Groupes quotients et Théorèmes d’isomorphisme

Université Cadi Ayyad

Faculté poly-disciplinaire de Safi Département de Mathématiques et Informatique

Année Universitaire : 2019−2020 Filières : SMA

Semestre : 4

Module: Algèbre 6 Prof: Salah El Ouadih

Groupes quotients et Théorèmes d’isomorphisme

(Séance de cours: Jeudi 26 Mars 2020) Théorème 4. (Troisième théorème d’isomorphisme)

Soient G un groupe et H un sous-groupe normal dans G. Pour tout sous- groupe K normal dans G contenant H, on a:

K/H / G/H, et (G/H)/(K/H)'G/K.

Preuve.

Remarquons pour commencer queH est distingué dansK et que le quotient K/H a bien un sens.

Considérons les morphismes canoniques

π_H :G−→G/H, et π_K :G−→G/K,

Il est clair que K/H = π_H(K) est un sous-groupe de G/H (comme im- age du sous-groupe K par le morphisme de groupes π_H). Quels que soient g ∈ G/H et k ∈ K/H, ona g.k.g⁻¹ =π_H(gkg⁻¹); or gkg⁻¹ ∈ K car K / G, donc h.k.h⁻¹ ∈ π_H(K). Ceci prouve que K/H / G/H et donc le groupe quotient (G/H)/(K/H) est bien défini. notons π la surjection canonique G/H −→(G/H)/(K/H).

Puisque π_H(K) =K/H, d’après le lemme de factorisation (théorème de pas- sage au quotient), il existe un unique morphismeφ:G/K −→(G/H)/(K/H) tel que le diagramme suivant soit commutatif:

G ^{πH //}

πK

G/H

π

G/K φ//(G/H)/(K/H) c’ést-à-dire φ◦π_K =π◦π_H.

Le morphisme π◦π_H étant surjectif (comme composé de deux surjections), il en est de même du morphisme φ (Voir Remarque 3.).

D’autre part, on a

x∈ker(π◦π_H) ⇐⇒ x∈ker(φ◦π_K)

⇐⇒ φ(π_K(x)) = e

⇐⇒ π_H(x)∈K/H

⇐⇒ x∈K

d’où ker(π◦π_H) =K et φ est injective (Voir Remarque 3.). Par conséquent φ est un isomorphisme.

Application aux groupes symétriques

Définition 1. Soit un ensemble E. On appelle permutation de E, une bijec- tion σ :E −→E.

(B(E), o) est un groupe, appelé groupe des permutations de l’ensemble E.

Définition 2. Lorsque l’ensemble E = {1,2, ..., n}, on note Sn le groupe des permutations de E.

S_n est un groupe fini de cardinaln! que l’on appellera le groupe symétrique d’ordre n.

Une permutation σ ∈S_n se note : σ =

1 ... n

σ(1) ... σ(n)

ou plus simplementσ = σ(1) ... σ(n) . On note e=Id =

1 ... n 1 ... n

l’élément neutre deS_n, qui est l’identité deE.

Exemple 1. σ =

1 2 3 4 5 4 1 3 5 2

ou plus simplementσ = .4 1 3 5 2 est la permutation de E = {1,2,3,4,5} définie par: σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = 5, σ(5) = 2.

On a σ(1) = 4 =⇒ σ⁻¹(4) = 1et donc l’inverse de σ est donné par:

σ⁻¹ =

1 2 3 4 5

σ⁻¹(1) σ⁻¹(2) σ⁻¹(3) σ⁻¹(4) σ⁻¹(5)

=

1 2 3 4 5 2 5 3 1 4

, ou plus simplement σ⁻¹ = .2 5 3 1 4

.

Pour composer deux permutations σ=

1 2 3 4 4 1 3 5

etσ⁰ =

1 2 3 4 3 4 2 1

nous écrivons σoσ⁰ =

1 2 3 4

σoσ⁰(1) σoσ⁰(2) σoσ⁰(3) σoσ⁰(4)

=

1 2 3 4 3 5 1 4

,

car par exemple, σoσ⁰(2) =σ(σ⁰(2)) =σ(4) = 5.

Remarque 5. Pourn = 1, le groupe S₁ est le groupe trivial {e}d’ordre 1.

