OSCILLATEURS MECANIQUES 1. GENERALITES :

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OSCILLATEURS MECANIQUES

1. GENERALITES :

1.1.Définition : un oscillateur mécanique est un système matériel animé d’un mouvement périodique.

On appelle oscillateur harmonique, un oscillateur pour lequel la variable position est une fonction sinusoïdale du temps :

TRANSLATION : x = a cos ( ωω t + ϕϕ )

1.2.Particularités de l’oscillateur harmonique :

Position : en [ m ] x = a cos ( ωω t + ϕϕ ) Vitesse : en [ m . s –1 ] v = dx dt = • • x = – a ωω sin ( ωω t + ϕϕ )

x et v sont deux fonctions en quadrature : si x est au maximum (ou au minimum), alors v s’annule et vice-versa . Accélération : en [ m . s –2 ] γγ = dv dt = d2x dt2 = • • • • x = – a ωω² cos ( ωω t + ϕϕ ) 1.3. Equation différentielle du mouvement :

x = a cos ( ω t + ϕ ) et • •x = – a ω² cos ( ω t + ϕ )

Donc • •x = – ω² x ce qui donne l’équation

Une fonction sinus ou cosinus vérifie l’équation différentielle précédente.

Inversement , on admettra que

si l’étude d’un système mécanique, soumis à un ensemble de forces, conduit à une équation

différentielle du type : • •x + ω² x = 0

alors la solution est sinusoïdale x = a cos ( ω t + ϕ )

a et ϕ sont déterminés par le problème physique

1.4. Résolution d’un problème : * système étudié

* bilan des forces extérieures

* Principe fondamental de la Dynamique : ΣΣ

r

F = m r

γγ

* Projection sur un axe X’X : ΣΣ F = m γγ = m • • • •x

• • • •

si Σ F = – k x (force de rappel) , alors – k x = m x

• •

x + k

m x = 0 C’est une équation du type :

• •

x + ω² x = 0

La solution de l’équation est une fonction sinusoïdale :

x = a cos ( ω t + ϕ ) avec ω² = k

m

La période du mouvement vaut T = 2 π

ω

1.5. Energies mises en jeu dans l’oscillateur harmonique :

– k x = m • •x ⇒ m • •x + k x = 0

En multipliant les deux membres de l’équation par v, on obtient :

m . v . • •x + k . x . v = 0 ⇒ m . v . dv

dt + k . x . dx

dt = 0

En multipliant par dt , on obtient : m . v . dv + k . x . dx = 0

En intégrant par rapport à chaque variable, on trouve : 1

2 m v 2 + 1 2 k x 2 = Cte Ce qui n’est rien d’autre que la conservation de l’énergie mécanique :

Em = Ec + Ep = Cte

Si x = a ⇒ v = 0 et alors Em = 0 + 1 2 k a 2 Sachant que ω² = k m ⇒ k = m ω² Donc Em = 1 2 m ω² a 2 2. OSCILLATIONS AMORTIES

Amortissement par frottement visqueux : c’est le frottement lors du déplacement d’un solide dans un fluide (gaz ou liquide).

Force de frottement : r F = – b . r v 2.1. Diminution d’énergie :

* diminution d’énergie pendant le temps dt : dE = r

F . r

v . dt c’est le travail de la force de fottement pendant le temps dt

dE = – b . v2 . dt dE

dt < 0 l’énergie diminue quand le temps s’écoule

* pour une oscillation complète : (dE

dt)moy = – b . vmoy

2

3

Sachant que v = x = – a • ω sin ( ω t + ϕ ), on démontre que pour une période

complète : vmoy 2 = 1 2 ω² a 2 * Expression de l’énergie : dE dt = – b . vmoy 2 Donc dE dt = – b . 1 2 ω² a 2 = – b m . 1 2 m ω² a 2 = – b m . E

En séparant les variables : dE

E = –

b

m . dt

Ce qui donne en intégrant :

L’énergie diminue de façon exponentielle et l’amplitude diminuera donc aussi de façon exponentielle

2.3. Equation différentielle et résolution : Σ F = m • •x

ce qui donne avec la force de rappel du ressort ( Fr = – k x ) et la force de frottement

visqueux ( Ff = – b v ) – k x – b x = • m • •x ⇒ a = ao exp (– b 2 m . t ) x = ao exp (– b 2 m . t ) . cos 22ππ ΤΤ . t • • • • x + b m • • x + k m x = 0 E = Eo exp (– b m . t )

C’est une équation du type : x + 2 λλ x + ωω_οο² x = 0 Avec 2 λλ = b m et ωωοο² = k m ⇒⇒ ωωοο = k m ω

ωοο représente la pulsation propre (en l’absence de frottements)

