Sur la densité invariante d'un opérateur de Perron Frobenius : II -approximation

HAL Id: hal-00528974

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Preprint submitted on 16 Mar 2011 (v2), last revised 14 Sep 2015 (v3)

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Sur la densité invariante d’un opérateur de Perron

Frobenius : II -approximation

Guy Cirier

To cite this version:

Guy Cirier. Sur la densité invariante d’un opérateur de Perron Frobenius : II -approximation. 2010. �hal-00528974v2�

Sur la densité invariante d'un opérateur de Perron Frobenius : II -approximation Guy Cirier∗

Abstract

First approach of invariant density of a Perron Frobenius operator : 2- approximation. This paper give the asymptotic distribution of the zeros of the Hn(y)= !

n

eyf (a)/!an a=0 polynomials getting the

invariant density of the Perron Frobenius operator of a d-dimensional polynomial

f

. under assomptions of the steepest descent, the distribution is fonction of iid

_!

_! on (0,1)

!"

!

= s

!

Im f

!

(a

c

)

#

$

!

! = 1,2,.., p

for all thep complex coordonnates of the critical point

a

c of

! (a) = s" f (a) # " loga

;

!

!is the

argument of

_a

_!c , s_!= lim

N!"y!/ n! and

!

! = limN"#n!/ N with

N

= !

!=1 !=d

n

_!. (généraly

_!

_!

= 1 / d

, d

dimension of

R

d

). If the hessian is degenerated, which is the case of partial linearities, we get a family of random manifolds as in the Henon case.

Résumé

Cet article donne la distribution asymptotique des zéros des polynômes

H_n(y)= !n

eyf (a)

/!an

a=0pouvant déterminer la densité invariante de l’opérateur de Perron

Frobenius d’une itération polynomialed-dimensionnelle

f

. Sous les hypothèses de la méthode du col, cette distribution est image réciproque de distributions uniformes

_!

_! sur (0,1) :

!"

!

= s

!

Im f

!

(a

c

)

#

$

!

! = 1,2,.., p

pour toutes les p coordonnées complexes du point critique

a

c de

! (a) = s" f (a) # " loga

.

!

! est

l’argument de

_a

_!c , s_!= lim N!"y!/ n! et

!

! = limN"#n!/ N avec

N

= !

!=1 !=d

n

_!. (traditionnellement

!

!

= 1 / d

, d dimension de

R

d ) .

Si la hessienne est dégénérée, notamment dans le cas de linéarités partielles, on obtient une famille de variétés aléatoires. Cela explique les branches de paraboles aléatoires de Hénon.

Mots cléfs : Plancherel-Rotach, méthode du col, densité de zéros, Itération de Hénon Key words : Plancherel-Rotach, steepest descent, zéros’s density, Hénon’s Itération

I –Introduction : motifs de l’article et rappels sur la méthode du col

Soit

f (a)

une application polynomiale d’un compact de

R

d dans lui-même au voisinage du point fixe

f (0)

= 0

. On ne s’intéresse ici qu’à la distribution asymptotique des zéros réels de Hn(y)= !

n

eyf (a)

/!an

a=0, quand

n

! "

. Cet article ne présente pas, à première vue, de relation immédiate avec le précédent. Son importance est pourtant capitale, car cette distribution permet de déterminer la densité invariante de l’opérateur de Perron Frobenius

[ ]

2 . On se propose ici d’en préciser les conditions. Notons que, sauf dans des cas de distributions unidimensionnelles (polynômes orthogonaux, fonctions hypergéométriques

[ ]

1

[ ]

4

), on connaît fort peu de résultats dans ce domaine. 1- Notations, rappels et hypothèses

Idée directrice

On veut calculer la répartition asymptotique les zéros réels de

H

n

(y)

quand y! " avec

n

. Or,

∗ _{guy.cirier@gmail.com}

en plongeant le problème dans le corps des complexes, le polynôme

H

_n

(y)

peut être représenté par l’intégrale de Cauchy en dimension d :

H

n!1

(y)

= "

n!1

e

yf (a)

/

"a

n!1 a=0

= c

!$

_#

e

yf (a)

da

a

n où

!

est un polydisque fermé autour du point fixe 0 de

f

,

a

!C

d

. On note

n

! 1 = (n

1

! 1,n

2

! 1,...n

d

! 1)

.

c

est une constante finie non nulle.

La méthode du col donne une approximation à la Plancherel-Rotach

[ ]

12

de

H

_n

(y)

quand y! ". Il faut ensuite étudier sous quelles conditions la distribution des zéros de l’approximation est asymptotiquement la même que celle des zéros du polynôme. La richesse des situations est telle que l’on n’abordera ici que les plus courantes.

Notations de base

On garde la notation de la pondération de

n

et de y par

N

= !

!=1 !=d

n

_!: - n= Nz où

_z

_!

= n

_!

/ N

et

!

_!= lim

N"#z! est la direction asymptotique de dérivation de

H

n

(y)

; - y positif de

R

d tend vers l’infini avec

n

et l’on posey= ns où

_y

_!

= n

_!

s

_!. On posera aussi

y

= Nt

donc

t

= zs

(

_t

_!

= z

_!

s

_!) positifs et si

n

! "

; on note encore

t

= s

!

où

_t

_!

= s

_!

!

_!.

