Méthodes de contrôle de la qualité de solutions éléments finis (application à l’acoustique)

Thèse de doctorat en vue de l’obtention du diplôme de Docteur en Sciences appliquées Présenté à l’Université Libre de Bruxelles le 5 décembre 1997

devant le jury composé de :

Oscar BEAUFAYS (Président)

André PREUMONT (Secrétaire)

Guy WARZEE (Promoteur)

Patrick W. DE WILDE (Examinateur)

Jean-Pierre COYETTE (Examinateur)

Pierre LADEVEZE (Examinateur)

Frank IHLENBURG (Examinateur)

Méthodes de contrôle de la qualité de solutions éléments finis (application à l’acoustique)

Philippe Bouillard

0

Tugend und die Menscheit ehren, sich und andern Liebe leheren

sei uns stets die erste Pflicht.

Dann strömt nich allein in Osten dann strömt nicht allein in Westen,

auch in Süd und Norden Licht.

(W. A. Mozart, Laßt uns mit geschlungen Händen, KV623 Anh) To honour virtue and mankind, and teach ourselves and others love, let our first duty ever be.

Then not on the east alone will light shine,

not in the west alone,

but also in the south and in the north.

Chapitre 0 Préface ii

0.1 Table des matières 0 Préface

0.1 Table des matières ... ii

0.2 Table des symboles ... vi

0.2.1 Notations de l’acoustique ... vi

0.2.2 Notations éléments finis ... vii

0.3 Invitation au voyage ... viii

1 Introduction 1.1 Champ d’application de l’acoustique ... 2

1.2 Approximation numérique par éléments finis ... 3

1.3 Mesure de l’erreur de discrétisation éléments finis ... 5

1.3.1 État de l’art ... 5

1.3.2 Spécificités de l’acoustique : règle de bonne pratique ... 6

1.3.3 Spécificités de l’acoustique : singularités ... 6

1.3.4 Spécificités de l’acoustique : choix de la norme ... 7

1.4 Analyses éléments finis à erreur contrôlée ... 7

1.5 Applications industrielles ... 8

1.6 Buts et originalités de la recherche ... 8

1.7 Plan de la dissertation ... 9

2 Formulations mathématiques de l’acoustique 2.1 Mise en équations de l’acoustique ... 11

2.1.1 Hypothèses ... 11

2.1.2 Pourquoi plusieurs formulations ... 11

2.2 Forme forte ... 11

2.2.1 Lois fondamentales de la mécanique des milieux continus ... 11

2.2.2 Loi de comportement ... 12

2.2.3 Équation d’onde ... 12

2.2.4 Équation de Helmholtz - méthode n°1 ... 13

2.2.5 Équation de Helmholtz - méthode n°2 ... 13

2.2.6 Lien entre pression et vitesse acoustiques ... 14

2.2.7 Conditions aux limites ... 14

2.2.8 Champs admissibles ... 15

2.2.9 Problème modèle général ... 16

2.2.10 Présence de sources acoustiques en volume ... 16

2.2.11 Problèmes modèles particuliers ... 16

2.3 Forme faible ... 19

2.3.1 Principes mathématiques ... 19

