Solides, Liquides et Gaz

Solides, Liquides et Gaz

Un de nos sujets d’int ´er ˆet est la mati `ere.

Nous entamons l’exploration des propri ´et ´es m ´ecaniques, thermiques,

´electriques, magn ´etiques et optiques de la mati `ere.

– Nous commencerons par un aperc¸u du paysage atomique (sur lequel nous reviendrons en fin de cours)

– Ensuite nous explorerons les diff ´erents ´etats de la mati `ere les liquides et gaz, appel ´es “Fluides”

les solides

Atomes et mati `ere

On connait aujourd’hui ∼110 mat ´eriaux de base, appel ´es ´el ´ements (oxyg `ene, fer, hydrog `ene...).

Un ´echantillon d’un ´el ´ement donn ´e est compos ´e d’entit ´es identiques sub- microscopiques, appell ´ees atomes, chacun ´etant le plus petit ´echantillon repr ´esentatif de l’ ´el ´ement.

Lorsque les ´el ´ements diff ´erents se combinent, on obtient des corps compos ´es.

L’entit ´e fondamentale d’un corps compos ´e, c- `a-d celle qui a les propri ´et ´es chi- miques du compos ´e, est une mol ´ecule, elle-m ˆeme compos ´ee d’atomes (p.e N aCl, H<sub>2</sub>O). Certains gaz comme l’H ´elium (He) et l’Argon (Ar) sont mono- atomiques (leurs mol ´ecules sont des atomes individuels), tandis que l’oxyg `ene et l’azote sont diatomiques (O₂, N₂).

Le Nombre d’Avogadro

– La masse des atomes et des mol ´ecules s’exprime souvent en unit ´e de masse atomique uma ou u. Par d ´efinition on attribue tr `es pr ´ecis ´ement `a un atome neutre de ¹²₆ C₆, la masse 12u. Par rapport au gramme :

1 uma = 1, 6605387 × 10⁻²⁴g Pour un atome :¹₁H : 1, 007825 u, ¹⁶₈ O₈ : 15, 994915 u.

Pour une mol ´ecule : masse mol ´eculaire est la somme des masses des atomes constituant la mol ´ecule (p.e CO₂ = 12 + 2 × 15, 994915u ∼ 44u).

– Une mole est la quantit ´e de substance dont la masse en grammes est num ´eriquement ´egale `a la masse mol ´eculaire exprim ´ee en uma.

1 mole C p `ese 12 g = 12 u × nb d⁰atomes

1 mole CO₂ p `ese 44 g = 44 u × nb de molecules

Une mole de CO₂ contient donc le m ˆeme nombre de mol ´ecules qu’une mole de C ou qu’une mole de n’importe quelle autre substance

N_A = 6, 022 × 10²³ molecules.mole⁻¹ le nombre d⁰Avogadro De faco¸n plus g ´en ´erale, m ˆeme si les particules d’une substance sont des ions ou des atomes plut ˆot que des mol ´ecules, ou m ˆeme un m ´elange de diff ´erentes particules, une mole contient toujours N_A particules.

Masse volumique et Densit ´e

– la masse volumique en kilogramme/m³ ρ = m

V 1 g/cm³ = 1 × 10⁻³ kg

(1 × 10⁻² m)³ = 10³ kg/m³ – densit ´e

La densit ´e repr ´esente le rapport entre la masse volumique d’une substance `a celle de l’eau `a 4^◦C. Il s’agit d’une valeur ab- solue, sans dimension, ni unit ´e. Comme ρ_eau = 1, 00g/cm³, la densit ´e de n’im- porte quelle substance ´equivaut `a l’expres- sion num ´erique de sa masse volumique en g/cm³. Ainsi la densit ´e du mercure est 13600/1000 =13,6, soit 1 cm³ a une masse de 13,6 g.

Mat ´eriau ρ (kg/m³) Air 0^◦/1 atm 1,29 Air 20^◦/1 atm 1,21 Air 0^◦/50 atm 6,5 CO₂ 0^◦/1 atm 1,98 H ´elium 0^◦/1 atm 0,179 Eau(vapeur) 0,598 Eau 4^◦/1 atm 1000 Eau 4^◦/50 atm 1002

Eau de mer 1025

Mercure 13600

Alcool 790

Sang 1050

Aluminium 2700

Plomb 11300

Or 19300

Terre(noyau) 9500 Soleil(au centre) 1,6 ×10⁵ Noyau atomique 10¹⁷

Exemple : Masse de l’or

Soit une sph `ere pleine en or (masse atomique =197) de diam `etre 10cm. La masse volumique de l’or est 19,3 × 10³ kg/m³.

– D ´eterminer sa masse ? ? Son volume

V = 4/3πR³ = (4/3) 3, 1416 (0, 05 m)³ = 0,524 × 10⁻³m³ Avec la masse volumique ρ, on trouve :

m = ρ V = (19, 3 × 10³kg/m³)(0, 524 × 10⁻³m³) = 10, 1kg = 10100g – Combien d’atomes contient-elle ? ?

1 mole d’or a une masse de 197 g. Cette sph `ere est donc l’ ´equivalent de :10100/197 = 51,27 mol. Ainsi

N = N_A × 51, 27 = (6, 022 × 10²³atomes/mol) × (51, 27 mol) N = 3,1 × 10²⁵atomes

Taille des atomes

L’atome est un ensemble de particules en mouvement et en interaction. C’est un ob- jet ´electriquement neutre. Chaque atome consiste en un noyau tr `es petit et tr `es dense entour ´e par un nuage d’ ´electrons. Le noyau, dont le diam `etre est entre 10⁴ et 10⁵ fois plus petit que celui de l’atome, est une boule de protons charg ´es positivement et neutrons neutres qui se d ´eplacent rapidement, li ´es par la force nucl ´eaire.

Estimation de la taille des atomes dans un solide/liquide en n ´egligeant l’espace vide entre eux et en supposant qu’ils “remplissent” tout le volume du corps (ceci est une approximation). Supposons que chaque atome soit un petit cube de volume L³, la masse volumique d’une mole de masse, M_m, est :

ρ = M_m

V = M_m

N_AL³ L =









M_m N_Aρ









1/3

p.e la taille d’une mol ´ecule d’eau vaut : L =









18 g

(6.022 × 10²³atomes/mole)(1.0 g/cm³)









1/3

= 3 × 10⁻⁸cm = 0.3 nm

Etats de la mati `ere

Toute substance peut en principe exister dans quatre ´etats physiques dis- tincts : solide, liquide, gaz ou plasma. C’est la balance entre l’ ´energie de coh ´esion et l’ ´energie thermique qui d ´etermine l’ ´etat du syst `eme.

– solide : conserve sa forme et son volume.

– liquide : coule, prend la forme du r ´ecipient dans lequel il est plac ´e, mais conserve un volume constant (si incompressible)

– gaz : coule, se disperse prenant la forme et occupant tout le volume du r ´ecipient

– plasma : m ´elange d’atomes, ions et ´electrons

La liaison chimique est un concept indispensable pour expliquer la coh ´esion de la mati `ere et elle joue un r ˆole fondamental dans les propri ´et ´es des mat ´eriaux.

Les forces de liaison sont essentiellement de nature ´electrostatique. On dis- tingue :

– les liaisons fortes, ´energie de liaison 50-500 kJ.mole⁻¹ : liaison m ´etallique, liaison ionique et liaison covalente.

