61
|tu(l)(x)|= sup
klk61
ktu(l)k
=ktuk
• t(tu)|E=ucart(tu)∈ L(E∗∗, F∗∗),∀x∈E,∀l∈F∗
t(tu)(evx)(l) =evx(tu(l)) =evx(l◦u)
=evu(x)(l)
SoitE un ev complexe. Sonespace vectoriel conjugué E est le groupe additifE muni de la multiplication externe :
ß (λ, x) 7−→ ¯λx C×E −→ C Définition 4(espace vectoriel conjugué)
Remarques.
• norme deE ↔norme deE¯
• forme sesquilinéaire surE ↔forme bilinéaire
SoitHun espace de Hilbert. SoitH∗ le dual topologique du conjugué deH. Alors : ß H −→ H∗
x 7−→ {y7→ hx, yi}
est un isomorphisme linéaire isométrique pour les normes deHet la norme duale deH∗ Théorème 3(Riesz-Fréchet)
∀a:H × H −→Cforme sesquilinéaire continue :
∃!u∈ L(H)tel que ∀x, y∈ H hu(x), yi=a(x, y) De plus,ahermitienne⇒uauto-adjoint (∀x, y∈ H hu(x), yi=hx, u(y)i).
Corollaire 3
Preuve.
∀x∈ H,
ß H¯ −→ C
y 7−→ a(x, y) est linéaire, continue. Donc, par Riesz-Fréchet, il existe un unique u(x)∈ Htel que∀y∈ H hu(x), yi=a(x, y). Par unicité, u est linéaire. Comme :
ku(x)k2=hu(x), u(x)i=a(x, u(x)) 6kxkku(x)kkak
⇒ ku(x)k6kakkxk.uest donc continue.
Une forme sesquilinéairea:H × H −→Cestcoercive si :
∃c0>0, ∀x∈ H a(x, x)>c0kxk2 Définition 5(coercive)
Soita:H × H −→Csesquilinéaire, continue, coercive.
∀l∈ H∗, ∃!u∈ H,∀v∈ H a(u, v) =l(v) De plus, siahermitienne, alorsuest l’unique élément deHtel que :
1
2a(u, u)− <(l(u)) = min
v∈H
Å1
2a(v, v)− <(l(v)) ã Théorème 4(Lax-Milgram)
1.3 Bases hilbertiennes
SoitHun espace de Hilbert. Soit(En)n∈Nsuite de sev fermés de H. On dit queHest une somme hilbertienne de(En)n∈Nsi :
1. lesEn sont 2 à 2 orthogonaux
2. le sev engendré par lesEn est dense dansH On noteH=L
n∈NEn
Définition 6(somme hilbertienne)
Remarque.(important) somme hilbertienne6=somme directe Exercice. Soit(Hn)n∈N une suite d’espaces de Hilbert. Posons :
H={(xn)n∈N∈ Y
n∈N
Hn | X kxnk2H
n<+∞}
et< x, y >=P
n∈N< xn, yn>Hn.
1. Montrer que (H, <, >H) est un espace de Hilbert, séparable (admet un sous ensemble dénombrable dense) si∀n∈N,Hn est séparable.
2. SoitEn=l’ensemble des éléments deHdont tous les termes sont nuls sauf lenème. Montrer queEn est un sev fermé de Hisomorphe àHn et queHest somme hilbertienne desEn.
SupposonsHsomme hilbertienne de(En)n∈N.∀x∈ Hposonsxn=pEn(x). Alors∀x∈ H, les sériesPxn et Pkxnk2convergent etx=P
n∈Nxn et kxk2=P
n∈Nkxnk2.
Réciproquement,∀n∈N, soitxn ∈En tel quePkxnk2 converge. AlorsPxn converge et six=P
n∈Nxn alorskxk2=P
n∈Nkxnk2 Théorème 5(égalité de Parseval)
Remarques.
• Pkxnkn’est pas toujours convergente
• D’une convergence de série en dimension 1 on en déduit une convergence en dimension infinie.
SiHest de dimension finie, unebase hilbertiennedeHest une base orthogonale. Sinon, une base hilbertienne deHest une suite orthonormée(en)n∈NdansHengendrant un sev dense.
kenk= 1,hen, emi= 0sin6=met Vect(en|n∈N) =H Définition 7(base hilbertienne)
Remarques.
• (en)n∈N base hilbertienne⇔en unitaire etH=L
n∈NCen
• base hilbertienne6=base vectorielle
• si (en)n∈N base hilbertienne de H alors ∀x ∈ H,∃!(λn)n∈N (coordonnées hilbertiennes) dansCtel quePλnen etP|λn|2convergent etx=P
n∈Nλnen, kxk2=P
n∈N|λn|2avec λn=hx, eni
Exemple.(en:t7−→ √1
2πeint)n∈Z base hilbertienne deL2([0,2π],C).
Coordonnées hilbertiennes :
cn(f) = 1
√ 2π
Z 2π 0
f(t)e−intdt
Ce sont les coefficients de Fourier.
Transformation de Fourier inverse :
f = 1
√2π X
n∈Z
cn(f)eint
Formule de Parseval :
kfk22=X
n∈Z
|cn(f)|2
Hadmet une base hilbertienne ⇔ Hest séparable Théorème 6
Deux espaces de Hilbert séparables sont isomorphes.
Théorème 7
1.4 Convergence faible
Une suite(fn)n∈NdansHconverge faiblement versf ∈ Hsi :
∀g∈ H hfn, gi −−−−−→
n→+∞ hf, gidansC et on notefn *
n→+∞f
Définition 8(convergence faible)
Remarque.(attention) convergence forte⇒convergence faible. En revanche la réciproque n’est vraie qu’en dimension finie.
• convergence forte :
fn →f ⇔ kfn−fk −−−−−→
n→+∞ 0
• convergence faible :
fn* f ⇔ ∀ghfn, gi −−−−−→
n→+∞ hf, gi
1. Toute suite faiblement convergente est bornée
2. si E, F sont des espaces de Hilbert, si u ∈ L(E, F) alors l’image par u d’une suite faiblement convergente est faiblement convergente
Propriété 2(propriétés sur la convergence faible)
Toute suite bornée dansHadmet une sous-suite faiblement convergente.
