2013-2014 F.Langot Assurancepriv´ee,Assurancesociale,retraiteetsant´e

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Assurance priv´ee, Assurance sociale, retraite et sant´e

F. Langot

Univ. Le Mans (GAINS & IRA) Banque de France & PSE & Cepremap & IZA

2013-2014

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Introduction & Plan

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Introduction & Plan

Partie 1 : Epargne

Epargne : lissage des revenus Profiter des revenus financiers

Partager les risques individuels de revenus, de mort Plan

Chapitre 1 : l’épargne en certain Le modèle à 2 périodes Le modèle multi-périodes Chapitre 2 : l’épargne en incertain

Risque de revenu Risque de mort Assurance Chapitre 3 : les faits

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Introduction & Plan

Partie 2 : Retraite

Retraite : en fin de vie, on ne peut plus travailler. Comment avoir des revenus ?

Profiter des revenus financiers

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Introduction & Plan

Partie 3 : Sant´e

Sant´e : un autre capital `a entretenir...comment assurer son financement ?

Profiter des revenus financiers

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Partie I : Epargne

Chapitre I : L’´epargne en certain

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Un modèle à 2 périodes

Hypothèses 2 périodes revenus :(y1,y2) préférences : u(c1,c2)

rémunération des marchés financiers :r Problème

maxc1,c2

u(c₁,c₂) s.c.

c₁+s₁ = y₁

c₂ = (1 +r)s₁+y₂

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La solution du modèle à 2 périodes

Probl`eme ´equivalant maxs1

u(y₁−s₁,(1 +r)s₁+y₂) CPO

u⁰₁(c1,c2) = (1 +r)u⁰₂(c1,c2) c₁+ 1

1 +rc₂ = y₁+ 1 1 +ry₂

⇒2 ´equations, 2 inconnues (c₁,c₂).

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Exemple : utilit´e log

u(c₁,c₂) =log(c₁) +βlog(c₂) avecβ = _1+ρ¹ . La CPO donne

1

c₁ = (1 +r)β 1 c₂ En passant en log on obtient

∆ log(c) =r−ρ

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Le¸con `a tirer de l’exemple

Profil de la consommation

r > ρ: le marché financier rémunère plus que le coût de l’impatience⇒incitation à l’épargne⇒on consomme donc plus demain⇒c₂>c₁ou ∆ log(c)>0. (Motif d’intérêt).

r < ρ: le marché financier rémunère moins que le coût de l’impatience⇒désincitation à l’épargne⇒on consomme donc moins demain⇒c2<c1 ou ∆ log(c)<0.

Variation des param`etres

↑r : on peut passer d’un profile décroissant à un profil croissant si le marché financier rémunnère mieux.

↑ρ: on préfère le présent⇒moins d’épargne, plus de chance d’être dans un profile décroissant.

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Illustration graphique

courbe d’indiff´erence

K =log(c₁) +βlog(c₂)⇒κc₂^β =c₁ contrainte budg´etaire

c1+ 1

1 +rc2 =Y Diff´erenciation

dc1 = −βc1

c₂dc2

dc₁ = − 1 1 +rdc₂ Optimum ssi

βc₁ c₂ = 1

1 +r ⇔ 1

c₁ = (1 +r)β 1 c₂

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Le cas particulier r = ρ

Dans ce cas, on a ∆ log(c) = 0⇔c₁ =c₂ ≡c.

Lissage parfait de la consommation :∀(y₁,y2) donnant le mˆemeY, on consommec.

⇔ on supprime toutes les variations de consommation li´ees aux variations de revenu gardant Y constant.

La contrainte budg´etaire d´etermine alors seule cette consommation :

c = Y

1 +R avec R = 1 1 +r

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Autre pr´ef´erences

u(c₁,c₂) = c₁^1−σ

1−σ +βc₂^1−σ 1−σ avecβ = _1+ρ¹ . La CPO donne

c₁^−σ = (1 +r)βc₂^−σ ⇔c₂ = [(1 +r)β]^σ¹c₁ En passant en log on obtient

∆ log(c) = 1

σ(r−ρ) La solution (on met dans la CB la CPO) :

c₁ = Y

1 + (1 +r)^σ¹⁻¹β^σ¹

⇔c₁= (1 +r) (1 +r) + ((1 +r)β)^σ¹

Y

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Le¸con `a tirer de cette exemple

c1 = (1 +r)

(1 +r) + ((1 +r)β)^σ¹Y

Quand σ est grand, alors les variations de consommation sont faibles.

