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Submitted on 1 Jan 1997
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Une méthode naturelle de traitement des potentiels flottants associée a la méthode des élements finis
P. Dular, F. Henrotte, B. Meys, A. Genon, W. Legros
To cite this version:
P. Dular, F. Henrotte, B. Meys, A. Genon, W. Legros. Une méthode naturelle de traitement des potentiels flottants associée a la méthode des élements finis. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (11), pp.2201-2209. �10.1051/jp3:1997252�. �jpa-00249711�
Une m4thode naturelle de traitement des potentiels flottants assoc14e h la ~n4thode des 414ments finis (*)
P. Dular (**), F. Henrotte, B. Meys, A. Genon et W. Legros
Universitd de LiAge, Ddpartement d'#lectricitd Apphqu6e, Institut Montefiore, Sart Tilman Bfitiment 828, 4000 LiAge, Belgique
(llegu le 20 mars 1997, acceptd le 11 aofit 1997)
PACS.41.20.-q Electric, magnetic, and electromagnetic fields
PACS 41.20.Cv Electrostatics; Poisson and Laplace equations, boundary-value problems
Rdsum6, Une mdthode efficace de traitement des potentiels flottants, utilisde dans le cadre de la m6thode des 616ments finis et appliqu6e au prob1Ame de l'61ectrostatique, est pr6sent6e
De plus, cette m6thode conduit h
une technique pour l'6valuation de la charge 61ectrique, tech- nique qui se base sur un calcul moyenn6 en accord parfait avec la formulation faible discrdtis6e du prob1Ame. La m6thode g6n6rale ofire alors l'avantage de donner directement accAs, lors du
calcul, aux charges 61ectriques totales des conducteurs h potentiels fix6s ou flottants, tout en
prdservant 1e caractAre symdtrique de la matrice du systAme, ce qui permet un couplage ais6 entre charges et potentiels tant au niveau de la formulation qu'au niveau de la rdsolution. Elle permet amsi d'aborder tout prob1Ame 61ectrostatique sans aucune technique interm6diaire de
calcul, par exemple de difidrentiation.
Abstract. An efficient method for the treatment of floating potentials, associated with the finite element method and applied to the electrostatic problem, is presented. In addition, this
method leads to
a technique for the evaluation ofthe electric charge, which is based on
an average computation in perfect accordance with the discretized weak formulation of the problem. The
general method offers the advantage of considering directly the total electric charges of fixed or
floating potential conductors, while keeping a symmetrical matrix for the system, which allows
an easy coupling between charges and potentials as well for the formulation as for the solving.
Therefore, it can deal with any electrostatic problem without the need for any intermediate computational procedure, e-g- differentiation.
1. Introduction
La surface d'un conducteur 41ectrique parfait est, sous des conditions statiques ou quasi- statiques, une surface dquipotentielle. Dans le cas oh cette valeur 4quipotentielle est connue
pour un conducteur donn4, elle peut Atre directement imposAe par l'intermAdiaire d'une condi- tion h la limite de type Dirichlet pour une formulation en potentiel scalaire. Lorsque cette
(*) Le contenu de cet article a dtd prdsentd h NUMELEC 97
(**) Chercheur qualifid au Fond National de la Recherche Scientifique (Belgique). Auteur auquel dolt Atre adress4e la correspondance (e-mail : Patrick.Dulartlulg.ac be)
@ Les iditions de Physique 1997
2202 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
~0"~0e~~0d
i~~j ~~i~
~ ~c,2
Q~ Fc,1 e=?, d=?
~
Qd,i
jr
~d,1
~~~Fig 1. R6gions conductrices (flc,~) et d161ectriques (fld,j) composant structure 61ectrostatique type.
[Conducting (fl~,~) and dielectric (fld,j) regions in an electrostatic
valeur est inconnue, elle constitue ce que l'on nomme un potentiel il,2] et une Aqua- tion supplAmentaire doit lui Atre associde sur base de la h la charge dlectrique
du conducteur.
