Caractère bien posé probabiliste pour une équation non linéaire faiblement dispersive

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Caractère bien posé probabiliste pour une équation non

linéaire faiblement dispersive

Houda Abdelkaled

To cite this version:

Houda Abdelkaled. Caractère bien posé probabiliste pour une équation non linéaire faiblement disper-sive. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. CY Cergy Paris Université, 2020. Français. �NNT : 2020CYUN1075�. �tel-03209376�

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H

E

S

THÈSE DE DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES

FONDAMENTALES

présentée et soutenue par

ABDELKALED Houda Salima

Caractère bien posé probabiliste pour une

équation non linéaire faiblement dispersive

En vue d’obtenir le grade de docteur délivré par

CY CERGY-PARIS UNIVERSITÉ

Dirigé par : Nikolay Tzvetkov

Président du jury :Philippe Gravejat

Date de soutenance : 14 décembre 2020

Jury de soutenance :

Mme. Valeria Banica,

Professeur, Université de Sorbonne

Examinateur

M. Philippe Gravejat,

Professeur, Université CY Cergy-Paris Examinateur

M. Sahbi Keraani,

Professeur, Université de Lille

Rapporteur

Mme. Elisabeth Logak, Professeur, Université CY Cergy-Paris Examinateur

M. Frédéric Rousset,

Professeur, Université Paris Saclay

Rapporteur

M. Nikolay Tzvetkov,

Professeur, Université CY Cergy-Paris Examinateur

École Doctorale Economie, Management, Mathématiques, Physique et

Sciences informatiques

Table des matières

1 Remerciements 3 2 Résumé 4 3 Préliminaires 5 3.1 Analyse de Fourier . . . 5 3.1.1 Séries de Fourier . . . 5 3.1.2 Noyaux de Dirichlet . . . 7 3.1.3 Noyaux de Fejér . . . 9 3.1.4 Convergence dans L2_(T3_{) . . . . 16} 3.1.5 Convergence dans L∞_(T3_{) . . . . 20} 3.2 Espaces de Sobolev . . . 21 3.2.1 Définitions . . . 21 3.2.2 Propriétés . . . 23

3.3 Inégalités sur l’espace Lp_(T3_{) . . . . 25}

3.3.1 Inégalité de Hölder et ses variantes . . . 26

3.3.2 Inégalité intégrale de Minkowski . . . 27

4 Présentation des résultats 29 4.1 Énoncés des résultats . . . 29

5 Étude déterministe du problème fractionnaire 37 5.1 Le problème linéaire . . . 37

5.2 Preuve du théorème 4.1.3 . . . 42

5.3 Preuve du théorème 4.1.5 . . . 48

5.4 Preuve du théorème 4.1.6 . . . 51

6 Problème fractionnaire sur Hs× Hs−α_{2, s < s} c 55 6.1 Lemmes et propositions . . . 55 6.2 Preuve du théorème 4.1.7 . . . 69 6.3 Preuve du théorème 4.1.8 . . . 71 7 Partie probabiliste 73 7.1 Solutions probabilistes . . . 73 7.2 Preuve du théorème 4.1.10 . . . 84

7.3 Construstion d’ensemble invariant . . . 86

1.

Remerciements

En premier lieu, je tiens à exprimer mes profonds remerciements à mon directeur de thèse Monsieur N. Tzvetkov, professeur à l’université de CY Cergy-Paris. En effet, il a été d’une grande aide, notamment en partageant ses brillantes intuitions. Il a également été d’un soutien sans faille et il m’a conseillée tout au long de l’élaboration de cette thèse. Je tiens particulièrement à le remercier pour la confiance qu’il m’a accordée en acceptant d’encadrer ce travail. Je suis ravie d’avoir travaillé en sa compagnie.

Je tiens à témoigner de ma reconnaissance à monsieur S. Keraani, professeur à l’uni-versité de Lille, ainsi qu’à monsieur F. Rousset, professeur à l’unil’uni-versité Paris Saclay, de l’honneur qu’ils m’ont fait en acceptant d’être rapporteurs de cette modeste thèse. Un grand merci à madame V. Banica, à monsieur P. Gravejat, à madame E. Logak et à monsieur N. Tzvetkov pour avoir accepté d’être mes examinateurs.

Je veux exprimer ma gratitude à mes collègues et amies Hajer Ben Abdallah et Najet Benabdallah pour leur soutien et encouragements, en particulier à Najet qui m’a aidée dans la correction et la relecture du manuscrit.

Enfin, je dédie cette thèse à mes très chers parents, Abdelkalek Abdel-Hafid et Antar-Antar Fatima. Les paroles et les écrits ne peuvent guère égaler mes sentiments et ma gratitude envers eux, pour m’avoir éduquée et permis de trouver ma voie en mettant à ma disposition toutes les clés de la réussite mais aussi pour les innombrables choses qu’ils ont pu faire pour moi. Je les remercie pour m’avoir épaulée et soutenue dans ce parcours, pour leur patience et leur confiance en moi. Ils sont la plus belle chose qui me soit arrivée dans ce bas monde, ils sont ma fierté.

2.

Résumé

Nous nous proposons dans cette thèse d’étudier la propagation d’ondes non-linéaires dans le régime haute fréquence par des méthodes provenant de la théorie des probabilités et de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère l’équation d’onde frac-tionnaire cubique, posée sur un domaine borné de l’espace euclidien, avec des conditions au bord périodiques. On montrera pour commencer, sur quels espaces ce problème est bien-posé au sens d’Hadamard à l’aide de méthodes de point fixe. Dans un deuxième temps, on va démontrer des résultats d’instabilité à haute fréquence qui montrent les limites des méthodes standards. Pour finir, on envisagera de construire des mesures de probabilité sur l’espace des données initiales telles que dans le contexte des résultats d’instabilité, une forme de caractère bien-posé persiste, presque surement.

3.

Préliminaires

Nous rappelons dans ce chapitre quelques notions de base fondamentales qui nous servirons tout au long de ce document. Notamment, la théorie de Fourier sur l’espace quotient T3 _{= (R /2πZ)}3. Cet outil est essentiel dans la plupart des branches de l’analyse mais aussi dans l’étude des équations aux dérivées partielles. On pourra par le biais de cet outil passer d’un domaine spatial à un domaine fréquentiel discret, dans le but de simplifier certaines équations aux dérivées partielles. La convergence des séries de Fourier est le sujet principal traité dans cette première partie. Nous introduirons dans un second temps les espaces fonctionnels les plus adaptés à l’étude des équations aux dérivées partielles dispersives, les espaces de Sobolev. On finira ce chapitre, par quelques rappels sur la théorie d’interpolation et des inégalités mettant en lien les différents espaces fonctionnels de Sobolev et les espaces Lp. Les références liées à la discussion de ce chapitre sont [10, 13, 9, 8].

3.1

Analyse de Fourier

3.1.1

Séries de Fourier

Définition 3.1.1. Soit f : T3 _{→ C une fonction intégrable. On définit sa transformée de}

Fourier, notée bf , par l’application :

b f (n) = Z T3 f (x) e−in.xd x, _{∀n ∈ Z}3, où n.x = n1x1+ n2x2+ n3x3.

3.1. Analyse de Fourier n ∈ Z3, | bf (n)| ≤ Z T3 |f (x)|d x = kf kL1_(T3₎.

De plus, il vient directement de la définition que, l’application qui associe à toute fonction f la fonction b_{f est linéaire, c’est-à-dire pour tout λ ∈ R, n ∈ Z}3 _{et f, g ∈ L}1_(T3_{), on a :}

(3.1.1) (f + λg)(n) = b\ f (n) + λ_bg(n).

Si f ∈ C2k(T3_{) avec k ∈ N alors il existe une constante C}

k> 0 telle que : | bf (n)| ≤ Ck (1 + |n|2₎k, où |n| 2 _{= n}2 1+ n 2 2+ n 2 3.

En effet, cela vient du fait que l’on ait pour tout k ∈ N et n ∈ Z3,

(3.1.2) (1 − ∆)k_f V (n) = (1 + |n|2)kf (n).b Autrement dit, on a : | bf (n)| ≤ 1 (1 + |n|2₎k Z T3 |(1 − ∆)kf (x)| d x ≤ Ck (1 + |n|2₎k.

Définition 3.1.2 (Formelle). On appelle série de Fourier d’une fonction f ∈ L1_(T3), la série donnée par :

(2π)−3X

n∈Z3

b

f (n) ein.x, _{x ∈ T}3.

Nous ferons remarquer que cette définition est "formelle" c’est-à-dire qu’elle ne tient pas compte de la convergence de la série, à ce stade nous ne savons pas si elle converge ou pas ; et si elle converge dans quel sens.

Définition 3.1.3. On définit pour tout N ∈ N, la N -iéme somme de la série ou encore la série des sommes partielles, notée SNf , par :

SNf (x) = (2π)−3 N X n1=−N N X n2=−N N X n3=−N ei(n1x1+n2x2+n3x3) b f (n), où n = (n1, n2, n3) ∈ Z3 et x = (x1, x2, x3) ∈ T3.

3.1. Analyse de Fourier

Théorème 3.1.4. Soient f ∈ C∞_(T3) et SNf la N -iéme somme associée à sa série de

Fourier. Alors cette somme converge uniformément sur T3 vers f quand N tend vers l’infini i.e.

sup

x∈T3

|(SNf − f )(x)| −→ 0, quand N → +∞.

De plus, pour tout α ∈ N3,

sup

x∈T3

|∂α(SNf (x) − f (x))| −→ 0, quand N → +∞.

Afin de démontrer ce théorème, nous aurons besoin de certains lemmes et théorèmes que nous énoncerons dans la section suivante.

3.1.2

Noyaux de Dirichlet

On considère SNf la N -iéme somme associée à la série de Fourier de f :

SNf (x) = (2π)−3 N X n1=−N ein1x1 N X n2=−N ein2x2 N X n3=−N ein3x3 Z T3 f (y) e−in.yd y.