Plus σ est élevé, moins le consommateur est près à diminuer sa consommation en période 1 pour augmenter sa

consommation en p´eriode 2.

Plus σ est élevé (utilité très concave), plus le deuxième terme du dénominateur est petit (à la limite 1), ce qui diminue l’effet du négatif du dénominateur sur la consommation.

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Au delà du cadre à 2 périodes

Hypoth`eses T p´eriodes

revenus :(y1, ...,yT) pr´ef´erences : u(c1, ...,cT)

rémunération des marchés financiers :r,∀t.

Probl`eme

max

{ct}^T_t=1 T

X

t=1

β^t−1u(c_t)

s.c. at+1= (1 +r)(at+yt−ct) ∀t= 1, ...,T −1 aT ≥0

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Comment r´esoudre le probl`eme ?

Soitxt=at+yt (ce que je poss`ede dans la p´eriode t) : max

{ct}^T_t=1 T

X

t=1

β^t−1u(ct)

s.c. x_t+1= (1 +r)(x_t−c_t) +y_t+1 ∀t = 1, ...,T −1 x_T ≥y_T

SoitV_t(x_t) la valeur maximale du mon utilité à la période t : Vt(xt) = max

ct

{u(ct) +βVt+1(xt+1)} ∀t= 1, ...,T −1 En utilisant la contrainte budg´etaire, on a, ∀t = 1, ...,T −1

Vt(xt) = max

ct

{u(c_t) +βVt+1((1 +r)(xt−ct) +yt+1)}

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Solution du mod`ele de cycle de vie

CPO dVt(xt)

dc_t = 0⇒u⁰(ct) = (1 +r)βV_t+1⁰ (xt+1) ∀t= 1, ...,T −1 où V_t+1⁰ (xt+1) représente l’accroissement optimal de mon utilité si je possède 1 Euro de plus.

Comment d´eterminer cet accroissement d’utilit´e ?

Imaginons que je soit plus riche d’1 Euro aujourd’hui (”dont de dieu”), alors

dVt(xt) dxt

=V_t⁰(xt) = (1 +r)βV_t+1⁰ (xt+1) ∀t = 1, ...,T −1

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(18)

La CPO et l’accroissement de la valeur donnent : u⁰(ct+1) = (1 +r)βV_t+2⁰ (xt+2) V_t+1⁰ (x_t+1) = (1 +r)βV_t+2⁰ (x_t+2) d’o`u

u⁰(ct) = (1 +r)βu⁰(ct+1) ∀t = 1, ...,T −1 C’est la condition d’Euler

(19)

Par r´ecurrence, avec ^c_1−σ^1−σ, on a

c_t = [(1 +r)β]^t−1^σ c₁ Vc_t =φ^t−1c₁ On introduit ce r´esultat dans la CB :

T

X

t=1

1 1 +r

t−1

φ^t−1c1 = Y

⇔c₁

T

X

t=1

φ 1 +r

t−1

= Y

⇔c1

1−Φ^T

1−Φ = Y avec Φ = _1+r^φ

⇒c1 = 1−Φ 1−Φ^TY

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(20)

Qu’apprend-on de plus qu’avec le modèle à 2 périodes

On suppsose

r > ρ⇒ profile croissant de consommation : r > ρ⇒φ >1 donc ↑c_t.

y1=y2 =...=ye = 0⇔´education

yr =yr+1 =..=yT = 0⇔ Retraite, avec r>e.

⇒ endettement, puis accumulation et en fin de vie ”on mange” son ´epargne pour arrivera_T = 0.

Impact de la condition terminale :aT = 0 :

Si il y a un motif de leg, alorsa_T >0 et donc les retrait´es ”ne mangent pas” toute leur ´epargne.

(21)

Hausse du taux d’int´erˆet

Considérons une augmentation de taux d’intérêt.Il y aura deux effets:

Effet revenu : le prix de la consommation de demain baisse, ↑ du pouvoir d’achat ⇒consommer davantage en 1 et 2.

