PROGRAMME DE REVISION CLASSE DE SECONDE

PROGRAMME DE REVISION 1

CLASSE DE SECONDE

1

TRIMESTRE

ORDRE ET INTERVALLES Exercice 1

Compléter le tableau suivant :

Intervalle Inégalité Représentation

graphique Lecture de l’intervalle Borné ou non 3 5

∞ ; 5

2

Intervalle de -1 à 4, fermé en -1 et ouvert

en 4

[ ] -4 6

Exercice 2 Compléter :

2 ; 0 ∩ 1 ; 2 ………. 2 ; 0 ∪ 1 ; 2 ……….

∞ ; 2 ∪ 0 ; 15 ………. ∞; 2 ∩ 0 ; 15 ……….

1 ; 3 ∪ 3 ; 15 ………. 1 ; 3 ∩ 3 ; 15 ……….

Exercice 3

Comparer √2 1 et 1

√2 1

2

LES FONCTIONS Exercice 5

Soit C la courbe ci-dessus représentant une fonction et la droite représentant une fonction .

1. Déterminer les images par de −3

2 , 0, 2 et 4

2. Déterminer, s’ils existent, les antécédents par de -3, -1, et 3.

3. Résoudre graphiquement () = 0 et () = 3.

4. Résoudre graphiquement l’inéquation () ≤ 3 .

5. Résoudre graphiquement : () = () ./ () < ().

Exercice 6

Soit la fonction () = 2

−2 + 5 définie sur ℝ − 55 26

1. Représenter cette fonction sur l’écran d la calculatrice et faire une conjecture quant aux variations de la fonction.

Exercice 7

3

est une fonction affine telle que (2) = 1 et (−3) = 4.

1. Exprimer () en fonction de .

2. Sans effectuer la représentation graphique de la fonction , donner, en justifiant, le sens de variation de .

3. Calculer 7− 1

4. Résoudre l’inéquation 28 () ≥ −2.

Exercice 8

Soit la fonction définie sur _ℝ par () = 3 – 4. 1/ Quelle est la nature de ?

2/ Quel est le sens de variation de f sur _ℝ ? Justifier.

3/ Que sait-on concernant sa courbe représentative ? 4/ Construire la courbe représentative de .

5/ Déterminer la racine de dans _ℝ.

6/ Dresser le tableau de variation de puis le tableau de signe de . Exercice 9

1. Soit l’expression ; = <3 – 2=²– 16 a. Développer ;

b. Factoriser ;

2. est la fonction définie sur ℝ ?@A () = <3 – 2=²– 16

a. Calculer les images de 0 ; – 1 et 3

b. Déterminer par le calcul, s’ils existent, les antécédents de 0 ; – 16 et – 25.

c. Pour quelles valeurs de , cette fonction est-elle positive ? d. Comment peut-on vérifier ces calculs avec la calculatrice ?

4

Exercice 10

ABC est un triangle isocèle en A avec : AB = AC = 10 cm H est le pied de la hauteur issue de A.

Dans ce problème, on se propose d’étudier les variations de l’aire du triangle lorsqu’on fait varier la longueur x (en cm) du côté [BC].

1. a. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC lorsque 5. b. Peut-on avoir = 30 ? Pourquoi ? Dans quel intervalle varie ? 2. a. Exprimer AH en fonction de .

b. On désigne par () l’aire de ABC. Démontrer que ∶ () =

4I400 − ^J

c. Calculer () pour chacune des valeurs entières de x prise dans [0 ; 20] : arrondir les résultats au dixième et les présenter dans le tableau de valeurs suivant (le détail des calculs n’est pas demandé):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ()

3. Dans un repère orthogonal où 1 cm représente l’unité sur l’axe des abscisses et 2 cm représente 10 unités sur l’axe des ordonnées, placer les points correspondant au tableau précédent et donner alors l’allure de la courbe représentant .

4. La fonction admet un maximum pour une valeur certaine valeur @ de . a. A l’aide du graphique encadrer cette valeur par deux entiers consécutifs.

b. Compléter le tableau suivant par des valeurs approchées au centième : 13,9 14 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6

()

Donner un encadrement « plus fin » de @, quelle est la nature du triangle ABC dans ce cas ? (On peut dessiner le triangle pour s’aider).

5

ENSEMBLE DE NOMBRES Exercice 11

Compléter le tableau suivant avec les signes ∈ou ∉

ℕ ℤ O ℚ ℝ

√10 7 3

−2 27,27 R − 1 14

−4

−√16 3 10

√144 1,45862156….

CALCULS NUMERIQUES Exercice 12

Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles.

