I. Les LIDAR « Light Detection And Ranging »

Devoir de rentrée

Soignez la présentation et la rédaction, qui doit être complète et concise. Tout résultat doit être justifié, et mis en valeur. On établira toujours un résultat littéral avant de passer à l’application numérique. Les résultats littéraux doivent être homogènes. Les résultats numériques doivent avoir un nombre de chiffres significatifs vrais- semblable. Les schémas doivent être clairs, suffisamment grands et lisibles. Si vous n’arrivez pas à montrer un résultat, admettez-le clairement et poursuivez.

I. Les LIDAR « Light Detection And Ranging »

Les LIDAR, acronyme de « Light Detection and Ranging », sont des systèmes de mesure à distance utilisant généralement les propriétés d’un laser. On les utilise pour la télémétrie (distance Terre-Lune par exemple), la topographie (réalisation de cartes), les mesures de concentrations de gaz ou encore pour déterminer la vitesse des vents.

Données :

• Célérité des ondes sonores et ultrasonores : 3, 40 × 10 ² m.s ⁻¹ dans l’air, et 1, 48 × 10 ³ m.s ⁻¹ dans l’eau.

• Célérité des ondes électromagnétiques : 3, 00 × 10 ⁸ m.s ⁻¹ dans l’air, et 2, 26 × 10 ⁸ m.s ⁻¹ dans l’eau.

• Constante de Planck : h = 6, 62 × 10 ⁻³⁴ J.s.

I.1. Le LIDAR topographique embarqué

Un LIDAR topographique envoie des impulsions laser de courte durée et de longueur d’onde λ = 1064 nm. Tout obstacle sur le trajet du faisceau va renvoyer une partie du rayonnement dans la direction du faisceau incident. La mesure de la durée de l’aller-retour de chaque impulsion permet alors de recons- tituer numériquement l’espace environnant. Embarqué à bord d’un avion ou d’un satellite, le LIDAR topographique est un moyen de cartographier la Terre à distance avec une grande précision.

Un des lasers utilisés est un laser dont le milieu amplificateur est un cristal de néodyme-YAG décrit dans le document ci-dessous.

Schéma du laser néodyme-YAG et de son diagramme énergétique simplifié.

1. Donner deux propriétés caractéristiques du rayonnement émis par un laser.

2. À quoi servent les lampes flash lors du fonctionnemment de ce laser ?

3. Le niveau fondamental d’énergie est noté E 0 . L’écart d’énergie entre le niveau 3 et le niveau

fondamental est ∆E = E ₃ − E ₀ = 2, 458 × 10 ⁻¹⁹ J. Quelle longueur d’onde doit être présente dans

le spectre de la lumière émise par la lampe flash ?

Sur la figure ci-contre, l’avion embarquant le LIDAR topo- graphique vole à une altitude H = 3, 50 km à la vitesse de 450 km.h ⁻¹ . Sa position est déterminée par un GPS.

4. On note ∆t la durée du trajet aller-retour de l’impulsion laser. En faisant l’hypothèse que la distance parcourue par l’avion pendant la durée ∆t est négligeable par rapport à H, établir l’expression de

∆t en fonction de H, h et de la célérité de la lumière c.

5. Parmi les deux graphiques ci-dessous, indiquer celui qui correspond à la situation étudiée ci-dessus.

Justifier brièvement.

Graphique a Graphique b

6. Lors du survol du Puy de Dôme, on mesure ∆t = 13, 6 µs. Estimer l’altitude de ce volcan par rapport au niveau de la mer.

7. Dans le cadre de la mesure de l’altitude du Puy de Dôme, l’hypothèse faite à la question 4. est-elle vérifiée ?

I.2. Le LIDAR bathymétrique

Les systèmes LIDAR bathymétriques aéroportés ressemblent au LIDAR topographique mais ils sont constitués de deux lasers différents : un laser infrarouge (λ _IR = 1064 nm), et un laser vert (λ _V = 532 nm).

Ils servent à déterminer la profondeur de l’eau. Pour cela le LIDAR envoie deux impulsions simultanées, l’une infrarouge et l’autre verte. Le signal retour reçu est illustré ci-dessous (gauche).