– Les liaisons faibles, ´energie de liaison inf ´erieure `a 50 kJ.mole<sup>−1</sup> : liaison hydrog `ene et liaison de Van de Waals.

Les solides

Les atomes d’un solide m ´etallique (Fer) se disposent dans une structure ordonn ´ee `a trois dimensions, qui se r ´ep `ete un tr `es grand nombre de fois dans chaque direction : un solide cristallin (min ´eraux, tous les m ´etaux et sels). Les atomes d’un solide sont en mouvement, mais ce ne sont que de petits mouvements vibratoires au voisinage de leur position d’ ´equilibre.

Si une substance est compos ´ee d’atomes qui ne sont pas dispos ´es d’une fac¸on ordonn ´ee et r ´ep ´etitive, le solide est amorphe (caoutchouc, r ´esine, plastiques et divers mat ´eriaux vitreux.)

Si les atomes sont dispos ´es dans une configuration ordonn ´ee `a trois dimensions mais qui ne se r ´ep `ete pas avec une p ´eriodicit ´e r ´eguli `ere, le solide est quasi-cristallin (forme de mati `ere d ´ecouverte en 1983).

Les solides composites tels que le bois, les fibres de verre, l’os et les vaisseaux sanguins sont compos ´es de plusieurs mat ´eriaux diff ´erents li ´es ensemble.

Les gaz

L’alchimiste van Helmont (∼ 1620) a transpos ´e le mot grec chaos en flamant, obtenant le mot gaz, qui est effectivement un sacr ´e chaos.

– Chaque cm² de peau rec¸oit un flux de 3 × 10²³ mol ´ecules d’air par seconde puisant leur ´energie du rayonnement solaire.

– La masse volumique,ρ, de l’air est seulement 1/800 de celle de l’eau.

– Dans CNTP, il y a ∼ 3× 10¹⁹ mol ´ecules d’air par cm³. La distance moyenne entre ces mol ´ecules est 3 nm soit 10 fois la taille de la mol ´ecule.

– La vitesse moyenne, sans vent, 450m/s (1620 km/h), mais chaque mol ´ecule ne parcourt que 8 × 10⁻⁸m avant d’entrer en collision.

Gaz Pourcentage

Azote 78,08

Oxyg `ene 20,95

Argon 0,9

CO₂ 0,03 N ´eon 0,002 Ozone 0,000007

Les gaz ont des propri ´et ´es vari ´ees : N₂, O₂, He, CO₂ : transparents Cl : jaune, Br : brun-orange

Ra : radioactif et dangereux, CO : mortel H₂ : explose, CO₂ : ´eteint

O₃ : odeur m ´etallique , H₂S : oeuf pourri

La gravit ´e agit `a grande ´echelle pour confiner un gaz : contraction d’un nuage gazeux interstellaire pour former une ´etoile, retient l’atmosph `ere terrestre.

Les liquides

L’eau et le p ´etrole sont les seuls liquides existant en grande quantit ´e dans la nature. En fait beaucoup de liquides familiers, comme le sang, le vin, les jus de fruits sont surtout de l’eau.

Le liquide est un ´etat interm ´ediaire entre la violence al ´eatoire du gaz et le calme relatif du solide : il faut trouver le bon ´equilibre entre l’ ´energie thermique et l’ ´energie de liaison.

L’aptitude `a s’ ´ecouler, qui est la propri ´et ´e caract ´eristique des liquides, varie avec la force de coh ´esion qui est diff ´erente pour chaque substance (ac ´etone, eau, huiles, goudron). La viscosit ´e est la r ´esistance interne ou le frottement qui s’oppose au mouvement d’un objet immerg ´e dans un liquide.

Nous allons regrouper l’ ´etude des liquides et gaz, car tous deux sont des sub- stances qui peuvent s’ ´ecouler, qui se conforment aux limites donn ´ees par le r ´ecipient. On les regroupe sous le terme de FLUIDES.

L’application des principes de la m ´ecanique newtonienne aux fluides permet de d ´ecrire les ph ´enom `enes r ´egissant leur comportement. Nous traiterons d’abord les Fluides parfaits, c- `a-d incompressibles et non-visqueux (l’eau peut ˆetre consid ´er ´ee comme un tel liquide), puis les fluides visqueux.

Transformations d’un ´etat dans un autre

– Lorsqu’on chauffe un solide (p.e la glace), ses mol ´ecules recoivent de l’ ´energie cin ´etique sous forme d’un mouvement vibratoire additionnel d ´esordonn ´e : elles oscillent plus vigoureusement autour de leur position d’ ´equilibre. Si l’ ´energie rec¸ue est suffisante pour surmonter les forces in- termol ´eculaires, le solide fond.

– A l’ ´etat liquide, de petits groupements de mol ´ecules associ ´ees persistent, mais ils se font et se d ´efont au gr ´e des d ´eplacements de l’ ´echantillon. Il y a de l’ordre, mais il est local et changeant. Il subsiste un tissu de forces de coh ´esion intermol ´eculaires de port ´ee assez longue ; mais les mol ´ecules ont assez d’ ´energie pour se mouvoir ais ´ement malgr ´e cette force. Elles restent relativement proches l’une de l’autre et interagissent sensiblement ; mais la liaison puissante et rigide du solide a disparu.

– En ´elevant la temp ´erature, le liquide se rapproche de son point d’ ´ebullition ; les liens entre des mol ´ecules finissent par c ´eder. L’ ´energie cin ´etique ther- mique al ´eatoire de certaines mol ´ecules d ´epasse l’ ´energie potentielle de coh ´esion ; elles s’ ´echappent alors en groupe du liquide. Les agr ´egats locaux se d ´esint `egrent et le liquide s’ ´evapore ; il devient un gaz.

Pression hydrostatique

Au lieu de forces ponctuelles, nous consid ´erons maintenant des forces qui agissent sur une surface ´etendue. Si une force est r ´epartie sur une surface et agit normalement `a cette surface, la pression,P, est d ´efinie comme le quo- tient de la force par cette surface :

P = F_⊥ A

C’est un scalaire : en tout point elle a une valeur, mais pas une direction. P s’exprime en N/m² ou pascal (Pa) : 1 N/m² =1 Pa.

Consid ´erons un r ´ecipient contenant un liquide :

– Le fluide exerce une force de pression vers l’ext ´erieur sur la base et les parois lat ´erales du r ´ecipient et celles- ci r ´eagissent avec une contre-force.

– Un fluide exerce une pression dans toutes les directions.

En un point pr ´ecis d’un fluide au repos, la pression est la m ˆeme dans toutes les directions.

– La force F exerc ´ee par un fluide au repos sur toute surface rigide est toujours perpendiculaire `a cette surface : le fluide n’a aucune rigidit ´e et ne peut subir ou exercer aucune contrainte de cisaillement.

Pesanteur et Pression hydrostatique

La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique.

Soit un r ´eservoir ouvert et contenant un timbre- poste d’aire A immerg ´e dans le liquide `a une pro- fondeur h, parall `ellement `a la surface du liquide.

La face sup ´erieure du timbre est soumise, de la part du liquide, `a une force normale vers le bas

´egale au poids de la colonne de fluide au-dessus du timbre.