Théorème 8(Théorème de compacité faible de la boule unité fermée d’un Hilbert)
Si(xn)n∈Nconverge faiblement vers xdansHet kxnk −−−−−→
n→+∞ kxk alors(xn)n∈Nconverge fortement versx.
Propriété 3
Preuve.
kxn−xk2=kxnk2+kxk2−2<< xn, x >
Exemple.(suite faiblement convergente mais pas fortement) (en)une base hilbertienneen *
n→+∞0maisen90.
2 Spectre des opérateurs continus
SoientE espace de Banach complexe etu∈ L(E)unopérateur continu deE.
• valeur régulière deu:λ∈Ctel que u−λid soit inversible dansL(E)
• ensemble résolvant deu:{valeurs régulière deu} ⊂C
• valeur spectrale deu:λ∈Ctel queu−λid non inversible dansL(E)
• spectre deu: Sp(u) ={valeurs spectrales deu}
• application résolvante : Ru:
ß C\Sp(u) −→ L(E) λ 7−→ (u−λid)−1
• rayon spectral :ρ(u) = sup
λ∈Sp(u)
|λ|
• valeur propre deu:λ∈Ctel queu−λid non injective⇔Ker(u−λid)6={0}
• sonespace propre associé : Ker(u−λid)
• samultiplicité :dimKer(u−λid)∈N∪ {+∞}
• unvecteur propre associé: un élément non nul de son espace propre
• lespectre poncutel : Vp(u) ={valeurs propres deu}
• lespectre résiduel : Spres(u) ={λ∈C|λ /∈Vp(u)et Im(u−λid)non dense dansE}
Définition 9(définitions importantes)
Exemple.Si E6={0}, siu= 0alors :
Sp(u) =Vp(u) ={0}et Spres(u) =∅ siu=id
Sp(u) =Vp(u) ={1}et Spres(u) =∅ Remarques.
1. SidimE <+∞, alors∀u:E→E linéaire :
u−λid inversible ⇔u−λid surjective ⇔u−λid surjective donc Spres(u) =∅ et Sp(u) =Vp(u) ={racines de det(u−λid)},ρ(u) = max
λ∈Vp(u)|λ|
2. Théorème de Banach. Soient E, F espaces de Banach,f :E→F linéaire, continue, bijec- tive. Alorsf−1:F →E est continue. Donc :
u−λid non inversible⇔u−λid non bijectif
3. bijectif⇒injectif donc Vp(u)⊂Sp(u) 4. bijectif⇒surjectif donc Spres(u)⊂Sp(u)
5. Soient E1, E2 espaces de Banach,u1 ∈ L(E1) et u2 ∈ L(E2). u1 et u2 sont conjugués si
∃v:E1→E2 homéo linéaire tel que :u2=v◦u1◦v−1.
Dans ce cas : Sp(u1) =Sp(u2), Vp(u1) =Vp(u2), Spres(u1) =Spres(u2) car(u2−λid) =v◦(u1−λid)◦v−1
Méthodologie.Aide au calcul du spectre, conjuguer à partir d’exemples de spectres connus Exercice. ∀α∈C\{0},∀β∈Con a :
Sp(αu+βid) =αSp(u) +β Vp(αu+βid) =αVp(u) +β Spres(αu+βid) =αSpres(u) +β Exercice. SiE=E1⊕E2 oùEi sev fermés etu(Ei)⊂Ei
Sp(u) =Sp(u|E1)∪Sp(u|E2) Vp(u) =Vp(u|E1)∪Vp(u|E2) Spres(u) =Spres(u|E1)∪Spres(u|E2)
Remarque.(attention) ce résultat est faux pour une somme hilbertienne, valable que pour un nombre fini
SoientE espace de Banach complexes etu∈ L(E).
1. Sp(u)⊂Cest compact etρ(u)6kuk 2. Sp(u)6=∅ ⇔E6={0}
3. siE6=∅, alors :
ρ(u) = lim
n→+∞kunk1n = inf
n∈N\{0}kunkn1 Théorème 9
Remarque.Pour 1.on a pas toujours l’égalité, par exemple : Sp
Å0 1 0 0 ã
={0}mais
Å0 1 0 0
ã
= 16= 0 Exercice 1.
SoientHespace de Hilbert complexe (séparable de dimension infinie), (en)n∈Nune base hilber- tienne deH. Ccompact deCet(λn)n∈Nsuite dense dans C.
1. Montrer que∃!u∈ L(H), ∀n∈Nu(en) =λnen
2. Montrer que Vp(u) ={λn |n∈N} et que Sp(u) =C, Spres(u) =∅. En déduire que tout compact deCest le spectre d’un opérateur continu.
Solution 1.
1. Montrons que∃!u∈ L(H)tq∀n∈N, u(en) =λnen
Existence. Notons(xn)n∈Nles coordonnées hilbertiennes dexdans(en)n∈N. En particulier x=P
n∈Nxnen. Définissons : u:
ß H −→ H
x 7−→ P
n∈Nxnλnen
On a :
X|xnλn|2< MX
|xn|2<+∞
car les λn sont bornés car dans un compact, et (xn) ∈ L2 Alors, par la réciproque de Parseval, Pxnλnen converge. Doncuest bien définie.
Cette application est clairement linéaire par la linéarité des coordonnées hilbertiennes.
Montrons la continuité.∃K >0,∀n∈N,|λn|< K : kunk2 =
Parseval
X
n∈N
|λnxn|26K2X
n∈N
|xn|26K2kxk2 Doncuest continue.
Unicité. Soitx∈ H. Pour un certainN ∈N, u(x) =u X
n∈N
xnen
!
=
cont + linu(xnen) =X
n∈N
xnλnen
2. Montrons que Vp(u) ={λn, n∈N}:
• ⊃:∀n, λn∈Vp(u)caru(en) =λnen, en6= 0
• ⊂:λ∈Vp(u)⇔ ∃x∈ H, x6= 0, u(x) =λx.
Soitx=P
n>0xnen∈ H,∃n0∈N, xn0 6= 0 u(x)−λx=X
n
(λn−λ)xnen= 0 ⇔
unicité∀n(λn−λ)xn = 0 Commexn0 6= 0,⇒λ=λn0. Doncλ∈Vp(u)⇒λ∈ {λn, n∈N}.