Puissance lumineuse reçue par le récepteur en

fonction du temps. Spectre d’absorption de l’eau

8. Expliquer pourquoi le signal reçu par le récepteur fait apparaître deux impulsions.

9. En utilisant qualitativement le spectre d’absorption de l’eau, déduire quelle est la couleur dominante de chaque impulsion.

10. Estimer la profondeur de l’eau à l’endroit où la mesure ci-dessus a été effectuée.

II. Les drones grand public

Les drones de loisirs à quatre hélices sont des véhicules aériens de faible dimension.

Ils sont vendus au grand public comme un jeu pour l’intérieur ou l’extérieur.

II.1. Connexion WiFi

De nombreux drones sont pilotés depuis un téléphone portable à l’aide d’une connexion WiFi. Un réseau WiFi permet une communication par ondes électromagnétiques entre différents appareils. Les connexions WiFi peuvent se faire suivant plusieurs protocoles de communication dont le protocole standard IEEE 802.11g dont les principales caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-dessous :

Standard IEEE 802.11g

Débit théorique maximal D = 54 Mbits/s

Fréquence des ondes électromagnétiques f _E = 2, 4 GHz Puissance d’émission maximale autorisée en France P _max = 100 mW

Distance de fonctionnement Intérieur 20 m - Extérieur 50 m Modélisation de l’atténuation du signal à A = 20 × log( _d ^d

0

) avec d ₀ = 0, 01 m 2,4 GHz en fonction de la distance A atténuation en décibel (dB)

d distance en mètres entre l’émetteur et le récepteur.

Données :

• Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide et dans l’air : c = 3, 0×10 ⁸ m.s ⁻¹ .

• L’atténuation A (en décibels dB) d’un canal de transmission est définie par A = 10 × log( ^P _P

s

), où P e et P s sont respectivement les puissances entrante et sortante.

• Le décalage Doppler est donné par la relation f R − f E = ± ^v _c .f E dans le cas où la vitesse de déplacement v est faible par rapport à la vitesse de propagation des ondes c. Le signe est fonction du sens de déplacement de l’émetteur par rapport au récepteur.

• Les chemins multiples

« Les phénomènes de réflexion et de diffraction sont utiles pour capter le signal à un endroit où l’émetteur n’est pas visible : on dit qu’on est en condition de Non Line Of Sight (NLOS), c’est-à-dire que l’on n’a pas une ligne de vision directe. Mais les réflexions et diffractions peuvent également être nuisibles lorsqu’elles font apparaître de multiples chemins possibles entre l’émetteur et le récepteur. »

D’après WiFi professionnel : La norme 802.11, le déploiement, la sécurité Aurélien Géron.

Exemple de chemins multiples :

Les signaux transmis en WiFi se dégradent avec la distance et avec les obstacles, ce qui limite la portée et le débit de la liaison.

L’objectif de cette partie est de mettre en évidence quelques phénomènes physiques qui influencent la

qualité de la transmission des informations en WiFi.

a. Transmission d’informations avec le protocole standard IEEE 802.11g

Un drone est piloté à l’aide d’un téléphone portable. Il est équipé d’une webcam de résolution 1280 x 720 pixels filmant à 30 images par seconde. Le codage de chaque image est de 24 bits par pixel. Il envoie ses informations au téléphone portable via le réseau WiFi. Lorsque le drone s’éloigne du téléphone, le signal électromagnétique reçu par celui-ci s’affaiblit.

1. Calculer la puissance maximale que peut recevoir le téléphone lorsqu’il est situé à une distance d = 10 m du drone.

2. Le débit théorique maximal de la connexion WiFi permet-il de visualiser la vidéo en direct sur le téléphone portable ?

b. Les problèmes de transmission en WiFi

On aborde les problèmes de transmission entre le drone et le téléphone portable lorsque le drone se déplace à une vitesse de croisière de l’ordre de v = 3 m.s ⁻¹ .

3. Comparer la fréquence f E de l’onde radio émise par le drone à la fréquence f R de l’onde reçue par le téléphone portable lorsque le drone s’éloigne. Estimer la variation relative de la fréquence.