2.3.2 Forme variationnelle du problème modèle général ... 20

2.3.3 Problème variationnel bien posé : principes ... 20

2.3.4 Forme variationnelle du problème modèle 1 ... 21

2.3.5 Stabilité en semi-norme H ¹ pour le problème modèle 1 ... 21

2.4 Forme d’extrémum ... 22

2.5 Problème aux valeurs propres ... 22

2.5.1 Quotient de Rayleigh ... 22

2.5.2 Forme faible ... 24

2.5.3 Réponse forcée par superposition modale ... 24

2.5.4 Problème modèle ... 25

3 Méthode des éléments finis de Galerkin 3.1 Introduction ... 27

3.2 Formulation de la méthode des éléments finis ... 27

3.3 Critère de bonne pratique SYSNOISE ... 29

3.4 Interpolant éléments finis ... 30

3.5 Normes d’erreur ... 30

3.6 Stabilité en semi-norme H ¹ ... 35

3.7 Analyse de dispersion ... 36

3.8 k-singularité (pollution) ... 42

3.8.1 Notion de pollution ... 42

3.8.2 Erreur de pollution en semi-norme H ¹ ... 42

3.8.3 Erreur de pollution en norme L ² ... 51

3.9 λ -singularité ... 52

3.10 Propriété d’équilibre faible par sous-domaine ... 55

4 Calcul du champ de vitesses 4.1 Introduction ... 57

4.2 Méthodes de Hinton et Campbell ... 58

4.2.1 Forme globale ... 58

4.2.2 Forme élémentaire ... 58

4.3 Méthode de lissage superconvergent par groupe d’éléments (SPR) ... 59

4.3.1 Principes ... 59

4.3.2 Noeuds sommets internes ... 61

4.3.3 Noeuds milieux de côté ou sur la frontière ... 62

4.3.4 Système d’axes ... 63

4.3.5 Régularité de la matrice A - configurations pathologiques ... 64

4.3.6 Sous-domaines mixtes ... 65

4.3.7 Bibliothèque d’éléments et points d’évaluation ... 68

4.4 Variantes de la méthode SPR ... 70

4.4.1 Incorporation des résidus d’équilibre sous forme faible (méthodes SPREB) ... 70

4.4.2 Incorporation des résidus d’équilibre par paramètres de Lagrange72 4.4.3 Méthodes de lissage équilibré ... 72

4.5 Tests numériques sur les méthodes de lissage ... 73

4.5.1 Convergence locale à faibles nombres d’onde ... 73

4.5.2 Convergence locale à nombres d’onde élevés ... 76

4.5.3 Convergence globale à faibles nombres d’onde ... 77

4.5.4 Convergence globale à nombres d’onde élevés ... 79

4.5.5 Convergence globale des variantes SPREB ... 79

4.5.6 Distribution des champs de vitesses SPREB ... 80

Chapitre 0 Préface iv

4.6 Champs admissibles ... 82

4.6.1 Champ de pression cinématiquement admissible ... 83

4.6.2 Principes de la construction d’un champ de vitesses statiquement admissible ... 83

4.6.3 Étape n°1 : continuité de la composante normale du champ de vitesses ... 83

4.6.4 Étape n°1 : valeurs du champ de vitesses admissibles aux noeuds sommets ... 87