Pour n = 2, le groupeS2 est d’ordre 2, doncS2 ={e, τ}=hτioùe =

1 2

1 2

et τ =

1 2

2 1

, qui vérifie bien τ² =τ oτ =e.

Pour n = 3, le groupe S3 est d’ordre 6. On a: S3 ={e, σ1, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5} avec: e =

1 2 3 1 2 3

, σ₁ =

1 2 3 1 3 2

, σ₂ =

1 2 3 3 2 1

, σ₃ =

1 2 3 2 1 3

, σ₄ =

1 2 3 2 3 1

,σ₅ =

1 2 3 3 1 2

=σ₄²

On a la table suivante :

o e σ₁ σ₂ σ₃ σ₄ σ₅ e e σ₁ σ₂ σ₃ σ₄ σ₅ σ₁ σ₁ e σ₅ σ₄ σ₃ σ₂ σ₂ σ₂ σ₄ e σ₅ σ₁ σ₃ σ₃ σ₃ σ₅ σ₄ e σ₂ σ₁ σ₄ σ₄ σ₂ σ₃ σ₁ σ₅ e σ5 σ5 σ3 σ1 σ2 e σ4

S₃ admet trois sous-groupes d’ordre 2 qui sont {e, σ₁}, {e, σ₂} et {e, σ₃} et un sous-groupe d’ordre 3 qui est {e, σ₄, σ₅}={e, σ₄, σ₄²}.

On note qu’il n’existe pas d’élément deS₃ d’ordre 6 et on retrouve le fait que le groupe (S₃, o) n’est pas cyclique.

On remarque que S₃ n’est pas abélien car σ₁oσ₂ 6=σ₂oσ₁. On en déduit en particulier que ce groupe n’est pas monogène.

Définition 3. Soit σ ∈ S_n ; on définit une relation R_σ sur E_n de la façon suivante:

kR_σm ⇐⇒ ∃p∈Z, m =σ^p(k).

La relation R_σ est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence d’un élément k deE_n est appelée orbite de k suivant σ et notée O_σ(k),

O_σ(k) = {σ^p(k), p∈Z}

Les orbites suivant σ forment alors une partition de E_n. Exemple 2. Soit σ =

1 2 3 4 5 6 7 2 5 6 1 4 3 7

∈ S₇. Alors les orbites de σ sont O_σ(1) = {σ^p(1), p∈Z} = {1,2,5,4}, O_σ(3) = {σ^p(3), p∈Z} = {3,6}

et O_σ(7) ={σ^p(7), p∈Z}={7}

car σ⁰(1) = 1, σ¹(1) = 2, σ²(1) = 5,σ³(1) = 4, σ⁴(1) = 1, σ⁵(1) = 2,...

et σ⁰(3) = 3, σ¹(3) = 6,σ²(3) = 3, σ³(3) = 6,...

On remarque que O_σ(1) ={1,2,5,4}=O_σ(2) = O_σ(5) = O_σ(4) etO_σ(3) = {3,6}=O_σ(6) et que E₇ ={1,2, ...,7}=O_σ(1)∪ O_σ(3)∪ O_σ(7).

Définition 4. Soit σ ∈ S_n − {Id}. on appelle support de σ et on note supp(σ)le sous-ensemble de E_n défini par :

supp(σ) ={i/1≤i≤n et σ(i)6=i}. Ainsi, le support deσ=

1 2 3 4 5 6 7 5 2 6 1 4 3 7

est: supp(σ) ={1,3,4,5,6}.

Définition 5. On appelle cycle une permutation possédant une seule or- bite non triviale. Cette orbite est alors appelée le support du cycle, son cardinal est la longueur du cycle. On dit que σ est un k-cycle où k est sa longueur.

On note le cycle de support {a₁, a₂, ...., a_k}, c= (a₁, a₂, ..., a_k), avec c(a_i) = a_i+1, pour i= 1, ..., k−1 et c(a_k) =a₁. Les autres éléments sont inchangés.

On appelle transposition un cycle de longueur 2.

On dit que deux cycles sont disjoints si leurs supports respectifs sont disjoints.

Exemple 3.

