II. Sommes et produits télescopiques

Sommations

Rédaction incomplète. Version 1.2

Plan Index

facteurs,1

intervalle entier,1

sommations en dominos,3

sommes télescopiques,3 termes,1

variable locale, variable muette,1

I. Sommer et récolter

1. Notations

Les symboles P et Q sont utilisés respectivement pour désigner une somme d'un nombre ni de termes ou un produit d'un nombre ni de facteurs . Autour de ces symboles gure un nom local qui permet de désigner le terme ou le facteur. On utilise aussi variable locale ou variable muette

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

(a) sur des petits pois dans leur

cosse (b) sur un ensembleCde coquillettes (c) sur un ensemble T de

points

Fig. 1: Des sommations ...

La masse des petits pois est notée

7

X

i=1

µ(p_i)

où la lettre i est le nom du nombre permettant de repérer le petit pois (désigné par p_i) dans la cosse. La lettreµdésigne la fonction donnant la masse d'un pois. Comme les indices à considérer forment un intervalle entier , on utilise une notation au dessus et au dessous du symbole. Noter l'analogie avec la notation des intégrales.

On utilise une notation particulière pour les intervalles entiers. Siaetbsont des entiers relatifs aveca≤b: Ja, bK={a, a+ 1,· · · , b}

La masse des coquillettes est notée

M =X

c∈C

µ(c)

Cette foiscest le nom d'une coquillette de l'ensemble. On peut numéroter les coquillettes une par une de1 àN et utiliser un nom de l'indice :

M =

N

X

i=1

µ(ci)

mais cela n'est pas obligatoire, la première notation est aussi commode.

SoitT l'ensemble des couples d'entiers naturels réprésentés par les points rouges de la gure. Pour tout point P ∈ T, on poseµ(P) =ij siP = (i, j). On considère la somme

S= X

P∈T

µ(P) = X

(i,j)∈T

ij

On trouvera une expression pour cette somme à la n de la section suivante.

On peut combiner les notations précédentes :

p

X

i=1

ai

! q

X

i=1

bi

!

=

p

X

i=1

ai

!



q

X

j=1

bj



= X

(i,j)∈J1,pK×J1,qK

aibj

Noter que les noms i sont locaux à chaque somme, c'est à dire qu'ils n'ont de signication qu'à l'intérieur de la somme qui les dénit. Il n'y a donc pas de problème à utiliser la première manière d'écrire. Les problèmes surviendront lorsque l'on développera le produit car les deux noms se trouveront alors dans la même expression.

Il faudra trouver des noms diérents pour les deux objets.

2. Changement de nom d'indice

Dans une addition l'ordre des termes est sans importance, on peut donc les permuter et repérer ce nouvel ordre avec un nouvel indice sans changer la valeur de la somme.

Mise en ÷uvre pratique.

Former une relation entre l'ancien nom et le nouveau nom. Exprimer l'ancien nom en fonction du nouveau.

Vérier que lorsque l'ancien nom décrit son intervalle entier de dénition, le nouveau nom décrit un intervalle entier et préciser soigneusement cet intervalle et ses bornes.

Remplacer dans la somme les bornes de l'ancien intervalle par les bornes du nouveau et l'ancien nom par son expression en fonction du nouveau.

Exemple pour la somme des entiers consécutifsS=P

k∈{1,···,n}k. On somme en allant denà1. Ancien nomk, nouveau nomi, relationi=n+ 1−k, on exprimek=n+ 1−i.

Lorsquekdécrit 1,· · ·, n,idécrit n,· · · ,1. Les bornes de l'intervalle décrit parirestent1 etn. Remplacement :

S= X

k∈{1,···,n}

k= X

i∈{1,···,n}

(n+ 1−i) Le nom de la variable est sans importance. On en déduit

S = X

k∈{1,···,n}

(n+ 1−k)

S= X

i∈{1,···,n}

(n+ 1−i) = X

k∈{1,···,n}

(n+ 1−k)











⇒2S= X

k∈{1,···,n}

(n+ 1) =n(n+ 1)⇒S= 1

2n(n+ 1) Autre méthode : avec un tableau carré(n+ 1)×(n+ 1).