Nous ddtaillons ici une mdthode pour le traitement de ces potentiels flottants dons le cadre de la mdthode des dldments finis et appliqude au problAme de l'dlectrostatique Grlce h la
caractdrisation explicite des fonctions de base utilisdes pour l'approkimation du potentiel sea-
laire, les fonctions-test ndcessaires h la mdthode des dldments finis naturellement et l'implAmentation pratique de la mdthode apparait tout aussi Cette mdthode offre
l'avantage de donner directement accAs aux charges dlectriques des conducteurs h po- tentiels flottants, et permet donc leur imposition directe, tout en le caractAre symd- trique de la matrice du systAme. Cette mdthode peut dgalement pour le calcul en
post-traitement des charges des conducteurs h potentiels fixds.
La mdthode proposAe est prdsentde sur base du problAme de mais peut
dgalement s'appliquer h tout autre problAme impliquant des flottants, tels que des
potentiels magndtiques. Il est expliqud comment son implAmentation peut Atre effectude aisd- ment. Enfin, des applications sont prdsentdes afin d'illustrer les caraciAristiques et les avantages de cette mdthode.
2. Position du problkme
2. I. PROBL#ME #LECTROSTATIQUE Une structure composde d'un ensemble C de conduc-
teurs dlectriques parfaits (Q~,~, Vi ~ C) et d'un ensemble D de (Qd,j, Vj ~ D) est
considdrde (Fig I). Les hontiAres de ces diffArentes rdgions sont rc,i, Vi ~ C, et rd,j, Vj ~ D, respectivement. Ces rdgions sont entourAes par la rdgion dont la hontiAre
extArieure To, constitude des parties compldmentaires roe et rod, gAnAralement jusqu'h l'infini dans tous les cas, des conditions aux limites doivent y Atre Le domaine global
est not] Q.
Pour le problAme de l'dlectrostatique, les dquations h rdsoudre Q et les conditions aux limites assocides sont
rote=0, dwd=p, d=Ee. (1,2,3)
n x e [rn« # 0, n d[~~~ = 0, (4, 51 oh e est le champ dlectrique, d est la densitd de flux dlectrique, p est la densitd de charge
dlectnque et E est la permittivitd dlectrique. (tant donnde
une distribution de charge p, le
problAme consiste h ddterminer les champs e et d dans Q.
2 2. FORMULATION EN POTENTIEL SCALAIRE. Un potentiel scalaire 41ectrique v peut Atre
ddfim tel que e
= -grad u afin de satisfaire (I). Par suite, (2) et (3) conduisent h
div (E grad v) = -p (6)
Le potentiel scalaire v est constant dans les rdgions conductrices, i.e. v
= v~ dons Qc
~,
Vi ~ C,
et done, par prolongement, aussi sur rc,~. Ce potentiel peut Atre soit connu, soil inconnu, auquel cas on parle de potentiel flottant. Le domaine global h considdrer. dans lequel il s'agit de rAsoudre les Aquations (1-3), peut ainsi se limiter h l'union de no et des rAgions diAlectriques Qd,j,Vj ~ D ce domame est rebaptisA Q et sa frontiAre r est l'union de To et des rc,~, Vi ~ C.
L'ensemble des conducteurs, parmi ceux de C, qui sont h potentiels flottants, est notd Cf.
Avec les notations (.;)n et (.;)r reprdsentant des intdgrales respectivement volumique et
surfacique ddfinies par
(a,b)n
~~~
/
a b dv, (a,b)r
~~~
/
a b ds,
n r
la formulation faible de (2) s'exprime par
jd. grad v')n in d~, v'jr~ + ip,v')n
= 0, Vu' ~ Fjjo), 17)
et, par suite, celle de (6) par
j-E grad v, grad v')n in ds, v')r~ + (p, v')n
= 0, Vu' ~ Fj(Q), (8)
oh n ds reprAsente une contrainte associde aux frontiAres h potentiel non fixd rd du domaine
Q cette contrainte est nulle sur rod, par (5), et est non nulle, mais inconnue, sur chaque rc,~,
i ~ Cf (la normale n est extdrieure h Q et done intdrieure h chaque Qc,~).
