Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022
MPSI - Mathématiques le 13 janvier
Devoir à la maison n° 12
À rendre le 20 janvier
Dans ce problème vous pourrez utiliser librement le résultat suivant :
Théorème :Sif est une injection entre deux ensembles finis ayant le même nombre d’éléments, alors f est une bijection.
I – L’anneau Z /n Z
Soit n∈N, n>2. Pour tout k∈Z, on note k le reste de la division euclidienne dek par n.
1) Montrer que nkk ∈Z
o={0,1, . . . , n−1}. Cet ensemble est alors noté Z/nZ. 2) a) Soient k, `∈Z. Montrer que k =` si et seulement sik ≡`[n].
b) Soient k, k0, `, `0 ∈Ztels que k =k0 et `=`0. Montrer que k+`=k0+`0.
Ceci permet de définir une addition ⊕sur Z/nZ: soient a, b∈Z/nZ. Alors il existe k, `∈Ztels quea=ketb =`. On pose alorsa⊕b =k+`, c’est-à-direk⊕`=k+`, ce qui est défini sans ambiguité grâce à la question 2)b)). Pour plus de commodités,
⊕ sera aussi notée +.
c) Soient k, k0, `, `0 ∈Ztels que k =k0 et `=`0. Montrer que k×`=k0×`0.
Ceci permet de définir une multiplication ⊗ sur Z/nZ : soient a, b ∈ Z/nZ. Alors il existe k, ` ∈ Z tels que a = k et b = `. On pose alors a⊗b = k×`, c’est-à-dire k⊗` =k×`, ce qui est défini sans ambiguité grâce à la question 2)c)). Pour plus de commodités, ⊗ sera aussi notée ×.
3) Pour vérifier que vous avez bien compris : a) Donner les éléments de Z/6Z.
b) Dans (Z/6Z,+,×), calculer 2 + 3, 3 + 5, 1 + 5, 3×5 et 2×3.
4) a) Montrer que (Z/nZ,+) est un groupe abélien.
b) Montrer que (Z/nZ,+,×) est un anneau. Est-il commutatif ?
5) a) Soit k ∈ J2, n−1K tel que k|n. Montrer alors qu’il existea ∈Z/nZ tel que a 6= 0 et k×a= 0.
b) Soit k∈J2, n−1Ktel que ketnne soient pas premiers entre eux. Montrer alors qu’il existe a∈Z/nZ tel que a6= 0 et k×a = 0.
c) Soit k ∈ J1, n−1K tel que k∧n = 1. En utilisant le théorème de Bézout, montrer qu’il existe m ∈ Z tel que k×m = 1. En déduire que k est inversible dans Z/nZ pour la loi ×.
6) Montrer que (Z/nZ,+×) est un corps si et seulement si n est premier.
7) Pour vérifier que vous avez bien compris : dansZ/150Z, dire si 81 et 143 sont inversibles.
Pour chacun d’eux, donner son inverse s’il existe, sinon donner un élément non nul a de Z/150Ztel que a×b= 0 (avec b= 81 ou 143).
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II – Le théorème chinois
L’objectif de cette partie est de montrer que si n, m ∈ N\ {0,1} sont premiers entre eux, les anneauxZ/nmZ etZ/nZ×Z/mZsont isomorphes.
Les lois + et × de Z/nZ × Z/mZ sont telles que si (a, b),(c, d) ∈ Z/nZ × Z/mZ, alors (a, b) + (c, d) = (a + b, c+ d) et (a, b) × (c, d) = (a ×c, b × d), et on admettra que muni de ces lois, Z/nZ×Z/mZ est un anneau (ces sont leslois produit définies en TD).
Sin ∈Zet x∈Z, on notera désormais x[n] le reste de la division euclidienne de xpar n.
8) Soitn, m∈N\ {0,1}deux entiers premiers entre eux etϕ:
( Z/nmZ → Z/nZ×Z/mZ x 7→ x[n], x[m] . a) Montrer que pour tout x∈Z,ϕ(x[nm]) = x[n], x[m].
b) Montrer que ϕ est un morphisme d’anneaux.
c) Montrer que ϕ est un isomorphisme d’anneaux.
9) Application : Soit n, m ∈ N∗ premiers entre eux et soit a ∈ J0, n−1K, b ∈ J0, m−1K. On cherche à résoudre le système de congruences
( x ≡ a [n]
x ≡ b [m] .
a) Montrer qu’il existe une unique solution x0 ∈J0, nm−1K. b) Exprimer l’ensemble des solutions en fonction de x0.
c) Donner l’expression d’une solution particulière (on pourra utiliser un entierutel que nu ≡1 [m]).
10) Résoudre
( x ≡ 10 [47]
x ≡ 5 [111] .
— FIN —
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