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linéaire en variables binaires
Sylvain Boussier
To cite this version:
Sylvain Boussier. Etude de Resolution Search pour la programmation linéaire en variables binaires.
Modélisation et simulation. Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2008.
Français. �tel-00381912�
Sienes et Tehniques du Languedo
Thèse
pour obtenir legrade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ MONTPELLIER II
Disipline : Informatique
FormationDotorale : Informatique - Mathématiques
Eole Dotorale : Information Strutures Systèmes
Sylvain Boussier
le27Novembre2008
Titre :
Étude de Resolution Searh pour la Programmation
Linéaire en Variables Binaires
Jury
Gérard PLATEAU, Professeur, Université Paris XIII.................... Rapporteur
Dominique FEILLET, Professeur, Éole desMinesde Saint-Etienne..... Rapporteur
Saïd HANAFI, Professeur, Université de Valeniennes................... Examinateur
Nelson MACULAN, Professeur, Université deRiode Janeiro.......... Examinateur
Le travail présenté dans e mémoire a été eetué au Laboratoire de Génie Informa-
tique et d'Ingénierie de Prodution de l'Éole des Mines d'Alès. Je tiensà exprimer toute
ma gratitude et mon amitié à Messieurs Mihel Vasquez, Direteur du entre de reherhe
L.G.I.2.P , et Yannik Vimont, Direteur de la reherhe à l'Éole des Mines d'Alès, qui
ont enadré mes travaux durant es troisannées de dotorat.
Mes remeriements vont ensuite à Messieurs Gérard Plateau, Professeur à l'université
Paris XIII, et Dominique Feillet, Professeur à l'Éole des Mines de Saint-Etienne, pour
l'intérêtqu'ils ont porté à etteétude et pouravoir aepté d'en être les rapporteurs.
Je tiens à remerier également l'ensemble des membres du jury, Messieurs Nelson
Maulan, Professeur à l'université Fédérale de Rio de Janeiro, Saïd Hana, Professeur à
l'université de Valeniennes, Olivier Cogis, Professeur à l'université Montpellier II, Éri
Bourreau, Maître deConférene àl'université Montpellier IIetChristophe Wilbaut,Maître
de Conférene à l'université de Valeniennes, pour avoir aepté de partiiper à la soute-
nane de mathèse.
Jevoudraisprésenterdesremeriementspartiuliersauxpersonnes,parfoisnoninitiées
aux termes tehniques de l'optimisation ombinatoire, qui ont pris le temps de relire et de
orriger e manusript malgré la diulté de l'exerie (dans l'ordre alphabétique) : Cyril
Antonowiz, Ornella Debono, Pierre et Brigitte Fonda, Vandana Le Manhe, Françoise
Sotti et Diana MartiTatulli.
Je remerie ennma famille,mes parents,ma s÷urAmandine(sans oublierBob), les
Mangrooviens : Adrien, Clémene, Ben, Clément, Nio, Peguy, Simon, Mathilde, le rew
duDomaine:Romain,Blondin, Damien,Seb,Ben,Mika,Steph,Rémi,Marie,Cyril,Alex,
1 Introdution 1
1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Problème dusa àdosmultidimensionnel en 01 . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Dénition du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Jeux de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Méthodesderésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Vue généralede lathèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Énumération impliite pourle sa à dos multidimensionnelen 01 7 2.1 Baktraking et énumération impliite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Énumération exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Baktraking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Énumération impliite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Contrainte desoûtsréduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Desription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Fixation devariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Rédution de l'espae de reherhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Déomposition par hyperplans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Proédure d'énumération impliite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Evaluation desaetationspartielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Stratégie de branhement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Propagation de laontrainte desoûts réduits . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.4 Algorithme debaktraking pour larésolution desousproblèmes de
3.2 Baktrakingsintelligentset Resolution searh. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Fontion orale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Fontion obstale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Famille pathlike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Mise àjour après une phasede desente . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.2 Mise àjour sans phasede desente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.3 Misesà jour supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.4 Choix deslittérauxassoiés auxlauses . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.5 Intérêt delastruture pathlike pour lasimpliation deslauses . . 48