Alors, par commutativité des signes intégrale et somme, on peut écrire que :

SNf (x) = (2π)−3 Z T3 N X n1=−N ein1(x1−y1) ! _N X n2=−N ein2(x2−y2) ! _N X n3=−N ein3(x3−y3) ! f (y) d y = (2π)−3 Z T3 3 Y j=1   X |nj|≤N einj(xj−yj)  f (y)d y.

Définition 3.1.5. On appelle noyau de Dirichlet, noté DN, l’application donnée pour

tout x ∈ T3 par : (3.1.3) DN(x) = 3 Y j=1   N X nj=−N einjxj  .

Par cette définition, on voit que

(3.1.4) SNf (x) = (2π)−3

Z

T3

3.1. Analyse de Fourier

On pourra aussi remarquer que, le noyau de Dirichlet est en fait un produit de suites géométriques de raison eixj _{avec j = {1, 2, 3}, dont la somme peut être calculée au cas}

xj 6= 0, j = {1, 2, 3} , en écrivant (3.1.5) DN(x) = 3 Y j=1   X |nj|≤N einjxj  = 3 Y j=1  e−ixjN 1 − e ixj(2N +1) 1 − eixj  .

Puis, en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par e−ixj2 , on

obtient DN(x) = 3 Y j=1 e−ixj2 (2N +1)− ei xj 2 (2N +1) e−ixj2 − ei xj 2 ! .

Sachant que l’exponentielle peut s’exprimer par des fonctions trigonométriques, il résulte finalement une deuxième formulation du le noyau de Dirichlet,

(3.1.6) DN(x) = 3 Y j=1 Dj_N(xj), j = 1, 2, 3, x = (x1, x2, x3) ∈ T3, où (3.1.7) D_Nj (xj) =        sin((2N +1)xj₂) sin(xj₂) xj 6= 0, 2N + 1 xj = 0.

Notons que Dj_N sont des fonctions à une variable alors que DN est une fonction à trois

variables. Nous avons que D1_N = D2

N = DN3.

Remarque 3.1.6. Cette deuxième formulation nous permet de remarquer que l’une des propriétés du noyau de Dirichlet est qu’il n’est pas de signe constant. On peut aussi voir, par identification de (3.1.5) et (3.1.7) que :

(3.1.8) Dj_N(xj) =

X

|nj|≤N

einjxj_{, x}

j ∈ T, j = 1, 2, 3.

3.1. Analyse de Fourier d’écrire (3.1.9) SN(f ) = (2π)−3 Z T3 3 Y j=1 sin (2N + 1)xj−yj 2
sin xj−yj 2
! f (y)d y.

On serait alors tenté d’essayer de démontrer la convergence simple de la série SNf vers

f en effectuant un changement de variable comme ceci :

SN(f ) = π−3 Z I1 N×IN2×IN3 3 Y j=1 sin (yj) (2N + 1) sin yj 2N +1
! f  x − 2y 2N + 1  d y,

où I_Nj = [(2N +1₂ )(π + xj), −(2N +1₂ )(π + xj)]3, x = (x1, x2, x3) ∈ R3 avec j = 1, 2, 3, puis

de faire tendre N vers l’infini sous le signe intégrale. Or, dans ce cas, il ne nous est pas permis d’appliquer le théorème de Lebesgue du fait que les noyaux de Dirichlet soient de signe non constant, comme nous l’avons vu dans la remarque précédente. D’où l’intérêt de la section suivante.

3.1.3

Noyaux de Fejér

On pose pour x = (x1, x2, x3) ∈ T3 et j = 1, 2, 3, (3.1.10) F_Nj(xj) = 1 N N −1 X k=0 D_kj(xj), N ∈ N. avec F_Nj(0) = 2N + 1 pour j = 1, 2, 3.

Définition 3.1.7. On définit le noyau de Fejér, noté FN par :

FN(x) = 1 (2π)3 3 Y j=1 F_Nj(xj), x ∈ T3. Ou encore FN(x) = 1 (2πN )3 3 Y j=1 N −1 X k=0 Dj_k(xj) ! .

Lemme 3.1.8. La suite {FN}N ∈N est une approximation de l’identité. Plus précisément,

3.1. Analyse de Fourier P1. Pour tout x ∈ T3, on a : Z T3 FN(x) d x = 1. P2. En tout point x ∈ T3_{, F}

N(x) est positif et satisfait donc :

sup N ∈N Z T3 |FN(x)| d x < ∞. P3. Pour tout δ > 0, Z [−π,π]3_{/([−δ,δ])}3 |FN(x)| d x −→ 0, quand N → +∞.

(ici on identifie T3 _{avec [−π, π]}3_).

Démonstration. P 1. Par définition, on écrit pour tout x ∈ T3_,

Z T3 FN(x) d x = 1 (2πN )3 Z T3 3 Y j=1 N −1 X k=0 D_kj(xj) ! d x.

Puisque Dj_k(xj) ne dépend que de xj, la précédente égalité peut être reformuler par :

Z T3 FN(x) d x = 1 (2πN )3 3 Y j=1 N −1 X k=0   Z T Dj_k(xj)d xj  .

Il s’en suit, par la relation (3.1.3), que

Z T3 FN(x) d x = 1 (2πN )3 3 Y j=1 N −1 X k=0   Z π −π k X nj=−k einjxj_{d x} j   = 1 (2πN )3 3 Y j=1 N −1 X k=0   k X nj=−k Z π −π einjxj_{d x} j  .

On remarquera, que pour tout j = {1, 2, 3}, on a :

Z π −π einjxj_{d x} j = ( 0 nj 6= 0, 2π nj = 0.

3.1. Analyse de Fourier En conséquence, Z T3 FN(x) d x = 1 (2πN )3 (N 2π) 3 _{= 1.} D’où la propriété P1.

P 2. Pour j = 1 et x1 6= 0, dans les définitions (3.1.6) et (3.1.10), on écrit

F_N1(x1) = 1 N N −1 X k=0 sin (2k + 1)x1 2
sin x1 2
! = 1 N N −1 X k=0   Imei(2k+1)x12  sin x1 2
 ,

où Im(·) désigne la partie imaginaire. On peut alors écrire par équivalence,

(3.1.11) F_N1(x1) = 1 N sin x1 2
Im N −1 X k=0 ei(2k+1)x12 !! .

On observera que le membre de droite est une suite géométrique dont la somme est donnée par : N −1 X k=0 ei(2k+1)x12 = eix12 1 − e iN x1 1 − eix1 .

Puis en factorisant par eiNx12 , on obtient :

N −1 X k=0 ei(2k+1)x12 = eiNx12 sin(Nx1 2 ) sin(x1 2 ) .

dont la partie imaginaire de cette dernière égalité est donnée par :

Im  eiNx12 sin(Nx1 2 ) sin(x1 2 )  = (sin(N x1 2)) 2 sin(x1 2 ) .

La relation (3.1.11) s’écrit alors pour tout x1 6= 0,

(3.1.12) F_N1(x1) = 1 N sin x1 2
(sin(Nx1 2)) 2 sin(x1 2 ) = 1 N sin(Nx1 2 ) sin x1 2
!2 .

3.1. Analyse de Fourier

De ce fait, par la définition (3.1.7) de FN, on déduit que,

(3.1.13) FN(x) = 1 (2πN )3 3 Y j=1 sin(Nxj 2) sin xj 2
!2 xj 6= 0, j = 1, 2, 3.

Ce qui nous permet de voir que le noyau de Fejér est positif pour tout x ∈ T3 _{et que par}

conséquent, à l’aide de la propriété P1. précédente, on peut écrire pour tout N ∈ N,

Z T3 |FN(x)|d x = Z T3 FN(x)d x < ∞.

P 3. La preuve du dernier point tient du fait que l’on ait :

∀j = 1, 2, 3, ∃c > 0 :       sin(Nxj 2 ) sin xj 2
!2      ≤ c min  N, 1 |xj| 2 .

En particulier, pour δ > 0 telle que |x| ≥ δ, il existe j ∈ {1, 2, 3} pour lequel |xj| ≥ √δ₃ et

(3.1.14) Z δ √ 3≤|xj|≤π 1 N       sin(Nxj 2) sin xj 2
!2     d xj ≤ C N. 1 δ2 −→ 0, quand N → +∞.

Riche de ces observations, on écrit d’abord à l’aide la relation (3.1.13),

Z {x∈T3_,|x|≥δ} FN(x) d x = 1 (2πN )3 Z {x∈T3_,|x|≥δ} 3 Y j=1 sin(Nxj 2) sin xj 2
!2 d x.

On va essayer par la suite de majorer cette intégrale par d’autres intégrales du type (3.1.14) de la manière suivante : Z {x∈T3_,|x|≥δ} FN(x) d x ≤ 1 (2πN )3 3 X j=1 Z Iδ sin(Nxj 2) sin xj 2
!2 d xj 3 Y k=1 k6=j π Z −π sin(Nxk 2 ) sin xk 2
!2 d xk. avec Iδ = {√δ₃ ≤ |xj| ≤ π}.

3.1. Analyse de Fourier

On sait que pour tout k = {1, 2, 3}, on a :

π Z −π sin(Nxk 2 ) sin xk 2
!2 d xk = 2πN

(une conséquence de la preuve de la propriété P1.). Cela nous amène à écrire que,

Z {x∈T3_,|x|≥δ} FN(x) d x ≤ (2πN )2 N3 3 X j=1 Z {_√δ 3≤|xj|≤π} sin(Nxj 2) sin xj 2
!2 d xj.

En appliquant (3.1.14), on déduit directement que,

Z {x∈T3_,|x|≥δ} FN(x) d x ≤ C N. 1 δ2 −→ 0, quand N → +∞.

Ce qui termine la preuve du lemme 3.1.8.

Définition 3.1.9. On dit qu’une fonction P est un polynôme trigonométrique sur T3 si la fonction P est définit par une somme d’exponentielles. Plus précisément, s’il existe M ≥ 0 et cn1,n2,n3 ∈ C tels que P (x1, x2, x3) = X |n1|≤M X |n2|≤M X |n3|≤M cn1,n2,n3e i(n1x1+n2x2+n3x3)_.