@) 15

6 + 2 −10 3 +3

4 S)

12 + 5 367 ×14

9

V) 2^W× 2^XY (2^Z)^XJ× 4

[) 18 × 15 27 × 25 − 3

25 .) 10^]× 6^Y

25^Z × 3 × 2^{^^}

Exercice 13

Mettre le nombre suivant sous forme @√S où @ ./ S sont des entiers relatifs.

@) √112 − 2√7 + 5√28 S) − 2√80 − 4√125 − 5√5

LES INEQUATIONS

6

Exercice 14

Résoudre les inéquations suivantes.

@) 4 + 1 > – 2

S) 8(3 – 5) – 5(2 – 8) ≤ 4(3 – 1) + 16 V) 4(3 – 2) ≥ 7 – 8

[) – 1 ≥ + 1 .) ² + 4 < 0 ) ( – 4)² ≤ −1 ) 4 + 1 > 2(2 – 1)

VECTEURS ET REPERES Exercice 15

Dans un repère (O ; bc ; dc), on donne les points ;(2 ; 5), e(4 ; −2), f(−5 ; 1)et (−1 ; 6).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs e;gggggc, efgggggc et ;gggggc.

2. Que peut-on dire des droites (BC) et (AD) ? h. Le point K est tel que ekggggggc = 12 e;gggggc + 14 efgggggc Déterminer alors les coordonnées du point K.

4. Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [BC].

5. Démontrer alors que les points I, K et A sont alignés.

Exercice 16

ABC est un triangle.

l. Placer les points D, E et F tels que ∶ ;gggggc = 32 ;egggggc + 32 ;fgggggc ; epgggggc = − 12 fegggggc et F est le milieu de [AC].

2. Exprimer, en justifiant, le vecteur ;egggggc en fonction de qpgggggc.

3. a) Exprimer le vecteur ;pgggggc en fonction de ;egggggcet ;fgggggc b) En déduire un réel r tel que ;gggggc = r ;pgggggc

c) Que peut-on alors conclure ?

4. a) Placer le point M tel que : s;ggggggc − 3seggggggc = 0gc b) Placer le point G symétrique de F par rapport à C.

Montrer que u;gggggc = 32 f;gggggc puis ugggggc = 32 ;egggggc c) En déduire la nature du quadrilatère AMDG.

7 ELEMENTS DE CORRECTION

Ensemble de nombres Exercice 11

ℕ ℤ O ℚ ℝ

√10 X

73

X X

−2 X X X X

27,27 X X X X

R − 1 X

14

−4

X X X

−√16 X X X X

103

X X X

√144 X X X X X

1,45862156…. X X

Calculs numériques

Exercice 12

@) 15

6 + 2 −10 3 +3

4 = vh lv S)

12 + 5 367 ×14

9

= ll lw

V) 2^W× 2^XY (2^Z)^XJ× 4 =v^x

[) 18 × 15 27 × 25 − 3

25 = y

vz .) 10^]× 6^Y

25^Z× 3 × 2^{^^} ={|

Exercice 13

@) √112 − 2√7 + 5√28 = lv√y S) − 2√80 − 4√125 − 5√5 = −hh√z

Les inéquations

8

Exercice 14

@) 4 1 > – 2 } =] − 1; +∞[

S) 8(3 – 5) – 5(2 – 8) ≤ 4(3 – 1) + 16 } =] − ∞; 6]

V) 4(3 – 2) ≥ 7 – 8 } = [0; +∞[

[) – 1 ≥ + 1 } = ∅

.) ² + 4 < 0 } =] − 1; +∞[

) ( – 4)² ≤ −1 } = ∅

) 4 + 1 > 2(2 – 1) } = ∅

Vecteurs et repères Exercice 15

1.

9

e;gggggc 7 2

−78 efgggggc 7−93 8 ;gggggc 7−31 8

2. −9 × 1 − 3 × (−3) = −9 + 9 = 0

D’après le critère de colinéarité, efgggggc est colinéaire à ;gggggc, donc (BC) // (AD) h. ekggggggc = 12 e;gggggc + 14 efgggggc

_€ − 4 =1

2 × 2 +1

4 × (−9)

_€ + 2 =1

2 × (−7) +1 4 × 3

⇔ k 73 4 ;9

48

4.

_ƒ =4 − 5 2 = −1

2 _ƒ =−2 + 1

2 = −1 2

„ 7−1 2 ; −1

28 5.

;„ggggc …− 52

− 112

† ;kgggggc …− 54

− 114

†

−5

2 × 7−11 4 8 −11

2 × 7−5 48 = 0

D’après le critère de colinéarité, ;„ggggc est colinéaire à ;kgggggc, donc A, I et K sont alignés.

Exercice 16

10