×

× ×

× × ×

Nombre de cases strictement au dessous de la diagonale = Nombre de cases strictement au dessus =1+2+· · ·n=S. Nombre de cases sur la diagonale =n+ 1.

Nombre total de cases :(n+ 1)²= 2S+n+ 1 d'oùS= ⁽ⁿ⁺¹⁾ⁿ₂ .

Application au calcul d'une somme sur un triangle (Figure1c). oùµ((i, j)) =ij. S= X

P∈T

µ(P) = X

(i,j)∈T

ij

On découpe le triangle sur lequel on somme en tranches verticales.

S= X

i∈0,n



 X

j∈ 0,n−i

ij



= X

i∈1,n

i



 X

j∈1,n−i

j



= X

i∈1,n

i(n−i)(n−i+ 1)

2 =1

2 X

j∈1,n

(n+ 1−j)(j−1)j

avec le changement de nom d'indicej=n−i+ 1. Ce calcul sera achevé comme exemple d'utilisation des techniques de la section suivante (II.4.).

II. Sommes et produits télescopiques

1. Principe

On parle aussi de sommes en dominos .

Si on peut exprimer chaque terme d'une suite u₁, u₂,· · ·, u_n comme la diérence de deux termes consécutifs d'une autre suite U0, U1,· · ·, Un, il est facile d'exprimer une somme de ui consécutifs. Plus précisément, pour 1≤p < q≤n,

∀i∈J1, nK, ui=Ui−U_i−1⇒up+up+1+· · ·+uq =Uq−U_p−1

2. Des sommes agréables

Les suites formées avec des produits ou des quotients d'entiers consécutifs se prètent bien à ce genre de calculs.

U_k k k(k+ 1) k(k+ 1)· · ·(k+p) ¹_k k(k+1)···(k+p)¹

Uk−Uk−1 1 2k (p+ 1)k(k+ 1)· · ·(k+p−1) _(k−1)k⁻¹ -k(k+1)···(k+p−1)^p+1

Ils permettent de calculer les sommes k=1

2(k(k+ 1)−(k−1)k)⇒

n

X

k=1

k= 1

2(n(n+ 1)−0) k(k+ 1) = 1

3(k(k+ 1)(k+ 2)−(k−1)k(k+ 1))⇒

n

X

k=1

k(k+ 1) = 1

3(n(n+ 1)(n+ 2)−0) k(k+ 1)(k+ 2) = 1

4(k· · ·(k+ 3)−(k−1)· · ·(k+ 2))⇒

n

X

k=1

k(k+ 1)(k+ 2) = 1

4(n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)−0) 1

k(k+ 1) =− 1

k+ 1 −1 k

⇒

n

X

k=1

1

k(k+ 1) =− 1

n+ 1 −1

3. Application au calcul de sommes de puissances d'entiers.

Pour calculer une somme de puissances d'entiers consécutifs, on peut exprimer cette puissance comme une combinaison de suites du tableau précédent.

k²=k(k+ 1)−k⇒

n

X

k=1

k²=1

3n(n+ 1)(n+ 2)−1

2n(n+ 1) = 1

6n(n+ 1)(2n+ 1)

k³=k(k+ 1)(k+ 2)−3k²−2k=k(k+ 1)(k+ 2)−3k(k+ 1) +k

⇒

n

X

k=1

k³=1

4n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)−n(n+ 1)(n+ 2) +1

2n(n+ 1) = 1

4n(n+ 1) ((n+ 2)(n+ 3)−4(n+ 2) + 2)

= 1

4n(n+ 1) ((n+ 2)(n−1) + 2) =

n(n+ 1) 2

²

4. Exemple d'utilisation des méthodes précédentes

On revient sur l'exemple de la somme S (Partie II.2.) qui porte sur les points d'un triangle (Figure 1c). On avait montré que

S= 1 2

X

j∈J0,nK

(n+ 1−j)(j−1)j

On décompose en une combinaison de sommes agréables : Sn=1

2 X

j∈J1,nK

(n−(j−2)−1)(j−1)j= n−1 2

X

j∈J1,nK

(j−1)j−1 2

X

j∈J1,nK

(j−2)(j−1)j

=n−1 6

X

j∈J1,nK

((j−1)j(j+ 1)−(j−2)(j−1)j)−1 8

X

j∈J1,nK

((j−2)(j−1)j(j+ 1)−(j−3)(j−2)(j−1)j)

= 1

24 4(n−1)²n(n+ 1)−3(n−2)(n−1)n(n+ 1)

= 1

24(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) Pourquoi la somme est-elle nulle pourn= 0?