Volume : V = A h masse : m = ρ A h

Poids : F_W = m g = ρ A h g Pression :

P = F_W

A = ρA h g

A = ρ h g EXEMPLE : La pression subit par un nageur `a 20m sous l’eau sera :

P = ρgh = (1, 025 × 10³kg/m³)(9, 81m/s²)(20m) = 2, 0 × 10⁵N ce qui est environ la pression d’un pneu automobile.

Variation de la pression avec la profondeur

A l’int ´erieur du liquide, `a une hauteur y au-dessus du fond, on d ´elimite un minuscule volume plat dont l’aire est A, de masse dm et l’ ´epaisseur dy. P est la pression sur la surface inf ´erieure et P + dP celle qui agit vers le bas sur la face sup ´erieure. La pression du fluide sur la plaque exerce une force

´egale `a P A vers le haut et `a (P+dP)A vers le bas. La seule autre force qui agit sur ce volume est la force de gravitation, dw,

dw = (dm)g = (ρdV ) g = (ρAdy) g = ρgA dy Le volume choisi est en ´equilibre, Σ F~ = 0 :

P A − (P + dP) A − ρg A dy = 0 dP

dy = −ρg Si ρ est constant (liquide) :

dP = −ρgdy ^Z_P^P2

1 dP = −^Z_y^y2

1 ρgdy P₂ − P₁ = − ρg ^Z_y^y2

1 dy = − ρg (y₂ − y₁) P₁ = P₂ + ρ g h

Cas de la pression atmosph ´erique : ρ n’est pas constant

On veut d ´eterminer la variation de pression de l’atmosph `ere terrestre en fonc- tion de la hauteur y au-dessus du niveau de la mer, en supposant que g demeure constant et que la masse volumique de l’air est proportionelle `a la pression, soit

ρ

ρ_o = P P_o

o `u les quantit ´es avec index _o sont au niveau de la mer. Repartons de l’ ´equation pr ´ec ´edente :

dP

dy = −ρg Ici cela donne :

dP

dy = −P(ρ_o

P_o) g dP

P = −(ρ_o

P_o) g dy

Z P P_o

dP

P = −(ρ_o

P_o) g ^Z_o^y dy ln P

P_o = −(ρ_o

P_o) g y P = P_o e^{−(ρog/Po)y}

Cas de la pression atmosph ´erique : EXEMPLE

A quelle hauteur la pression de l’air ´equivaut-elle `a la moiti ´e de sa valeur au niveau de la mer ? On prend les valeurs suivantes : la pression au niveau de la mer,Po = 1, 013 × 10⁵ N/m², la masse volumique de l’air au niveau de la mer, ρ_o = 1, 29 kg/m³, et g = 9, 81 m/s²

SOLUTION :

P = P_o e^{−(ρog/Po)y}

D’apr `es les valeurs de l’ ´enonc ´e, la quantit ´e ρ_og/P_o vaut : ρ_og

P_o = (1,29 kg/m³)(9,81 m/s²)

1, 013 × 10⁵ N/m² = 1, 25 × 10⁻⁴m⁻¹ On cherche la valeur de la hauteur y pour laquelle P = P_o/2. Ainsi

P = P_o/2 = P_o e^{−(ρog/Po)y} 1/2 = e^{−(1,25×10−4} m^−1)y

y = (ln 2, 00)/(1, 25 × 10⁻⁴ m⁻¹) = 5500 m

Il faut monter `a 5500m pour avoir une pression atmosph ´erique diminu ´ee de moiti ´e.

Pression dans un r ´ecipient

Pour un fluide, nous avons trouv ´e : P₁ = P₂ + ρ g h

Ainsi si la surface du liquide est soumise

`a une pression ext ´erieure, celle-ci doit ˆetre ajout ´ee `a la pression, ρgh. Si P₂ d ´esigne la pression atmosph ´erique P_atm

P₁ = ρgh + P_atm P ression absolue

P₁ − P_atm = ρ g h P ression de jauge ou manom ´etrique La pression est la m ˆeme en tous les points situ ´es `a un m ˆeme niveau horizontal d’un m ˆeme fluide au repos :

P_A = P_B = P_C = P_atm + ρg h P_D 6= P_A 6= P_E

Pression atmosph ´erique, le barom `etre

La pression de l’air produit une force normale `a la surface libre du mercure de la cuve et le pousse `a l’int ´erieur du tube jusqu’ `a une hauteur telle que la pression excerc ´ee par le mercure du tube sur celui de la cuve est ´egale `a celle de l’atmosph `ere. “ Nous vivons immerg ´es au fond d’un oc ´ean d’air (Toricelli)”

P_B = P_A + ρ gh = 0 + ρgh = P_C = P_atm 1 atmosph `ere est d ´efinie comme la pression

´equivalente `a celle que produit `a 0^◦C une co- lonne de 760 mm de mercure de masse volu- mique 13.5950 × 10³ kg/m³.

1atm = ρgh

= (13, 595 × 10³kg/m³)(9, 80665m/s²)(0, 76m)

= 1, 01324 × 10⁵ Pa

Comme la vapeur d’eau est moins dense que l’air (ρ_vap = 0,598kg/m³), l’air humide exerce une pression plus basse que l’air sec. La baisse du baram `etre annonce en g ´en ´eral de la pluie.

Conversion des unit ´es de pression

Par d ´efinition 1 bar = 1, 0 × 10⁵ Pa, donc

l’ ´equivalent de 1 atmosph `ere 1,013 × 10⁵ Pa

760 mm Hg

1,013 bar = 1013 millibars = 1013 hectopascals

La source Pression (Pa)

Soleil, en son centre 2×10¹⁶

Terre, en son centre 4×10¹¹

Oc ´ean, au point le plus profond 1,1×10⁸

Atmosph `ere, de V ´enus 90×10⁵

Terre 1,0×10⁵

Mars ∼ 7 × 10²

Air, au sommet du Mont Everest 30×10³ Air, altitude d’un avion(11km) 23×10³ Pression de radiation solaire sur Terre 5×10⁻⁶

Ultravide en laboratoire 10⁻¹²

Appareil de mesure : Manom `etre

Un manom `etre mesure une diff ´erence de pression entre la pression re- cherch ´ee et la pression atmosph ´erique : pression de jauge/manom ´etrique.

P_A = P_B = ρgh + P_atm P_B − P_atm = ρgh

P_B − P_atm : Pression de jauge P_B : Pression absolue

Si la pression du sang dans une veine, P_v, vaut ∼ 2kPa = 15 mm Hg, la poche doit ˆetre plac ´ee `a h ≥ ^P_ρg^v ∼ 20 cm au-dessus de l’aiguille pour que le fluide de perfusion coule dans la veine. ρ est la masse volumique du fluide inject ´e.

Circulation sanguine

Mesure de la pression sanguine par cath ´et ´erisation

P_sang = P_atm + ρgh − ρ_sgh⁰

Tension art ´erielle : mercure Tension veineuse, plus basse : solution de sel

Role de la gravitation dans la circulation sanguine

Pour h_c = 1, 3 m,

P_p − P_c = ρgh_c = (1, 0595 × 10³kg/m³) (9, 81m/s²)(1, 3m) = 13, 5kPa Mais le sang circule, il aurait fallu utiliser l’ ´equation de Bernoulli, mais comme les vitesses de circulation sanguine sont pe- tites et ∼ ´egales, on retombe sur la m ˆeme

´equation.