↑ du coût dec1 (possibilté de gagner plus d’intérêt en consommant moins aujourd’hui) ⇒ consommer plus en 2.

u(c1,c2) = c₁^1−σ

1−σ +βc₂^1−σ 1−σ avec

Y(r) = y₁ y₂= 0 Y⁰ = 0 C(r) = c₁+_1+r^c² C⁰(r)<0

↓du prix dec2 si ↑r.Effet revenu

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(22)

Hausse du taux d’int´erˆet

La CPO donne :

c₁^−σ = (1 +r)βc₂^−σ ⇒∆ log(c) = 1

σ(r−ρ)⇒[r ↑⇒∆ log(c)↑]

⇒Effet de substitution.

Effet total :la solution (on met dans la CB la CPO) est

c1 = 1

1 + (1 +r)^1−σ^σ β^σ¹y1 dc1

dr >0 siσ >1.

(23)

Partie I Epargne

Chapitre II

L’´epargne en incertain

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(24)

Section 1 Le risque de revenu

(25)

Un modèle à 2 périodes en incertain

Hypoth`eses revenus :

s = 1 (y1,0) avec une probabilit´e π s = 2

y₁,_1−π^y²

avec une probabilit´e 1−π

⇒E(y2) =y2, maisVar(y2)>0 et croissante avecπ.

pr´ef´erences : u(c₁) +βu(c₂)

rémunération des marchés financiers :r,∀s.

Probl`eme

max

c1,c2(1),c2(2)

{u(c₁) +βE[u(c₂)]}

s.c.







c1+s1 = y1

c2(1) = (1 +r)s1 π c₂(2) = (1 +r)s₁+_1−π^y² 1−π

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(26)

Solution

Les choix optimaux sont solution de :

V = max

c1





 u(c₁)

+βπu((1 +r)(y1−c1)) +β(1−π)u

(1 +r)(y1−c1) +_1−π^y²







CPO

u⁰(c₁) = (1 +r)βπu(((1 +r)(y₁−c₁)) +(1 +r)β(1−π)u

(1 +r)(y₁−c₁) + y₂ 1−π

⇔u⁰(c₁) = (1 +r)βE[u⁰(c₂)]

Probl`eme : impact de l’incertitude sur l’´epargne.

(27)

Solution : le cas de l’utilit´e quadratique

On supposeu(c) =c−^b₂c². Dans ce cas u⁰(c) = 1−bc, d’o`u 1−bc₁ = (1 +r)βE[1−bc₂]

⇔1−bc₁ = (1 +r)β−(1 +r)βbE[c₂]

La variance ne joue aucun rˆole ici.

Les CB impliquent E[c2] = (1 +r)(y1−c1) +y2, En certain, on a c₂ = (1 +r)(y₁−c₁) +y₂, idem.

⇔c1 = − (1 +r)β−1

b[1 + (1 +r)²β]+ (1 +r)²β 1 + (1 +r)²βY Solutin identique⇔ Equivalent certain.

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(28)

Solution pour u⁰⁰⁰(c) 6= 0

Par un d´eveloppement de Taylor, on a E[u⁰(c₂)] = E

u⁰(E[c₂]) +u⁰⁰(c₂−E[c₂]) + 1

2u⁰⁰⁰(c₂−E[c₂])²

= u⁰(E[c₂]) + 1 2u⁰⁰⁰E

(c₂−E[c₂])²

| {z }

=σ²_c

De mˆeme, on a

u⁰(c1) =u⁰(c1) +u⁰⁰(c1−c1)

(29)

Dans la CPO

u⁰(c₁) +u⁰⁰(c₁−c₁) = (1 +r)β{u⁰(E[c₂]) +1 2u⁰⁰⁰σ_c²} c₁ = c₁+ (1 +r)β1

2 u⁰⁰⁰

u⁰⁰σ_c²

Donc si ^u_u⁰⁰⁰00 <0 alors c1<c1 ⇒ Epargne de pr´ecaution.

Dans le cas où u(c) = ^c_1−σ^1−σ alors û_u⁰⁰⁰00 =−(1 +σ)/c. L’indice absolu de prudence, défini par ω(c) =−û_u⁰⁰⁰00 augmente avec σ.

L’incertain crée un motif d’épargne supplémentaire : s’assurer.