Les hypothèses de l’article précédent, en dehors de la compacité de l’itération, sont inutiles ici. 2- Hypothèses concernant la méthode du col

Il faut un certain nombre d’hypothèses pour pouvoir appliquer la méthode du col de Riemann-Debie. Dans le cadre polynomial, on renvoie à Pham

[ ]

11

ou à Delabaere

[ ]

3

pour formuler les hypothèses rigoureuses dont on a besoin pour appliquer cette méthode. Ces méthodes ont été utilisées par Plancherel-Rotach

[ ]

12

dans le cas des polynômes d’Hermite. Toutefois, Plancherel et Rotach ne se sont pas servi de cette méthode pour déterminer la distribution asymptotique des zéros de ces polynômes. On présente ces hypothèses en les adaptant au plus simple à notre contexte.

Rappels sur la méthode du col et ses hypothèses

La représentation intégrale de

H

n!1

(y)

sera alors de la forme :

H

n!1

(y)

= c

!#

_"

e

N$ (a)

da

Définition 1

On appelle fonction de Plancherel-Rotach

N

! (a) = yf (a) " nloga

où

log a

est la détermination principale du logarithme complexe.

L’approximation de

H

n!1

(y)

par la méthode du col est d’après

[ ]

11

la somme finie des contributions

!

c

Q

c

(a)

des points critiques. Parmi ces contributions, certaines sont exponentiellement négligeables devant d’autres. Pour cela, on ne retient que celle dont la partie réelle de l’approximation est la plus

élevée. Cette approximation est de la forme

H

n!1

(z,t)

! Q(a

c

)

= c'e

N" (a_c)

(1

+ g(a

c

, z,t,1 / N ) / N )

(voir

[ ]

3

), où la fonction g reste bornée quand

N

tend vers l’infini et

c'

n’est jamais nul.

L’équation du point critique

a

c non nul de

! (a)

est de la forme

!" (a) / !a = 0

qui s’écrit

a

!

sz

!f (a) / !a

!

" z

!

= 0

, soit

a

c

!" (a) / !a

c

= 0

. Elle est polynomiale en

a

de même degré que

f

.

Hypothèses

H1- Le point critique

a

c rendant

e

N! (a)

maximum est supposé être en position générale

[ ]

3

: Définition 2

Le point critique est en position générale s’il est isolé des autres points critiques et à distance finie. Ici, pour tous

s

et de

z

fixés, il est isolé, unique, à son conjugué complexe près et du point fixe 0 . On l’appelle parfois point de Morse, s’il n’est pas dégénéré.

H2- Une condition suffisante pour obtenir ce maximum est que la hessienne (qui est hermitienne) de

Cette condition pose le problème de dégénérescence (voir V).

H3-

tf

tend vers

!"

quand

a

! "

pour assurer la convergence de l’intégrale de Laplace.

Comme on a une multitude de problèmes à traiter, on ne se préoccupe pas ici de ceux relatifs à la déformation du contour de l’intégrale qui sont traités en détail dans diverses situations par de nombreux auteurs, même s’il ne semble pas exister un ouvrage moderne de référence.

Enfin, même si l’on suppose unique le point critique rendant

e

N! (a) maximum, la fonction de Plancherel-Rotach peut présenter de multiples déterminations en raison de la présence de

log a

.

3- Équivalence du point de vue des zéros de

H

n!1

(y)

Comme on ne s’intéresse qu’aux zéros réels de

H

n!1

(y)

, on néglige dans sa représentation

Q(a

c

)

toutes les fonctions non nulles que l’on peut mettre en facteur ainsi que les constantes. Le seul terme pouvant annuler l’approximation

Q(a

c

)

est

e

N! (a_c)

puisque

g / N

! 0

quand

N

! "

et que

c'

n’est jamais nul. D’où, l’équivalence du point de vue des zéros réels, notée

H

n!1

(y)

!₀

e

N" (ac).

Comme le polynôme

a

c

!" / !a

c

= 0

est à coefficients réels, si

a

ca p coordonnées complexes (

_a

_c!

=

!

_!

e

i"! _,

! = 1,2,.., p

), son conjuguéac est également solution. Mais le contour rend sa contribution négative et la somme de ces deux contributions se réduit à Q(ac)! Q(ac).

Notations

On note

C(a

c

)

= Re(! (a

c

))

et

S(a

c

)

= Im(! (a

c

))

les parties réelles et imaginaires de

! (a)

en

a

c ;

R(a

_c

)

= Re(tf (a

_c

))

et

I(a

_c

,t)

= Im(tf (a

_c

))

celles de

tf (a)

. Ainsi :

S(a

_c

)

= I(a

_c

,t)

! z"

,

C(a

c

)

= R(a

c

)

! z log

"

et la somme des contributions (en

a

c complexe par abus de langage) est :Q(ac)! Q(ac)= 2ie

NC (a_c)

sin NS(ac).

Remarques : l’oubli des coordonnées réelles

1- Supposons connu le nombre

d

! p

de coordonnées réelles de

a

c. Si l’on résout les

d

! p

équations réelles

_a

_!

!" / !a

_!

= 0

et si l’on se fixe les

_t

_!et

_z

_! ,

_{! = p + 1,..,d}

correspondants, on a un point

a

c de dimensionp dont toutes les coordonnées sont complexes avec

t

et

z

de dimensionp

dont toutes leurs autres coordonnées sont fixées. On a réduit le problème en dimension p _{où toutes}

les coordonnées de

a

c sont complexes. On résume cela en disant que l’on se place en dimensionp.