La pression : Exemple

Un buveur aspire de l’eau gr ˆace `a une paille. Sa bouche est `a 15cm au- dessus de la surface du liquide. (a) Quelle doit ˆetre la pression absolue dans sa bouche, P_s ? et (b) la pression manom ´etrique, P_M ?

SOLUTION : (a) La colonne d’eau doit avoir une hauteur de 0,15m au-dessus de la surface libre de l’eau o `u la pression est P<sub>atm</sub>. Il faut donc cr ´eer dans la bouche une pression, P<sub>s</sub> telle que P<sub>s</sub> + la pression de la colonne d’eau de 15cm de hauteur soit ´egale `a la pression atmosph ´erique P_atm.

P_s + ρ g h = P_atm

P_s = P_atm − ρgh = 1, 013 × 10⁵Pa − (1, 00 × 10³kg/m³)(9, 81m/s²)(0, 15m)

= 0, 998 × 10⁵Pa

C’est 98,5% de la pression atmosph ´erique.

(b) La pression manom ´etrique, P_M, vaut :

P_M = P_s − P_atm = −1,53 × 10³Pa

Principe de Pascal

Une pression externe appliqu ´ee `a un fluide confin ´e `a l’int ´erieur d’un r ´ecipient ferm ´e est transmise int ´egralement `a travers tout le fluide.

La seringue de Pascal Pulv ´erisateur a ´erosol

La pression appliqu ´ee est transmise uniform ´ement en tous points du liquide.

Un gaz sous pression (propulseur) pousse vers le bas sur la surface du liquide `a pulv ´eriser.

Principe de Pascal

Une m ˆeme pression peut ˆetre pro- duite au sein d’un liquide par des pistons de sections diff ´erentes qui exercent des forces qui diff `erent en proportion.

Machines hydrauliques

Deux enceintes communicantes (m ˆeme fluide) sont munies de 2 pistons de diff ´erentes sections. La pression g ´en ´er ´ee par l’un des pis- tons est transmise int ´egralement `a l’autre :

P_i = P_o F_i

A_i = F_o A_o F_o = F_i A_o A_i

C’est un multiplicateur de force et non un multiplicateur de tra- vail comme toutes les machines.

Il y a conservation d’ ´energie m ´ecanique : le travail de F_i est

´egal au travail de F_o.

Pouss ´ee d’Archim `ede

Un objet immerg ´e dans un fluide parait plus l ´eger : il est pouss ´e vers le haut avec une force ´egale au poids du fluide qu’il d ´eplace.

La pouss ´ee d’Archim `ede est caus ´ee par la pesanteur agissant sur le fluide.

Elle a son origine dans la diff ´erence de pression entre la partie sup ´erieure et la partie inf ´erieure de l’objet immerg ´e. Consid ´erons un cube plein, dont les faces ont une surface A, immerg ´e dans un liquide de masse volumique ρ_o.

Pression manom ´etrique inf ´erieure : P_b = ρ_o gh_b Pression manom ´etrique sup ´erieure : P_t = ρ_o gh_t Diff ´erence de pression :

∆P = ρ_o g (h_b − h_t) = ρ_o g h

est `a l’origine de la pouss ´ee d’Archim `ede, soit : F_A = A ∆P = ρ_o g A h

Or, A h = V est le volume du corps, ´egal aussi au volume du fluide d ´eplac ´e, si le corps est totale- ment immerg ´e. Comme la masse du fluide d ´eplac ´e est m_o = ρ_o V , on peut ´ecrire :

F_A = ρ_o g V = m_o g

La pouss ´ee d’Archim `ede est ´egale au poids du liquide d ´eplac ´e

Pouss ´ee d’Archim `ede : exemple

Submerg ´ee dans l’eau, une couronne de 14,7 kg a un poids apparent de 13,4 kg. Est-elle en or pur ?

SOLUTION : le poids apparent de l’objet submerg ´e, F_W⁰ , ´equivaut `a son poids r ´eel,F<sub>W</sub>, moins la pouss ´ee d’Archim `ede, F_A, vers le haut, soit :

F_W⁰ = F_W − F_A = ρ g V − ρ_o g V

o `u ρ, ρ_o sont les masses volumiques de l’objet et de l’eau respectivement. On peut donc ´ecrire :

F_W

F_W − F_W⁰ = ρgV

ρ_o gV = ρ ρ_o

La quantit ´e F_W/(F_W − F_W⁰ ) repr ´esente la densit ´e de l’objet. Pour la couronne on obtient :

ρ

ρ_o = F_W

F_W − F_W⁰ = 14, 7kg

1, 3kg = 11,3

ce qui correspond `a une masse volumique de 11300kg/m³. Cet objet semble ˆetre en plomb.

Pouss ´ee d’Archim `ede : exemple du ballon

Un ballon m ´et ´eorologique a une masse de 5,00 kg lorsqu’il est vide et un rayon de 2,879 m quand il est enti `erement gonfl ´e `a l’h ´elium. Il porte une petite charge d’instruments de masse 10,0 kg. Sachant que l’air et l’h ´elium ont respective- ment des masses volumiques de 1,16 kg/m³ et 0,160 kg/m³, le ballon peut-il d ´ecoller ?

SOLUTION : Pour que le ballon puisse d ´ecoller, il faut que la pouss ´ee d’Ar- chim `ede soit plus grande que le poids du ballon.

Ici la pouss ´ee d’Archim ´ede est ´egale au poids de l’air d ´eplac ´e, soit le poids de l’air qui occupe le volume du ballon sph ´erique, soit :

F_A = ρ_airV g = (1, 16kg/m³)((4/3)πR³)(9, 81m/s²) = 1, 14 × 10³N En comparaison, le poids de l’h ´elium est :

ρ_HeV g = (0, 16kg/m³)((4/3)πR³)(9,81m/s²) = 156, 9N Ainsi le poids total de l’h ´elium, du ballon et de la charge est :

F_W = (15, 0kg)(9, 81m/s²) + 156,9N = 304N

Ainsi la pouss ´ee d’Archim `ede d ´epasse largement le poids total et le ballon d ´ecollera rapidement. Mais jusqu’ `a quelle hauteur ? ? ?

Flottabilit ´e

Si un objet p `ese plus que le volume total de liquide qu’il d ´eplace, il coule.

Si un objet p `ese moins que le volume total de liquide qu’il d ´eplace, il s’enfonce partiellement jusqu’ `a ce que la pouss ´ee d’Archim `ede ´equilibre son poids, il flotte.

Si une portion V_im de son volume est immerg ´ee dans un liquide de masse volumique ρ_o, la pouss ´ee d’Ar- chim `ede vaut ρ_ogV_im. Cette force doit ˆetre ´egale et oppos ´ee au poids ρgV de l’objet, soit

ρgV = ρ_ogV_im ρ

ρ_o = V_im V

Le rapport des masses volumiques est ´egal `a la fraction du volume immerg ´e.

Si le poids de l’objet est exactement ´egal au poids du fluide qu’il peut d ´eplacer, le corps ne peut ni couler ni flotter partiellement : il est totalement immerg ´e en

´equilibre m ´etastable, n’importe o `u au-dessous de la surface du liquide.