Montrons que Sp(u) =C.
• Montrons queC⊂Sp(u)
Vp(u)⊂Sp(u)et Sp(u)fermé, donc Vp(u) =C⊂Sp(u)
• Montrons que Sp(U)⊂C
Soitλ /∈C. Montrons queu−λid est inversible. Il suffit de montrer que u−λid est surjective. Soity∈ H. Remarquons que par compacité deC,d(λ, C) =d >0. Posons
∀i>0, xi= λyi
i−λ.
|Pxiei|converge car :
X
yi λi−λ
2
6 1 d2kyk2 Doncu(x)−λx=y.u−λid est bien surjective.
Montrons que Spres(u) =∅. Soitλ /∈Vp. Montrons que Im(u−λid) =H.
en= (u−λid) Å en
λn−λ ã
∈Im(u−λid) M
n∈N
Cen⊂Im(u−λid) Donc en passant à l’adhérence :
H ⊂Im(u−λid)
Soit K ∈ Cun compact non-vide. Montrons que c’est le spectre d’un opérateur continu.
Pour tout N > 1, on peut recouvrir K par un nombre fini (précompacité) de boules de rayon N1.{λn}=l’union des centres de ces boules pourN >1 convient.
Exercice 2.
SoientH,(en)n∈N comme ci-dessus.
1. Montrer que∃!u∈ L(H)∀n∈Nu(en) =en+1
2. Montrer que Vp(u) =∅, Spres(u) ={z∈C| |z|<1}, Sp(u) ={z∈C, |z|61}
Solution 2.
1. Unicité. Soit x∈ H, notons x = P
n∈Nxnen. Comme u est linéaire et continue on doit poseru(x) =P
n∈Nxnu(en). Doncu(x) =P
n∈Nxnen+1. Existence.
X
n∈N
|xn|2=kxk2qui est finie Donc par la réciproque du théorème de Parseval, P
i∈N\{0}xi−1ei converge, on la note u(x). Doncu(x)existe. Par le calcul précédent on aku(x)k=kxk, doncuest un opérateur continu (isométrique).
Linéarité. La linéarité est immédiate par la linéarité des coordonnées hilbertiennes.
SoientE, F espaces de Banach.
1. Si(xn)n∈Nsuite dansE, siPxn converge normalement (i.e.Pkxnk converge), alors Pxn converge dansE.
2. ∀u∈ L(E), sikuk<1 alors id−uest bijective d’inverseP
n∈Nun (continue)
3. si GL(E, F) = {f : E → F isomorphisme linéaire continu d’inverse continu} alors GL(E, F)est un ouvert deL(E, F)et
ß GL(E, F) −→ GL(F, E)
u 7−→ u−1
est continue.
Propriété 4
Preuve.
1. ok 2. P
k∈Nuk est normalement convergente carkukk6kukk donc converge par 1 versv∈ L(E) tel que u◦v=v◦u=v−id
3. ∀u∈ GL(E, F), ∀ u∈ BL(E,F)
u0, 1
ku−10 k
posonsv =id−u−10 ◦u∈ L(E). Alors kvk6 ku−10 kk(u0−u)k < 1. Par 2, id−v = u−10 ◦u est inversible, donc u aussi. Et u−1 = (id−v)−1◦u−10 . DoncGL(E, F)est ouvert.
ku−1−u−10 k=k(id−v)−1−idkku−10 k
=
+∞
X
n=1
vn
ku−10 k
6 kvk
1− kvkku−10 k −−−−→
u→u0
0
2.1 Rappels étendus d’analyse complexe I
SoientE espace de Banach complexe etU ouvert de C.
f :U →Eest analytique complexe si∀z0∈U,∃r >0,∃(cn)n∈Nsuite dansEtqB(z0, r)⊂U et
X
n∈N
(z−z0)ncn converge normalement surB(z0, r)de somme égale àf(z) Définition 10(fonction analytique complexe)
Remarque.(cn)n∈Nest unique, analytique complexe ⇒continue.
Sif :C→E analytique complexe est bornée, alorsf est constante.
Théorème 10(de Liouville)
Ru:
ß C\Sp(u) −→ L(E)
λ 7−→ (u−λid)−1 est analytique complexe Propriété 5(application résolvante analytique complexe)
Preuve.
Soitλ0 un valeur régulière deuet v0= (u−λ0id)−1.∀λ∈ BÄ λ0,kv1
0k
ä:
(u−λid)−1= ((u−λ0id)(id−(λ−λ0)v0))−1= (id−(λ−λ0)v0)−1◦v0
=
Prop2
X
n∈N
(λ−λ0)nvn+10 qui converge normalement.
2.2 Rappels étendus d’analyse complexe II
SoientE espace de Banach complexe etf :B(0, r)\{0} →E analytique complexe.
∃!(cn)n∈Zsuite dansE telle que :
• P
n∈Nzncn converge∀z∈ B(0, r)
• P
n∈N\{0}z−nc−n converge∀z6= 0
• f(z) =P
n∈Zzncn ∀z∈ B(0, r)\{0}appelé développement de Laurent Théorème 11(de développement de Laurent)
∀(an)n∈Nsuite dansE, lerayon de convergence deP
n∈Nznan est R= sup¶
r >0 | ∀z∈ B(0, r),X
znan converge©
= 1
limsup
n→+∞
kank1n Définition 11(rayon de convergence)
ρ(u) =limsup
n→+∞
kunk1n Propriété 6
Preuve.
Posons
f :
® BÄ 0,ρ(u)1 ä
\{0} −→ L(E) z 7−→ −1zRu 1
z
Par la formule (∗∗) (cf preuve du théorème 9) avecλ= 1z, f coïncide sur BÄ 0,kuk1 ä
\{0} avec P
n∈Nznun. Par unicité, P
n∈Nznun est le développement de Laurent def surBÄ 0,kuk1 ä
\{0}.