Proposition 3.1.10. L’ensemble des polynômes trigonométriques P est dense dans l’es-pace des fonctions continues sur T3 _i.e.

∀f ∈ C(T3_{) , ∃P}

N ∈ P tel que kPN − f kL∞_(T3₎ −→ 0, quand N → +∞.

Démonstration. On considère la fonction FN∗f où ”∗” désigne le produit de convolution.

Par définition, on a : FN ∗ f = X n∈Z3  c FN(n) bf (n)  ein.x,

3.1. Analyse de Fourier écrit pour x = (x1, x2, x3) ∈ T3, FN(x) = 1 (2πN )3 3 Y j=1   X |nj|≤N einj.xj   = 1 (2πN )3 X |n1|≤N X |n2|≤N X |n3|≤N ein.x.

Autrement dit, FN est un polynôme trigonométrique (par définition). En particulier,

c FN(n) = 1 (2πN )3, n = (n1, n2, n3) ∈ Z 3_{, |n} j| ≤ N, j = 1, 2, 3, N ∈ N.

De plus, d’après la première section on sait que pour tout n ∈ Z3_{, l’application bf est}

bornée. On peut alors conclure qu’il existe M et Cn∈ C telles que

FN ∗ f =

X

|nj|≤M

j=1,2,3

Cnein.x.

On pose PN = FN ∗ f . Montrons que pour f ∈ C(T3) on a

kPN(x) − f (x)kL∞_(T3₎→ 0 quand N → +∞. On considère |PN(x) − f (x)| =       Z T3 (f (x − y) − f (x))FN(y)d y       .

A l’aide de l’inégalité triangulaire, on écrit que

|PN(x) − f (x)| ≤        Z y∈([−δ,δ])3 (f (x − y) − f (x))FN(y)d y        +        Z y /∈([−δ,δ])3 (f (x − y) − f (x))FN(y)d y        = I1+ I2

3.1. Analyse de Fourier où I1 =        Z y∈([−δ,δ])3 (f (x − y) − f (x))FN(y)d y        , et I2 =        Z y /∈([−δ,δ])3 (f (x − y) − f (x))FN(y)d y        .

Contrairement au noyau de Dirichlet, on a vu que le noyau de Fejér était de signe constant positif, ce qui va nous permettre de facilement majorer les intégrales I1 et I2. En effet,

par les propriétés P 1. et P 2. du lemme précédent, on sait que :

Z y∈([−δ,δ])3 |FN(y)|d y = Z y∈([−δ,δ])3 FN(y)d y ≤ Z T3 FN(y)d y = 1.

De plus, par continuité uniforme, on a :

∀ > 0, ∃δ > 0 : _{∀x, y ∈ T}3, |x − y| < δ, |f (x) − f (y)| ≤  2. On conclut alors, que

I1 ≤ Z y∈([−δ,δ])3 |f (x − y) − f (x)| |FN(y)| d y ≤  2 Z T3 FN(y) d y =  2.

D’autre part, f est continue sur un compact, et donc :

∃M > 0, |f (x)| ≤ M, _{∀x ∈ T}3_.

On sait aussi, par la propriété P 3. du lemme 3.1.8, que pour N suffisamment grand, on a : Z y /∈([−δ,δ])3 |FN(y)| d y ≤  4M.

3.1. Analyse de Fourier

Il s’en suit alors, d’après ces deux remarques que,

I2 ≤ Z y /∈([−δ,δ])3 (|f (x − y)| + |f (x)|) |FN(y)| d y ≤ 2M  4M =  2. En conclusion, |PN(x) − f (x)| ≤ I1+ I2 = .

Remarque 3.1.11. Si de plus, f ∈ Ck(T3_{) avec k ∈ N. Alors, pour tout α ∈ N}3 _{tels que}

|α| ≤ k, on a : (3.1.15) k∂α(PN − f ) kL∞_(T3₎ −→ 0, quand N → +∞, où ∂α = ∂ |α| ∂α1 x1∂ α2 x2∂ α3 x3 , |α| = α1+ α2+ α3.

En effet, on peut voir que

∂α(FN ∗ f ) = FN ∗ (∂αf ),

où ∂α_{f ∈ C(T}3_{) et donc d’après la proposition précédente, ce polynôme converge}

unifor-mément vers f , d’où (3.1.15).

3.1.4

Convergence dans L

2

_(T

3

)

Notre but dans cette section sera de démontrer l’égalité de Perseval qui va être un outil clé pour montrer la convergence uniforme de la série des sommes partielles du théorème 3.1.4.

On note par h·, ·i le produit scalaire hermitien sur L2_(T3_{), donné par :}

hf, gi = Z

T3

f (x)g(x) d x.

3.1. Analyse de Fourier

f . Alors pour tout N ∈ N, on a :

kSNf kL2_(T3₎≤ kf k_L2_(T3₎.

Démonstration. On observera que l’application SN est une projection orthogonale sur le

sous espace {ein.x_{, |n}

1| ≤ N, |n2| ≤ N, |n3| ≤ N }. En particulier, l’application SN vérifie

pour tout f, g ∈ L2_(T3_), hSNf, gi = hf, SNgi, et hf, SNf i = hSNf, SNf i. (3.1.16) On considère kf − SNf k2L2_(T3₎ = hf − SNf, f − SNf i = kf k2_L2_(T3₎− hf, S_Nf i − hS_Nf, f i + kS_Nf k2_L2_(T3₎.

D’après l’observation précédente, on obtient :

kf − SNf k2L2_(T3₎ = kf k2_L2_(T3₎− 2hf, S_Nf i + kS_Nf k2_L2_(T3₎

= kf k2_L2_(T3₎− 2hSNf, SNf i + kSNf k2L2_(T3₎

= kf k2_L2_(T3₎− 2kS_Nf k2_L2_(T3₎+ kS_Nf k2_L2_(T3₎.

On a bien alors, pour tout N ∈ N,

kf − SNf k2L2_(T3₎ = kf k2_L2_(T3₎− kS_Nf k2_L2_(T3₎ ≥ 0.

D’où

kSNf kL2_(T3₎≤ kf k_L2_(T3₎.

Théorème 3.1.13. Soient f ∈ L2_(T3) et SNf la série des sommes partielles associée à

f . Alors,

kSNf − f kL2_(T3₎ −→ 0, quand N → +∞.

Démonstration. Soit  > 0. Par densité des fonctions continues sur T3 _{dans L}2_(T3_{) il}

existe une fonction g ∈ C(T3) telle que

kf − gkL2_(T3₎≤

 4.

3.1. Analyse de Fourier

De plus, la Proposition 3.1.10 dit qu’il existe un polynôme trigonométrique P ∈ PN tel

que

kP − gkL∞_(T3₎ ≤

 4(2π)3/2 ,

autrement dit, on a aussi

kP − gkL2_(T3₎ ≤

 4.

(ici on a utilisé la décroissance des espaces Lp _{de mesures finies). En combinant ces deux}

inégalités, on obtient que

(3.1.17) kP − f kL2_(T3₎≤ kP − gk_L2_(T3₎+ kg − f k_L2_(T3₎≤

 2. On considère ensuite

kSNf − f kL2_(T3₎= kS_Nf − S_NP + S_NP − P + P − f k_L2_(T3₎.

Par inégalité triangulaire, on écrit

kSNf − f kL2_(T3₎ ≤ kS_Nf − S_NP k_L2_(T3₎+ kS_NP − P k_L2_(T3₎+ kP − f k_L2_(T3₎.

Or, par définition, pour N suffisamment grand, on a SNP = P et donc

kSNf − f kL2_(T3₎ ≤ kS_Nf − S_NP k_L2_(T3₎+ kP − f k_L2_(T3₎.

De plus, par le théorème précédent, on sait que

kSN(f − P )kL2_(T3₎≤ kf − P k_L2_(T3₎.

Il vient alors, par (3.1.17) que

kSNf − f kL2_(T3₎ ≤ kf − P k_L2_(T3₎+ kP − f k_L2_(T3₎

≤  2 +

 2 = . Ce qui conclut la preuve du théorème 3.1.13.

3.1. Analyse de Fourier Fourier. Alors, (3.1.18) kf k2 L2_(T3₎= (2π)−3 X n∈Z3 | bf (n)|2.

Démonstration. Soit SNf la série des sommes partielles associée à f . Montrons que

(∗) kSNf k2L2_(T3₎ = (2π)−3

X

|n1|≤N, |n2|≤N

|n3|≤N

| bf (n)|2.

A l’aide de la relation (3.1.16), on écrit

kSNf k2L2_(T3₎ = hSNf, SNf i = hSNf, f i = h(2π)−3X n∈Λ b f (n)ein.x, f i = (2π)−3X n∈Λ b f (n)hein.x, f i, où Λ = {(n1, n2, n3) ∈ Z3 : |n1| ≤ N, |n2| ≤ N, |n3| ≤ N }.

Or, on remarquera que hein.x, f i = bf (n) et que donc

kSNf k2L2_(T3₎ = (2π)−3 X |n1|≤N, |n2|≤N |n3|≤N b f (n) bf (n) = (2π)−3 X |n1|≤N, |n2|≤N |n3|≤N | bf (n)|2.

On écrit maintenant, à l’aide de la seconde inégalité triangulaire que



kSNf kL2_(T3₎− kf k_L2_(T3₎



≤ kSNf − f kL2_(T3₎.

De plus, par le théorème 3.1.13 précédent, on sait que

kSNf − f kL2_(T3₎ −→ 0, quand N → +∞.

Par conséquent, on obtient :

lim

N →+∞kSNf kL

3.1. Analyse de Fourier

Enfin, à l’aide de la relation (∗), on déduit que :

kf k2

L2_(T3₎= (2π)−3

X

n∈Z3

| bf (n)|2.

Ce qui conclut la preuve du théorème 3.1.14.

3.1.5

Convergence dans L

∞

_(T

3

)

Muni de ces résultats, nous pouvons dès à présent démontrer le théorème 3.1.4.