La densit ´e de l’eau riche en sel de la Mer Morte est beaucoup plus grande que celle de l’eau pure. Par cons ´equent, on flotte avec une bonne partie de son corps hors de l’eau.

Flottabilit ´e : Iceberg

On parle souvent de la partie visible de l’iceberg sous-entendant que la plus grande partie de l’iceberg est cach ´ee sous l’eau. Quelle est la fraction visible ? SOLUTION : Le poids d’un iceberg de volume V est :

F_P = ρ V g

o `u ρ = 917kg/m³, masse volumique de la glace. Le poids de l’eau d ´eplac ´ee est :

F_A = ρ_o V_im g

o `u ρ_o = 1025kg/m³, masse volumique de l’eau de mer et V_im le volume de l’eau d ´eplac ´ee, i.e le volume immerg ´e de l’iceberg. Pour que l’iceberg flotte, il faut que

ρ V g = ρ_o V_im g

Si bien que la fraction visible, f_vis, de l’iceberg vaut : f_vis = V − V_im

V = 1 − V_im

V = 1 − ρ ρ_o

= 1 − 917kg/m³

1025kg/m³ = 0,1 ou 10%

Tension superficielle : γ

C’est un ph ´enom `ene qui a lieu `a la surface de s ´eparation entre liquide et gaz.

Une mol ´ecule, au sein d’un liquide, est soumise, par ses voisines, `a des forces intermol ´eculaires (forces de Van der Waals). Ces forces sont sym ´etriques et s’ ´equilibrent mutuellement. Il n’en est pas de m ˆeme pour une mol ´ecule en surface qui est sollicit ´ee de fac¸on dissym ´etrique, la r ´esultante des forces ´etant dirig ´ee vers le liquide. Donc pour accroˆıtre l’aire de la surface d’un liquide, il faut exercer une force et effectuer un travail afin d’amener les mol ´ecules de l’int ´erieur `a la surface. Ce travail augmente l’ ´energie potentielle des mol ´ecules en surface, appel ´ee ´energie superficielle.

Plus l’aire est grande, plus l’ ´energie superfi- cielle prend une valeur consid ´erable. La den- sit ´e d’ ´energie superficielle, γ, peut ˆetre d ´efinie par :

γ = ∆/∆A

exprim ´ee en Joules/m² ou Newton/m. ∆ est l’ ´energie correspondant `a la surface ∆A. γ s’appelle aussi une tension superficielle, ce qu’on justifie de la fac¸on suivante :

Tension superficielle γ

Consid ´erons un cadre ABCD, sur lequel coulisse une tringle EF. Une pellicule de liquide est tendue sur la surface EBCF. L’ ´energie superficielle vaut :

= γ 2A = γ 2 x l (la pellicule a 2 faces, d’o `u le facteur 2).

Substance γ (N/m) (^◦C)

Eau-Air 0,076 0

Eau-Air 0,059 100

Sang-Air 0,058 37

Mercure-Air 0,465 20 Glyc ´erine-Air 0,063 20

On tire la tringle avec une force F, on effectue un travail W = ∆x F et l’ ´energie superficielle devient ⁰ = γ 2A⁰ = γ 2 (x + ∆x) l.

La diff ´erence (⁰ − ) est ´egale au travail W : (⁰ − ) = γ 2 ∆x l = ∆x F d’ou γ = F

2l exprim ´e en Newton/m. On a bien la dimension d’une force divis ´ee par une longueur.

La tension est dirig ´ee tangentiellement `a la sur- face du liquide. Tout se passe comme si le liquide ´etait surmont ´e d’une pellicule tendue.

Par exemple un volume de liquide laiss ´e `a lui- m ˆeme en ´etat d’apesanteur et sans r ´ecipient a tendance `a se mettre en boule, la sph `ere ´etant la forme o `u la surface est minimum pour un vo- lume donn ´e.

Tension superficielle : applications

La tension superficielle permet aux insectes de marcher sur l’eau et `a des objets plus denses que l’eau, comme une aiguille en acier, de flotter.

L’objet s’enfonce l ´eg `erement dans l’eau : son poids effectif F<sub>W</sub> est son poids v ´eritable moins la force de pouss ´ee du liquide. Lorsque l’objet est sph ´erique, la tension superficielle γ s’exerce en tout point le long d’un cercle de rayon r. Seule la composante verticale γ cosθ agit pour compenser F<sub>W</sub>. Ainsi la force nette ascendante attribuable `a la tension superficielle est :

F = (γ cos θ)L = 2πrγ cos θ

Les savons et les d ´etergents diminuent la tension superficielle de l’eau, ce qui s’av `ere fort utile pour les lavages.

Loi de Laplace

D ´ecoupons dans une membrane liquide un ´el ´ement de surface ∆x, ∆y. Cet

´el ´ement est soumis `a 4 tensions superficielles et `a une force normale due

`a la diff ´erence de pression entre les 2 surfaces ∆P = P<sub>i</sub> − P<sub>e</sub>, soit F = ∆P ∆x ∆y. Cette force est ⊥ `a la surface et est ´equilibr ´ee par les 4 tensions dont la r ´esultante doit ˆetre oppos ´ee `a F~. (Une surface quelconque est caract ´eris ´ee par 2 rayons de courbures R₁ 6= R₂.)

La projection d’une tension selon la direc- tion de F~ vaut : 2γ∆x tan θ et tan θ ∼

∆y/2

R₁ (m ˆeme expression selon R₂).

L’ ´equilibre pour les 4 tensions s’exprime par :

∆P ∆x ∆y = 2 γ∆x ∆y ( 1

R₁ + 1 R₂)

∆P = 2 γ ( 1

R₁ + 1

R₂) Loi de Laplace Pour une sph `ere (bulle de savon) de rayon R (R₁ = R₂), ∆P = ⁴_R^γ. La pression interne est d’autant plus grande que R est petit ; une petite bulle, en contact avec une grosse, va gonfler la grosse et disparaˆıtre. Pour une goutte sph ´erique, la surface ne pr ´esente plus qu’une face, alors ∆P = ^{2 γ}.

La capillarit ´e : Angle de contact

L’angle de contact, θ, est le r ´esultat de la comp ´etition entre les forces de coh ´esion des mol ´ecules du liquide et les forces d’adh ´esion entre les mol ´ecules du liquide et celles du solide.

Interface θ[^◦]

Eau- verre 0

Ethanol - Verre propre 0 Mercure -Verre propre 140

Eau -paraffine 107

Si θ < π/2, le liquide est mouillant et monte vers une paroi verticale (les mol ´ecules du liquide sont plus attir ´ees par le solide que par le liquide).

Si θ > π/2, le liquide est non- mouillant et fait une d ´epression contre une paroi verticale.

Ces valeurs d ´ependent non seule- ment des mat ´eriaux en pr ´esence, mais encore de leur puret ´e (un d ´etergent dans l’eau modifie compl `etement sa tension superfi- cielle) et de la temp ´erature.

La Capillarit ´e

L’ascension et la d ´epression d’un liquide dans un tube capillaire (tube de faible diam `etre) sont appel ´ees ph ´enom `enes de capillarit ´e. Le degr ´e d’ ´el ´evation (ou abaissement) est li ´e `a la tension superficielle, `a l’angle de contact et au rayon du tube.