Orf est définie et analytique complexe sur BÄ 0,kuk1 ä
et ρ(u)1 >kuk1 . DoncP
n∈Nznun converge pour z∈ BÄ 0,ρ(u)1 ä
par le théorème de Laurent. D’où : 1
ρ(u) 6R= rayon de convergence de X
znun = 1 limsup
n→+∞
kunkn1 Réciproquement, si|λ|>R1 alorsP
n∈Nλ−nunconverge. Doncu−λid est inversible (car d’inverse
−λ1P
n∈Nλ−nun), doncλ /∈Sp(u)d’oùρ(u) = sup
λ∈Sp(u)
|λ|6R1.
Si(an)n∈Nest une suite réelle sous-additive (∀n, m∈N, an+m6an+am) alors : an
n
n∈N
converge dansRet lim
n→+∞
an
n = inf
n∈N\{0}
an n Lemme 1(propriété d’une suite réelle sous-additive)
2.3 Preuve du théorème 9
Preuve.(du théorème 9)
1. ρ(u)6kuk. Soitλ∈C, |λ|>kuk, posonsv=λ1u. Alorskvk<1, donc id−vest inversible
⇒ u−λid=−λ(id−v)inversible.λest une valeur régulière.
Sp(u)est fermé. Montrons que C\L(E)est ouvertC→ L(E)et continue, donc par 3 siλ proche deλ0tqu−λ0id inversible, alorsu−λid aussi. Donc Sp(u)fermé, borné et compact.
2. E6={0} ⇒Sp(u)6=∅
Par l’absurde, si Sp(u) =∅ alorsC\Sp(u) =CetRu est analytique complexe sur toutC. Notons queu=u−0id est inversible, donckuk 6= 0. Montrons queRu est bornée.
Si |λ|>kukalors
(u−λid)−1=−1 λ
id−u
λ −1
=−1 λ
X
n∈N
λ−nun (∗∗)
Si |λ|>2kuk alors (u−λid)−1
6 1 λ
X
n∈N
Åkuk
|λ|
ãn
= 1 λ
1
1−kuk|λ| = 1
|λ| − kuk < 1
kuk <+∞
DoncRu est bornée en dehors deB(0,¯ 2kuk), ainsi que dans cette boule compacte car Ru
est continue. Par le théorème de Liouville,Ruest constante, doncλ7−→Ru(λ)−1=u−λid est constante, impossible carE6={0} ⇒idE 6= 0⇒u−1id6=u−0id.
Réciproquement, siE={0}alors CardL(E) = 1donc∀λ∈C, u−λid=idE est inversible
⇒Sp(u) =∅.
3. Comme∀n, m∈N,kun+mk6kunkkumk(norme d’opérateur) le résultat découle du lemme 1.
3 Opérateurs compacts
Soient E, F des espaces vectoriels normés (réels ou complexes) etBE ={x∈E | kxk 61} la boule unité fermée deE, etu∈ L(E, F).
uest compact s’il satisfait l’une des conditions suivantes : 1. u(BE)est d’adhérence compacte dansF
2. l’image parude tout borné deE est d’adhérence compacte dansF
3. ∀(xn)n∈N suite dans E telle que∀n∈Nkxnk 61,(u(xn))n∈N admet une sous-suite convergente
Définition 12(opérateur compact)
Preuve.(équivalence entre les définitions)
• (2)⇒(1)et(1)⇒(3) : ok
• (1)⇒(2) :∀B borné deE,∃r >0 tel queB⊂ B(0, r)doncu(B)⊂u(B(0, r)) =ru(BE) est d’adhérence compacte car les homothéties sont des homéomorphismes. Donc u(B) est compacte, car fermée et contenue dans un compact.
• (3)⇒(1): Soit(yn)n∈Nune suite dansu(BE).∀n∈N, soitxn∈BEtel qued(u(xn), yn)6
1
n. Par (3) il existe une sous-suite (u(xnk))k∈
N qui converge, alors (ynk)k∈
N aussi, par adjacence.
Eevn (réel ou complexe)
E est localement compact ⇔BE est compacte
⇔ les compacts deE sont les fermés bornées
⇔E est de dim finie Théorème 12(Riesz)
Exemple.(d’opérateurs compacts)
1. u∈ L(E, F)est derang fini sidimu(E)est fini. Par le théorème de Riesz de rang fini ⇒ compact
2. ∀(X,A, µ) et (Y,B, ν) espaces mesurés σ−finis. ∀N ∈ L2
(X,A, µ)×(Y,B, ν)
, notons
∀f ∈L2(ν),
Kf :x7−→
Z
y∈Y
N(x, y)f(y)dν(y)
AlorsK=KN ∈ L(L2(ν),L2(µ))etKcompact (appelé opérateur à noyau de type Hilbert- Schmidt, de noyau N)
Preuve.
Posons E=L2(ν)et F =L2(µ). Par le théorème de Fubini,Nx :y 7−→N(x, y)est dans E pourµ−presque toutx∈X et par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
∀f ∈E Kf(x)existe et|Kf(x)|26kNxk22kfk22pour µp.t.x De plus, par Fubini kKfk2 6kNk2kfk2. Donc Kf ∈F et K =KN :
ß E → F f 7→ Kf
est bien défini, clairement linéaire et continue (puisque de norme 6kNk2).
Montrons queK est un opérateur compact.
Soit (fn)n∈N suite dans BE. Montrons que, quitte à extraire, (Kfn)n∈N converge dans F (pour la norme hilbertienne ⇔ fortement). Par le théorème de compacité faible, nous pouvons supposer quitte à extraire quefn *
n→+∞f ∈E.
DoncKfn(x) =< fn, Nx>Epourµp.t.x. CommekKfn(x)k26kNxk22×1, par le théorème de convergence dominée de Lebesgue, on a kKfnk26kKfk2.
CommeK est linéaire continue (donc faiblement continue), Kfn *
n→+∞Kf. Par le critère de convergence forte dans les espaces de Hilbert ;Kfn−→Kf dansF
SoientE, F, G1, G2 des evn (réels ou complexes).
1. K = {u ∈ L(E, F) | ucompact} est un sev de L(E, F), et ∀u ∈ K(E, F),∀v ∈ L(G1, E),∀w∈ L(F, G2):
w◦u◦v∈ K(G1, G2)
2. siF est un espace de Banach, alorsK(E, F)est fermé dansL(E, F).
Propriété 7
Preuve.