Démonstration du théorème 3.1.4. Soient N, M ∈ N avec N > M . Montrons que la suite SNf des sommes partielles associée à f est de Cauchy. On considère

(SNf − SMf )(x) = (2π)−3 X |nj|≤N j=1,2,3 b f (n) ein.x− (2π)−3 X |nj|≤M j=1,2,3 b f (n) ein.x = (2π)−3 X max |nj|>M |nj|≤N, j=1,2,3 b f (n) ein.x.

Alors, à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on écrit

kSNf − SMf kL∞_(T3₎ ≤ (2π)−3 X n∈Λ0 | bf (n)|(1 + |n| 2₎50 (1 + |n|2₎50 ≤ (2π)−3 X n∈Λ0 | bf (n)|2(1 + |n|2)100 !1₂ X n∈Λ0 1 (1 + |n|2₎100 !1₂ ≤ (2π)−3 X n∈Λ0 | bf (n)|2(1 + |n|2)100 !1₂ X n∈Λ0 1 (1 + |n|2₎99 1 (1 + M2₎ !1₂ ≤ C M M →+∞−→ 0; avec Λ0 _{= {n ∈ Z}3 : |nj| ≤ N, max |nj| > M, j = 1, 2, 3}.

On peut alors conclure que la suite des sommes partielles SNf est de Cauchy et donc,

3.2. Espaces de Sobolev

converge vers f dans L∞ par unicité de limite i.e.

kSNf − f kL∞ −→ 0, quand N → +∞.

Pour démontrer la seconde partie du théorème, il suffit d’observer que pour α ∈ N3_{, on}

a :

∂αSNf (x) = ∂α(DN ∗ f )(x) = DN ∗ ∂αf (x) = SN(∂αf )(x),

En effet, en notant ∂αf = g ∈ C∞_(T3), on se retrouve dans le cas où il faudrait démontrer que SNg converge uniformément vers g quand N tend vers l’infini, ce qui est démontré

ci-dessus.

Une conséquence directe de ce théorème est l’existence de la transformée de Fourier inverse pour f ∈ C∞_(T3), donnée par :

(3.1.19) f (x) = (2π)−3X n∈Z3 b f (n) ein.x, _{∀x ∈ T}3, et (3.1.20) ∂αf (x) = (2π)−3X n∈Z3 d ∂α_{f (n) e}in.x_, ∀x ∈ T3_, où ∂α = ∂ |α| ∂α1 x1∂ α2 x2∂ α3 x3 , |α| = α1+ α2+ α3.

3.2

Espaces de Sobolev

3.2.1

Définitions

Définition 3.2.1. Soit k ∈ N. On définit l’espace de Sobolev sur T3 à indice entier k, noté par ˜Hk_(T3_{), par :}

˜

3.2. Espaces de Sobolev

où ∂αf est définit par :

Z T3 ∂αf (x) ϕ(x)d x = (−1)|α| Z T3 f (x) ∂αϕ(x), ∀ϕ ∈ C∞ (T3).

On le muni du produit scalaire

hf, gi_k = X

|α|≤k

Z

T3

(∂αf )(x)(∂α_{g)(x)d x}

qui induit sur cet espace la norme

kf k_H˜k_(T3₎ =  X |α|≤k k∂α_{f k}2 L2_(T3₎ 1₂ .

Définition 3.2.2. Soit s ∈ R. On définit l’espace de Sobolev sur T3 _{à indice réel s, noté}

Hs_(T3_{), par :}

Hs_(T3) = {f ∈ L2_(T3_{) : ∀n ∈ Z}3 (1 + |n|2)s2f (n) ∈ l_b 2(Z3)},

où |n|2 = n2₁+ n2₂+ n2₃. On le muni du produit scalaire

hf, gis=

X

n∈Z3

(1 + |n|2)sf (n)b _bg(n)

qui induit la norme

kf kHs_(T3₎ = k(1 + | · |2) s 2f (·)k_b l2_(Z3₎ :=  X n∈Z3 (1 + |n|2)s| bf (n)|2 1 2 .

Remarque 3.2.3. On observera alors, qu’il est possible de voir les espaces de Sobolev de deux manières différentes, soit via les dérivées au sens des distributions ou bien alors via la transformée de Fourier. De plus, cet espace a la particularité d’apparaître naturellement dans les estimations d’énergie, généralement sous sa première forme.

Proposition 3.2.4. Soit k ∈ N. Alors, ˜Hk_(T3_{) = H}k_(T3_{) et kf k} ˜

Hk_(T3₎ ≈ kf k_Hk_(T3₎.

l’équiva-3.2. Espaces de Sobolev lence suivante : (3.2.1) ∃c > 0 : _{∀n ∈ Z}3, 1 c X |α|≤k |nα_|2 _{≤ (1 + |n|}2₎k _{≤ c} X |α|≤k |nα_|2_, où nα = nα1 1 n α2 2 n α3

3 . Montrons à l’aide de cette relation, l’équivalence des espaces ˜Hk et

Hk. On considère kf k2 ˜ Hk = X |α|≤k k∂α_{f k}2 L2_(T3₎ = (2π)−3 X |α|≤k k d∂α_{f k}2 l2_(Z3₎,

où la seconde égalité est donnée par (3.1.18). On sait aussi que :

d ∂α_{f (n) = i}|α|_nα b f (n). Il vient donc, kf k2 ˜ Hk_(T3₎ = (2π) −3X |α|≤k knα b f k2_l2_(Z3₎= (2π)−3 X n∈Z3 X |α|≤k |nα_|2_{| bf (n)|}2_.

Enfin, d’après la relation (3.2.1), on obtient :

kf k2 ˜ Hk ≈ X n∈Z3 (1 + |n|2)k| bf (n)|2 = kf k_Hk_(T3₎.

Proposition 3.2.5. Les espaces de Sobolev forment une chaîne décroissante i.e. pour tout s, s0 _{∈ R tels que 0 ≤ s < s}0 on a Hs0_(T3_{) ⊂ H}s_(T3_).

Cela se déduit directement du fait que pour 0 ≤ s < s0, on a :

(1 + |n|2)s ≤ (1 + |n|2₎s0_.

3.2.2

Propriétés

L’importance des espaces de Sobolev réside non seulement dans les fonctionnelles d’énergie, mais surtout dans le théorème de plongement qui réunit toutes les injections de ces derniers espaces. Dans cette partie, nous citons quelques unes de ces injections qui nous serons très utiles pour le reste du document.

3.2. Espaces de Sobolev

Théorème 3.2.6. Soient k ∈ N et s ∈ R tels que s > 32 + k. Alors toute fonction

f ∈ Hs_(T3) est une fonction de classe Ck_(T3). De plus, il existe une constante Cs > 0

telle que pour tout α ∈ N3 avec |α| ≤ k, on a :

(3.2.2) k∂αf kL∞_(T3₎ ≤ C_skf k_Hs_(T3₎.

Démonstration. On considère f ∈ Hs_(T3_{). Alors, pour tout |α| ≤ k nous avons vu dans}

la proposition 3.2.4, que

| d∂α_{f (n)| = |n}α

b

f (n)| ≤ (1 + |n|2)k2| bf (n)|.

En remplaçant k₂ par k−s₂ +s₂, le membre de droite se réécrit

(3.2.3) | d∂α_{f (n)| ≤ (1 + |n|}2₎k−s_{2 (1 + |n|}2₎s_{2| bf (n)| ∈ l}1

(Z3)

puisque k −s < −3₂ (voir ci-dessous). Alors, la fonction ∂α_{f est continue pour tout α ∈ N}3

avec |α| ≤ k i.e. f ∈ Ck_(T3_).

Montrons l’inégalité (3.2.2). A l’aide de la relation (3.1.20) on écrit, pour tout x ∈ T3 et tout α ∈ N3 telle que |α| ≤ k,

|∂α_{f (x)| ≤ (2π)}−3X n∈Z3   ∂d α_{f (n)} .

Il s’en suit, en majorant le membre de droite comme dans l’inégalité (3.2.3) que

|∂α_{f (x)| ≤ (2π)}−3X n∈Z3 (1 + |n|2)k−s2 (1 + |n|2) s 2   f (n)b   .

En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur l’espace l2_(Z3_{), on obtient :}

|∂α_{f (x)| ≤ (2π)}−3 X n∈Z3 (1 + |n|2)k−s !1₂ X n∈Z3 (1 + |n|2)s| bf (n)|2 !1₂ .

Or, puisque 2(s − k) > 3, on sait que

X

n∈Z3

(1 + |n|2)k−s !1₂

3.3. Inégalités sur l’espace Lp_(T3)

En conclusion, on a :

k∂α_{f k}

L∞_(T3₎ ≤ C_skf k_Hs_(T3₎, ∀α ∈ N3, |α| ≤ k.

Théorème 3.2.7. Soit s ≥ 0. Alors, il existe C > 0 une constante, telle que pour tout f, g ∈ Hs_(T3), on a :

(3.2.4) kf gkHs_(T3₎ ≤ C kf k_Hs_(T3₎kgk_L∞_(T3₎+ kf k_L∞_(T3₎kgk_Hs_(T3₎
.

Ce théorème est en fait un cas particulier de l’inégalité de Kato-Ponce aussi appelée la règle fractionnaire de Leibniz (fractional Leibniz rule) qui s’écrit :

(3.2.5) kΛs_{(f g)k} Lr_(T3₎ ≤ C kf k_Lp1_(T3₎kΛsgk_Lq1_(T3₎+ kΛsf k_Lp2_(T3₎kgk_Lq2_(T3₎
, où Λs= (1 − ∆)s2 , 1 r = 1 p1 + 1 q1 = 1 p2 + 1 q2

avec 1 < r < +∞ et 1 < p1, q1, p2, q2 ≤ +∞. Pour le cas s entier, il possible de déduire

l’inégalité (3.2.5) directement des estimations de Gagliardo-Nirenberg.