La tension superficielle γ agit avec un angle θ autour d’un cercle de rayon r. La grandeur de la force verticale due `a cette tension vaut :

F_v = 2 π r γ cos θ

Cette force est exactement com- pens ´ee par le poids du liquide en- dessous, soit F_W = ρgV = ρgπ r²h.

A l’ ´equilibre, F_v = F_W :

2 π r γ cos θ = ρ g π r² h h = 2γ cosθ

ρgr Loi de Jurin Si θ = 90^◦, alors h = 0. Si θ > 90^◦, cos θ et h < 0 : il y a d ´epression.

Les effets de capillarit ´e sont plus grands pour les faibles valeurs de r.

Ecoulement d’un fluide parfait

Les exp ´eriences men ´ees par O.Reynolds en 1883 ont montr ´e qu’il y avait 2 r ´egimes distincts d’ ´ecoulement : laminaire et turbulent.

Ecoulement laminaire

– Si un fluide se d ´eplace de fac¸on que sa vitesse en tout point reste constante en module et en direction, on a un ´ecoulement r ´egulier. C’est un

´ecoulement lent.

– La vitesse peut ˆetre diff ´erente en diff ´erents points.

– On a des lignes de courant. La tan- gente est dans la m ˆeme direction que la vitesse, si bien que 2 lignes de courant ne peuvent se croiser, car au point de rencontre une particule du fluide aurait 2 vitesses diff ´erentes.

– Les lignes de courant sont plus s ´err ´ees l `a o `u la vitesse est plus grande.

Ecoulement d’un fluide parfait

Ecoulement turbulent

– L’ ´ecoulement turbulent correspond `a un mouvement irr ´egulier chaotique et variable.

– Un fluide r ´eel ne peut pas toujours suivre la surface d’un solide ; il forme alors derri `ere l’obstacle un fouillis de tourbillons qui consti- tuent l’ ´ecoulement turbulent.

– Lorsque la vitesse d’ ´ecoulement augmente, son aptitude `a suivre les contours d’un obs- tacle solide diminue encore. Il s’ ´eloigne de la surface de l’obstacle et forme derri `ere lui des turbulences qui emporte l’ ´energie.

– L’ ´ecoulement d’un fluide r ´eel d ´epend aussi de sa viscosit ´e. La couche du fluide qui est en contact avec la paroi solide adh `ere et reste immobile par rapport `a la paroi.

Equation de continuit ´e

La constance de la masse volumique d’un liquide est la base d’une relation fondamentale qui nous permet de comprendre comment un liquide s’ ´ecoule dans les tuyaux et les veines. Consid ´erons un tube de courant dans un fluide en ´ecoulement laminaire. Le fluide entre par l’ ´el ´ement de tube 1 de section A₁ et sort par l’ ´el ´ement de tube 2 de section A₂. Pendant un intervalle de temps

∆t, les mol ´ecules entrant dans le tube traversent une distance v₁∆t et les particules sortant une distance v₂∆t (v₁ et v₂ sont les vitesses moyennes du fluide en 1 et en 2). Puisque les volumes entrant et sortant sont les m ˆemes :

(A₁v₁∆t) = (A₂v₂∆t) A₁ v₁ = A₂ v₂ Ceci est l’ ´equation de continuit ´e.

Si la section du tube augmente, la vitesse d’ ´ecoulement diminue et vice-versa.

Le produit A v, qui est constant dans un tube de courant, est le d ´ebit volumique, J :

J = A v = ∆ V

∆ t

Exemple : Ecoulement d’un robinet

Vous avez surement remarqu ´e que juste au sortir d’un robinet, la section du tube de courant d’eau est plus large que quelques centim `etres plus bas. Pour- quoi ? Prenez A_o = 1, 2cm², et A = 0,35cm². Les 2 mesures sont s ´epar ´ees d’une distance h = 45mm.

SOLUTION : l’ ´equation de continuit ´e donne : A_o v_o = A v

avec v, v_o les vitesses respectives. Mais l’eau s’ ´ecoule librement sous l’effet de la gravita- tion, soit :

v² = v_o² + 2gh En ´eliminant v entre ces 2 ´equations, on obtient pour v_o :

v_o =

v u u u u u u t

2ghA²

A²_o − A² =

v u u u u u u t

(2)(9, 81m/s²)(0, 045m)(0,35cm²)²

(1, 2cm²)² − (0, 35cm²)² = 0, 286m/s Le d ´ebit volumique J vaut alors :

J = A_o v_o = (1, 2cm²)(28, 6cm/s) = 34cm³/s

Exemple : Circulation du sang

Le sang est pomp ´e vers l’ext ´erieur du coeur dans l’aorte, un tube aux parois

´epaisses (2mm) et de diam `etre int ´erieur 18mm, `a une vitesse moyenne de 0,33 m/s, dans le cas d’un adulte au repos. (a) Calculer le d ´ebit. L’aorte se divise en 32 grandes art `eres, approximativement de m ˆeme taille, environ 4 mm de diam `etre int ´erieur. (b) Quelle est la vitesse du sang dans ces art `eres.

Les plus petites branches du syst `eme sont les capillaires, de diam `etre int ´erieur proche de 8 ×10⁻⁶m. (c) Sachant que la section totale de l’ensemble des capillaires est 2,5×10⁵mm², quelle est la vitesse du sang dans un capillaire ? SOLUTION : (a) Pour l’aorte (indice A)

J_A = A_Av_A = π









D_A 2









2

v_A = π(9, 0 × 10⁻³m)²(0, 33m/s) = 8, 4 × 10⁻⁵m³/s (b) L’aorte se divise en 32 art `eres. Comme le d ´ebit `a travers l’aorte est le

m ˆeme qu’ `a travers l’ensemble des 32 art `eres (indice a) J_A = J_a = A_av_a v_a = J_A

A_a = 8, 4 × 10⁻⁵ m³/s

32π(D_a/2)² = 0, 21m/s

(c) De m ˆeme, dans les capillaires (indice c) : J_A = J_c = A_c v_c v_c = J_A

A_c = 8, 4 × 10⁻⁵ m³/s

2, 5 × 10⁻¹m² = 3, 4 × 10⁻⁴m/s

Equation de Bernoulli

Elle d ´ecoule du principe de conservation de l’ ´energie, d’apr `es lequel le travail fourni `a un fluide lors de son ´ecoulement d’un endroit vers un autre est ´egal `a la variation de son ´energie m ´ecanique (fluide incompressible, non-visqueux,

´ecoulement laminaire et stationnaire) : ∆W = ∆E_c + ∆E_p .

Un fluide sous pression contient de l’ ´energie car un travail sur lui a ´et ´e n ´ec ´essaire pour ´etablir la pression. Un fluide dont la pression varie subit une variation d’ ´energie.

La pression agissant sur un ´el ´ement de volume de ce fluide en mouvement exerce un travail sur lui, qui se traduit par une variation de son ´energie cin ´etique,E_c, ou de son ´energie potentielle,E_p .