2- En raison de la périodicité de l’argument, on posera si besoin est

a

c

= a

c

(!)

. Le nombre de solutions dépend du degré des composantes de

f

. La partie réelle de ces quantités ne joue pas un rôle explicite dans les calculs, mais reste essentielle pour sélectionner le (ou les) point critique à retenir Lemme 1

Sous les hypothèses précédentes, notamment si la hessienne de

! (a)

reste définie négative en

a

c, les

zéros réels de

H

n!1

(y)

ne peuvent être obtenus que pour des points critiques

a

c de

! (a)

ayant des

coordonnées imaginaires en position générale.

a

c

= (!e

i"

)

et son conjugué ac sont définis

par

a

_c

!" / !a

_c

= 0

de sorte que, du point de vue des zéros, on a l’équivalence notée ! 0 :

Hn!1(y)!

0sin NS(ac)

Les points critiques

a

_c de

! (a)

sont définis par

a

!" / !a = 0

:

_a

_c!

t

!f / !a

_!

(a

_c

)

" z

_!

= 0

,

! = 1,2,..d

. Or

a

!" / !a

est un polynôme à coefficients réels de même degré que

f

et a un nombre fini de points critiques

a

c isolés. Parmi ceux-ci, il faut choisir celui qui rend

! (a)

maximum.

a

c,

t

et

z

restent bornés quand

N

! "

, et inversement, pour

a

_c et

z

fixés ,

t

_c

= y

_c

/ z

_c est unique. Si le point critique

a

_c est réel, unique et isolé,

e

N! (a_c)

reste strictement positif, sauf peut-être à l’infini, et

H

n!1

(y)

ne peut s’annuler sauf pour des valeurs discrètes de

t

.

Sinon

! (a

c

)

= C(a

c

)

+ iS(a

c

)

, et l’on a en ac:

H

n!1

(y)

!

0

e

NC (a_c)

sin NS(a

_c

)

!

0

sin NS(a

c

)

à condition

qu’un zéro de

H

_n!1

(y)

implique un zéro de

sin NS(a

_c

)

et inversement. On se place en dimension p. Si

H

n!1

(y

c

)

= 0

,

sin NS(a

c

)

= 0

. Les autres contributions étant exponentiellement négligeables, il existera un point voisin deacqui annulera ces contributions.

Inversement, si

a

c annule

sin NS(a

c

)

, la question se pose de savoir si au point

y

c, défini par

Q(a

c

)

= 0

, une autre contribution

Q

1, négligeable si

a

! a

c, ne va pas remplacer

Q

en

a

c de sorte que Hn!1(yc) = Q1(ac) =

"

> 0. Prenons un voisinage suffisamment petit de

y

c où la hessienne reste définie négative pour que, en

a

, Q₁ < Q <

!

/ 3 , et H_n!1(y_c) <

"

/ 3. En tout point y de ce voisinage, on passe continûment de

a

c à

a

avec la contribution

Q(a)

toujours dominante

Q(a)

> Q

1

(a)

, car

a

creste isolé. Mais la continuité de

H

n!1

(y)

implique

Hn!1(yc)! Hn!1(y) <

"

/ 3 et Hn!1(yc) <

"

. D’où, l’impossibilité.

Prenons Hn!1(yc) <

"

. On peut alors trouver un y qui annulera

H

n!1

(y)

dans un voisinage de

y

c sous réserve que la dérivée de

H

n!1

(y

c

)

dans une direction

!

ne s’annule pas, car

Hn!1(y)= Hn!1(yc)+ ₀

1

"

(y! yc)#Hn!1(yc+ u(y ! yc)) /#udu. Cette dérivée est approximée au même point critique

a

cque celui de

H

n!1

(y)

:

!"H

n#1

(y) /

"y =

!%

_$

! f (a)e

N& (a)

da

" 0

tf (a

c

)e

N& (a_c)

_#

_{! f ((a}

c

)e

N& (ac)" 0

e

N& (a_c)

_{(! f (a}

c

)

#

! f (a

c

))

Si

!"H

_n#1

(y) /

"y = 0

,

!

f (ac)=

!

f ((ac) et

a

c réel, ce qui est contradictoire. Donc, sauf cas d’espèce,

H

n!1

(y)

n’a de zéros réels qu’au voisinage de

a

c complexe annulant l’approximation.

II - Théorème principal 1- Théorème

- Sous les hypothèses précédentes, les zéros réels de

H

n!1

(y)

à distance finie ne peuvent être obtenus

qu’à partir des p coordonnées complexes du point critique

a

_c de la fonction de Plancherel-Rotach

! (a) = szf (a) " zloga

. Ces

a

_c annulant

H

_n!1

(y)

devront vérifier

S(a

_c

)

= I(a

_c

,t)

! z" = k

_c

#

avec

_k

c!

= k

!

/ n

!et

1 ! k

!

< n

! et rendre

! (a)

maximum. Les multi- indices

k

c réalisent un codage

des zéros réels de

H

_n!1

(y)

.

- Asymptotiquement, la distribution des zéros réels de

H

_n!1

(y)

dépend alors des fréquences respectives des dérivations individuelles

!

_!= lim

n"#z!= limn"#n!/$! n!. Le point critique asymptotique

a

c

=

!e

i"

est alors obtenu en annulant

!" (a,#,$) / !a = 0

:

_a

_!

s

!"f (a) / "a

_!

#

!

_!