Théorème 3.2.8. Soient s ∈]0,3₂[ et p = _3−2s6 . Alors toute fonction f ∈ Hs_(T3_{) est une}

fonction de Lp_(T3_{). De plus, il existe une constante C > 0 telle que pour tout f ∈ H}s_(T3_),

(3.2.6) kf kLp_(T3₎ ≤ Ckf k_Hs_(T3₎.

Ce théorème énonce l’injection de Sobolev la plus utilisée dans ce document, en parti-culier dans le chapitre bien-posé du problème fractionnaire. On peut consulter [9, 3] pour la preuve des théorèmes 3.2.7, 3.2.8.

3.3

Inégalités sur l’espace L

p

_(T

3

)

On présente dans cette section quelques basiques des normes Lp_{, autres outils clés}

3.3. Inégalités sur l’espace Lp_(T3)

3.3.1

Inégalité de Hölder et ses variantes

Soient (p, q) ∈ [1, +∞] tels que 1_p + 1

q = 1. Et soient deux fonctions f ∈ L

p_(T3_{) et} g ∈ Lq_(T3_{). Alors,} Z T3 |f (x) g(x)|d x ≤   Z T3 |f (x)|p_{d x}   1 p  Z T3 |g(x)|q_{d x}   1 q .

Dans le cas p = q = 2 on retrouve l’inégalité de Cauchy-Schwartz.

Proposition 3.3.1. Soient 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞. Et soit f ∈ Lp_(T3) ∩ Lq_(T3). Alors, f ∈ Lr_(T3_), 1

r = 1−θ

p + θ

q pour tout 0 ≤ θ ≤ 1. De plus, on a :

(3.3.1) kf kLr_(T3₎ ≤ kf k1−θ Lp_(T3₎kf k θ Lq_(T3₎. Démonstration. On considère kf kr Lr_(T3₎ = Z T3 |f (x)|(1−θ)r_{|f (x)|}θr_{d x.}

Alors, par l’inégalité de Hölder, on obtient

kf kr_Lr_(T3₎≤ |f |(1−θ)r L p (1−θ)r_(T3₎ |f |θr L q θr_(T3₎

car (1−θ)r_p + θr_q = 1. Autrement dit, on a :

kf kr Lr_(T3₎ ≤ kf k (1−θ)r Lp_(T3₎kf k θr Lq_(T3₎. En conclusion, kf kLr_(T3₎ ≤ kf k1−θ Lp_(T3₎kf k θ Lq_(T3₎.

Remarque 3.3.2. De manière identique, c’est-à-dire à l’aide de l’inégalité de Hölder, on peut montrer que pour tout θ ∈ [0, 1] et σ ∈ R tels que σ = (1 − θ)s1+ θs2, on a :

(3.3.2) kf kHσ_(T3₎ ≤ kf k(1−θ)

3.3. Inégalités sur l’espace Lp_(T3)

3.3.2

Inégalité intégrale de Minkowski

Soient (X, A, µ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés . Soit h une fonction mesurable positive sur X × Y . Alors,

Z X Z Y h(x, y)d ν(y) p d µ(x) _p1 ≤ Z Y Z X h(x, y)pd µ(x) 1_p d ν(y) pour tout 1 ≤ p < +∞. Démonstration. On pose f (x) = Z Y h(x, y)d ν(y), M = Z Y Z X h(x, y)pd µ(x) 1_p d ν(y).

Par dualité, il suffit de montrer que pour toute fonction g ∈ Lq(µ), g ≥ 0 on a :

kf gkL1_(µ)≤ M kgk_Lq_(µ), 1 p+ 1 q = 1. On considère Z X f (x)g(x)d µ(x) = Z X Z Y h(x, y)d ν(y)g(x)  d µ(x).

Alors, par le théorème de Fubini, on écrit

Z X f (x)g(x)d µ(x) = Z Y Z X h(x, y)g(x)d µ(x)  d ν(y).

Puis, en appliquant l’inégalité de Hölder sur l’espace X , on obtient

Z X |f (x)g(x)| d µ(x) ≤ Z Y Z X h(x, y)pd µ(x) 1_pZ X g(x)qd µ(x) 1_q d ν(y) = Z Y Z X h(x, y)pd µ(x) 1_p d ν(y) Z X g(x)qd µ(x) 1_q . Il vient alors, kf gk_L1_(µ)≤ M kgk_Lq_(ν).

3.3. Inégalités sur l’espace Lp_(T3)

Remarque 3.3.3. De façon générale, pour 1 ≤ q ≤ p < +∞, on a

4.

Présentation des résultats

4.1

Énoncés des résultats

Soient 0 < α < 3 et u : R × T3 → R une fonction. On considère le problème (4.1.1)

(

(∂_t2+ Dα)u(t, x) + u3(t, x) = 0 _{(t, x) ∈ R × T}3, (u, ∂tu)(0, x) = (u0, u1)(x)

où (u0, u1) sont les données initiales au temps t = 0 et Dα = (−∆)

α

2 est un opérateur

pseudo-différentiel définit comme suit.

Définition 4.1.1. On définit la dérivée fractionnaire Dα _{avec α ∈ R}+_{, par :}

d

Dα_{u(n) = |n|}α

b

u(n), _{n ∈ Z}3.

Le terme fractionnaire est utilisé de façon impropre, puisque α n’est pas forcément un rationnel. L’équation (4.1.1) est une équation d’évolution dispersive non-linéaire c’est-à-dire que cette équation à deux variables (une variable d’espace et une variable de temps) et admet des solutions sous forme d’ondes qui se propagent dans l’espace.

De manière générale, on dit qu’une équation est dispersive si les ondes de fréquences différentes se propagent avec des vitesses différentes.

Cette équation vérifie des lois de conservations telles que l’énergie :

(4.1.2) E(u(t)) = k∂tu(t)k2L2_(T3₎+ kD α 2u(t)k2 L2_(T3₎+ 1 2ku(t)k 2 L4_(T3₎.

4.1. Énoncés des résultats

par changement d’échelle. Plus précisément, si u(t, x) est solution de (4.1.1) sur R3 alors

uλ(t, x) = λ

α 2u(λ

α

2t, λx), λ > 0,

est aussi une solution. De plus,

kuλ(t)k_H˙s_(R3₎ = λs+ α 2− 3 2ku(λ α 2t)k_˙ Hs_(R3₎.

L’exposant critique de régularité de l’équation (4.1.1) est alors donné par la formule précédente comme étant :

sc =

3 − α 2 .

Au delà de cet exposant, le problème (4.1.1) est bien posé au sens d’Hadamard sur Hs_(T3) × Hs−α2(T3) avec s ≥ s_c. Plus précisément, on dira qu’un problème est bien posé

au sens d’Hadamard si :

— le problème possède une solution. — la solution est unique.

— la solution dépend continument des données initiales.

On dira qu’un problème est mal posé si l’une de ces trois conditions n’est pas satisfaite. On dira qu’un problème est localement bien posé si le temps d’existence de sa solution est fini et on dira que le problème est globalement bien posé si le temps d’existence de la solution est infini.

Définition 4.1.2. On définit un couple (p, q) ∈ [2, +∞]2 comme étant un couple admis-sible s’il vérifie :

1 p + 3 q ≤ 3 2.

On peut maintenant énoncer notre premier résultat de bien posé de l’équation (4.1.1) sur l’espace Hα2(T3) × L2(T3) avec α ∈]3

2, 3[.

Théorème 4.1.3. Soient α ∈]3₂, 3[ et (u0, u1) ∈ H

α

2(T3) × L2(T3) les données initiales

associées au problème (4.1.1) telles que

4.1. Énoncés des résultats

Alors, le problème (4.1.1) admet une unique solution dans

C [0, T ], Hα2(T3)
∩ Lp [0, T ], Lq(T3)
,

où T = T (Λ), p = p(α) et (p, q) un couple admissible qui satisfait :

3 2− 3 q − α 2p = α 2. (∗) Si de plus, (u0, u1) ∈ Hs(T3) × Hs− α 2(T3) avec s ≥ α 2, alors u appartient à C [0, T ], Hs_(T3)
∩ Lp0[0, T ], Lq0_(T3),

où T = T (Λ) et (p0, q0) est aussi un couple admissible qui vérifie (∗) et qui dépend de α.

Remarque 4.1.4. Pour α ∈]3₂, 2[, on peut prendre p unique à partir d’un p = p(α) avec p(α) → ∞ si α → 2.

Pour α ≥ 2, la démonstration du théorème 4.1.3 fait appel uniquement aux injections de Sobolev. En revanche, pour α < 2 l’utilisation des estimées de Strichartz est essentielle.

Le théorème suivant énonce un résultat de prolongement du temps d’existence de la solution donnée dans le théorème précédent. Nous verrons alors que le problème (4.1.1) est globalement bien posé sur Hα2(T3) × L2(T3) avec α ∈]3

2, 3[.

Théorème 4.1.5. Soient α ∈]3₂, 3[ et (u0, u1) ∈ H

α

2(T3) × L2(T3). Alors, le problème

(4.1.1) possède une unique solution globale u qui appartient, pour tout T > 0, à l’espace

C [0, T ], Hα2(T3)
∩ Lp [0, T ], Lq(T3)

où p = p(α) et (p, q) un couple admissible qui vérifie

3 2− 3 q − α 2p = α 2. (∗) De plus, si (u0, u1) ∈ Hs(T3) × Hs− α 2(T3) avec s ≥ α

2 alors, pour tout T > 0,

u ∈ C [0, T ], Hs_(T3)
∩ Lp0[0, T ], Lq0_(T3), où (p0, q0) est un couple admissible qui vérifie (∗).

4.1. Énoncés des résultats

Nous verrons aussi que le théorème 4.1.3 peut être améliorer. Plus précisément, nous montrerons que le problème (4.1.1), posé sur l’espace Hs_(T3)×Hs−α2(T3) avec s ∈]3−α

2 , α 2[,

est localement bien posé au sens d’Hadamard, comme l’énonce le théorème ci-dessous.