3.6 Convergene nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.1 Preuve d'optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.2 Convergene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8 Remarque surl'implémentation deslauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9 Expérienes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.9.1 Impat négatif delaphase de remontée . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.9.2 Stratégies de branhement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.9.3 Critère deremise en ause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9.4 Identiation desobstales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9.5 Comparaison ave l'énumération impliite . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.10 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Coopération entre Resolution searh et l'énumération impliite pour le sa à dos multidimensionnelen 01 61 4.1 Prinipe général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Contributions apportéesàResolution searh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1 Exploration itérative de l'espaede reherhe . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2 Phase deremontéeimpliite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Desription duproessus d'exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Expérienes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Amélioration du alul de minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Appliation deResolution searh au problème deplaniation de tehni- iens et d'interventions pourles téléommuniations 75 5.1 Desription duproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.1 Desription générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Heuristique de hoixdes interventions à soustraiter . . . . . . . . . 80
5.2.2 Phase deonstrution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.3 Phase d'initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.4 Phase d'amélioration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.5 Shéma général del'approhe de résolution . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.6 Calul d'uneborneinférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.7 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Étude sur lehoixdesinterventions à soustraiter. . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Résolution exatedu saà dosave ontraintes depréédene . . . . 93
5.3.2 Énumération et évaluationdessousensembles maximaux . . . . . . 94
5.3.3 Enumération dessousensembles maximauxpar Resolution searh . 96 5.4 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 Conlusion et perspetives 107
Liste des gures 113
Liste des tableaux 115
Liste des algorithmes 117
Introdution
L'objetif de ette thèse estd'apporter une ontribution à larésolution exatede pro-
blèmes d'optimisation linéaire à variables binaires.Le l onduteur en estl'étude de Re-
solution searh [14℄pourlarésolution duproblèmedusa-à-dos multidimensionnel en01.
Cette introdution pose le ontexte dans lequel se situent nos travaux et donne une vue
générale desdiérentsélémentsqui seront présentésdanse mémoire.
1.1 Contexte
La résolution de problèmes onsistant àtrouver l'optimum d'une fontion de variables
entières soumises à un ensemble de ontraintes a fait l'objet de nombreux travaux. Ces
problèmes seformalisent delamanière suivante :
Maximiser f(x)
sujetà gi(x)≤bi, i= 1, ..., m,
x∈Z, (1.1)
oùxestunveteurdevariablesentières,f,gi sontdesfontionsréellesetbisontdesvaleurs
réelles. Il existe de nombreuses lasses de problèmes de e type qui peuvent être obtenues
en modiant les propriétés desfontions f et gi. Le seul asdes problèmes d'optimisation linéaireàvariablesbinaires,oùf etgis'exprimentdemanièrelinéaireetoùxestàvaleurs0
ou1,permetdemodéliserungrandnombredeproblèmesindustrielstelsquelaplaniation de tâhes, leroutage de véhiules,lagestionde stoks,et.
Demanièregénérale, larésolution detels problèmes onstitue une tâhediile même
es problèmes. Ainsi, dans la plupart des as, le seul algorithme de résolution onsiste à
énumérer haque onguration du veteur x, à vérier qu'ellene viole pas les ontraintes, à aluler la valeur orrespondante de la fontion objetive et à mémoriser elle qui a la
meilleure valeur.Un algorithme exhaustif de e type est ependant limité à des instanes
de petite taille ar il requiert un temps de alul exponentiel en fontion du nombre de
variables.Ilexistedenombreusestehniquespermettantd'éviteruneénumérationomplète
de l'espae de reherhe et de réduire ainsi le temps de alul néessaire à la résolution
d'instanes de taille moyenne; ependant, es algorithmes d'énumération se heurtent en
général à une ombinatoire en O(2n), nétant ladimension du veteur x.