4. Calculer la longueur d’onde des signaux émis en WiFi. Un tronc d’arbre placé sur le trajet des ondes WiFi est-il susceptible de diffracter ces ondes ? Justifier quantitativement.

5. La superposition d’ondes ayant parcouru des chemins différents peut provoquer des interférences.

τ ₁ et τ ₂ représentent respectivement les durées des trajets A-C-B et A-B de l’onde entre le drone et le téléphone. On définit la durée ∆t = τ 1 −τ ₂ . À quelle condition sur ∆t obtient-on des interférences destructives ? Justifier votre réponse.

II.2. Étude dynamique du vol d’un drone

Dans cette partie, on étudie le mouvement du drone dépourvu de webcam dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le drone étudié, de masse m = 110 g, est assimilé à un point matériel noté G.

Données :

• Le champ de pesanteur terrestre g est considéré uniforme et d’intensité g = 9, 8 m.s ⁻² . a. Estimation de la valeur de la force de poussée

Un film du décollage vertical de ce drone a été réalisé afin de déterminer la force de poussée de celui-ci.

Le drone est initialement situé à l’origine O du repère, en contact avec le sol. L’exploitation du film a permis d’obtenir l’évolution dans le temps de l’altitude z(t) et de l’accélération verticale a z (t), l’axe vertical Oz étant ascendant. Les résultats sont représentés ci-dessous.

Courbe 1 : Évolution temporelle de l’altitude du drone par rapport au sol.

Courbe 2 : Évolution temporelle de l’accélération verticale du drone lors du décollage.

6. À partir de ces courbes, établir l’expression v z (t) de la vitesse verticale du drone.

On suppose que seuls le poids P ~ et la force de poussée F ~ agissent sur le drone lors de la phase de décollage

vertical.

7. Calculer la norme F de la force de poussée lors du décollage.

8. On souhaite fixer une webcam de masse m w sur ce drone. Quelle serait, en théorie, la masse maximale de cette webcam au-delà de laquelle le décollage ne serait plus possible ?

b. Conséquence d’une perte de communication sur le vol du drone

Le drone, dépourvu de webcam, est à présent animé d’un mouvement rectiligne uniforme à l’altitude constante h = 7, 0 m et à la vitesse v 0 = 4, 0 m.s ⁻¹ . On choisit dans cette partie une nouvelle origine des temps. À l’instant t = 0, la communication entre le drone et le téléphone portable est rompue, alors que le drone vole en direction d’une piscine. Les moteurs s’arrêtent. La valeur de la force de poussée devient nulle. On considère que le drone est en chute libre alors qu’il est à la verticale d’un point situé à une distance d = 20 m de la piscine de largeur L = 5 m.

9. Proposer une schématisation légendée de la situation.

10. En détaillant la démarche, établir les équations horaires x(t) et z(t) du mouvement du drone, en fonction de v ₀ , g et h.

11. Déterminer le temps dont dispose l’opérateur pour rétablir la communication avant que le drone ne touche le sol.

12. Le drone tombe-t-il dans la piscine si la communication n’est pas rétablie ?

III. Détection et habitabilité d’une exoplanète

Une nouvelle exoplanète a été détectée, le 15 septembre 2005, par une équipe européenne d’as- tronomes. La planète HD 189733b de la constellation du petit renard a pu être détectée et étudiée simultanément par la combinaison de deux méthodes : vitesse radiale et occultation. Elle est une des rares exoplanètes dont les chercheurs ont, à ce jour, pu déterminer à la fois la masse exacte et le rayon, et conclure qu’il s’agit d’un « gros Jupiter chaud ». De ce fait, et compte tenu de la proximité (environ 60 années-lumière de la Terre), l’exoplanète HD 189733b offre à la communauté scientifique de riches horizons d’études complémentaires ¹ .

Cet exercice aborde certains aspects du principe de détection de cette exoplanète et envisage sa possible habitabilité.

III.1. Illustration du principe de détection par vélocimétrie

Une exoplanète est une planète qui tourne autour d’une étoile autre que le Soleil. L’ensemble des deux est appelé système {étoile-planète}. Ces systèmes peuvent être repérés par la méthode de vélocimétrie basée sur l’effet Doppler. Son principe s’appuie sur l’étude d’une trajectoire de l’étoile autour du centre de gravité du système {étoile-planète}, point noté G. Il est illustré dans les documents ci-dessous.