= 0

. Le codage asymptotique

!

! a une distribution uniforme sur

(0,1)

et détermine par image réciproque celle des

s

= y / n

:

!"

!

= s

!

Im f

!

(a

c

)

#

$

!

! = 1,2,.., p

Ainsi, l’ensemble

S

_! est donc image réciproque du cube unité

! = (0,1)

d et est l’adhérence des

S

zn.

Si

d

> p

, on a des familles de variétés aléatoires, sinon

d

= p

et on a un aléa d-dimensionnel. Les étapes de la démonstration suivent l’ordre de l’énoncé et sont découpées en lemmes.

2-Codage des zéros Lemme 2

Sous les hypothèses précédentes, si le point critique

a

c est en position générale, les zéros réels

de

H

n!1

(y)

, sont image réciproque desp coordonnées complexes de

a

c :

- Dans

S(a

_c

)

,

I(a

_c

,t)

ne contient que des sinus dont les arcs sont combinaisons linéaires entières de

!

et est périodique. Donc

S(a

_c

(! + 2k")) = S(a

_c

(!)) # 2zk"

. Mais pour le point critique, le zéro du sinus sera inchangé si l’on change

!

en !

"

. On se place en dimension p.

- Cherchons les valeurs distinctes de

S(a

_c

)

qui annulent

sin NS(a

_c

)

= 0

. La solution particulière

S(a

_c

(0))

= 0

donne le point fixe 0. Parmi les solutions

NS(a

_c

)

= k!

annulant

sin NS(a

_c

)

, ne retenons que celles qui sont distinctes. Si l’on note

n(

! + k

c

" ) = #

!

n

!

(!

!

+ k

c!

" )

avec

z

!

= n

!

/ N

et

k

c

= k / n

(k

c!

= k

!

/ n

!

)

, l’équation des solutions s’écrit

I(a

c

,t)

! z(" + k

c

#) = 0

. On observe

qu’en prenant

_k

c!

= 1,2,..,n

!

! 1

, noté

k

= 1,2,..n ! 1

, on obtient sur chaque axe des composantes

complexes de

a

_c des points distincts annulant

sin NS(a

_c

)

. Dans la mesure où les

k

_c déterminent complètement les autres paramètres, alors, dans un voisinage de y= ns, il existe un point

y

_n annulant

H

n!1

(y

n

)

d’après les résultats précédents. En ce cas, chaque

k

cinduit un zéro de

H

n!1

(y

n

)

.

- Reste à démontrer que, étant donné

n

, la donnée des

k

_c

= k / n

détermine les autres paramètres. On a admis que le point critique

a

_cétait unique et isolé car en position générale, pour tous

t

et

z

fixés de dimension p. Inversement, pour

z

fixé,

t

est défini de façon unique par

a

c si

a

c

!f / !a(a

c

)

est inversible. On a une bijection entre

t

et

a

_c. Il suffit de vérifier que les

t

(ou les

s

) sont déterminés par les

k

_c.

Comme

_{I(a,t) = !}

_!

t

_!

Im f

_!

(a)

= !

_!

z

_!

s

_!

Im f

_!

(a)

, on peut réécrire l’équation

NS(a

c

)

= NS(a

c

)

= k!

sous la forme

!

!

n

!

(s

!

Im f

!

(a

c

)

" (#

!

+ k

c!

$ )) = 0

où

! = 1,..., p

.

- Montrons que l’on doit prendre asymptotiquement

s

_!

Im f

_!

(a

_c

)

!

"

_!

+ k

_c!

# = 0

,

_{! = 1,..., p}

, et ainsi, la connaissance de

k

_c donne

s

pour

a

_c fixé pour tout

n

.

En effet, si

_n

_! devient

_n

_!

+ 1

, alors,

N

devient

N

+ 1

,

t

devient tN / N+ 1, les composantes de

z

, autres que

_z

_!, sont elles aussi multipliées par

N / (N

+ 1)

. Les équations du point critique, autres que celle relative à

_z

_!, restent donc inchangées. Seul

_z

_! devient

_z

_!

+ 1 / N

et l’équation

a

c!

t

!f / !a

!

(a

c

)

" z

!

= 0

devient

a

c!

t

!f / !a

!

(a

c

)

" z

!

= 1 / N

dont le second membre tend vers 0

quand

N

! "

. Donc la variation

!a

c de

a

c due à cette modification de

n

! est en 1 / N.

NS(a

_c

)

= k!

devient

NS(a

_c

+ !a

_c

)

+ s

_!

Im f

_!

(a

_c

+ !a

_c

)

" (#

_c!

+ !#

_!

" (k

_c!

+

$k

_c!

)% ) = k%

où

n

_!

!k

_c! est une masse unité ponctuelle lorsque le champ se transforme de

_(1,n

_!

! 1)

en

_(1,n

_!

)

. La variation de

NS(a

c

+ !a

c

)

est en 1 / Ncar la variation !S de

S

est en

1 / N

2

puisque

a

c est point critique de

S

et que

!S(a

_c

) /

!a = 0

. Dans la variation, il reste :

s

_!

Im f

_!

(a

_c

)

! ("

_c!

! k

_c!

# ) $ 0

. On obtient un codage uniforme par

k

_c des coordonnées des zéros.

3- Asymptotique lorsque

n

! "

- z_!= n_!/!

! n!"

#

! fixés . Si l’itération est traditionnelle :

!

!