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(30)

Si u⁰⁰⁰= 0 alors pas d’épargne de précaution (équivalent certain).

Si u⁰⁰⁰>0 alors ´epargne de pr´ecaution.

L’utilit´e marginale est convexe.

Par l’in´egalit´e de Jensen, on au⁰(E[c2])<E[u⁰(c2)].

E[u⁰(c2)] augmente avecVar(c2) siu⁰(c2) est convexe. Donc plus la variance augmente, plus l’utilit´e marginale de

consommer en 2 augmente.

La seule fa¸con pour l’agent de ”r´etablir” la condition d’Euler est de diminuerc1et donc d’augmenter l’´epargne.

u⁰⁰⁰ <0 alors épargne de précaution négative : ”les imprudents”.

(31)

Les actifs financiers et l’assurance

Probl`eme

max

c1(1),c1(2),c2(1),c2(2),b(1),b(2),a

{E[u(c₁) +βu(c₂)]}

s.c.

π

c1(1) +qb(1) = y1

c₂(1) = b(1)−pa+a 1−π

c₁(2) +qb(2) = y₁

c2(2) = b(2)−pa+_1−π^y² Idée :Pour avoir un marché de l’assurance, il faut de l’hétérogénéité ex-post, même si homogénéité ex ante.

⇒Les chaceux seront cr´editeurs ex post et pourront indemniser les malchanceux, d´ebiteurs ex post.

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(32)

On rempla¸cantb(1) etb(2), on a

c1(1),c1(2),cmax2(1),c2(2),a

π[u(c1(1)) +βu(c2(1))]

+(1−π)[u(c1(2)) +βu(c2(2))]

s.c. (π) c₁(1) +q(c₂(1) +pa) =y₁+qa (1−π) c1(2) +q(c2(2) +pa) =y1+q y2

1−π Le lagrangien est

L = π[u(c₁(1)) +βu(c₂(1))] + (1−π)[u(c₁(2)) +βu(c₂(2))]

+λ(1)π[y₁+qa−c₁(1)−q(c₂(1) +pa)]

+λ(2)(1−π)[y1+q y₂

1−π −c1(2)−q(c2(2) +pa)]

(33)

Compagnie d’assurance

Π = pa−πa

⇒p = π

Mutualisation par le marché : inter-personnelle, différent de l’assurance intra-personnelle ⇔on ajoute une possibilté d’échange.

Le prix de march´e du risque est sa probabilit´e.

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(34)

Les CPO sont

u⁰(c₁(1)) = λ(1) u⁰(c₁(2)) = λ(2) βu⁰(c₂(1)) = λ(1)q βu⁰(c2(2)) = λ(2)q

λ(1)π(1−p) = λ(2)(1−π)p Commep =π, on aλ(1) =λ(2) et donc

u⁰(c₁(1)) =u⁰(c₁(2)) ⇒ c₁(1) =c₁(2) u⁰(c₂(1)) =u⁰(c₂(2)) ⇒ c₂(1) =c₂(2) Assurance parfaite⇔ mˆeme solution qu’en certain

(35)

Le¸cons `a tirer de l’assurance parfaite

Si il n’y a qu’un titre pour transférer de la richesse entre aujourd’hui et demain, et que ce demain est multiple, alors l’incertain ne peut être ”parfaitement” assuré :

L’agent qui peut être malchanceux demain ne peut s’échanger qu’avec lui-même entre les période

⇒ Epargne de pr´ecaution (sous-optimal)

Si il y a la possibilité de s’échanger des titres ex post, et que ces titres sont aussi nombreux que la ”multiplicité des demains”, alors l’agent peut retrouver la même allocation qu’un certain

⇒ La mutuallisation des risques supprime leurs potentielles cons´equences (optimal).

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(36)

Section 2 Le risque de mort

(37)

Le risque de mort

Hypoth`eses

m_j : proba du mourir `a l’ˆage j

Survivre jusqu’`a l’ˆage t :s_t= Π^t_j₌₁(1−m_j)

⇒ Lien : m_t = 1−_s^s^t

t−1

Les survies conditionnelles : st,t+1= ^s^t+1_s

t

Utilit´e : U(c1,c2, ...cT) =PT

j=1β^j−1u(cj) Revenu : (y1, ...,yT).