4.6.5 Étape n°2 : problème élémentaire de Dirichlet ... 88

4.6.6 Méthode LL1 : subdivision en sous-triangles ... 88

4.6.7 Méthode LL2 : sans subdivision ... 90

5 Estimation d’erreur a posteriori sur la réponse forcée 5.1 Introduction ... 93

5.2 Estimation d’erreur par lissage du champ de vitesses ... 94

5.3 Erreur en champs admissibles ... 95

5.3.1 Solutions exacte, éléments finis et admissible ... 95

5.3.2 Définition de l’erreur en champs admissibles ... 96

5.3.3 Lien entre l’erreur en champs admissibles et l’erreur en semi-norme H ¹ ... 96

5.4 Qualité des estimateurs d’erreur ... 100

5.4.1 Indice d’efficacité ... 100

5.4.2 Autres indices ... 101

5.5 Tests numériques ... 101

5.5.1 Efficacité à faibles nombres d’onde ... 101

5.5.2 k-singularité ... 104

5.5.3 λ-singularité ... 108

5.6 Application industrielle ... 111

5.6.1 Énoncé du problème ... 111

5.6.2 Erreur estimée ... 112

6 Adaptation de maillage 6.1 Méthodes d’adaptation de maillage ... 116

6.2 Comportement asymptotique des solutions éléments finis ... 116

6.3 h-adaptation ... 118

6.3.1 Définition du maillage optimal ... 118

6.3.2 Lien entre maillage optimal et distribution d’erreur ... 118

6.3.3 Critères requis pour les méthodes de h-adaptation ... 122

6.3.4 Méthode de m-raffinement ... 123

6.4 Analyse adaptative du compartiment passager d’un véhicule ... 126

6.4.1 Analyse adaptative à 30 Hz ( κ =1 ^. 47) ... 126

6.4.2 Analyse adaptative à 50 Hz ( κ =2 ^. 45) ... 127

6.4.3 Estimation d'erreur à 500 Hz ( κ =24 ^. 49) ... 129

7 Applications industrielles

7.1 Analyse vibro-acoustique du GLT (BN/Bombardier Eurorail) ... 132

7.1.1 Description du problème ... 132

7.1.2 Idéalisation ... 132

7.1.3 Méthodologie de l’étude numérique ... 134

7.1.4 Etape n°1 : analyse modale de la structure ... 135

7.1.5 Etape n°2 : calcul couplé fluide-structure ... 139

7.1.6 Etape n°3 : calcul acoustique par éléments finis ... 140

7.1.7 Etape n°4 : contrôle de la qualité de la solution éléments finis 144 7.1.8 Propositions de modifications de conception ... 145

7.2 Analyse vibro-acoustique de la Vertigo (Gillet Automobiles) ... 146

7.2.1 Description du problème ... 146

7.2.2 Idéalisation ... 147

7.2.3 Méthodologie de l’étude numérique ... 150

7.2.4 Etape n°1 : calcul de la réponse dynamique forcée ... 150

7.2.5 Etape n°2 : calcul acoustique par éléments finis ... 152

7.2.6 Etape n°3 : contrôle de la qualité de la solution éléments finis 155

7.3 Estimation d’erreur pour l’analyse acoustique d’un résonateur ... 156

7.3.1 Description du problème ... 156

7.3.2 Contrôle de la qualité de la solution éléments finis ... 157

7.4 Estimation d’erreur pour l’analyse acoustique d’un pot d’échappement ... 159

7.4.1 Description du problème ... 159

7.4.2 Contrôle de la qualité de la solution éléments finis ... 161

7.5 Conclusions ... 162

8 Conclusions 8.1 Conclusions ... 164

8.1.1 Spécificités de l’acoustique ... 164

8.1.2 Estimation d’erreur a posteriori ... 165

8.1.3 Contrôle de l’erreur à faibles nombres d’onde ... 166

8.1.4 Applications industrielles ... 166

8.2 Prespectives de recherches ... 166

8.2.1 Erreur en réponse fréquentielle ... 166

8.2.2 Minimisation de l’influence de la k-singularité ... 167

8.2.3 Fonctions d’interpolation non polynomiales ... 167

9 Annexes 9.1 Références bibliographiques ... 172

9.2 Éléments d’analyse fonctionnelle ... 185

9.2.1 Définitions topologiques ... 185

9.2.2 Espaces fonctionnels et normes ... 186

9.3 Effet de pollution en élasticité ... 190

9.3.1 Introduction ... 190

9.3.2 Exemple ... 191

9.3.3 Erreur de pollution pour les maillages uniformes ... 191

9.3.4 Conclusions ... 194

9.4 Extrémum d’une fonctionnelle linéaire complexe ... 194

Chapitre 0 Préface vi

0.2 Table des symboles

0.2.1. Notations de l’acoustique

symbole dénomination unités S.I.