1. Soit σ =

1 2 3 4 5 6 5 2 3 6 4 1

, on a O_σ(2) = {2}, O_σ(3) = {3} et O_σ(1) ={1,5,4,6}=O_σ(5) =O_σ(4) =O_σ(6). Donc σ est un cycle.

2. S₃ est constitué par l’identité I=e, trois transpositions τ₁ = (1,2), τ₂ = (1,3),τ₃ = (2,3) et deux 3-cycles c₁ = (1,2,3)et c₂ = (1,3,2).

Proposition 1.

Soit σ etσ⁰ deux cycles de S_n. Alors on a

1. L’inverse d’unk-cycle est unk-cycle: (x₁, x₂, ..., x_k)⁻¹ = (x_k, x_k−1, ..., x₁).

2. Le conjugué d’unk-cycle est un k-cycle. Plus précisément:

Siγ = (x₁, x₂, ..., x_k)etσ ∈S_n, alors σγσ⁻¹ = (σ(x₁), σ(x₂), ..., σ(x_k)).

3. L’ordre d’un cycle est égal à sa longueur: Si σ est un k-cycle alors o(σ) = k.

4. supp(σ) =supp(σ⁻¹)

5. supp(σoσ⁰)⊂supp(σ)∪supp(σ⁰)

6. Deux cycles disjoints commutent: Siσ etσ⁰ sont disjoints alors σoσ⁰ = σ⁰oσ etsupp(σoσ⁰) =supp(σ)∪supp(σ⁰)

Théorème 5. Tout permutation σ se décompose de façon unique en un produit fini de cycles de supports disjoints. Les cycles de la décomposition correspondent aux différentes orbites de σ et commutent deux à deux.

L’ordre d’une permutation est le ppcm des ordres des différents cycles qui composent la permutation.

Exemple 4. Considérons la permutation σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 10 9 7 8 5 4 2 1 6

,

et déterminons ses orbites:

O_σ(1) ={1,3,9},O_σ(2) ={2,10,6,5,8},O_σ(4) ={4,7},

Alors, en posant

σ₁ = (1,3,9), σ₂ = (2,10,6,5,8), σ₃ = (4,7),

on a aussitôt σ = σ₁oσ₂oσ₃ et ainsi o(σ) = ppcm(o(σ₁), o(σ₂), o(σ₃)) = ppcm(3,5,2) = 30

Exemple 5. On peut facilement calculer la puissance n^ieme d’une permuta- tion à partir de sa décomposition en cycles: calculons σ³⁰⁷¹ avec

σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 10 9 7 8 5 4 2 1 6

,

alors σ =σ₁oσ₂oσ₃ oùσ₁ = (1,3,9), σ₂ = (2,10,6,5,8)etσ₃ = (4,7), donc

σ³⁰⁷¹ =σ₁³⁰⁷¹oσ₂³⁰⁷¹oσ₃³⁰⁷¹,

car les σ₁, σ₂ et σ₃ sont des cycles deux à deux disjoints donc commutant entre eux deux à deux.

Puisque

σ₁³⁰⁷¹ =σ^3×1023+2₁ = (σ₁³)¹⁰²³σ₁² =e¹⁰²³σ²₁ =σ₁² = (1,9,3)

σ₂³⁰⁷¹ =σ^5×614+1₂ = (σ₂⁵)⁶¹⁴σ₂¹ =e⁶¹⁴σ₂ =σ₂ σ₃³⁰⁷¹ =σ^2×1535+1₃ = (σ₃²)¹⁵³⁵σ₃¹ =e¹⁵³⁵σ3 =σ3, donc

σ³⁰⁷¹ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 1 7 8 5 4 2 3 6

.

Théorème 6.

1. Un cycle se décompose facilement en produit (au sens de la composi- tions) de transpositions.

Si σ= (x₁, x₂, ..., x_p), alors σ= (x₁, x₂)o(x₂, x₃)o...o(xp−1, x_p).

On constate que si le cycle est de longueur p alors la décomposition comprend p−1 transpositions.

2. Sin ≥2, toute permutationσ ∈S_ns’écrit comme produit d’un nombre fini de transpositions (la décomposition n’est pas unique). En d’autres termes, le groupe Sn est engendré par ses transpositions.

S_n=h(i, j)/j ∈ {1,2, ..., n}i.