1. K(E, F)est stable par combinaisons linéaires par la définition(3).
Si u, v, w sont comme ci-dessus, v(BG1) est borné, car v continue, donc u(v(BG1)) est d’adhérenceK compacte, carucompact, donc w◦u◦v(BG1)⊂w(K)qui est un compact carwest continue. Doncw◦u◦v(BG1)est compacte, car fermée dans un compact.
2. Soit(un)n∈Nune suite dansK(E, F)qui converge versu∈ L(E, F). Montrons que u(BE) est d’adhérence compacte. PuisqueF est complet, par Bolzano-Weiertrass, il suffit de mon- trer que∀ε >0,∃un recouvrement deu(BE)par un nombre fini de boules de rayonε.
Soitn∈Ntqkun−uk< ε2. Puisqueun est compact,∃y1, ..., yk ∈F tq : un(BE)⊂
k
[
i=1
B yi,ε
2
Alors, par l’inégalité triangulaire,
u(BE)⊂
k
[
i=1
B(yi, ε) car ∀x ∈ BE,∃i ∈ {1, ..., k} tq un(x) ∈ B y1,ε2
donc ku(x)−yik 6 ku(x)−un(x)k+ kun(x)−yik62ε+ε2 =ε.
Remarque.En particulier, toute limite d’opérateurs de rang fini est compacte.
SiE est un evn compexe etHun espace de Hilbert, alors tout opérateur compact est limite d’opérateurs de rang fini.
Propriété 8
Preuve.
∀ε >0, par compacité deu(BE),∃y1, ..., yn ∈ Htqu(BE)⊂Sn
i=1B yi,ε2
. Soitpla projection orthogonale deHsur Vect(y1, ..., yn)(qui est fermé dansH) etv=p◦u. Montrons queku−vk6ε, ce qui conclut.
∀x∈ BE, soit i ∈ {1, ..., n} tq u(x)∈ B yi,ε2
. Puisque p(yi) = yi, pest 1-lipschitzienne, par l’inégalité triangulaire.
ku(x)−v(x)k6ku(x)−yik+kp(yi)−p(u(x))k6 ε 2 +ε
2 =ε
• u∈ K(E, F)⇒uT ∈ K(F∗, E∗)
• SiF est un espace de Banach ,u∈ K(E, F)⇔uT ∈ K(F∗, E∗) Théorème 13(de Schauder)
Preuve.Admis
SoientE espace de Banach,u∈ L(E)opérateur compact.
1. dimKer(id−u)est finie 2. Im(id−u)est fermée
3. id−uinjective ⇒id−uest surjective
4. toute valeur spectrale non nulle deuest une valeur propre, de multiplicité finie, isolée dans Sp(u)
5. siE est de dimension infinie, alors0∈Sp(u)et Sp(u) ={0} ∪Vp(u) (attention, pas une union disjointe)
Donc Sp(u)est ou bien fini, ou bien l’image d’une quite qui converge vers 0 en réunion avec{0}
Propriété 9
kuk
×
××
××
××
Exercice 3.
SoientHun espace de Hilbert et(en)n∈Nbase hilbertienne
1. Montrer que∃!u∈ L(H)tqu(en) = n+11 en ∀n∈N. Calculerkuk.
2. Montrer queuest compact.
3. Montrer que Vp(u) =∅et Sp(u) =Spres(u) ={0}
Solution 3.
Preuve.(du théorème)
On notev=id−uetN = kerv
1. ∀x∈N, x=u(x)doncBN :=BE∩N ⊂u(BE).uest un opérateur compact doncu(BE) est d’adhérence compacte, doncBN aussi et par le théorème de Riesz,N est de dimension finie.
2. Soit (xn)n∈N dansE tel quev(xn)→y ∈E. Montrons que y∈Im(v). PuisqueN est de dimension finie, donc fermé, et toute application continue d’un compact dansRatteint sa borneinf :
∀n∈N, ∃zn∈N tqd(xn, N) =d(xn, zn)
Par l’absurde supposons que (xn −zn)n∈N n’est pas bornée, sinon, quitte à extraire, d(xn, zn) =kxn−znk −−−−−→
n→+∞ +∞. Posonswn:= d(xxn−zn
n,,N). Puisqueuest compact, quitte à extraireu(wn)−−−−−→
n→+∞ w∈E. Or :
wn−u(wn) =v(wn) = v(xn)−v(zn) d(xn, N) Commezn∈N = kerv,v(zn) = 0. D’où :
wn−u(wn)
→w
=v(wn) =
→y
v(xn) d(xn, N)
→+∞
−−−−−→
n→+∞ 0
Doncwn −−−−−→
n→+∞ w. Par continuité dev,v(wn)
→0
→v(w). D’où v(w) = 0⇔w∈N. N est un sev donc invariant par homothétie et translation. Ord(wn, N) = 1∀ndoncd(w, N) = 1.
Contradiction. Donc(xn−zn)est bornée.
Commeuest compact, quitte à extraire,u(xn−zn)−−−−−→
n→+∞ y0∈E. Donc : xn−zn=u(xn−zn)
| {z }
→y0
+v(xn−zn)
| {z }
=v(xn)→y
Ainsi xn−zn −−−−−→
n→+∞ y0 +y. Par continuité, y = lim
n→+∞ v(xn−zn) = v(y0−y). D’où y∈Im(v)qui est donc fermé.
3. SoitE0:=E etE1=v(E0).
Supposons par l’absurde quevest injective etE16=E0. On regardeu|E1:E1−→E1caru etvcommutent, doncu(E1) =u(v(E0)) =v(u(E0))⊂v(E0) =E1. Commeuest compact, E1=Im(v)est fermé par(2). Alorsu|E1 est encore compact (u|E1(BE1)est l’intersection deE1, fermé, et deu(BE)compact par compacité deu).
PosonsEn :=vn(E0). Par récurrence(En)est une suite de sev fermés, strictement décrois- sante (car v injective). Soitxn ∈En\En+1, x0n ∈En+1 tel qued(xn, x0n)62d(xn, En+1).