Equation de Bernoulli

– Travail fourni au fluide ∆W

∆W = F₁∆l₁ − F₂∆l₂ = P₁ A₁∆l₁ − P₂ A₂∆l₂ Comme ∆l₁ = v₁∆t et ∆l₂ = v₂∆t

∆W = P₁ A₁ v₁∆t − P₂ A₂ v₂∆t Avec l’ ´equation de continuit ´e : A₁ v₁ = A₂ v₂ = A v

∆W = v A ∆t(P₁ − P₂)

La masse de l’ ´element de volume d ´eplac ´e :∆m = ρ∆V = ρ(A v ∆t)

∆W = (∆m

ρ )(P₁ − P₂) – Variation d’ ´energie cin ´etique

∆E_c = 1

2∆m(v₂² − v₁²) – Variation d’ ´energie potentielle gravitationnelle

∆E_p = ∆m g (y₂ − y₁)

Equation de Bernoulli

D’apr `es les 3 derni `eres ´equations, nous obtenons : ∆W = ∆E_c + ∆E_p (∆m

ρ )(P₁ − P₂) = 1

2∆m(v₂² − v₁²) + ∆m g (y₂ − y₁) (P₁ − P₂) = 1

2ρ(v₂² − v₁²) + ρg(y₂ − y₁) P₁ + 1

2ρ v₁² + ρ g y₁ = P₂ + 1

2ρ v₂² + ρ g y₂

Le long d’une ligne de courant, un fluide parfait en ´ecoulement r ´egulier et laminaire ob ´eit au th ´eor `eme de Bernoulli :

P + 1

2ρ v² + ρ g y = Ctte

Chaque terme a les dimensions d’une ´energie par unit ´e de volume ou densit ´e d’ ´energie. Cas particulier pour un fluide au repos, v₁ = v₂ :

P₁ − P₂ = ρg(y₂ − y₁)

On retrouve que la pression est la m ˆeme en tous points situ ´es `a la m ˆeme profondeur quelle soit la forme et le volume du r ´ecipient.

Exemple

L’eau, qui circule `a travers une maison dans un syst `eme de chauffage `a l’eau chaude, est pomp ´ee `a une vitesse de 0,50 m/s par un tuyau mesurant 4,0cm de diam `etre et plac ´e dans la cave `a une pression de 3,0 atm. D ´eterminer la pression dans un tuyau d’un diam `etre de 2,6 cm situ ´e `a l’ ´etage, `a 5,0m au- dessus de la cave.

SOLUTION : On calcule d’abord v₂ la vitesse de l’eau `a l’ ´etage : v₂ = v₁A₁

A₂ = (0, 50m/s)(π)(0, 020m)²

(π)(0, 013m)² = 1,2m/s

Pour obtenir la pression, P₂, on se sert de Bernoulli : P₂ + ρgy₂ + ¹₂ρv₂² = P₁ + ρgy₁ + ¹₂ρv₁²

P₂ = P₁ + ρg(y₁ − y₂) + 1

2ρ(v₁² − v₂²)

= (3,0 × 10⁵N/m²) + (1, 0 × 10³kg/m³)(9, 81m/s²)(−5, 0m) +1

2(1, 0 × 10³kg/m³)[(0, 50m/s)² − (1, 2m/s)²]

= 3, 0 × 10⁵N/m² − 4, 9 × 10⁴N/m² − 6, 0 × 10²N/m² = 2, 5 × 10⁵N/m²

Exp ´erience de Torricelli

Un liquide coulant `a l’air libre est `a la pression atmosph ´erique, P₂ = P_A P + 1

2ρ v₁² + ρ g h = P_A + 1

2ρ v₂²

v₂² = v₁² + 2(P − P_A)

ρ + 2gh

De l’ ´equation de continuit ´e, si A₁ A₂, v₂ v₁ , v₁² est n ´egligeable devant v₂². Si le r ´eservoir est `a l’air libre, P = P_A

v₂ = ^r2gh

Si le frottement est n ´egligeable, le liquide jaillit de l’ouverture avec une vitesse

´egale `a celle qu’il aurait gagn ´ee en chute libre `a partir de la hauteur h.

Effet Venturi

Certaines applications pratiques de l’hydrodynamique des fluides r ´esultent de l’interd ´ependance de la pression et de la vitesse. Regardons le cas o `u la variation d’ ´energie potentielle gravitationnelle est n ´egligeable. Soit un tube horizontal pr ´esentant un r ´etr ´ecissement (A₁ > A₂) :

P₁ + 1

2ρv₁² + ρ g y₁ = P₂ + 1

2ρv₂² + ρ g y₂ P₁ + 1

2ρv₁² = P₂ + 1

2ρ v₂² Comme A₁ v₁ = A₂ v₂, ´eliminons v₂ P₁ + 1

2ρv₁² = P₂ + 1

2ρ (A₁ v₁ A₂ )² P₁ − P₂ = 1

2ρ v₁² (A²₁ − A²₂

A²₂ ) → P₁ ≥ P₂

Une partie du liquide, forc ´ee `a se d ´eplacer plus rapidement, est le si `ege d’une pression inf ´erieure `a celle d’une partie du fluide qui se d ´eplace lentement.

Effet Venturi : exemples

– Deux navires amarr ´es dans un courant ou voguant c ˆote `a c ˆote. La d ´eflexion des lignes de courant entre les 2 navires produit une chute de pression et les 2 navires ´eprouvent une force qui les pousse l’un vers l’autre. Vous avez le m ˆeme ph ´enom `ene quand un camion passe `a c ˆot ´e d’une voiture ; cela donne au conducteur de la voiture l’impression d’ ˆetre attir ´e par le camion.

– L’art ´erioscl ´erose survient quand une plaque se forme sur les parois int ´erieures des art `eres, g ˆenant le flux sanguin. Il en r ´esulte une chute de tension par effet venturi. L’art `ere peut `a la longue se fermer momen- tan ´ement. La tension art ´erielle du sang l’ouvre pour se fermer `a nouveau : il en r ´esulte une palpitation vas- culaire.

– Arrachage des toits lors d’une temp ˆete : le vent souffle a une vitesse de 198km/h (55 m/s) sur le toit d’une maison. La diff ´erence de pression entre l’int ´erieur et l’ext ´erieur vaut : P_atm−P_ext = ¹₂ρv² = 1815N. Ce qui engendre sur un toit de 90 m² une force de 163350 N, qui le soulevera.

Equation de Bernoulli : Exemple

Soit une cuve ouverte destin ´ee `a la fabrication de la bi `ere de masse volu- mique ρ = 1, 0 × 10³kg/m³ et un tuyau pour en prendre des ´echantillons. A un instant donn ´e, le niveau du liquide baisse `a la vitesse 1,0 cm/s tandis que la bi `ere coule `a la vitesse 50 cm/s au niveau du manom `etre. Quelle est `a cet instant la pression absolue en ce point du tuyau ?

Prenons le niveau de r ´ef ´erence pour l’ ´energie potentielle au niveau du manom `etre (y₂ = 0, y₁ = h = 2, 0 m)

P₁ + 1

2ρv₁² + ρ g y₁ = P₂ + 1

2ρv₂² + ρ g y₂ P_atm + 1

2ρv₁² + ρgh = P₂ + 1

2ρ v₂² + 0 P₂ = P_atm + 1

2ρ(v₁² − v₂²) + ρ g h P₂ = 1, 013 × 10⁵Pa + 1

2(1, 0 × 10³kg/m³) × [(0, 01m/s)² − (0, 5m/s)²] +(1,0 × 10³kg/m³)(9, 81m/s²)(2, 0m)

= 1, 013 × 10⁵Pa − 1, 25 × 10²Pa + 1, 96 × 10⁴Pa = 1, 2 × 10⁵Pa

Mesure de la tension art ´erielle

Pendant un cycle cardiaque complet, la pression dans le coeur et le syst `eme circulatoire passe par un maximum (phase de pompage du coeur) et par un mi- nimum (sang renvoy ´e par les veines). On mesure ces pressions extr ˆemes. Son principe est bas ´e sur le fait que l’ ´ecoulement sanguin dans les art `eres n’est pas toujours laminaire. L’ ´ecoulement devient turbulent quand les art `eres sont comprim ´ees. Il est alors bruyant et peut ˆetre perc¸u au moyen d’un st ´ethoscope.