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(38)

Epargne et risque de mort

Ecriture r´ecursive de l’utilit´e

V0 = u0+ (1−m1)u1+ (1−m1)(1−m2)u2+...

+[Π^t_j₌₁(1−m_j)]u_t+...

= s₀u₀+s₁u₁+s₂u₂+...+s_tu_t+...

⇒V5 = u5+ s6

s₅u6+s7

s₅u7+...+ st

s₅ut+...

= u₅+ s₆ s5

u₆+s₅

s6

s₇ s5

u₇+...+ s₅ s6

s_t s5

u_t+...

= u₅+ s₆ s₅V₆

(39)

Le risque de mort : rentes et assurance vie

En utilisant la contrainte budg´etaire, on a, ∀t = 1, ...,T −1 Vt(xt) = max

ct

{u(c_t) +βst,t+1Vt+1((1 +r)(xt−ct) +yt+1)}

La condition d’Euler est donc

u⁰(ct) = (1 +r)βst,t+1u⁰(ct+1) ∀t= 1, ...,T −1 Soit avecu(c) = ^c_1−σ^1−σ,

c_t+1

c_t = [(1 +r)βs_t,t+1]^σ¹ ∀t = 1, ...,T −1

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Le risque de mort : rentes et assurance vie

En utilisant l’approximation log(1 +x)≈x pour x petit, alors

∆ log(c_t+1) = r−ρ−m_t+1 σ

La mortalit´e diminue la croissance de la consommation.

⇒ Moins demain est certain, plus il faut consommer vite pour profiter de sa richesse.

Même si r > ρ, ce qui explique ∆ log(ct+1)>0|_jeunes, on peut avoir ∆ log(c_t+1)<0|_vieux pour m_t grand = DATA Ceci ne dit rien sur la richesse : cela dépend des contrats sur les marchés financiers.

(41)

L’assurance vie

Supposons que vous ayez le choix entre deux placements de 1 Euro pour un an. Vous avez 50% de chance de survie `a la p´eriode 2.

Le placement A consiste en un certificat de dépôt qui paiera avec taux de rendement r peut importe si vous êtes vivant ou non dans un an. Donc, la valeur de marché à terme est 1 +r.

Mais si vous ˆetes mort, l’utilit´e que vous y accorder est de 0.

Le placement B vous donne 2(1 +r) = _50%¹ (1 +r) si vous survivez et zéro sinon. L’espérance de rendements des deux produits est la même : 1 +r.

Le consommateur préfère B, quelles que soient ses préférences, puisqu’il valorise le placement seulement s’il est vivant.

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(42)

L’assurance vie

Le probl`eme devient alors V_t(x_t) = max

ct

u(c_t) +βs_t,t+1V_t+1

1 +r

s_t,t+1(x_t−c_t) +y_t+1

d’o`u la CPO

u⁰(c_t) = (1 +r)βu⁰(c_t+1) ∀t = 1, ...,T −1 identique `a celle en certain.

L’assurace vie(versement d’une rente si ”vie”) peut donc assurer parfaitement contre le risque de mort.

(43)

Les actifs financiers et l’assurance vie

L = π[u(c₁(1))] + (1−π)[u(c₁(2)) +βu(c₂(2))]

+λ(1)π[y₁−c₁(1)−qpa]

+λ(2)(1−π)[y1−c1(2)−qpa+q(a−c2(2))]

CPO

u⁰(c₁(1)) = λ(1) u⁰(c₁(2)) = λ(2) βu⁰(c2(2)) = λ(2)q

λ(1)πqp = λ(2)(1−π)q(1−p)

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(44)

La derni`ere CPO ´etablit le lien entre λ(1) etλ(2) :

⇔λ(1)πp=λ(2)(1−π)(1−p) March´e de l’Assurance en concurrence parfaite (Π = 0) :

⇔p = 1−π On a doncλ(1) =λ(2) et donc c₁(1) =c₁(2).

(45)

Le probl`eme de l’agent est alors

L = u(c1) +β(1−π)u(c2) +λ[y1−c1−(1−π)qc2] d’o`u

q =βu⁰(c₂)

u⁰(c₁) ⇔Idem qu’en certain (q = 1/(1 +r)) Une assurance vie ”complète”, permet de retrouver les résultats d’une économie sans risque.

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