Résolution : on cherche des solutions du type :

x = e

r . t

* équation caractéristique : r2 + 2 λ r + ω_ο² = 0

* discriminant réduit : ∆ = λ² – ωο²

* les solutions seront : r1 = – λ – λ² – ωο²

r2 = – λ + λ² – ωο² 3 CAS à envisager : REGIME APERIODIQUE * ∆∆’ > 0 <==> λ λ > ωωo : amortissement fort r1 et r2 : 2 solutions réelles

la solution sera de la forme :

REGIME CRITIQUE

* ∆∆’ = 0 <==> λ λ = ωωo :

amortissement moyen

r1 et r2 : 2 solutions confondues

la solution sera de la forme :

REGIME PSEUDO-PERIODIQUE * ∆∆’ < 0 <==> λ λ < ωωo :

amortissement faible

r1 et r2 : 2 solutions complexes

conjuguées

La solution sera de la forme :

x = a

o

e

– λλ t

5

* PSEUDO-PERIODE : T = 2 π

ω ω étant la pseudo-pulsation

ω2

= ω_ο2 - λ2 * si l’amortissement est très faible, alors λ est très petit

donc λ² sera négligeable devant ωο :

ω = ωο ==> To (période propre) = T (pseudo-période)

* si l’amortissement n’est pas trop faible, alors λ n’est pas très

petit, donc λ² ne sera plus négligeable devant ω_{ο :}

ω < ωο ==> T (pseudo-période) > To (période propre)

Par le frottement, le mouvement est légèrement ralenti.

3. OSCILLATIONS FORCEES

3.1. Situation du problème :

• on raisonne sur un oscillateur de translation :

• l’amortissement est FAIBLE

• l’oscillateur (appelé aussi RESONATEUR) subit de la part d’un EXCITATEUR

une force r r

F qui varie de façon sinusoïdale dans le temps : F = Fo e i ωω t

⇒ Comment va osciller le RESONATEUR ?

3.2. Etude expérimentale :

• L’expérience sera faite avec un pendule simple : Une masse suspendue à un fil de

longueur L . L’avantage de ce dispositif, c’est qu’on peut faire varier facilement la période d’oscillation en modifiant simplement la longueur L du fil . On

démontre que : T = 2 π L

g

• Pour l’excitateur, on prend une masse importante

• Pour le résonateur, on prend une balle en mousse ou une balle de ping-pong.

• Dispositif :

Lo

L1

• CONSTATATIONS :

⇒ si Tres < Texc alors après quelques oscillations et arrêts successifs, le

résonateur oscille avec la même période que l’excitateur EN PHASE, mais avec une AMPLITUDE PLUS FAIBLE

⇒ si Tres > Texc alors après quelques oscillations et arrêts successifs, le

résonateur oscille avec la même période que l’excitateur EN OPPOSITION DE PHASE, mais avec une AMPLITUDE TRES FAIBLE

⇒ si Tres = Texc au début le résonateur oscille de façon décalée (déphasage

de π

2 au démarrage)avec une AMPLITUDE DE PLUS EN PLUS GRANDE :

c’est LA RESONANCE

3.3. Equation différentielle et solutions (calcul pour la résonance)

* équation différentielle : – k x – b x + F • o e i ω t = m • •x ⇒ • •x + b m • x + k m x = Fo m e i ω t

C’est une équation du type : • •• •x + 2 λλ x + • • ωω_οο² x = Fo m e

i ωω t

* D’après l’expérience, on constate que le résonateur oscille avec la m^me période

que l’excitateur : on cherche donc des solutions du type : x = a e i ( ωω t + ϕϕ))

* On démontre que l’amplitude est MAXIMALE lorsque ωω = = ωωοο

RESONANCE

3.4. Applications de la résonance : elles nombreuses en particulier en acoustique

EXERCICE : Soit une voiture avec sa suspension ( M = 1000 kg et k = 4 . 104 N.m–1).

Cette voiture arrive sur une série de bosses équidistantes d’une distance d = 20 m . 1.) Quel est le rôle des amortisseurs ?

2.) Calculer la vitesse V qu’il serait préférable d’éviter . Pourquoi ?

1.) Les amortisseurs ont pour but d’éviter les oscillations de la suspension : bonne tenue de route. Un bon amortisseur fonctionne en régime dit CRITIQUE :

λ = ωo

2.) Il vaut mieux éviter la résonance :

RESONANCE : ωω = = ωωοο c'est à dire ωωbosse = = ωωvoiture

Avec ωbosse = 2 π Tb et Tb = d V ωvoiture = k m Donc k m = 2 π V d ⇒ V = d 22 ππ mk = 20,1 m.s –1 = 72,5 km/h