f fréquence s ^-1

ω pulsation s ^-1

c vitesse de propagation du son m/s

k = ω c nombre d’onde m ^-1

κ nombre d’onde adimensionnel

( κ = kL où L est une longueur caractéristique) -

ρ masse volumique kg/m ³

x _i position des particules m

Ω domaine étudié m ^{dim( Ω)}

Γ frontière du domaine Ω m ^{dim( Ω) -1}

Γ D partie de la fontière où l’on applique des conditions aux limites de Dirichlet

m ^{dim( Ω) -1}

Γ N - des conditions aux limites de Neumann m ^{dim( Ω) -1}

Γ R - des conditions aux limites de Robin m ^{dim( Ω) -1}

Ω fermeture de Ω ( Ω = Ω ∪ Γ ) m ^{dim( Ω)}

p pression acoustique Pa

v _i vitesse acoustique des particules m/s

A _n admittance m ³ /N s

Z _n impédance Z _n =1/A _n Pa s/m

• désigne une grandeur prescrite -

• désigne une grandeur complexe conjuguée -

opérateur nabla , désigne selon le contexte l’opérateur gradient ou divergence

m ^-1

∆ opérateur laplacien m ^-2

f( t ) =o g( t )

t ∅ t ₀ notation de Landau ( lim t → t0

f(t ) g (t ) = 0

)

-

f( t ) = O g( t )

t ∈ a, b notation de Landau ( f(t )

g (t ) ≤ K ∀ t ∈ a, b )

-

FRF Frequency Response Function (courbe de réponse fréquentielle)

-

0.2.2 Notations éléments finis

symbole dénomination unités S.I.

h taille élémentaire

en indice : désigne toute grandeur éléments finis

m

h taille élémentaire adimensionnelle

h = h/L (où L est une longueur caractéristique)

-

p degré des fonctions de forme éléments finis -

I interpolant éléments finis -

A une lettre capitale grasse désigne une matrice -

a une lettre minuscule grasse désigne un vecteur -

a(u, v ) opérateur sesquilinéaire

ϕ(v ) forme linéaire dépend du

contexte

< u , v > produit scalaire (définition 9.10)

< u , v > = u v dΩ Ω

[u] [v] [Ω]

u ₀ norme L ² (définition 9.21) u ₀ ² = u u d Ω

Ω

[u] [ Ω ]

u ₁ norme H ¹ (définition générale 9.26) u ₁ ² = u u + ∇ ^t u∇u dΩ

Ω

application à l’acoustique : voir paragraphe 3.5

[u]

variables spatiales adimension.

u ₂ semi-norme H ² (définition 9.34) u ₂ ² = ∇ ² u ∇ ² u dΩ

Ω

[u][ Ω ]/m ²

p ₁ semi-norme H ¹ pour l’acoustique (définition 3.24) p ₁ ² = v ^t v dΩ

Ω

m [ Ω ]/s

z module du nombre complexe z [z]

v ^* champ de vitesses lissé m/s

τ T ^h élément τ du maillage T ^h -

N ^h ensemble des noeuds du maillage

χ n groupe d’éléments connectés au noeud n -

η erreur relative -

θ indice d’efficacité (définition 5.30 ou 5.31) -

Chapitre 0 Préface viii

0.3 Invitation au voyage

Prêt à prendre la route, le voyageur prend la précaution de se munir des bagages indispensables à son périple mais il sait déjà qu’il n’atteindra son but que s’il arrive à surmonter les embûches qui parsèment son chemin. Le voyageur doit beaucoup à toutes les mains tendues qui, lorsqu’elles lui indiquent une bonne ou une moins bonne direction, ont une influence sur la qualité de son voyage.

Sur la route de cette thèse de doctorat, deux guides ont joué un rôle essentiel que je veux exalter : ceux de Guy Warzée et d’Arielle Delhaye.

Petite rétrospective : en 1992, je gérais les corps d’état secondaire d’un des plus gros chantiers qu’a connu le valenciennois (sud du département Nord de la France) : la réhabilitation et l’extension du site Sevelnord pour le montage, notamment, de la Peugeot 806. J’étais passionné par cette aventure pendant que mon cerveau, lui, s’atrophiait peu à peu : les additions et les soustractions ne peuvent pas satisfaire les esprits curieux. C’est alors que Guy Warzée m’invita à postuler à un poste d’assistant dans son Service et à prendre la route de ce travail. Il s’est investi sans compter dans cette aventure, toujours disponible, toujours prêt à me soutenir, luttant avec moi contre les tempêtes, allant parfois jusqu’à emprunter le même chemin. Il m’a toujours laissé prendre les voies que je souhaitais en même temps qu’il y semait les cailloux, précieux allié lorsqu’il faut rebrousser chemin. Enfin, et ce n’est pas négligeable, c’est lui qui a mis à ma disposition le carnet de route sur lequel ces notes ont été consignées.