Théorème 4.1.6. Soit α ∈]3₂, 3[. Soit s tels que s ∈]3−α₂ ,α₂[ si α ∈]3₂, 2] et s ∈]1 −α₄,α₂[ si α ∈]2, 3[. Alors, pour (u0, u1) ∈ Hs× Hs−

α

2(T3) telles que

ku0kHs_(T3₎+ ku₁k

Hs− α2_(T3₎≤ Λ, Λ ≥ 1,

le problème (4.1.1) admet une unique solution dans

C [0, T ], Hs_(T3)
∩ Lp [0, T ], Lq_(T3)
,

où T = T (Λ) et (p, q) = (p(α), q(α)) est un couple admissible qui vérifie :

(4.1.4) (∗∗)      3 2 − 3 q − α 2p = s, si α ∈] 3 2, 2[ , s ∈] 3−α 2 , α 2[. 3 2 − 3 q − 1 p = s, si α ∈ [2, 3[ , s ∈]1 − α 4, α 2[.

Remarquons que pour s ∈]3−α₂ ,α₂[, nous avons seulement obtenu des solutions locales en temps. On remarque aussi que pour α ∈]2, 3[ l’existence de solution du problème(4.1.1) reste un problème ouvert sur Hs× Hs−α_{2 avec s ∈]}3−α

2 , 1 − α 4].

Enfin, pour conclure la partie déterministe, le troisième théorème énonce un résultat de mal posé du problème fractionnaire dans le cas sur-critique i.e. s < sc.

Théorème 4.1.7. Soient α ∈]0, 3[, 0 < s < 3−α₂ et (u0, u1) ∈ C∞(T3) × C∞(T3). Alors

il existe δ > 0, une suite de nombres positifs (tn)n∈N qui tend vers zéro et une suite de

fonctions (un(t, x))n∈N de C(R, C∞(T3)) solutions de (4.1.1) telles que

k(un(0) − u0, ∂tun(0) − u1)k_Hs_×Hs− α 2 ≤ C[log(n)] −δ _{−→ 0,} n −→ +∞, mais k(un(tn), ∂tun(tn))k_Hs_×Hs− α 2 ≥ C[log(n)] δ_{−→ +∞, n −→ +∞.}

La preuve de ce dernier théorème se base sur la comparaison d’énergie, à un terme borné près, de la solution un et la solution vn du problème (4.1.1) sans le terme linéaire.

4.1. Énoncés des résultats

des ondes cubiques i.e. α = 2. La différence majeure sera la définition de l’énergie semi-classique, qui dépendra des valeurs de α.

Une conséquence directe de ce théorème est donnée dans ce qui suit.

Théorème 4.1.8. Soient 0 < s < 3−α₂ , T > 0 et (u0, u1) ∈ Hs(T3) × Hs−

α

2(T3). Alors

il existe une suite de fonctions (un(t, x))n∈N de C(R, C∞(T3)) solutions de (4.1.1) telles

que

k(un(0) − u0, ∂tun(0) − u1)k_Hs_(T3_)×Hs− α₂

(T3₎−→ 0, n −→ +∞,

mais pour tout T > 0,

k(un(t), ∂tun(t))k_L∞_{([0,T ],H}s_(T3_)×Hs− α

2_(T3))−→ +∞, n −→ +∞.

La seconde partie de ce chapitre énonce des résultats probabilistes pour ce même problème fractionnaire, dans le régime où le théorème 4.1.8 s’applique.

On considère (u0, u1) ∈ Hs(T3) × Hs−

α

2(T3) avec 0 < s < s_c, les données initiales

associées au problème (4.1.1), données par leurs séries de Fourier comme suit :

u0(x) = X n∈Z3 bn₀ cos(nx) + X n∈Z3 ∗ cn₀sin(nx), et u1(x) = X n∈Z3 bn₁ cos(nx) + X n∈Z3 ∗ cn₁sin(nx).

On définit les variables aléatoires associées à ces dernières respectivement par :

uω₀(x) = X n∈Z3 β₀n(ω)bn₀cos(nx) + X n∈Z3 ∗ γ₀n(ω)cn₀ sin(nx), et uω₁(x) = X n∈Z3 β₁n(ω)bn₁cos(nx) + X n∈Z3 ∗ γ₀n(ω)cn₁ sin(nx), où (βn

j(ω), γjn(ω))j=0,1 est une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes et

iden-tiquement distribuées sur l’espace probabilisé (Ω, F , P) dont la loi θ satisfait la propriété suivante ∃c > 0, _{∀γ ∈ R,}     Z R eγxd θ(x)     ≤ ecγ2. (?)

4.1. Énoncés des résultats

On pose

Λ : Ω −→ Hs_(T3) × Hs−α2(T3)

ω 7−→ Λ(ω) = (uω 0, uω1).

L’application Λ induit une mesure de probabilité sur l’espace Hs(T3_{) × H}s−α_2(T3_{), notée}

µ(u0,u1) = P ◦ Λ −1 . On note Ms= [ (u0,u1)∈Hs×Hs− α2 µ(u0,u1) .

Bien que le théorème 4.1.8 nous permette de conclure que le problème (4.1.1) est mal posé sur l’espace Hs_{× H}s−α_{2 avec 0 < s < s}

c, il nous est toutefois possible de trouver des

solutions probabilistes au problème fractionnaire sur ce même espace. Plus précisément, nous verrons qu’étant donné des données initiales dans Hs_(T3) × Hs−α2(T3) ainsi que

les variables aléatoires associées à ces dernières, le problème fractionnaire (4.1.1) est presque surement bien posé pour s ∈]0,3−α₂ [. Mais avant cela, nous énonçons un résultat déterministe bien adapté pour le théorème probabiliste.

Le résultat qui suit, énonce l’existence d’une solution locale en temps au problème (4.1.1), où l’on a séparé la partie linéaire et la partie non linéaire de la solution u.

Proposition 4.1.9. Soient α ∈]3₂, 3[. On considère le problème

(4.1.5) ( (∂_t2+ Dα)v + (f + v)3 = 0 f ∈ L3([0, 1], L6_(T3)), (v, ∂tv)(0) = (v0, v1) ∈ H α 2(T3) × L2(T3), tels que kv0k_Hα2_(T3₎+ kv1kL2_(T3₎+ kf k3_L3_([0,1],L6_(T3₎₎≤ Λ, Λ ≥ 1.

Alors, il existe c > 0 et γ > 0 (indépendents de Λ) telles que le problème (4.1.5) possède une unique solution v sur [0, cΛ−γ]. Cette solution est unique dans la classe

L∞ [0, cΛ−γ], Hα2(T3)
∩ Lp [0, cΛ−γ], L6(T3)
,

avec p = _2−αα et la dépendance en temps de la solution est continue.

4.1. Énoncés des résultats

Théorème 4.1.10. Soient s ∈]0,α₂[, α ∈]3₂, 3[ et soit µ ∈ Ms. Alors, il existe un ensemble Σ ⊂ Hs_(T3) × Hs−α2(T3), µ−mesurable avec µ(Σ) = 1 tels que pour tout (v₀, v₁) ∈ Σ, il

existe une unique solution v globale du problème non linéaire :

(4.1.6) ( (∂_t2+ Dα)v + v3 = 0. (v, ∂tv)(0, x) = (v0, v1)(x) qui vérifie : (v(t), ∂tv(t)) ∈ (S(t)(v0, v1), ∂tS(t)(v0, v1)) + C R, H α 2 × L2
.

Dans l’énoncé du théorème 4.1.10, S(t)(v0, v1) représente l’évolution libre, avec pour

données initiales (v0, v1) (voir le chapitre suivant).

Pour avoir un ensemble invariant par la dynamique, on définit

Θ ≡ (v0, v1) ∈ Hs(T3) × Hs− α 2(T3) : kS(t)(v0, v1)k3L6_(T3₎ ∈ L1_loc(Rt), kS(t)(v0, v1)kL∞_(T3₎ ∈ L1_loc(R_t) o . On pose Σ0 ≡ Θ + (Hα2 × L2).

Proposition 4.1.11. Pour tout (v0, v1) ∈ Σ0, il existe une unique solution v globale du

problème (4.1.6) qui vérifie :

(v(t), ∂tv(t)) ∈ (S(t)(v0, v1), ∂tS(t)(v0, v1)) + C R, H

α

2 × L2

telle que (v(t), ∂tv(t)) ∈ Σ0.

Nous montrerons également que nous avons l’unicité de limite, pour les approximations par des solutions régulières.

Théorème 4.1.12. Soient s ∈]0,α₂[, α ∈ [2, 3[ et (v0, v1) ∈ Σ0 les données initiales

associées à la solution globale v(t) définit dans la proposition 4.1.11. Soient les suites (vn,0, vn,1)n≥1 ∈ C∞(T3) × C∞(T3) donnant les régularisations par convolution de (v0, v1).

On note par vn(t) la solution du problème (4.1.1) associée aux données initiales (vn,0, vn,1).

Alors, pour T > 0,

lim

4.1. Énoncés des résultats

Théorème 4.1.8 et théorème 4.1.12 montrent l’importance du choix de la régularisation des données initiales.

5.

Étude déterministe du problème

frac-tionnaire

Dans ce chapitre, on démontre que le problème de Cauchy associé à l’équation des ondes fractionnaires est bien posé au sens d’Hadamard sur Hα2(T3) × L2(T3) pour tout

α ∈]3₂, 3[ de façon locale puis globale en temps. Des méthodes standards de point fixe seront utilisées pour démontrer ces résultats. On utilisera d’une part les injections de Sobolev, dans le cas α ∈ [2, 3[ et d’autre part les estimées déterministes de Strichartz pour α ∈]3₂, 2[. Dans un second temps, nous montrerons qu’il est possible d’étendre ces résultats de bien posé, localement en temps, sur l’espace Hs_(T3_)×Hs−α

2(T3) avec s > 3−α

2

si α ∈]3₂, 2] et s > 1 − α₄ si α ∈]2, 3[. Les références utilisées dans ce chapitre sont [10, 13, 11, 7, 6, 17].