= 1 / d

;

- on pose s_! = lim

n!"y!/ n!,

!

! = limn"#k! et t!= limn!"n!s!/#! n!= s!

$

! pour

! = 1,..,d

;

- les composantes des points

_k

_c

= (k

_c!

)

tendent vers une répartition uniforme sur le cube unité

! = (0,1)

p

. De plus, les points

!

de

!

sont adhérents aux points

k

_cimages de

S

_Hn . D’où : Lemme 3

les équation

_s

_!

Im f

_!

(a)

!

"

_!

= k

_!

# / n

_!) deviennent asymptotiquement

_s

_!

Im f

_!

(a)

!

"

_!

=

#

_!

$

et l’équation du point critique donne

!" (a,t,#) / !a = a

_c

#s!f (a

_c

) /

!a $

# = 0

.

La distribution déterminant la répartition de l’opérateur de Perron Frobenius est fonction de l’image réciproque de la distribution uniforme sur le cube

!

par la formule de la densité.

4- Complexité ou réalité des coordonnées de

a

_c

La question se pose de savoir comment le nombre p de coordonnées complexes de

a

_cpeut varier avec

t

. On n’apporte pas ici de réponse complète. Dans le cas unidimensionnel d’équations :

tg(a)

! z = 0

,

_{! = 1,2,..d}

, il existe de nombreux résultats amusants datant du XIX ième siècle

[ ]

4

[ ]

5

pour chercher des zéros complexes. Ces critères se traduisent dans ce contexte par une condition de la forme0< t ! c"z. Dans le cas multidimensionnel, la diversité des situations de pour obtenir des coordonnées complexes ne semble pouvoir être décrite que par les théorèmes de Morse. On n’aborde ici que le cas particulier où toutes les coordonnées sont complexes.

Lemme 4

Pour tout indice

_!

fixé, et tout

t

fixé, l’équation

_a

_!

t

!f / !a

_!

= z

_!n’a pas de racine

a

c réelle si

m

!

=

!

!

t

"f / "a

!

(!

!

)

< z

!où

!

!est le point critique maximisant

a

!

t

!f / !a

!.

!

! vérifie

!(a

!

t

!f / !a

!

) /

!a

k a="

= 0

et ne dépend que de

t / t

seul. Si, à partir d’un certain n,

a

c a toutes

ses coordonnées complexes, alors elles le resteront pour tout (multi) entier supérieur à n.

Chaque équation

_a

_!

t

!f / !a

_!

= z

_!peut être considérée comme une fonction de Morse

[ ]

10

relative à la surface

_u

_!

= a

_!

t

!f / !a

_! que l’on découpe à des hauteurs variables

_z

_!positives. Comme

tf (a)

tend vers

!"

quand

a

! "

, il en sera de même pour

_a

_!

t

!f / !a

_!. Pour

_t

_!assez grand, l’intersection réelle sera vide : le polynôme

_a

_!

t

!f / !a

_!n’aura que des zéros imaginaires. Le plus « haut » point réel sera parmi les points critiques

_!

_! de

_a

_!

t

!f / !a

_! , définis par :

_!(a

_!

t

!f / !a

_!

)!a

k

= 0

,

k

= 1,2,..d

. On note que ces équations ne dépendent en rien du module de

t

et les solutions

_!

_! sont en définitive bornées quelque soit

t

pour

t

= 1

. D’où, si

a

_!

t

!f / !a

_{! a="!}

< z

_! quelque soit

_!

, on n’aura pas de zéros réels. Ces points critiques

!

jouent un grand rôle dans la variation de la géométrie des variétés,

même conditionnées par un aléa de dimension constante, comme l’a constaté Morse, et peuvent provoquer de surprenants phénomènes de Stokes.

Remarquons que, pour toutes coordonnées

_!

_!, on a d! 1 équations communes

!(a

!

t

!f / !a

!

)

!a

k

= 0

. La seule équation qui différentie ces coordonnées est l’équation diagonale

!(a

!

t

!f / !a

!

)!a

!

= 0

. On peut donc construire une fonction de Morse dans une direction quelconque.

Remarques

- Sauf résonance, les valeurs propres de la partie linéaire de

f

ne jouent plus à première vue un rôle essentiel. De même, il semble que l’hypothèse «

tf

tend vers

!"

quand

a

! "

» et que « la hessienne de

! (a)

soit définie négative » doit être mise en relation avec celle du premier article «

f

applique un compact dans lui-même ». Les relations entre ces hypothèses sont à examiner de près. - les

d

! p

coordonnées réelles du point critique

a

c génèrent

d

! p

coordonnées de

t

fonction des

paléas : on obtient des variétés aléatoires.

- Le fait que la hessienne soit définie négative peut parfois être occulté comme dans le cas uni dimensionnel, une transformation du type

a '

= !a

sur

f (a)

=

!a + µa

2, rend

µ > 0

en

µ < 0

. - Soit

a

_c un point critique de

! (a)

. Si

a

= f

₁

(a

₁

)

une application polynomiale de

R

d

dans

R

d

, alors

a

c

= f

1

(a

1c

)

est point critique de

! ! f

1

(a

1

)

si

!f

1

/

!a

1est inversible en

a

1c.

- Une grande variété de points critiques a été recensée par les mathématiciens, ce qui ouvre la voie à de nombreuses recherches.