L'espace F)(Q) des fonctions-test v' est l'espace des champs scalaires, de carrd sommable dans Q et dont le gradient est dgalement de carrd sommable dans Q, ces champs dtant h
trace nulle sur les frontiAres de Dirichlet (4), oh la solution v est constante et fixde, et h trace constante mats inconnue sur chaque rc,~, i ~ Cf, i-e-
F$(Q)
= (v ~ L~(Q) grad v ~ L~(Q), v [ro~
= 0, v[~ = k~, 1 ~ Cf)
~,~
C'est cette derniAre contrainte qu'il s'agit de caractAriser au niveau discret.
Pour ce faire, l'dquivalent discret de l'espace F) in) est naturellement choisi comme l'espace des dldments finis nodaux [3,4], not] S$ et ddfim
sur un maillage de Q ces dldments finis peuvent Atre de degrds divers et de gdomdtries diverses, i.e triangles, quadrangles, tdtraAdres,
hexaAdres et prismes Un champ scalaire v de cet espace s'exprime sous la forme
v= ~jvnsn,v~S), (9)
n~N
oh N est l'ensemble des noauds de Q, sn est la fonction de base nodale associde au noaud n et vn est la valeur de v au noaud n. Les fonctions sn, Vn ~ N, constituent une base pour l'espace
2204 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
des dldments nodaux sans contrainte, par exemple, de conditions (ux limites ou de potentiels flottants. Si de telles contraintes existent, ces fonctions sn dans (9) ne sont plus lindairement inddpendantes, c'est-h-dire qu'il existe des relations entre leurs coelli'cients. L'expression directe
des contraintes assocides aux coefficients permet de faire les fonctions
de base h considdrer, i.e. pouvant jouer le role de fonctions-test la mdthode des dldments finis.
Les conditions aux limites de type Dirichlet conduisent de l'ensemble
des fonctions sn celles assocides aux noauds des surfaces Les contraintes de
potentiels flottants ndcessitent, quant h elles, un traitement comme ddcrit ci-aprAs.
3. lkaitement des potentiels flottants
31. CARACTLRISATION Du POTENTIEL DANS LE DOMAINE Afin de faire appa-
raitre explicitement les contraintes l16es aux potentiels (9), l'ensemble des noauds de Q est ddcomposd en deux sous-ensembles compldmentaires des noauds internes h Q, not] N~, et les groupes de noauds situds sur chaque surface r f ~ Cf, notds Nf. Ainsi,
en sachant que le potentiel est constant mais inconnu sur chacune de ces surfaces, (9) devient
V #
~ Vn Sn + ~ V~ ~
Sn, (10)
n~N~ f~ci neNf
qui peut aussi s'bcrire
v = ~j
v~ s~ + ~j visf,
v ~ s), iii
n~N~ f~ci
oh les fonctions sf, Vf ~ Cf, constituent, avec les fonctions sn assocides aux noauds de N~,
des fonctions de base pour l'espace fonctionnel du potentiel. Les f/nctions sf, Vf
~ Cf, sont assocides h chacun des conducteurs h potentiel flottant Ainsi, chaqui fonction sf est associde h
un groupe de nceuds, qui constitue une entitd gdomdtrique globale allors que les noauds n ~ N~
sont des entitds dldmentaires (Fig. 2). Les fonctions sf sont ddfinies, (our un conducteur donna,
comme la sommc des fonctions nodales de tous les noauds de la surface du conducteur, i.e.