Posons :
y= xn−x0n kxn−x0nk Soitm > n:
ku(yn)−u(ym)k=kyn−v(yn)−(ym−v(ym)k=kyn−[ym−v(ym) +v(ym)]
| {z }
∈En+1
k
Donc :
ku(yn)−u(ym)k>d(yn, En+1) = d(xn, En+1) kxn−x0nk >1
2
Donc (u(yn)) n’admet pas de sous-suite convergente, ce qui contredit u compact. Donc id−uinjectif⇒ id−usurjectif.
4. Soit λ6= 0 valeur spectrale. Par l’absurde on suppose λ6∈Vp(u). Comme uest compact,
u
λ est compact et id−uλ est injectif (λ6∈Vp(u)). Par(3), id−uλ est aussi surjectif. Mais alorsλ6∈Sp(u). Contradiction. Doncλ∈Vp(u).
• Si λ6= 0, sa multiplicité estdim ker id−uλ
finie âr(1)
• Si λ non isolée dans Sp(u), soit (λn) valeurs propres non nulles, 2 à 2 différentes convergent vers λ. Soit en des vecteurs propres non nuls pour λn et posons En :=
Vect(e0, ..., en).
Alors(En)n∈Nest une suite croissante (car lesλi sont 2 à 2 distincts) de sev fermés (car de dimension finie), invariants par u. Par un raisonnement analogue à (2), il existeyn ∈En
unitaires tels que sin6=malors : u
Åyn λn
ã
−u Åym
λm
ã > 1
2
ce qui contreditucompact.
5. Si06∈Sp(u)alorsuest inversible etu−1∈ L(E). Puisque uest compact :
BE =u−1
u(BE)
| {z }
adh cpcte
| {z }
C0
est compacte
D’après Riesz,E est de dimension infinie.
4 Opérateurs auto-adjoints
4.1 Adjoint, auto-adjoint et propriétés
SoitHun espace de Hilbert etu∈ L(H).
∃!u∗∈ L(H)tel que :
∀x, y∈ H hu(x), yi=hx, u∗(y)i appeléadjoint deu. De plus :
1. u∗∗ =u(involutive) 2. ku∗k=kuk (isométrique) 3. (v◦u)∗=u∗◦v∗ (contravriante) 4. id∗=id
5. u∗ est inversible ⇔ uest inversible et(u∗)−1= (u−1)∗. 6. (u+λv)∗=u∗+ ¯λv∗ (anti-linéaire)
7. ku∗◦uk=ku◦u∗k=kuk2 (propriété d’algèbre stellaire) Propriété 10
Preuve.
Unicité. Siu∗ etcu∗ vérifient les bonnes proprétés :
∀x, y, hx, u∗(y)i=hx,cu∗i=hu(x), yi
Donc∀x, y, hx, u∗(y)−cu∗(y)i= 0. Donc∀y, u∗(y)−uc∗(y)est orthogonal à tout vecteur. Comme H⊥={0},u∗(y) =cu∗(y).
Existence. Soit :
ϕ:
ß H −→ H∗ x 7−→ {y7→ hx, yi}
l’isomorphisme de Riesz-Frechet. Alors pouru∗:=ϕ−1◦uT ◦ϕconvient.
1. Involution : ok par unicité
2. L’isomorphisme de Riesz-Frechet préserve la norme donc : ku∗k=kϕ−1◦uT◦ϕk=kuTk=kuk
3. ok par unicité 4. ok par unicité 5. ok par unicité 6. ok par unicité 7. D’un côté,
ku∗◦uk6ku∗kkuk=kuk2 On a aussi :
ku(x)k2=hu(x), u(x)i=hu∗◦u(x), xi Par Cauchy-Schwarz,
ku(x)k26ku∗◦u(x)kkxk6ku∗◦ukkxk2 D’où kuk26ku∗◦uk. Doncku∗◦uk=kuk2.
Paru→u∗ etu∗∗=uon a de mêmeku◦u∗k=kuk2
uestauto-adjoint siu=u∗. Il estpositif sihu(x), xi>0∀x∈ H.
Définition 13(auto-adjoint)
Exemple.
• Soit(X,A, µ)un espace mesuréσ−fini
• SoitN ∈ L2
(X,A, µ)⊗(X,A, µ)
. L’adjoint de l’opérateurKN de type Hilbert-Schmidt de noyauN est l’opératuer KN∗ de type Hilbert-Schmidt de noyauN∗: (x, y)7→N(y, x).
hKN(f), gi= Z
X
ÅZ
X
N(x, y)f(y)dy ã
g(x)dx
= Z
X
Z
X
N(x, y)f(y)g(x)dydx
= Z
X
Z
X
N(x, y)f(y)g(x)dxdy
Et :
hf, KN∗(g)i= Z
X
f(y) Z
X
N∗(y, x)g(x)dxdy
= Z
X
Z
X
f(y)N(x, y)g(x)dxdy
= Z
X
Z
X
N(x, y)f(y)g(x)dxdy
D’où le résultat.
SiN est réel symétrique,KN est auto-adjoint.
Remarque.
• Si uest auto-adjoint (x, y)7→ hu(x), yiest une forme sesquilinéaire hermitienne, continue (et positive siul’est).
• Positif⇒auto-adjoint. Montrons que : hu(x), yi=
? hx, u(y)i (1)
Comme le produit scalaire est hermitien,hu(x), yi=hy, u(x)i(2). D’où : (1) = (2) ⇔
ß <(hu(x), yi − hu(y), xi) = 0 (3)
=(hu(x), yi+hu(y), xi) = 0 (4) Or,
hu(x), yi+hu(y), xi=hu(x+y), x+yi − hu(x), xi − hu(y), yi ∈R Donc(3)ok et(4)ok poury→iy.
• u∗◦uet u◦u∗ sont auto-adjoints positifs.
• En dimension finie, siu a pour matriceM alorsu∗ a pour matrice MT (dans les mêmes bases).
∀E, F espaces de Banach, ∀v ∈ L(E, F), si ∃c > 0, ∀x∈ E kv(x)k >ckxk alorsv(E)est fermé etv:E→v(E)est un homéomorphisme.
Lemme 2
Preuve.
Soit (xn)n∈N dans E tqv(xn)−−−−−→
n→+∞ y ∈ F. Montrons que y ∈ v(E). [v(xn)] est de Cauchy donc par l’hypothèse (xn) est de Cauchy. Par complétude xn −−−−−→
n→+∞ x ∈ E. Par continuité, v(xn)−−−−−→
n→+∞ v(x). D’où y=v(x)∈v(E).