5.1

Le problème linéaire

Afin de résoudre l’équation (4.1.1) on va dans un premier temps négliger le terme non-linéaire u3 pour ne considérer que la partie linéaire de l’équation. Ensuite, il nous suffira de considérer l’équation (4.1.1) comme une perturbation de l’équation linéaire.

Cette méthode est permise lorsque les solutions sont petites ou si l’étude se fait sur des temps petits, autrement cette méthode ne pourrait pas aboutir.

Proposition 5.1.1. Soit le problème homogène (1)0 associé au problème (4.1.1) donné par : (1)0 ( (∂2 t + Dα)u(t, x) = 0, (t, x) ∈ R × T3. (u, ∂tu)(0, x) = (u0, u1)(x).

5.1. Le problème linéaire

avec α ∈]0, 3[. Alors pour tout (t, x) ∈ R × T3,

u(t, x) = (2π)−3 X n∈Z3 cos(t|n|α2) b u0(n)ein.x+ tub1(0) + X n∈Z3 ∗ sin(t|n|α2) |n|α2 b u1(n)ein.x 

est l’unique solution du problème (1)0.

Démonstration. Soit le problème

(∗) (

∂_t2_bu(t, n) + |n|αu(t, n) = 0_{b (t, n) ∈ R × Z}3, (u, ∂_b tbu)(0, n) = (ub0,ub1)(n),

avec |n| = (n2₁+n2₂+n2₃)12, donné par passage à la transformée de Fourier dans le problème

(1)0. On distingue alors deux cas ; le cas n = 0, revient à résoudre le système

(

∂_t2u(t, 0) = 0_{b t ∈ R,} (_bu, ∂tu)(0, 0) = (b ub0,ub1)(0).

Par simple intégration, on conclut que la solution vaut

b

u(t, 0) = tu_b1(0) +ub0(0).

Dans le cas n 6= 0, pour résoudre l’équation différentielle linéaire d’ordre deux, on se reporte à son équation caractéristique qui possède deux solutions complexes conjuguées distinctes. Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme :

b

u(t, n) = A(n) cos(t|n|α2) + B(n) sin(t|n| α 2).

En tenant compte des données initiales, on obtient finalement que pour tout (t, n) ∈ R × Z3∗, b u(t, n) =u_b0(n) cos(t|n| α 2) + ub1(n) |n|α2 sin(t|n|α2).

Ensuite, en utilisant la transformée de Fourier inverse, donnée par la formule (3.1.19), on peut conclure que les solutions du problème (1)0 _{sont données pour tout (t, x) ∈ R × T}3

par : u(t, x) = (2π)−3 X n∈Z3 cos(t|n|α2) b u0(n)ein.x+ tub1(0) + X n∈Z3 sin(t|n|α2) |n|α2 b u1(n)ein.x  .

5.1. Le problème linéaire

Notation. Afin d’alléger l’écriture, on notera la solution du problème homogène par :

u(t, x) = (2π)−3 X n∈Z3 cos(t|n|α2) b u0(n)ein.x+ tub1(0) + X n∈Z3 ∗ sin(t|n|α2) |n|α2 b u1(n)ein.x 

= cos(tDα2)(u₀) + sin(tD α 2)

Dα2

(u1) := S(t)(u0, u1).

(5.1.1)

Remarque 5.1.2. S(t)(u0, u1) représente le flot des solutions de l’équation des ondes

fractionnaires linéaire. Elle vérifie pour tout s > 0 et α ≥ 2, (5.1.2) k(S(t)(u0, u1), ∂t(S(t)(u0, u1))k_Hs_(T3_)×Hs− α2_(T3₎ ≤ C  ku0kHs_(T3₎+ ku₁k Hs− α2_(T3₎  .

La solution S(t)(u0, u1) est aussi appelée solution libre.

Proposition 5.1.3. Soient F une fonction régulière de R × T3 _{à valeurs dans C et bF}

la transformée de Fourier en x de F . On considère le problème non-homogène associé au problème (1)0 donné par :

(1)00 (

(∂_t2+ Dα)u(t, x) = F (t, x) _{(t, x) ∈ R × T}3, (u, ∂tu)(0, x) = (0, 0).

Alors, pour tout (t, x) ∈ R × T3 ,

u(t, x) = −(2π)−3 Z 0 t (t − τ ) bF (τ, 0)d τ + X n∈Z3 ∗ ein.x Z t 0 sin((t − τ )|n|α2) |n|α2 b F (τ, n) d τ

est l’unique solution du problème (1)00.

Démonstration. Soit le problème

(∗)00 ( (∂2 tu + |n|b α b u)(t, n) = bF (t, n), _{(t, x) ∈ R × T}3_, (_bu, ∂tu)(0, n) = (0, 0),b

donné par passage à la transformée de Fourier dans le problème (1)00. Alors, si n = 0, en intégrant deux fois de suite l’équation

5.1. Le problème linéaire on obtient que b u(t, 0) = Z 0 t (t − τ ) bF (τ, 0)d τ.

Sinon si n 6= 0, par la méthode de variation des constantes, on cherche une solution de la forme :

b

u(t, n) = cos(t|n|α2)λ_1,n(t) + sin(t|n| α

2)λ_2,n(t), (\)

pour tout (t, n) ∈ R × Z3∗, avec λ1,n(0) = λ2,n(0) = 0 et qui de plus, vérifie :

     cos(t|n|α2)λ0 1,n(t) + sin(t|n| α 2)λ0 2,n(t) = 0, −|n|α2 sin(t|n| α 2)λ0 1,n(t) + |n| α 2 cos(t|n| α 2)λ0 2,n(t) = − bF (t, n),

ou encore (sous forme matricielle),

   cos(t|n|α2) sin(t|n| α 2) −|n|α2 sin(t|n| α 2) |n| α 2 cos(t|n| α 2)       λ0_1,n(t) λ0_2,n(t)   =    0 − bF (t, n)   

On peut alors, en utilisant la règle de Cramer, obtenir λ0_1,n et λ0_2,n comme suit :

λ0_1,n(t) =      0 sin(t|n|α2) − bF (t, n) |n|α2 cos(t|n| α 2)             cos(t|n|α2) sin(t|n| α 2) −|n|α2 sin(t|n| α 2) |n| α 2 cos(t|n| α 2)        = sin(t|n| α 2) bF (t, n) |n|α2 et λ0_2,n(t) =      cos(t|n|α2) 0 −|n|α2 sin(t|n| α 2) − bF (t, n)             cos(t|n|α2) sin(t|n| α 2) −|n|α2 sin(t|n| α 2) |n| α 2 cos(t|n| α 2)        = −cos(t|n| α 2) bF (t, n) |n|α2 .

5.1. Le problème linéaire formule (\), on trouve b u(t, n) = − Z t 0 − cos(t|n|α2) sin(τ |n| α 2) + sin(t|n| α 2) cos(τ |n| α 2) |n|α2 b F (τ, n) d τ.

Soit, par la formule :

sin(A) cos(B) − sin(B) cos(A) = sin(A − B),

on conclut que b u(t, n) = − Z t 0 sin((t − τ )|n|α2) |n|α2 b F (τ, n) d τ.

En appliquant la formule d’inversion de Fourier, donnée par la formule (3.1.19), on obtient finalement que la solution du problème non-homogène (1)00 est donnée par :

u(t, x) = −(2π)−3 Z t 0 (t − τ ) bF (τ, 0)d τ + X n∈Z3 ∗ Z t 0 sin((t − τ )|n|α2) |n|α2 b F (τ, n) d τ ein.x.

Notation. Dans le but d’alléger l’écriture et tout en restant cohérent avec la notation précédente, on notera la solution du problème non-homogène par :

u(t, x) := − Z t 0 sin((t − τ )Dα2) Dα2 (F (τ )) d τ.

On remarquera que cette solution vérifie pour tout s > 0 et α ≥ 2,

(5.1.3) k Z t 0 sin((t − τ )Dα2) Dα2 (F (τ )) d τ kL∞_{([0,T ],H}s_(T3₎₎. kF k L1_{([0,T ],H}s− α₂ (T3₎₎.

En remplaçant la fonction F par u3, le terme non-linéaire cubique de l’équation du pro-blème (4.1.1), on déduit que

u(t, x) = S(t)(u0, u1) − Z t 0 sin((t − τ )Dα2) Dα2 (u3(τ )) d τ,

(où S(t)(u0, u1) = cos(tD

α

2)(u₀) + sin(tD α 2)

5.2. Preuve du théorème 4.1.3

Proposition 5.1.4 (Les Inégalités de Strichartz [7]). Soit α ∈]0, 3[. Si α ∈ [2, 3[, alors il existe c > 0 tel que pour tout couple (p, q) admissible et pour tout (u0, u1) ∈

Hs_(T3) × Hs−α2(T3) avec s ≥ 3 2 − 3 q − 1 p, on a : kS(t)(u0, u1)kLp_{([0,T ],L}q_(T3₎₎ ≤ c  ku0kHs_(T3₎+ ku₁k Hs− α2_(T3₎  , et Z t 0 sin((t − τ )Dα2) Dα2 (F (τ )) d τ Lp_{([0,T ],L}q_(T3₎₎ ≤ ckF k_L1_{([0,T ],H}s− α2_(T3₎₎. Si α ∈]0, 2[, alors kS(t)(u0, u1)kLp_{([0,T ],L}q_(T3₎₎≤ c  ku0k Hs− 1p (α2−1)_(T3₎+ ku1k_Hs− α2− 1p (α2−1)_(T3₎  , et Z t 0 sin((t − τ )Dα2) Dα2 (F (τ )) d τ Lp_{([0,T ],L}q_(T3₎₎ ≤ ckF k L1  [0,T ],Hs− α2− 1p (α2−1)_(T3₎ .

Remarque 5.1.5. On remarquera que dans le cas α ∈ [2, 3[, nous avons une perte de dérivées.