sf
=
~j sn, Vf ~ Cf. (12)
n~Nf
3.2. FORMULATION FAIBLE DISCR#TIS#E. La discrdtisation
e)
la formulation faible (8),
en particulier par l'utilisation comme fonctions-test des fonctions de base sn, Vn ~ N~, et sf,
Vf ~ Cf, apparaissant dans (ii), conduit h un systAme d'dquations idgulier dont les inconnues sont les degrds de libertA vn, Vn ~ N~, et vi, Vf ~ Cf. '
Les fonctions-test sn, Vn ~ N~, se traitent de faqon dassique, que les fonctions-test sf, Vf ~ Cf, demandent une certaine attention. Le terme d'intdgrale de dans (8) a, pour la
fonction-test sf, par ddfinition de celle-ci [3,4], une contribution h in ds, i)r~
~ et donc
dgale au flux de ds au travers de la surface du conducteur f ~ Cf. contribution'n'est rien d'autre, au signe prAs, que la charge dlectrique totale Q~ du Cette constatation, qui
a son importance, permet de ne pas nAcessiter la ddfinition de la mconnue n d~ sur la surface de chaque conducteur, qui donnerait, aprAs intdgration la charge totale.
Ainsi, h chaque intdgrale surfacique sur rc,I, f ~ Cf, pourra la valeur de la
charge totale Qf fixde et connue sur ce f ~ Cf, i.e.
in d~, v')r~
~ "
-Q~, v'
=
sf ~ S), f ~ (13)
Rdgion extdrieure
au conducteur
~conducteurf / Couche de t~ansition
~ ~ j$~~~f$~~~~~ ~~~~~~~~~f: 0 < sf < 1)
/ c,f ~
Noeuds / ~sf
(n~Nv) sf=1
~
Fig. 2. Ncauds et groupes de noeuds assoc16s h la caract6risation du potentiel ill).
[Nodes and groups of nodes associated with characterization of potential ill).]
Notons que les fonctions-test sn, Vn ~ N~, et sf', Vf' ~ Cf et f' ~ f, n'apportent aucune contribution h cette int6grale puisque leurs traces sent nulles sur rc,I.
Dans le cas d'un conducteur h potentiel imposA, on peut dgalement tirer profit de (13) pour
calculer la charge en post-traitement, ce qui prdsente des similaritds avec la mAthode proposAe
dans [5j. Pour ce faire, il suffit de ddfinir dgalement des fonctions de base de type sf (12) pour de tels conducteurs. Il n'est donc pas n6cessaire de calculer par diffdrentiation une distribution de
n d sun une surface avant de ddterminer, par une intdgrale surfacique, la charge contenue dans la rdgion assoc16e. Le calcul de la charge se fait plut0t par un calcul moyenn6 des r6sultats, c'est- h-dire par une int6grale volumique (celle apparaissant dans (8)) sur une couche de transition
(support de sf Fig. 2). Cette approche est en accord parfait avec la faqon dent le problAme
a Atd rdsolu, c'est-h-dire avec la forme faible de (2) et done avec une conservation de flux qui n'est v6rifide que faiblement le calcul de la charge basd sur l'intdgration surfacique explicite de n d serait influenc4 par le choix de la surface d'int4gration (il n'y aurait en g4ndral aucune
raison pour que la charge calculde de cette faqon, mAme avec comme surface d'intdgration la surface du conducteur, soit dgale h la charge donnde par l'intdgrale volumique sur la couche de
transition). De cet accord vient le qualificatif "naturel" donn4 h la mdthode. En particulier, on tirera avantage de cette m6thode pour le calcul direct de capacit6s.
Il est h remarquer une propn4td importante de la matnce du systbme d'4quations obtenue
par cette mAthode. Ses lignes et ses colonnes assoc16es aux fonctions sf et h leurs degr6s de
libert4 proviennent en r4alitd de sommations de lignes et de colonnes d'une matrice qui ne
serait basAe qhe sur les fonctions nodales sn, Vn ~ N, et qui est sym4trique. Ainsi, la matrice rdsultante reste symdtrique. Les relations dAfimssant les charges h partir d'intdgrales surfaciques
de distributions calculAes de n d conduiraient quant h elles h une matrice non-symAtrique.