Or,v est injectif par hypothèse, doncv: E−→v(E)est une bijection linéaire continue entre un Banach (E) etv(E)qui est un fermé d’un Banach donc encore un Banach. Par le théorème de Banach,v est un homéomorphisme.
1. Sp(u∗) =Sp(u)
2. u(H)⊥= ker(u∗). En particuler,uest d’image dense ssiu∗ est injectif.
3. ucompact⇔u∗ compact Si de plusuest auto-adjoint :
4. ∀E sev deH, siu(E)⊂E alorsu(E⊥)⊂E⊥.
5. SiH 6={0}, soientM = supkxk=1hu(x), xiet m= infkxk=1hu(x), xi. Alors :
• Sp(u)est réel, contenu dans[m, M].
• m, M ∈Sp(u)
• ρ(u) =kuk= supkxk=1|hu(x), xi|= max{M,−m}
En particulier Sp(u) ={0} ⇒ u= 0.
6. Spres(u) =∅
7. Critère de Weyl : Sp(u) =σ(u)spectre de Weyl où : σ(u) =
ß
λ∈C| ∀n∈N, ∃xn ∈ Htqkxnk= 1et ku(xn)−λxnk −−−−−→
n→+∞ 0
™ Propriété 11
Preuve.
1. (u−λid)inversible⇔(u−λid)∗=u∗−λid inversible 2.
x∈u(H)⊥⇔ ∀y∈ H hu(y), xi= 0
⇔ ∀y∈ H hy, u∗(x)i= 0
⇔u∗(x) = 0
⇔x∈keru∗
3. u∗=ϕ−1◦uT ◦ϕ −→Schauder + Continuité de Riesz-Fréchet 4. uauto-adjoint. Soitx∈E⊥.
∀y∈E, hu(x), yi=h x
∈ET, u(y)
∈E
i= 0 Doncu(x)∈E⊥.
5. ∀x∈ H hu(x), xi=hx, u(x)i=hu(x), xi, donchu(x), xi ∈R.
Sixest unitaire,|hu(x), xi|6kukpar Cauchy-Schwarz. DoncM, mbien définis. Montrons que Sp(u)est réel :
• Si λ∈Vp(u), six6= 0est un vecteur propre non nul deλ: λhx, xi
| {z }
6=0
=hu(x), xi=hx, u(x)i=hx, λxi= ¯λhx, xi
| {z }
6=0
Doncλ= ¯λ, d’où λ∈R.
• Soitλ∈C\Retv:=u−λid.
∀x∈ H |=(λ)|kxk2= =
hu(x), xi
| {z }
∈R
−λhx, xi
=|=hv(x), xi|
C.S.6
kv(x)k × kxk Donc|=(λ)|
| {z }
6=0
kxk6kv(x)k.
Par le lemme, v(H)est fermé (∗1). De plus, v(H)⊥ = ker(v∗) = ker(u−λid) =¯ {0}
carλ¯6∈Vp(u)⊂R. Doncv(H)est dense(∗2).
Par(∗1)et(∗2),v(H) =F. Par suitev est inversible∀λ∈C\R. Doncλ6∈Sp(u)∀λ∈C\R. Donc Sp(u)⊂R.
Montrons maintenant que Sp(u)⊂]−∞, M]. En faisantu↔ −uon aurait Sp(u)⊂[m,+∞[.
D’où Sp(u)⊂[m, M].
Si λ > M, posonsvλ:=λid−uet : a:
ß H × H −→ C (x, y) 7−→ hvλ(x), yi Alorsaest sesquilinéaire, continue. De plus :
a(x, x) =hvλ(x), xi=hλx, xi − hu(x), xi>(λ−M)
| {z }
>0
kxk2
Doncaest coercive. Doncvλ est injective, surjective par Lax-Milgram.
∀y∈ H, ∃x∈ H, ∀z∈ H hvλ(x), zi=a(x, z) =hy, zi
D’oùλ6∈Sp(u). Montrons queM ∈Sp(u). En faisantu↔ −u, on am∈Sp(u). Supposons par l’absurde que v:=Mid−uest inversible. Alors :
a:
ß H × H −→ C (x, y) 7−→ hv(x), yi
est une forme sesquilinéaire, hermitienne, continue, positive (par définition deM).
Par Cauchy-Schwarz on a :
|a(x, y)|26|a(x, x)||a(y, y)|
i.e. |hv(x), yi|26hv(x), xihv(y), yi
Donc :
kv(x)k =
C.S. sup
kyk=1
hv(x), yi 6
C.S.
»hv(x), xikvk Soit(xn)n∈Nunitaire tel quehu(xn), xni −−−−−→
n→+∞ M (par définition deM).
Alors hv(xn), xni −−−−−→
n→+∞ 0 donc v(xn) −−−−−→
n→+∞ 0. Donc xn = v−1(v(xn)) −−−−−→
n→+∞ 0.
Contradiction carkxnk= 1∀n.
Montrons queK:= supkxk=1|hu(x), xi|>kuk. ∀x, y∈ H.
|4<hu(x), yi|=|hu(x+y), x+yi − hu(x−y), x−yi|
6
hu(x+y)
kx+yk, x+y kx+yki
kx+yk2+
hu(x−y)
kx−yk, x−y kx−yki
kx−yk2 6K kx+yk2+kx−yk2
= 2K kxk2+kyk2
= 4Kkxkkyk Alors,
ku(x)k2=hu(x), u(x)i=<hu(x), u(x)i6Kkxk × ku(x)k D’où ku(x)k6Kkxk. Puiskuk6K. Alors :
kuk>ρ(u)>max{M,−m}=K>kuk Donc toutes ces inégalités sont des égalités.
6. ∀λ∈Sp(u)\Vp(u).λ∈Rdonc :
(u−λid)∗=u∗−¯λid=u−λid
Alorsker(u−λid) = ker((u−λid)∗) ={0} Par(2), =(u−λid)⊥ ={0}. Donc=(u−λid) est dense etλ6∈Spres(u). Donc Spres(u) =∅.