5. Produit télescopique

Un produit est dit télescopique lorsque chacun de ses facteurs est le quotient de deux termes consécutifs d'une suite xée. Par exemple

P =p₁p₂· · ·p_n =

n

Y

i=1

p_i

où il existeu0, u1,· · · , un non nuls tels que

∀i∈J1, nK, p_i= ui

u_i−1

⇒ P= u1

u₀ u2

u₁· · · un

u_n−1 = un

u₀. Exemple

P =

n

Y

k=1

(1 + 1 k) =

n

Y

k=1

k+ 1

k =n+ 1.

III. Autour des sommes de termes de suites géométriques

(1−q)(1 +q+· · ·+qⁿ) =1−qⁿ⁺¹ (a−b)(aⁿ+aⁿ⁻¹b+· · ·+abⁿ⁻¹+bⁿ) =a^n+1−bn+1 Variantes avec des exponentielles :

C= 1 + cosx+ cos 2x+· · ·+ cosnx, S= sinx+ sin 2x+· · ·+ sinnx Pourx6≡0 mod 2π,

C+iS= 1 +e^ix+ (e^ix)²+· · ·+ (e^ix)ⁿ= 1−e^i(n+1)x

1−e^ix =sin^(n+1)x₂

sin^x₂ e^inx2 ⇒















C=sin^(n+1)x₂ sin^x₂ cosnx

2 S=sin^(n+1)x₂

sin^x₂ sinnx 2

IV. Autour de la formule du binôme

1. Dénition des coecients du binôme

On dénit récursivement (oun inductivement) les coecients du binôme par la formule du triangle de Pascal.

Cette méthode permet d'obtenir facilement la formule du binôme. L'expression comme quotient de produits de nombres entiers consécutifs est prouvée ensuite.

Dénition. Il existe une unique fonctionc dénie dans

(n, k)∈N² tq0≤k≤n telle que :

∀n∈N, c(n,0) =c(0, n) = 1 (1)

∀n∈N^∗,∀k∈J1, nK, c(n+ 1, k) =c(n, k) +c(n, k−1) (2) La notation dénitive dec(n, k)et ⁿ

. Ces nombres sont appelés les coecients du binôme.

On ne soulèvera pas de diculté théoriques quant à cette dénition mais on se contentera de construire le triangle de Pascal.

1 x x x x

1 1 x x x

1 x 1 x x

1 x x 1 x

1 x x x 1

−→

1 x x x x

1 1 x x x

1 2 1 x x

1 x x 1 x

1 x x x 1

. . .−→ · · ·

1 x x x x x

1 1 x x x x

1 2 1 x x x

1 3 3 1 x x

1 4 6 4 1 x

1 5 10 10 5 1 Remarques. Il est évident par dénition que les coecients du binôme sont des entiers naturels.

2. Formule du binôme

Proposition (formule du binôme).

∀(a, b)∈C²,∀n∈N, (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k

Dans cette formule, tous les complexes à la puissance0 sont pris égaux à1. Preuve. NotonsPn la formule du binôme pour un entiern.

Pourn= 0:(a+b)⁰= 1 et

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k = 0

0

a⁰b⁰= 1 Pourn= 1:(a+b)¹=a+b et

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k = 0

1

a⁰b¹+ 1

1

a¹b⁰=b+a Montrons maintenant que pourn≥2,Pn⇒ Pn+1.

(a+b)ⁿ⁺¹= (a+b)ⁿ(a+b) =

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k

!