3 3. IMPLLMENTATION PRATIQUE. Une implAmentation pratique eiiicace de la mAthode de traitement des potentiels flottants et des charges totales peut Atre rAalis6e. Il s'agit de dAfinir,
en plus des entitAs gAomAtriques dlAmentaires que soot les noauds, des entitAs "groupes de noauds" associAes h chaque surface conductrice. Ainsi, lors du processus de calcul de matrices
2206 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
~~r~ ~ °
vj = o
/
ro~ ~
~
c,1
~ rod
Fig. 3. Maillage du quart de la structure de deux conducteurs cyhndri~ues (gauche) et distribution calculde du potentiel dlectnque dans l'air (droite).
[Mesh of
a quarter of the twc-cylindrical-conductors structure (left) and computed distribution of the electric potential m the air (rightl.]
AlAmentaires de la mAthode des AlAments finis, on gAnAre pour cha(ue AlAment fini traitA des listes locales des noauds de l'AlAment qui sont mduses dans les grou)es de nceuds ainsi ddfinis.
Chaque liste locale donne alors les noauds de l'AlAment qui interviinnent dans la sommation
donnant la fonction sf, par (12), dans l'AlAment consid#rA. Il taut entendu
ne conserver pour les fonctions de base de type sn, Vn ~ N~ Iii). que celles des non inclus dons les
groupes de nceuds.
En rAsumA, il s'agit de construire l'expression de Iii dans traitA et donc de faire l'inventaire des entitAs AlAmentaires et globales mises en
4. Applications
Le but de cet article est de prAsenter, illustrer et valider la proposAe, ainsi que de
mettre en dvidence ses caractAristiques. Les applications sont ainsi limitAes h
des problAmes-test simples mais la gdndralitA de la mAthode rend le traitement de
problAmes complexes, tant au niveau gAom#trique (structures 2D et 3D) qu'au mveau des caractAristiques matArielles (prdsence de matAriaux didlectriques nod lin#aires).
Comme premier exemple, il s'agit de calculer la capacitA d'un sys/Ame de deux conducteurs
cylindriques plongAs dans l'air. Les conducteurs ont un mAme rayoi( R (gal h i mm, ils sont
sApards d'une distance D de centre h centre (gale h 10 mm et leur loigueur est grande devant
R et D. L'approximation bidimensionnelle (2D) est alors valable et la gAomdtrie AtudiAe peut
se ramener, par symAtrie, au quart de la section de coupe 2D compl)te (Fig. 3). Le problAme
est traitd par #lAments finis (dlAments nodaux triangulaires du premier degrd) et une coquille sphArique est utilisAe pour la prise en compte de l'extension h l'infini d/ la rAgion d'air
@tudiAe [6]
ii-e. une transformation gAomAtrique radiale en i /r (tend cette coqlille h l'infini).
~ v(r~ " °
/ ~~~0e ~
Fig. 4 Distribution du potentiel 61ectrique dans 1e cas d'une imposition de potentiel non nul uni- quement sur 1e conducteur 2.
[Distribution of the electric potential in case of a given potential different from zero only on conduc- tor 2.]
Le problAme est rAsolu de deux faqons diffArentes. Dans un premier cas, le potentiel Alec-
trique v du demi-conducteur AtudiA est imposA h i V (l'autre conducteur a par symAtrie un potentiel de -i V, i e. /hv
= 2 V) et la rAsolution donne une charge Alectrique linAique Q/2 (1.e. par unitd de longueur) dgale h 1,372 so coulomb m~~. Dans le second cas, la charge Alectrique linAique du demi-conducteur est fixAe h i coulomb m~~ et le potentiel obtenu par calcul est de 0,7289/Eo V. Ainsi, dons les deux cas, la capacitA linAique entre les deux conduc-
teurs est dgale h C
= Qllhv
= 1,372 Eo F m~~. L'expression analytique de cette capacitd est C
= ~E~so/cosh~~(D/2 R) et donne ici, avec s~ = i, C
= 1,370 Eo F m~~.