7. Montrons tout d’abord que σ(u) ⊂ Sp(u) (vrai pour tout u, pas besoin de l’hypothèse auto-adjoint) :
Par contraposée : siλ6∈Sp(u), alors, xn:= (u−λid
| {z }
L(H)
)−1(u(xn)−λ(xn))−−−−−→
n→+∞ 0
quandu(xn)−λxn −−−−−→
n→+∞ 0. En particulier pournassez grand,kxnk<1et doncλ6∈σ(u).
Doncσ(u)⊂Sp(u).
Montrons que Sp(u)⊂σ(u):
Soitλ∈Sp(u)⊂R(caruest auto-adjoint).
• Si λ∈Vp(u)alorsA∈σ(u)(prendre pourxn une suite constante égale à un vecteur propre unitaire pour λ)
• Sinonv:=u−λid est injective. Par(6)vest d’image dense. Par l’absurde, siλ6∈σ(u) alors∀x∈ H, ∃N ∈N∗ tel quekv(x)k > N1kxk. Par le lemme,=(v)est fermé. Donc égale àHetv est surjective, contreditλ∈Sp(u).
SoitHun Hilbert,u∈ L(H)auto-adjoint. Alors :
upositif ⇔ Sp(u)⊂[0,+∞[
Corollaire 4
4.2 Spectre essentiel
SoientHun Hilbert etu∈ L(H)auto-adjoint.
Le spectre essentiel deuest : Spess(u) =n
λ∈R| ∃(xn)n∈N∈ Htqkxnk= 1, u(xn)−λxn−−−−−→
n→+∞ 0 et(xn)n∈Nn’admet pas de sous-suite convergenteo Définition 14
Sp(u) =Spess(u)∪Vp(u)
• L’union n’est pas nécessairement disjointe.
• λ∈Sp(u)\Spess(u)est une valeur propre de multiplicité finie et isolée dans Sp(u).
Propriété 12
Preuve.
• Spess(u)⊂σ(u) =Sp(u)Donc Spess(u)∪Vp(u)⊂Sp(u)
• Si λ∈Sp(u)n’est pas isolée, montrons queλ∈Spess(u). Soit(λn)n∈N tqλn−−−−−→
n→+∞ λet
∀n λn 6=λ. Par le critère de Weyl,∃xn ∈ Hunitaire tq ku(xn)−λnxnk6 |λ−λnn|. Alors : ku(xn)−λxnk6ku(xn)−λnxnk
| {z }
−−−−−→
n→+∞
0
+|λn−λ|
| {z }
−−−−−→
n→+∞
0
−−−−−→
n→+∞ 0
Il suffit de montrer quexn n’admet pas de sous-suite convergente. Par l’absurde, quitte à extraire, supposonsxn −−−−−→
n→+∞ x∈ Hunitaire. Alorsu(x) =λxpar continuité. Calculons :
|λn−λ||hxn, xi|=|(λ−λn)hxn, xi+hxn,(u−λid)xi|
=|(λ−λn)hxn, xi+h(u−λid)xn, xi|
=|hu(xn)−λnxn, xi|
C.S.6
ku(xn)−λnxnk kxk
|{z}
=1
6 |λn−λ|
n
Ainsi|hxn, xi|6n1. Donchxn, xi −−−−−→
n→+∞ 0 contredithxn, xi −−−−−→
n→+∞ hx, xi=kxk2= 1
• Soit λ ∈ Sp(u)\Spess(u). Montrons que λ est une valeur propre. Par le critère de Weyl,
∃(xn) ∈ H tel que ku(xn)−λxnk −−−−−→
n→+∞ 0. Comme λ 6∈ Spess(u), quitte à extraire, xn−−−−−→
n→+∞ x. Mais alorskxk= 1 etu(x)−λx= 0, doncλ∈Vp(u).
• Si Eλ= ker(u−λid)est de dimension infinie, alors il existe(en)n∈Northonormée dansEλ donc unitaires etu(en)−λen= 0−−−−−→
n→+∞ 0et n’admet pas de sous-suite convergente. Donc λ∈Spess(u).
Exercice. SoitHun Hilbert séparable,F sev fermé deHde co-dimension infinie ;(en)n∈Nbase hilbertienne deF⊥, (λn)suite dans]0; +∞[λ−−−−−→
n→+∞ 0. Montrer que∃!u∈ L(H)auto-adjoint, positif, compact tel queu|F = 0et∀n∈Nu(en) =λnen.
5 Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints com- pacts
Un opérateur auto-adjoint compact d’un espace de Hilbert séparable est diagonalisable en base Hilbertienne.
Théorème 14
Plus précisément...
Soit H un Hilbert, u ∈ L(H) un opérateur auto-adjoint compact. Alors ∃(λn)06n<N+ et (νk)06k<N− suites finies ou infinies qui convergent vers 0 si infinies telles que si Eµ = ker(u−µid):
1. Les valeurs spectrales deu, non nulles, sont lesλnet−νk. Ce sont des valeurs propres de multiplicité finie.
2. kuk= max{λ0, ν0}siu6= 0
3. Hest somme Hilbertienne deE0,Eλn et E−νk (doncE0⊥ est séparable).
4. (principe de Rayleigh) :
λn= max
x∈(E0⊕...⊕Eλn−1)⊥,kxk=1hu(x), xi
−νk= min
x∈(E0⊕E−ν0...⊕Eνk−1)⊥,kxk61
hu(x), xi Théorème 15
Preuve.
1. découle des propriétés sur les opérateurs auto-adjoints et compacts 2. idem
3. Ces espaces (fermés) sont deux à deux orthogonaux :
∀x, y∈ H, siu(x) =λx, u(y) =µy avecλ6=µ∈R Alorsµhx, yi=hx, u(y)i=hu(x), yi=λhx, yi. Ainsihx, yi= 0.
Montrons maintenant que le sous-espace F qu’ils engendrent est dense. u(F) ⊂ F ⇒ u(F⊥) ⊂ F⊥ et u|F⊥ est auto-adjoint, compact, sans valeur propre non nulle. Donc Sp(u|F⊥) ={0}doncu|F⊥ = 0etF⊥⊂E0⊂F. DoncF⊥={0}et F est dense.
4. On applique àu|(E0⊕...⊕Eλn−1)⊥