III- Exemples 1- Cas unidimensionnel

a

c ne dépend plus que de

s

= y / n

car :

a

c

!f (a

c

) /

!a " 1 / s = 0

et l’équation de répartition des zéros est

_{(s Im f (a}

_c

)

!

"

_!

) /

# = $

. Doncq(s)ds= Pr ob 1!zéro!(s,s + ds)

{

}

= f (ac)ds /

"

Soit un cycle :

f

( p)

(0)

= 0

avec

f

(k )

(0)

=

!

_k

" 0

pour

k

= 1,2,.., p ! 1

. Prenons un point arbitraire

!

k de ce cycle : ce point est point fixe pour l’application

f

( p)

car

f

(np)

(!

k

)

=

!

k. Supposons qu’au voisinage de ce point, il existe un point critique

a

ck de

! (a) = "sf

( p)

(a)

#

" loga

tel que les conditions du théorème soient réunies. D’après la seconde remarque précédente, on déduira tous les points critiques du cycle

a

_ck+1

= f (a

_ck

)

À chaque cycle associé aux itérations de

f

:

_f

(2)

= f ! f

,

_f

( p)

= f

( p!1)

! f

on peut alors faire correspondre des ensembles S_!(2)

, S_!( p)

. L’ensemble S_!( p)

attaché à un point du cycle est en général disjoint des autres S_!( p)

. Même si tous ces cycles sont répulsifs jusqu’à l’ordre p, le cycle d’ordre

p

+ 1

peut être attractif et masquer ces distributions intrinsèques. Les distributions intrinsèques n’apparaîtront que lorsque tous les cycles d’ordre quelconque seront répulsifs.

3- Cas hermitien :

f

=

!a " a

2

_{/ 2}

:

cH

n!1

(") = c#

n!1

_e

("a!a2_/2)

/

#a

n!1 a=0

=

!%

_$

e

("a!a2/2)

da

a

n

Prenons la fonction de Plancherel-Rotach

[ ]

11 en posant

t

=

! / 4n = cos"

quand

!

" # sous la condition

!

2

" 4n # 0

. Du point de vue des zéros, le polynôme d’hermite

H

n!1

(")

équivaut à :

H

n!1

(")!

0

sin

[

# ! sin(2#) / 2

]

. La densité des zéros de

t

sera la loi semi-circulaire car :

p(t)dt

= (1! cos(2"))d" / # = (2 / #) 1! t

2

dt

.

Démonstration qui semble beaucoup plus explicative que celle qui utilise le théorème de Sturm. 4- Cas r-hermitien:

f

=

!a " a

r

_{/ r}

.

La fonction

! (z)

s'écrit

! (z) = "z # z

r

/ r

# t log z

et le point critique est solution de l’équation de Lambert

z

! '(z) = "z # z

r

# t = 0

. Ces solutions ont été étudiées depuis longtemps

[ ]

6

.

Si

r

= 3

et si l’on prend la transformée de Fourier au lieu de celle de Laplace, la fonction caractéristique ressemble à s’y méprendre à la fonction emblématique d’Airy.

5- Cas quadratique dans

R

d

:

f (a)

=

!a + Q(a)

:

Q(a)

est quadratique. On peut alors diagonaliser

yQ

par une transformation orthogonale

a

= O

_y

u

. Dans cette base, la fonction

! (a)

s’écrit

!

(u)= y

"

Oyu!+ #(

µ

!u!

2 _{$ nlogu}

!)car le volume reste invariant dans le cas traditionnel,

donc

n log a

= nlogu

, et les valeurs propres

_µ

_! vérifient

yQ(a)

!

µI = 0

. appliquer la loi semi circulaire à chaque composante correspondant à une valeur propre négative. De plus, la diagonalisation assure l’indépendance des distributions orthogonales. Les équations

_µ

_!

= 0

déterminent les zones où le nombre p de coordonnées complexes reste constant.

IV- Retour sur la densité invariante de perron Frobenius

- On s’était posé la question des distributions intrinsèques attachées à chaque point

_{F ! Fix( f )}

et de leurs relations de domination. On dispose maintenant de deux outils pour analyser ces situations. Supposons pour simplifier que

F

ait deux points fixes :

0

relatif à

f

et

!

relatif à

f

(k ) :

* le changement d’origine

u

opère les modifications :

!(y) = ("

n

b

n

H

n

(u, y))e

y( f (u )#u)

ou

!(y) = ("

_n

b

_n

H

_n

(u, y))e

y( f( k )(u+# )$u$# )

* les relations de domination imposées par les exponentielles et des points critiques du fait de la méthode du col. En effet, calculons les fonctions de Plancherel-Rotach :

N

!

f

(a)

= yf (a) " nloga

relative à

0

et

N

!

_f( k )

(a)

= y( f

(k )

(a

+

") # ") # nloga

relative à

!

Au point critique

a

c, l’une des 2 fonctions,

!

f

(a)

ou

!

f( k )(a) , devra dominer l’autre de manière

exponentielle. On peut ranger dans cette catégorie de problèmes les phénomène de Stokes qui surviennent surtout lorsque l’on a des variétés aléatoires comme dans le cas de l’itération de Julia.