Lorsque la route était plus ardue ou que l’itinéraire se brouillait, je savais que je pouvais trouver refuge auprès d’Arielle, complice de toujours, qui s’est beaucoup impliquée dans ce voyage en me rappelant à quelle étoile j’aspirais et en trouvant les mots qui provoquent la sérénité dans l’âme du voyageur isolé en pays étranger. Elle est mon Étoile, le Soleil et la Lune, le Nord et le Sud, l’Orient et l’Occident. Au cours de ce voyage, nous avons également enrichi notre relation par deux bagages supplémentaires (Selma et Nils) qui ont parfois ralenti notre rythme, mais quel plaisir de vivre avec eux les bienfaits de l’école buissonnière.

Il y a ensuite les compagnons de route, les membres du Service des Milieux continus (Pascal Saint- Georges, Brigitte Placet, Jief Allard, Serch Schmidt, Nathalie Offermans, Michel Meyers, Stéphane Suleau) mais aussi les étudiants qui ont fait un bout de chemin avec moi à travers leur travail de fin d’études (Olivier Dewit, Stéfan Cloître, Diederik Pauwels, Vincent Fiquet, Christophe Absil, Corinne Rombaut et Arnaud De Raemaecker). Si Jief n’avait pas pris la barre lorsque je souhaitais regarder la carte, je pense que je ne serais jamais arrivé à bon port. Aujourd’hui, certains ont pris la route à leur tour, qu’ils sachent qu’ils pourront bénéficier de mes carnets de notes.

Il y eut aussi les étapes. L’épreuve à Leuven, où j’ai toujours pu bénéficier, sans complaisance, des compétences de l’équipe SYSNOISE (LMS Numerical Technologies, Jean-Louis Migeot principalement).

La leçon du Maître à Austin où j’ai appris la méthodologie scientifique (Ivo Babuska), l’hospitalité (Nicolas Moës) et surtout j’ai pu bénéficier des cartes qu’ils ont mis spontanément à ma disposition pour une collaboration transnationale sincère et amicale (Frank Ihlenburg). L’émulation à Cachan par un groupe de voyageurs très nombreux guidé par la compétence et la convivialité (Pierre Ladevèze et Jean-Pierre Pelle). Ces trois étapes, qui remplissent aujourd’hui mon album de photos, resteront pour moi des lieux de pèlerinage.

Mais le voyageur même le plus idéaliste à besoin de soutien financier. Outre l’Université pour mon

mandat d’assistant, il y a également le F.N.R.S pour mon séjour à Austin, la Communauté française de

Belgique pour mon séjour à Cachan, et la Région Wallonne pour la convention FIRST 2662. Cette

convention a été possible grâce au soutien de deux partenaires industriels BN/Bombardier Eurorail

(L. Coppens) et Gillet Automobiles (T. Gillet).

Et puis, il y a les détours qu’on emprunte parfois pour mieux reprendre la route : le groupe Mirabelle (les Véros, Kristin, U-Phil, JLD et les passagers), le corps scientifique en Faculté (Jean, PhB-un homonyme-, le groupe du premier jeudi midi du mois ...) et à l’Université (Pascal, Laurence, Catherine, Bernard, l’annexe 197, ...).

Enfin, je n’oublie pas que je n’aurais pas été armé pour ce voyage si, sur la route de mon adolescence, je n’avais pas rencontré un guide dont la pensée éclaire toujours mes nuits (Jean Roulet).

Que tous ceux qui ont contribué à la réussite de ce voyage soient sincèrement et chaleureusement

remerciés, j’invite maintenant le lecteur à partager mon carnet de route.