(a+b) =

n

X

k=0

n k

a^k+1b^n−k

| {z }

notéS1

+

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k+1

| {z }

notéS2

Changeons le nom de l'indice dans S1 et introduisons un nouveau nom i = k+ 1. Traduisons le domaine de sommation à l'aide dei

k∈J0, nK⇔i∈J1, n+ 1K Chassons tous leskdeS₁ aveck=i−1puis revenons à l'ancien nomk

S1=

n+1

X

i=1

n i−1

aⁱbⁿ⁺¹⁻ⁱ =

n+1

X

k=1

n k−1

a^kb^n+1−k

Les deux sommesS1 et S2 contiennent alors le même facteura^kb^n+1−k mais aectés de coecients du binôme diérents. Les domaine de sommations ne sont pas tout à fait les mêmes, la partie commune étantJ1, nK. On en déduit

(a+b)ⁿ⁺¹=

n n

aⁿ⁺¹b⁰

| {z }

indicen+ 1deS1=aⁿ⁺¹

+

n

X

k=1

n k−1

+

n k

a^kb^n+1−k+ n

0

a⁰bⁿ⁺¹

| {z }

indice0deS2=bⁿ⁺¹

= n+ 1

n+ 1

aⁿ⁺¹b⁰+

n

X

k=1

n+ 1 k

a^kb^n+1−k+ n+ 1

0

a⁰bⁿ⁺¹=

n+1

X

k=0

n+ 1 k

a^kb^n+1−k

Proposition.

∀n∈N,∀k∈J0, nK,

n n−k

= n

k

, n

k

=n(n−1)· · ·(n−k+ 1) k!

Preuve. On posec(n, k) = _n−kⁿ

puisc(n, k) = n(n−1)···(n−k+1)

k! et on montre que les suites ainsi dénies vérient les relations(1)et(2)de la dénition des coecients du binôme.

Remarquer que le numérateur de cette expression est formé dek facteurs décroissants à partir den. On peut aussi multiplier en haut en en bas par unn!parasite et obtenir

n k

= n!

k!(n−k)!

Dans un calcul, je conseille d'essayer d'utiliser d'abord l'expression sans len!parasite.

3. Chemins et justication de la terminologie

Fig. 2: Chemin à coordonnées entières.

On considère le réseauN×Ndes points à coordonnées entières et les chemins qui partent de l'origine (coor- données(0,0). Sur un chemin, on passe d'un point au suivant en ajoutant +1 soit à l'abscisse soit à l'ordonnée (mais pas aux deux).

Pour n∈Net p∈J0, nK, on note c(n, p)le nombre de chemins partant de l'origine et se terminant au point de coordonnées(p, n−p).

Proposition.

c(n, p) = n

p

0

X U V

Fig. 3: Dénombrement de chemins

Preuve. Encore une fois, la démonstration consiste à vérier que les c(n, p) vérient la relation qui dénit les coecients du binôme.

Considéronsc(n+ 1, p)qui désigne le nombre de chemins d'extrémité X = (p, n+ 1−p). Le dernier segment du chemin est soit vertical soit horizontal. Introduisons les pointsU et V respectivement de coordonnées(p, n−p) (p−1, n−(p−1)). On peut donc classer les chemins deO àX en deux catégories disjointes suivant qu'ils passent parU (il y en ac(n, p)) ou qu'ils passent parV (il y en ac(n, p−1)). On en déduit

c(n, p) =c(n−1, p) +c(n, p−1)

Un chemin est constitué de segments horizontaux et verticaux. Un chemin deOvers(p, n−p)est complètement caractérisé par le choix despsegments horizontaux parmi lesnsegments que doit contenir le chemin. Ceci justie la dénomination ⁿ_p

=pparmin.

V. Identités remarquables à retenir

|u+v|²=|u|²+|v|²+ 2 Re(uv|

(z−u)(z−u) =z²−2 Re(u)z+|u|² z²−2 cosθz+ 1 = (z−e^iθ)(z−e^−iθ)

u^p−v^p= (u−v)(u^p−1+u^p−2v+· · ·+uv^p−2+v^p−1) u^p−1 = (u−1)(u^p−1+u^p−2+· · ·+u+ 1)

(u+v)ⁿ =

n

X

k=0

n k

u^kv^n−k =

n

X

k=0

n k

u^n−kv^k