On appliquera ces relations de domination dans le prochain article aux équations différentielles. V- La dégénérescence linéaire de la hessienne

La hessienne de

yf

joue un rôle déterminant et sa dégénérescence peut être structurelle : en ce cas, le problème se décompose en un aléa de dimension égale au rang

r

de la hessienne et d’une famille de surfaces aléatoires dépendant de cet aléa. Mais, la famille est indexée par les itérés du point critique. Ainsi, et contrairement à la littérature sur les chaos qui attribue ces phénomènes aux non-linéarités, les linéarités introduisent des situations complexes, ou plutôt exhibent des structures autosimilaires et divers effets dont le calcul des probabilités masquerait les effets sans cette présence. En première analyse, on prendra ici l’itération traditionnelle : les composantes de

f

sont itérées avec la fréquence 1 / d. L’itération de Henon est un bel exemple en dimension 2.

1- Les circonstances de la dégénérescence : occasionnelle ou structurelle !2

_"

(a) /!a!a définie implique que y!2f (a) /!a!a doit être définie au point critique.

Le discriminant de

yf (a)

:

y

!

2

f (a) /

!a!a

dégénère dans deux circonstances de nature différente : cela peut arriver pour des valeurs occasionnelles de y ou, structurellement, lorsque y!2f (a) /!a!a n’est pas de rang d.

- Les circonstances occasionnelles dépendent de valeurs particulières de y.

y

!

2

f (a) /

!a

2

est un polynôme homogène en y de degré égal à ddont il n’est pas difficile d’en déterminer la structure. Ce polynôme peut s’annuler. Cette équation partage l’espace en régions où les valeurs propres de la hessienne gardent un signe constant. Par exemple en dimension 2, si

f

est quadratique, avec deux quadriques :

Q

= Q(!,",# ) = !a

2

+ 2"ab + # b

2 et

Q '

= Q(! '," ',# ')

. La hessienne de

yf

où

y

= (x, y)

:

xQ

+ yQ'

a pour déterminant

(!" # $

2

)x

2

+ (! '" '# $ '

2

)y

2

+ (!" + ! '" '# 2$$ ')xy

. Son annulation conduit à deux droites de dégénérescence occasionnelle.

- Plus riche est la dégénérescence structurelle lorsque, au point critique,

! (a)

a un bloc de coordonnées qui dépend des autres : Notons ici en gras les vecteurs de

R

d en tenant compte des deux sous espaces

R

p

et

R

d! p

:

a

= (a,b)

avec

a

!R

p

et

b

!R

d" p

. Cette dégénérescence structurelle se manifeste chaque fois que, dans les équations

a

_c

!" (a

_c

) /

!a = 0

, où b dépend fonctionnellement de

a

, sans que

a

ne dépende de b. La hessienne est alors fonctionnellement dégénérée au sens où elle ne dépend plus que de

a

de

R

p

. La méthode du col doit être adaptée. Malheureusement, il n’existe pas de développement mathématique sérieux sur lequel s’appuyer raisonnablement.

Le cas le plus simple traité ici est celui où

f

est partiellement linéaire au sens suivant. Ce cas explique bien des chaos « esthétiques »

[ ]

8

qui ont leur hessienne dégénérée.

Définition 3

L’itération

f

est dite partiellement linéaire si

f

est linéaire en bet non linéaire en

a

.

Notations

Ce qui s’exprime algébriquement par :

f (a)

= f (a,b) = h(a)b + g(a)

où gest une application polynomiale de

R

p dans

R

d et h est une matrice

(d, d

! p)

polynomiale en

a

dont chaque élément applique

R

p dans

R

d. Au point fixe

0

:

g(0)

= 0

. La partie linéaire de

f

au voisinage de

0

est supposée diagonalisée réelle :

h(0) = (0,

! ')

et

!g(0) / !a = (",0)

de sorte qu’en fin de compte

f (a)

= (!a + A(a)b + B(a),! 'b + C(a)b + D(a))

où les

A(a)

,

C(a)

sont tous de degré 1 au moins et les

B(a), D(a)

de degré 2 au moins. Notons

a

= (a,b)

et

n = (n,n')

,

_{y = (x, y)}

,

ay

= ax + by

et

yf (a)

= yh(a)b + yg(a)

. La fonction de Plancherel-Rotach relative à

a

est:

!

1

(a)

= nlog(yh(a)) + yg(a) " nloga

.

On note y= ns et

1loga

= !

!=1 != p

loga

_! et

1log sh(a)

= !

!= p+1

!=d

log sh

_!

(a)!

. L’écart résolvant s’écrit : en_f!1,n '

(a, y)_a=0,b=0 = xn!1 yn '_{! H} n!1,n '(y) où H_{n!1,n '}(y)= "n!1 ((yh(a))n ' eyf (a) ) /"an!1

a=0où le terme provenant des

n '

dérivations par rapport à b est yh(a)n '_{= y}n ' (

!

'+ xA(a) / y

[

]

n ' . Donc ef n!1,n ' (0, y)= yn ' (xn!1_{! H} n!1,n '(y) / yn ').

Les conditions de convergence sont profondément modifiées : la densité par rapport à la mesure de Lebesgue d- dimensionnelle sera nulle.

2- Proposition 2.

Si sh(a) n’a pas de zéro réel, les zéros de

H

_n!1

(y)

se répartissent en général selon une famille de variétés de dimension p dépendant d’un aléa uniforme dans

R

p

pour

_{! = 1,2,..., p}

:

!k

!

= s

!

Im g

!

(a)

+ 1Arg(sh

!

(a))

"

#

!

Le codage asymptotique

_!

_!quand n tend vers l’infini, a alors une distribution uniforme sur

(0,1)

et détermine par image réciproque celle des

s

:

La variété principale passe par le point fixe, les autres sont obtenues par itération du point critique.