5.2

Preuve du théorème 4.1.3

Soient α ∈]3₂, 3[ et (u0, u1) ∈ H α 2(T3) × L2(T3) telles que (5.2.1) ku0k_Hα 2_(T3₎+ ku1kL2_(T3₎ ≤ Λ, Λ ≥ 1. On pose : XT ≡ C [0, T ], H α 2(T3)
∩ Lp [0, T ], Lq(T3)
,

où T = T (Λ) et (p, q)−admissible qui vérifie :

(5.2.2) 3 2− 3 q − α 2p = α 2.

On muni cet espace de la norme :

5.2. Preuve du théorème 4.1.3

On définit :

BXT ≡ {u ∈ XT : kukXT ≤ 2CΛ} .

Montrons qu’il existe δ > 0 tel que pour T = (cΛ−2)δ, c  1, l’application

Φu0,u1(u) = S(t)(u0, u1) − Z t 0 sin((t − τ )Dα2) Dα2 (u3(τ )) d τ,

est une contraction dans BXT.

On considère le cas α ∈]3₂, 2[. D’après l’inégalité de Strichartz, si un couple admissible (p, q) satisfait (5.2.2) alors (5.2.3) kS(t)(u0, u1)kLp_{([0,T ],L}q_(T3₎₎ ≤ C  ku0k_Hα2_(T3₎+ ku1kL2(T3)  .

En particulier, le couple (p, q) = (_2−αα , 6) vérifie (5.2.2). Donc,

(5.2.4) kS(t)(u0, u1)kXT ≤ C



ku0k_Hα2_(T3₎+ ku1kL2(T3)

 .

Une autre application de Strichartz (la non-homogène) donne :

Z 0 T_{sin((T − τ )D}α 2) Dα2 (u3(τ )) d τ Lp_{([0,T ],L}q_(T3₎₎ ≤ c ku 3_k L1_{([0,T ],L}2_(T3₎₎ ≤ c kuk3_L3_{([0,T ],L}6_(T3₎₎.

Ensuite, à l’aide de l’inégalité de Hölder, avec p = _2−αα , on obtient :

kuk3_L3_{([0,T ],L}6_(T3₎₎ ≤ T (1−3 p) Z T 0 kuk3 p 3 L6_(T3₎d τ 3p (5.2.5) = T(1−p3)kuk3 Lp_{([0,T ],L}6_(T3₎₎.

On observera que l’inégalité (5.2.5) est vraie pour tout p > 3 autrement dit, il faudrait avoir _2−αα > 3, soit α > 3₂, ce qui est en accord avec l’hypothèse.

On déduit finalement, de la relation (5.2.5), que

Z 0 T_{sin((T − τ )D}α 2) Dα2 (u3(τ )) d τ XT ≤ c T (1−3_p)_kuk3 Lp_{([0,T ],L}6_(T3₎₎ ≤ c T(1−3p)kuk3 XT. (5.2.6)

5.2. Preuve du théorème 4.1.3 Par conséquence, de (5.2.4) et (5.2.6), on a : (5.2.7) kΦu0,u1(u)kXT ≤ C  ku0k_Hα2_(T3)+ ku1kL2(T3)+ T (1−_p3)_kuk3 XT  .

On peut voir qu’il suffit de choisir

T(1−3p)= cΛ−2 ⇐⇒ T = cΛ−2
p

p−3_{, c  1,}

(avec c ≤ _8C12) pour que l’application Φu0,u1 envoie BXT dans BXT.

De plus, on sait que pour tout (u, ˜u), on a :

(5.2.8) |u3_{− ˜u}3_{| ≤ c |u − ˜u| |u|}2_{+ |˜u|}2
_.

Alors, d’après les inégalités (5.2.7) et (5.2.8), on a pour (u, ˜u) ∈ BXT,

(5.2.9) kΦu0,u1(u) − Φu0,u1(˜u)kXT ≤ C T

(1−3_p) _kuk2

XT + k˜uk

2

XT
ku − ˜ukXT.

Autrement dit, par notre choix de T on obtient,

kΦu0,u1(u) − Φu0,u1(˜u)kXT ≤

1

2ku − ˜ukXT, u, ˜u ∈ BXT.

En conséquence, l’application Φu0,u1 est une application

1

2-contractante de BXT dont le

point fixe définit la solution unique sur [0, T ]. L’unicité étant donnée par la relation (5.2.9). En effet, soient u, v ∈ C [0, T ], Hα2(T3)
∩ Lp([0, T ], Lq(T3)) avec (p, q) = ( α

2−α, 6), deux

solutions de (4.1.1). Comme l’unicité est une propriété locale et d’après (5.2.9), pour T = (cΛ−2)

p

p−3 _{et c  1, on a}

ku − vk_L∞_{([0,T ],H}α_2(T3₎₎≤ c ku − vk_L∞_{([0,T ],H}α_2(T3₎₎, c  1;

d’où l’unicité.

On considère maintenant α ∈ [2, 3[. Dans ce cas nous n’aurons pas besoin des estimées de Strichartz. Par les inégalités (5.1.2) et (5.1.3), on sait qu’il existe une constante C > 0 telle que kΦu0,u1(u)k_L∞_{([0,T ],H}α2_(T3₎₎ ≤ C  ku0k_Hα 2_(T3₎+ ku1kL2_(T3₎+ Z T 0 ku3(τ )kL2_(T3₎d τ  .

5.2. Preuve du théorème 4.1.3

En majorant le dernier terme du membre de droite comme suit :

(5.2.10) Z T 0 ku3_{(τ )k} L2_(T3₎d τ ≤ c T sup 0≤t≤T ku(t)k3 L6_(T3₎.

Puis, en utilisant l’injection de Sobolev Hα2 ⊂ H1 ⊂ L6 avec α ≥ 2, on obtient :

(5.2.11) ku(t)k3_L6_(T3₎ ≤ cku(t)k3_H1_(T3₎ ≤ c ku(t)k3

Hα2_(T3₎.

En combinant les inégalités (5.2.10) et (5.2.11), on conclut que

kΦu0,u1(u)kXT ≤ C  ku0k_Hα2_(T3₎+ ku1kL2_(T3₎+ T kuk3 L∞_{([0,T ],H}α2_(T3₎₎  ≤ Cku0k_Hα2_(T3₎+ ku1kL2(T3)+ T kuk 3 XT  . (5.2.12)

Il suffit alors de choisir

T = cΛ−2

avec c = _8C12 pour que l’application Φu0,u1 envoie BXT dans BXT. De plus, d’après les

inégalités (5.2.8) et (5.2.12) pour (u, ˜u) ∈ BXT,

(5.2.13) kΦu0,u1(u) − Φu0,u1(˜u)kXT ≤ C T kuk

2

XT + k˜uk

2

XT
ku − ˜ukXT.

Alors, par notre choix de T , on obtient

kΦu0,u1(u) − Φu0,u1(˜u)kXT ≤

1

2ku − ˜ukXT, u, ˜u ∈ BXT.

On conclut que l’application Φu0,u1 est une contraction sur BXT dont le point fixe est

l’unique solution de (4.1.1) sur [0, T ]. L’unicité étant démontrée comme dans le premier cas.

On remarquera que dans le cas α ∈ [2, 3[ la solution u est unique dans un espace plus grand : C [0, T ], Hα2(T3)
.

Si de plus, (u0, u1) ∈ Hs× Hs−

α

2 avec s ≥ α

2 l’existence et la régularité de solution

du problème (4.1.1) est démontrée de manière identique (par le théorème du point fixe) sur un temps de taille (1 + ku0kHs + ku₁k

Hs− α2)

−δ_{. Tout l’enjeu réside dans le fait de}

montrer que la régularité est préservée sur un intervalle de temps (plus grand) de taille (1 + ku0k_Hα2 + ku1kL2)

5.2. Preuve du théorème 4.1.3

Soit s ≥ α₂, on définit l’espace X_Ts par :

X_Ts ≡ C [0, T ], Hs

(T3)
∩ Lp0[0, T ], Lq0_(T3)

avec (p0, q0) un couple admissible qui vérifie (5.2.2). On le muni de la norme

kukXs

T := kuk_L∞ _{[0,T ],H}s_(T3₎
+ kuk_Lp0 _{[0,T ],L}q0_(T3₎
.

Soit α ∈]3₂, 2[. Alors, à l’aide des estimées de Strichartz, on écrit que

(5.2.14) kΦu0,u1(u)kXTs ≤ C  ku0kHs_(T3₎+ ku₁k Hs− α2_(T3)+ ku 3_k L1_{([0,T ],H}s− α 2_(T3))  .

En appliquant l’inégalité de Kato-Ponce pour s ≥ α₂, on a :

ku3_(t)k Hs− α2_(T3₎= kD s−α_2(u3_(t))k L2_(T3₎ ≤ C_skDs− α 2(u(t))k L3−α6 _(T3₎ku 2_(t)k Lα6_(T3₎ ≤ CskDs− α 2(u(t))k L3−α6 _(T3₎ku(t)k 2 L12α_(T3₎. (5.2.15)

En utilisant l’injection de Sobolev Hα2 ,→ L 6 3−α, on obtient : ku3(t)k_Hs− α₂ (T3₎ ≤ CskD s−α₂ (u(t))k_Hα 2_(T3₎ku(t)k 2 L12α_(T3₎ = Csku(t)kHs_(T3₎ku(t)k2 L12α_(T3₎. Autrement dit, on a : ku3_k L1_{([0,T ],H}s− α₂ ) ≤ Cs sup 0≤t≤T ku(t)kHs_(T3₎kuk2 L2_{([0,T ],L}12_α(T3₎₎ = CskukXs T kuk 2 L2_{([0,T ],L}12α_(T3₎₎. (5.2.16)

Par ailleurs, pour (p0, q0) = (_6−3α2α ,12_α), qui est un couple admissible et qui vérifie (5.2.2), on constate que l’on peut majorer le dernier terme de (5.2.16), en appliquant l’inégalité de Hölder comme ci-dessous :

kuk2 L2_{([0,T ],L}12α_(T3₎₎ ≤ T (1−2 p)kuk2 Lp0_{([0,T ],L}12α_(T3₎₎ (5.2.17) ≤ T(1−2p)kuk2 XT.