Onomptedeuxlasses prinipalesdeméthodesderésolution pour lesproblèmes om-
binatoires de e type: lapremière estonstituée desméthodesdites exatesqui onsistent
à trouver une solution optimale au problème et la deuxième est onstituée des méthodes
ditesapprohéesouheuristiquesquin'explorentqu'unepartiedel'espaedereherhe dans
le but de fournir la meilleure solution trouvée en un temps raisonnable. Dans e dernier
as, rien ne garantit que lesensembles de ongurations omis par ette reherhe partielle
ne ontiennent pasune solution optimale,e qui onstitue leprinipal inonvénient de es
méthodes.
Lavoiequenousexploronsiionsisteàonevoirdesméthodesexatesapablesdegé-
nérerrapidementdebonnessolutions,'estàdiredemanièreomparableàuneheuristique
reonnue performante sur le même problème. De telles méthodes assurent laonvergene
vers l'optimum tout en ayant les avantages des heuristiques ar même si le proessus est
arrêté prématurément, il est possible d'obtenir une solution de qualité. Leur développe-
ment onstitue ependant un hallenge diile ar elles doivent être apables d'éliminer
un maximum de ongurations sousoptimales tout en favorisant l'obtention de bonnes
solutions.
C'est dansette optique quenousétudions Resolution searh proposée par Chvátal en
1997. Cette méthode exate, dédiée à la résolution de problèmes d'optimisation linéaire
à variables binaires,présente un shéma d'exploration original qui intègre les onepts de
baktrakings intelligents [2, 45 ℄ issus de la programmation par ontraintes et de l'intelli-
gene artiielle. L'ensemble de ette étude s'appuie surla résolution du problème du sa
à dosmultidimensionnel en 01.
1.2 Problème du sa à dos multidimensionnel en 01
Dansettesetion,nousdénissonsleproblèmeetprésentonsunesynthèsedesméthodes
1.2.1 Dénition du problème
Leproblèmedusaàdosmultidimensionnel en01,noté01MKPpour01Multidimen-
sionalKnapsakProblem(ou MKPenabrégé),permet demodéliser unegrandevariétéde
problèmes dans lesquels il s'agit de maximiser un prot tout en ne disposant que de res-
soures limitées. Au regard du nombre de travaux dont il a fait l'objet, à la quantité de
problèmes onretsqu'ilpermet demodéliseretau nombredejeuxdedonnéesdisponibles,
nouspouvonsonsidérereproblèmeommeunproblèmederéférene.Ilpeutêtremodélisé
de lamanière suivante :
Maximiser
Xn
j=1
cjxj
sujet à
Xn
j=1
aijxj ≤bi, i= 1, ..., m, x∈ {0,1}n
ave ci ∈ N, bi ∈N et aij ∈ N. Le MKP orrespond à un programme linéaire en nombres entierslassiqueavelapartiularitéquelamatriedesontraintes(matriedesoeients
aij) est omposée de oeients positifs et qu'il y a généralement peu de ontraintes par rapport au nombre de variables.On renontre le MKPdans de nombreux domaines d'ap-
pliation omme l'éonomie [48 , 71, 49, 50 ℄, la gestion de stoks [34 ℄, l'industrie [17 , 66 ℄,
lagestionde hargements [5,63℄ouenore l'informatiquerépartie [32 ℄.Lesartilesde Fré-
ville [27℄ et de Fréville et Hana [24 ℄ présentent de nombreuses référenes à e problème.
Nous avons hoisi de foaliser nos travaux sur e problème ar il représente toujours un
hallenge intéressant et il n'existe atuellement auune approhe permettant de résoudre
des instanesde taille moyenne à l'optimalité.
1.2.2 Jeux de données
La diulté d'une instane de MKPest liée au nombre de variables et de ontraintes
qu'elleomportemaiségalement àlaorrélationentrelesprotscj etlespoidsaij assoiés
auxobjets[56 ℄.DenombreusesinstanespeuventêtretrouvéessurlesitedelaOR-Library 2
.
On y trouve des instanes lassiques (Petersen [55 ℄; Wiengartner et Ness [70℄; Senyu et
Toyoda[62℄;Shih[63℄;FrévilleetPlateau[25℄)etdesinstanesplusréentes(ChuetBeas-
ley [4, 11℄). Les instanes lassiques n'étant plus onsidérées omme diiles aujourd'hui