Un cas particulier important est celui où

h(a)

est constante :

_!k

_!

= s

_!

Im g

_!

(a)

"

#

_!

On représente

H

n!1,n '

(y)

par l’intégrale de contour :

cH

n!1,n '

(y)

=

!#

_"

(yh(a))

n '

e

yf (a)

/ (a

n

b)dadb

=

!#

_"

e

$ (a,b)

dadb

où

! (a,b) = yf (a) + n' yh(a) " nloga " logb

Le polynôme yh(a) est holomorphe en a et l’on peut construire logyh(a) sur un ouvert localement connexe, mais, on rencontre ici en plus tous les problèmes de singularités de yh(a), (les zéros de

yh(a)

sont en nombre fini pour y fixé, de mesure nulle) et de monodromie. Les équations du point critique seront :

!" (a

c

,b

c

) /

!b = !yf (a

c

) /

!b # n'/ b

c

= yh(a

c

)

# n'/ b

c

= 0

!

"

(ac,bc) /!a = !yf (ac) /!a # n / ac= 0

D’où, si l’on pose

!

₁

(a)

= n'log(yh(a)) + yg(a) " nloga

, l’équation devient :

!" (a

c

,b

c

) /

!a = !"

1

(a

c

)

= 0

On continue dans le cas asymptotiquement traditionnel où les coordonnées de

n

sont égales à

n

! 1

et

n '

= n

: si la hessienne de

!

1

(a)

est définie négative et si sh(a) n’a pas de zéro réel, les points

critiques

a

csont donnés par les équations polynomiales

!"

1

(a

c

) /

!a = 0

.

Remplaçons la fonction de Plancherel-Rotach

N

! (a) = yf (a) " nloga

par

!

₁

(a)

. Tout se passe encore comme si, au terme réel

n log n

près,

nsf (a)

était remplacée par

n log(sh(a))

{

+ sg(a)

}

. À

s

fixé, si l’on peut appliquer la méthode du col à cette nouvelle fonction, la suite de la démonstration sera celle du théorème principal où

a

!R

p

. Posons

a

= (!e

i"

)

,

S(

!,") = Im# (a) = sIm g(a) $ 1! + 1Argsh(a)

Comme précédemment, pour

s

fixé, on aura un codage uniforme

S(

!,") = k

c

#

de sorte que

!

!=1 != p

s

_!

Im g(a)

"

#

_!

+ 1Argsh

_!

(a)

"

$k

_!

= 0

_{! = 1,2,..., p}

on aura au plus péquations permettant d’exprimer les

a

en fonction des variables k, reliant entre elles les coordonnées de

s

. Ce qui définit une variété dans

R

d

.

On obtient un codage uniforme de la variété :

!"

!

= s

!

Im g

!

(a)

+ 1Argsh

!

(a)

#

$

!

- Quand

n

! "

, on remplace formellement

z

par

!

dans

_!

_!

= 1 / d

. On a donc une famille de variétés aléatoires dépendant d’un aléa p dimensionnel.

Première analyse du point critique

a

_c

= (a

_c

,b

_c

)

D’après la définition de l’opérateur de Perron Frobenius , Pr ob(a)= !_"Pr ob( f_"#1(a)), c’est-à-dire, lorsque l’on itère

n

fois, on appliquera

f

(n)

. Mais les points critiques associés seront les images par

f

(n)

du point critique aléatoire

a

c

= (a

c

,b

c

)

.

Toutes les branches sont obtenues par itérations successives du point critique. Par suite, les différents points des cycles

f

(n)

(a)

= a

apparaîtront aussi sur ces branches.

Mais, heuristiquement, les itérés de

a

c sont de plus en plus négligeables : itérons

f

un nombre de fois

n

fixé. Toutes choses égales, si

a

cest itéré

n

fois,

f

(k )

(a

c

)

n’est itéré que

PE(n / (k

+ 1))

fois.

3- Exemple : les branches de paraboles aléatoires de Hénon

[ ]

9

En dimension 2 , l’itération de Hénon sans résonance

f (a, a ')

est caractéristique du phénomène:

a

1

= b +

! a " #a

2

,

b

1

=

!a

. À

a

= (a,b)

, on fait correspondre

y

= (x, y) > 0

. Formons

yf (a,b)

= x(b +

! a " #a

2

)

+ y$a

et l’écart résolvant pour

n

= n'

(itération traditionnelle)

e

n_f

(a, y)

= !

n

e

ay

_{" e}

yf (a)

#$

%& / !a

n

_{= x}

n

(y

n

_{" H}

n

((x' + y() / 2)x))

où

H

n est un polynôme d’Hermite. Sous réserve que

x

! + y") / 2#x) > y

, t= x

!

+ y

"

) / 2

#

x va suivre la loi semi circulaire. Dans l’espace de départ on aura un branche de parabole aléatoire vérifiant la loi

!(1/2,1/2)

. Il suffira alors de prendre les itérés du point critique pour obtenir la courbe aléatoire complète. Autrement dit, au voisinage du point 0, on obtient des ‘paraboles’ aléatoires dont on peut calculer par exemple la moyenne et la variance. Dans les cas résonnants, il faut alors considérer l’intersection des paraboles avec l’équation de résonance. Reste à examiner la décroissance des branches avec les itérés…

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12

Hn(x)= (!1) n ex2/2 dn e! x2/2 / dxn