Remarque 6. Il y a d’autres présentations pour S_n, notamment grâce aux identités (i, j) = (1, i)o(1, j)o(1, i), on peut donc écrire

Sn=h(1, i)/i∈ {2,3, ..., n}i. Exemple 6.

1. Soit

σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 10 9 7 8 5 4 2 1 6

,

on a

σ = σ₁oσ₂oσ₃ = (1,3,9)o(2,10,6,5,8)o(4,7)

= (1,3)o(3,9)o(2,10)o(10,6)o(6,5)o(5,8)o(4,7)

2. Dans S₄, on a

1 2 3 4 3 1 2 4

= (2,4)o(1,4)o(4,2)o(1,3) = (2,3)o(1,2).

Définition 6. Soitσ∈S_n: on appelle signature deσet on noteε(σ)l’entier (−1)^n−m où m désigne le nombre d’orbites suivant σ.

Une permutation est dite paire, si sa signature est égal à 1. Une permutation est dite impaire, si sa signature est égal à -1.

Exemple 7. Soit σ =

1 2 3 4 5 6 7 2 5 6 1 4 3 7

∈ S₇. Les orbites de σ sont {1,2,5,4}, {3,6} et {7}, il y a 3 orbites donc la signature de σ est (−1)⁷⁻³ = (−1)⁴ = 1.

Proposition 2.

1. La signature de l’application identique Id=e est égal à 1.

2. Si σ est une transposition, ε(σ) = −1.

3. Si σ est un k-cycle, ε(σ) = (−1)^k−1. Preuve.

1. Dans S_n, Id possède n orbites, d’où ε(σ) = (−1)ⁿ⁻ⁿ = 1.

2. Une transpositionσdeS_npossèden−1orbites, d’oùε(σ) = (−1)^n−(n−1) =

−1.

3. Soit σ = (x₁, x₂, ..., x_k) est un k-cycle de S_n, alors O(x₁) = O(x₂) = ...=O(xk)etO(x) = xsix /∈ {x1, x2, ..., xk} doncσ possède n−k+ 1 orbites, d’où ε(σ) = (−1)^{n−(n−k+1)} = (−1)^k−1.

Proposition 3. Siσ est produit dep transpositions, alors ε(σ) = (−1)^p. Théorème 7. L’application signature est un homomorphisme de groupes de (S_n, o) dans le groupe multiplicatif ({−1,1},×), surjectif sin ≥2.

Preuve.

Considérons σ, σ⁰ ∈ S_n, alors σ peut s’écrire comme produit dep transposi- tions etσcomme produit de q transpositions, donc σoσ⁰ peut s’écrire comme produit de p+q transpositions et ainsi

ε(σoσ⁰) = (−1)^p+q = (−1)^p(−1)^q =ε(σ)×ε(σ⁰),

Donc ε est un homomorphisme de groupes de (S_n, o) dans ({−1,1},×). de plus si n ≥ 2, Sn contient I = e et au moins une transposition, donc ε est

surjectif.

Définition 7. Le noyau de l’homomorphismeεest un sous-groupe distingué de S_n, appelé groupe alterné et noté A_n:

A_n ={σ ∈S_n/ε(σ) = 1}={permutations paires}.

Théorème 8. ∀n ≥ 2, Card(A_n) = Card(S_n− A_n) = n!

2. Il y a donc n!

2 permutations paires et n!

2 permutations impaires.

Preuve. Si n ≥ 2, ε étant surjectif. D’après le premier théorème des iso- morphismes, on a S_n/kerε ' Imε c’est-à-dire S_n/A_n ' {−1,1}. Ce qui entraîne, par le théorème de Lagrange, que

|S_n|

|An| =|S_n/A_n|=|{−1,1}|= 2.

Il en résulte que |A_n|= n!

2.

Exemple 8. S₃ est constitué de 6 permutations : Id =e, les trois transpo- sitions τ₁ = (1,2), τ₂ = (1,3), τ₃ = (2,3) et les deux 3-cycles c₁ = (2,3,1) et c₂ = (3,1,2). Il y a trois permutations impaires à savoir les trois transpo- sitions S_n− A_n = {τ₁, τ₂, τ₃}. Les trois autres sont donc des permutations paires A₃ ={Id, c₁, c₂}.