Rapport systolique/diastolique : 120/80 en mm Hg

Tension art ´erielle : exemple

Calculer la puissance utile moyenne du coeur humain au repos. On suppose que la pression moyenne de sortie, P_m, est 1,33×10⁴Pa (100 mm Hg) et le d ´ebit, J, est 5,0 litres par minute. Comparer votre r ´esultat avec le fait que le coeur consomme de l’ ´energie `a raison d’environ 10 joules toutes les secondes.

SOLUTION : Mettons les donn ´ees en unit ´es SI : 1 litre=10³cm³ = 10³ × (10⁻²)³m³ = 0, 001m³, alors

J = 5, 0 litre/mn = (5, 0 litre/mn)(0, 001m³/litre)(1/60s/mn) = 8, 33 × 10⁻⁵m³/s La force qui fait le travail, est F = P_mS et la puissance d ´evelopp ´ee est

P = F v = P_mSv = P_mJ

Ce sang est pris `a une pression manom ´etrique presque nulle et envoy ´e `a une pression moyenne d’environ 1,33×10⁴Pa. Par cons ´equent

P = P_m J = (1, 33 × 10⁴Pa)(8, 33 × 10⁻⁵m³/s) = 1, 1W ce qui correspond `a un rendement de l’ordre de 10%.

Les fluides r ´eels : la viscosit ´e

Les fluides r ´eels (liquides et gaz) en mouvement pr ´esentent toujours des effets li ´es aux forces de frottement interne caract ´eris ´ees par la viscosit ´e du fluide. M ˆeme si l’ ´ecoulement s’effectue `a vitesse constante, une force F~ est n ´ecessaire pour vaincre les contraintes de cisaillement σ entre les couches de fluide de surface lat ´erale A. C’est une force de frottement s’exerc¸ant entre les diff ´erentes couches d’un fluide alors qu’elles glissent les unes contre les autres.

Pour les liquides, cette force est attribuable aux forces de coh ´esion qui existent au niveau mol ´eculaire tandis que pour les gaz, elle provient de collisions entre les mol ´ecules.

Le degr ´e de viscosit ´e varie selon les fluides (sirop est plus visqueux que l’eau).

Cette propri ´et ´e des fluides s’exprime de fac¸on quantitative par le coefficient de viscosit ´e, η.

Les fluides r ´eels : la viscosit ´e

Soit une mince couche de fluide d’ ´epaisseur dy entre 2 plaques dont l’une est immobile et l’autre de surface A est mobile. Le fluide en contact avec les plaques s’attache `a leur surface `a cause des forces adh ´esives qui s’exercent entre ses mol ´ecules et celles de chaque plaque. Si une force constante F est appliqu ´ee, la plaque acc ´el `ere d’abord puis atteint une vitesse constante limite, v<sub>x</sub>, lorsque la force appliqu ´ee est contrebalanc ´ee par la force de viscosit ´e. La surface sup ´erieure du liquide se d ´eplace `a la m ˆeme vitesse v_x que la plaque.

La partie inf ´erieure reste fixe et ralentit l’ ´ecoulement de la couche juste au- dessus et ainsi de suite. La vitesse `a l’int ´erieur du liquide varie donc de 0 `a v_x. Cette variation divis ´ee par la distance sur la-

quelle elle s’effectue s’appelle gradient de vi- tesse : dv_x/dy. La force de viscosit ´e, F_v, vaut :

F_v α A dv_x

dy = η A dv_x dy

o `u η est le coefficient de viscosit ´e qui s’ex- prime en Newton·s/m² ou Pascal seconde (Pa·s).

Les fluides r ´eels : la viscosit ´e

Les liquides sont en g ´en ´eral plus visqueux que les gaz.

La viscosit ´e des liquides augmente en g ´en ´eral quand la temp ´erature diminue.

Les gaz deviennent au contraire moins visqueux lorsque la temp ´erature dimi- nue.

Temp(^◦C) η_Ricin (Pa·s) η_Eau (Pa·s) η_Air (Pa·s) η_Sang (Pa·s)

0 5,3 1, 792 × 10⁻³ 1, 71 × 10⁻⁵

20 0,986 1, 005 × 10⁻³ 1, 81 × 10⁻⁵ 3, 015 × 10⁻³ 37 0, 695 × 10⁻³ 1, 87 × 10⁻⁵ 2, 084 × 10⁻³ 60 0,080 0, 469 × 10⁻³ 2, 00 × 10⁻⁵

80 0,030 0, 357 × 10⁻³ 2, 09 × 10⁻⁵ 100 0,017 0, 284 × 10⁻³ 2, 18 × 10⁻⁵

Ecoulement laminaire dans un tuyau cylindrique

– en a) cas d’un fluide parfait (η = 0). Il pourrait couler dans un tuyau de niveau sans l’intervention d’une force. La pression ne change pas le long du tube tant que la section est constante (Th ´eor `eme de Bernoulli).

– en b) cas d’un fluide visqueux (η 6= 0). La pr ´esence de viscosit ´e requiert une diff ´erence de pression entre les extr ´emit ´es d’un tube pour que les fluides r ´eels aient un ´ecoulement r ´egulier. La pression diminue le long du tube `a cause du travail d ´epens ´e pour compenser l’effet des forces de frottement.

On appelle perte de charge cette diff ´erence de pression ∆P .

Un fluide de masse volumique ρ et de vis- cosit ´e η s’ ´ecoule vers la droite de mani `ere r ´eguli `ere dans un tube de rayon R. La varia- tion de vitesse du fluide d’un c ˆot ´e `a l’autre du tube est indiqu ´ee par les fl `eches.

Ecoulement laminaire dans un tuyau cylindrique : la vitesse

D ´ecoupons `a l’int ´erieur un cylindre de fluide de rayon r (r < R), de longueur L. La force due `a la diff ´erence de pression s’ ´ecrit :

F = (P₁ − P₂) πr²

La force de viscosit ´e ralentissant le mouvement du cylindre : F_v = −η(2π r L)(dv

dr)

Comme le fluide s’ ´ecoule de fac¸on r ´eguli `ere, il n’y a aucune acc ´el ´eration, ces 2 forces doivent s’ ´equilibrer : −η(2π r L)(^dv_dr) = (P₁ − P₂) πr²

dv

dr = −(P₁ − P₂) r 2ηL

Z v_x

0 dv = − P₁ − P₂ 2η L

Z r

R r dr v(r) = −P₁ − P₂

2 η L











r² 2











r

R

= P₁ − P₂

4 η L (R² − r²)

C’est une parabole dont le sommet est situ ´e sur l’axe central. La vitesse est maxima au centre du tuyau et vaut : v_max = v(r = 0) = (P₁−P₂)R²/(4ηL)