1. Source : http ://www.insu.cnrs.fr

Document 1 : Principe de la méthode de vélocimétrie Dans un système {étoile-planète}, la

planète et l’étoile sont en mouvement de rotation autour du centre de gravité G du système. On enregistre les spectres de raies de l’étoile sur des cycles de plu- sieurs nuits, ce qui permet de mettre en évidence des oscillations périodiques de la longueur d’onde des raies obser- vés. Ces oscillations peuvent être reliées, grâce à l’effet Doppler, au mouvement de rotation de l’étoile autour du centre de gravité du système. La vitesse radiale (c’est-à-dire suivant l’axe d’observation Terre-étoile) peut alors être déterminée par cette étude. Elle est composée d’une vitesse moyenne (vitesse du système par rapport à l’observateur terrestre) à la- quelle s’ajoute une perturbation qui va- rie périodiquement.

La période de la perturbation donne la période du mouvement de l’étoile, qui est aussi la période du mouvement de la planète.

D’après http ://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr

La méthode des vitesses radiales utilisée permet de distinguer assez facilement les orbites circulaires des orbites elliptiques ; Les planètes en orbite circulaire correspondent à des étoiles dont les variations de vitesse radiale sont régulières et symétriques en forme de sinusoïde (graphe de gauche). Lorsque la trajectoire est une ellipse allongée, il apparaît des « pics » dans la courbe de vitesses (graphe de droite).

D’après F. Casoli & T. Encrenaz, Planètes extrasolaires, 2005.

Document 2 : Système {étoile-exoplanète} HD 189733

Le graphe ci-dessous représente une modélisation des variations de la vitesse radiale de l’étoile du système

HD 189733 autour de sa vitesse moyenne obtenue à partir de mesures réalisées à l’observatoire de Haute

Provence par une équipe de chercheurs en juillet 2008. Les caractéristiques de l’étoile sont assez proches

de celles du Soleil : les températures de surface sont voisines, la masse de l’étoile est M = 0, 82 × M où

M = 1, 989 × 10 ³⁰ kg est la masse du Soleil.

1. Quel type de mesures a permis de tracer la courbe du document 2 ? 2. Déterminer la période de révolution du système HD 189733.

3. Quelle est la nature de la trajectoire de l’exoplanète autour du centre de gravité G ? Document 3 : Zone d’habitabilité d’une planète

La zone d’habitabilité se définit par une fourchette de distance entre une planète et son étoile. Elle correspond à une zone dans laquelle la quantité d’énergie reçue par la planète permet à l’eau d’exister sous forme liquide. Dans notre système solaire, c’est le cas de la Terre, située à 1 U.A. (Unité Astronomique : 1 U.A. = 1, 50 × 10 ⁸ km) qui reçoit environ 1000 watts par mètre carré d’énergie rayonnée par le Soleil.

Si l’on s’approche du Soleil et que l’on dépasse Vénus située à 0,723 U.A., la quantité d’énergie reçue est trop importante et l’eau se vaporise. Si on s’en éloigne et que l’on dépasse Mars située à 1,52 U.A., alors l’eau n’existe plus que sous forme de glace. Or, seule l’eau liquide permet à la vie d’exister sous la forme que nous lui connaissons.

La taille et la position de la zone d’habitabilité dépend naturellement de la puissance de l’étoile qui émet le rayonnement lumineux. Si l’étoile est petite, la zone d’habitabilité sera beaucoup plus proche d’elle que s’il s’agit d’une étoile géante.

D’après http ://www.sciencesetavenir.fr.

On se propose maintenant de déterminer la distance moyenne R séparant l’étoile de son exoplanète.

4. En utilisant la seconde loi de Newton, établir la troisième loi de Kepler dans le cas d’une une trajectoire circulaire, reliant la période de révolution T à la distance R, en fonction notamment de M .

5. En déduire la distance R (on prendra pour la constante de gravitation universelle G = 6, 67 × 10 ⁻¹¹ N.m ² .kg ⁻² ).

6. La planète du système HD 189733 appartient-elle à la zone d’habitabilité ?