Il est normal que ces deux cas donnent la mAme solution puisqu'ils sont basds sur le mAme
systAme d'dquations, avant expression des relations d'imposition, soit du potentiel, soit de la
charge. Le second cas ndcessite ndanmoms environ 40 $l d'it6rations en plus dans le processus de r4solution du systAme, ce qui s'exphque par la largeur de bande plus importante des dquations assoc14es aux groupes de noauds des surfaces h potentiels flottants. Il est done suggdrA, pour
le calcul des capacitds, de travailler plut0t par imposition du potentiel. Tous les avantages de la mdthode gAndrale de dAfinition simultande des potentiels et des charges rdapparaissent
nAanmoins lorsqu'il s'agit de coupler ces grandeurs entre elles, soit au sein mAme du problAme AlAments finis, soit par l'intermAdiaire de circuits extArieurs localisAs.
La deuxiAme application consiste h calculer la matrice de capacitd d'un systAme de quatre conducteurs cyhndriques situds parallAlement au-dessus d'un plan de masse [2]. Ces conducteurs
ont un mAme rayon [gal h 10 pm, ils sont sdpards de centre h centre de 100 pm, ils sont situds
h 150 pm du plan de masse et sont sullisamment longs pour permettre une approximation 2D.
Le problAme est encore traitd avec prise en compte de la rAgion d'air infinie par une coquille sphdrique (Figs. 4, 5). La matrice de capacitd hndique du systAme C, de dimension 4 x 4 ddfinie par Q = C V, peut Atre obtenue par inspection, c'est-h-dire par la rAsolution de quatre problAmes compldmentaires, i.e. lindairement inddpendants.
Dans un premier cas, on impose un potentiel de i V sur le conducteur Qc,~ et de 0 V sur
les autres, pour i
= 1, 2, 3, 4 successivement. On obtient alors par calcul la distribution du
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~ v(r~ " °
v(~ # 0
0e
Fig. 5 Distribution du potentie161ectrique dans le cas d'une imposition de charge non nulle uni-
quement sur le conducteur 2.
[Distribution ofthe electric potential m case of a given charge different fr6m
zero only on conductor 2.]
Tableau I. Matrtces C et P calculdes dans les cas respectifs I et '2 et matrtce P obtenue par calcul analytique (assocides d des charges exprimdes en unitds de 0)1 nC).
0,1493 -0,03868 -0,109398 -0,004428
~ ~ ~ ~ -0,03868 0,1589 -0,03644 -0,009388
~~ ~~~~~~
-0,009398 -0,03644 -0,03862
0,004428
-0,009388 0,1491
7,314 2,059 1,055
~ ~ ~ p 2,059 7,327 2,059
~ ~~~~~~
i,056 2,059 7,329
,6201
1,056 2,059 7 7,360 2,070 1,060
Calcul analytique Mat. P l'~j~ j'()~ '~~~
,1230
1~060 2)070 7,360
potentiel dans l'air (Fig. 4 pour 1
= 2 numdrotation des conducteurs de gauche h droite), ainsi que la charge lindique totale de chaque conducteur (ce sont ses charges qui torment la i-Ame colonne de la matrice C). Dons un second cas, on impose une de i C sur le conducteur Qc,~ et nulle sur les autres, pour i = 1, 2, 3, 4. Les potentiels obtenus aprAs calcul
(Fig. 5 pour 1 = 2) constituent la I-Ame colonne de l'inverse de la des capacitds, i.e. la matrice des coefficients potentiels P
=
C~~ ddfinie par V
= P Q.
Les rdsultats obtenus sont donn6s dans le tableau I. En inversant matrice P du cas 2, on
retrouve exactement la matrice C du cas i, ce qui se justifie encore le fait que les systAmes d'dquations des deux cas sont identiques, seules les impositions de dilfArent.
